סימולציית בגרות 3

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סימולציית בגרות 3 — שאלון 35471 (4 יחידות לימוד). 8 שאלות בשלושה פרקים, 35 סעיפים בסך הכול. עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. לכל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, בטבלת ההתפלגות הנורמלית ובמחשבון לא גרפי. כל השאלות כתובות כאן, ואתם בוחרים. פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות: שאלה 1 (התפלגות נורמלית: זמני משלוח), שאלה 2 (מתאם ורגרסיה עם נתון חסר: עצים בפארק), שאלה 3 (הסתברות מותנית: מכונת מיון). פרק שני — גאומטריה: שאלה 4 (דלתון במערכת צירים), שאלה 5 (מעגל, זווית היקפית ומשפט הסינוסים). פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלה 6 (פונקציה רציונלית זוגית והזזה), שאלה 7 (פונקציית שורש וגרף הנגזרת), שאלה 8 (קריאת הגרף של הנגזרת).

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. כשנתון הגרף של f′f', קראו ממנו את סימן הנגזרת ולא את הגובה של ff; שטח מתחת לציר נותן אינטגרל שלילי; ובמשפט הסינוסים היחס שווה לקוטר, 2R2R.

תרגילים

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: זמני משלוח

תרגיל 1

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. א. מצאו את הממוצע μ\mu ואת סטיית התקן σ\sigma של זמן המשלוח.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: μ=\mu= 36 , σ=\sigma= 6

הפתרון:

Φ(z1)=0.1587⇒z1=−1⇒μ−σ=30\begin{aligned}\Phi(z_1) &= 0.1587 \Rightarrow z_1 \\ &= -1 \Rightarrow \mu-\sigma \\ &= 30\end{aligned}

השטח משמאל ל-3030

Φ(z2)=1−0.0668=0.9332⇒z2=1.5⇒μ+1.5σ=45\begin{aligned}\Phi(z_2) &= 1-0.0668 \\ &= 0.9332 \Rightarrow z_2 \\ &= 1.5 \Rightarrow \mu+1.5\sigma \\ &= 45\end{aligned}

השטח משמאל ל-4545

2.5σ=15⇒σ=6 μ=36\begin{aligned}2.5\sigma &= 15 \Rightarrow \sigma \\ &= 6 \\ \ \mu &= 36\end{aligned}

מערכת של שתי משוואות

μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. המלכודת: לחפש בטבלה את 0.06680.0668 עבור 4545 — הטבלה נותנת את השטח משמאל, 0.93320.9332.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. ב. איזה אחוז מהמשלוחים נמשכים בין 3333 ל-4545 דקות? ענו באחוזים, עד שתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 62.47

הפתרון:

z1=33−366=−0.5z2=45−366=1.5\begin{aligned}z_1 &= \frac{33-36}{6} \\ &= -0.5 \\ \quad z_2 &= \frac{45-36}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן

Φ(−0.5)=1−0.6915=0.3085\begin{aligned}\Phi(-0.5) &= 1-0.6915 \\ &= 0.3085\end{aligned}

סימטריה

0.9332−0.3085=0.62470.9332-0.3085=0.6247

השטח בין הגבולות

62.47%62.47\%. המלכודת: לחבר את שני ערכי הטבלה במקום לחסר — השטח בין שני ערכים הוא הפרש של שטחים משמאל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. ג. החנות נותנת שובר פיצוי ל-2.28%2.28\% מהמשלוחים, אלה שנמשכים הכי הרבה זמן. מצאו את הזמן TT (בדקות) שמעליו מקבלים שובר.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 48

הפתרון:

P(X>T)=0.0228⇒Φ(z)=0.9772⇒z=2\begin{aligned}P(X>T) &= 0.0228 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.9772 \Rightarrow z \\ &= 2\end{aligned}

זנב ימני: קריאה הפוכה של הטבלה

T=36+2⋅6=48\begin{aligned}T &= 36+2 \cdot 6 \\ &= 48\end{aligned}

x=μ+zσx=\mu+z\sigma

T=48T=48 דקות. המלכודת: z=−2z=-2 ו-T=24T=24 — זה הסף של 2.28%2.28\% המשלוחים המהירים ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. נמצא: μ=36\mu=36, σ=6\sigma=6. ד. בזכות מסלולי נסיעה חדשים, כל זמן משלוח התקצר ב-10%10\% (כל זמן כפול 0.90.9). מצאו את הממוצע ואת סטיית התקן החדשים.

μ=\mu= ____ , σ=\sigma= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: μ=\mu= 32.4 , σ=\sigma= 5.4

הפתרון:

X→0.9X: μ=0.9⋅36=32.4\begin{aligned}X \to 0.9X: \ \mu &= 0.9 \cdot 36 \\ &= 32.4\end{aligned}

כפל כופל את הממוצע

σ=0.9⋅6=5.4\begin{aligned}\sigma &= 0.9 \cdot 6 \\ &= 5.4\end{aligned}

כפל כופל גם את סטיית התקן

μ=32.4\mu=32.4, σ=5.4\sigma=5.4. המלכודת: להשאיר את סטיית התקן 66 — רק הזזה משאירה את הפיזור; כפל מכווץ אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

זמן המשלוח של הזמנות מחנות מקוונת (בדקות) מתפלג נורמלית. 15.87%15.87\% מהמשלוחים מגיעים תוך פחות מ-3030 דקות, ו-6.68%6.68\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-4545 דקות. ערכים מטבלת ההתפלגות הנורמלית: Φ(0.5)=0.6915\Phi(0.5)=0.6915, Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. אחרי השינוי: μ=32.4\mu=32.4, σ=5.4\sigma=5.4. ה. הוכיחו או הפריכו: אחרי השינוי, 2.28%2.28\% מהמשלוחים נמשכים יותר מ-43.243.2 דקות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

z=43.2−32.45.4=2\begin{aligned}z &= \frac{43.2-32.4}{5.4} \\ &= 2\end{aligned}

ציון התקן החדש

1−Φ(2)=0.02281-\Phi(2)=0.0228

זנב ימני

43.2=0.9⋅4843.2=0.9 \cdot 48

הסף הישן עבר את אותו כפל

נכון: ציון התקן לא משתנה כשכל הנתונים וגם הסף מוכפלים באותו מספר. המלכודת: להציב את הממוצע הישן, 3636.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה עם נתון חסר: עצים בפארק

תרגיל 6

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. א. מצאו את הגובה של העץ החמישי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 19

הפתרון:

∑y=5⋅12=60\begin{aligned}\sum y &= 5 \cdot 12 \\ &= 60\end{aligned}

סכום = ממוצע כפול מספר הנתונים

7+11+13+10+y5=60⇒y5=19\begin{aligned}7+11+13+10+y_5 &= 60 \Rightarrow y_5 \\ &= 19\end{aligned}

העץ החמישי בגובה 1919 מטרים. המלכודת: לחלק ב-44, מספר הערכים הידועים — הממוצע 1212 הוא של חמשת העצים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. נמצא: הגובה של העץ החמישי 1919 מטרים. ב. חשבו את SyS_y.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

y−yˉ: −5, −1, 1, −2, 7y-\bar{y}:\ -5,\ -1,\ 1,\ -2,\ 7

הסטיות מהממוצע

Sy=25+1+1+4+495=16=4\begin{aligned}S_y &= \sqrt{\frac{25+1+1+4+49}{5}} \\ &= \sqrt{16} \\ &= 4\end{aligned}

מחלקים במספר הנתונים

Sy=4S_y=4. המלכודת: לחשב בלי העץ החמישי, שהגובה שלו נמצא בסעיף א.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. נמצא: הגובה של העץ החמישי 1919 מטרים, ו-Sy=4S_y=4. ג. איזה מהערכים הבאים הוא מקדם המתאם rr? בדקו בחישוב.

  1. 0.990.99
  2. −0.85-0.85
  3. 0.850.85
  4. 0.350.35
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 0.850.85

הפתרון:

x−xˉ: −7, −1, 1, 2, 5x-\bar{x}:\ -7,\ -1,\ 1,\ 2,\ 5

הסטיות של xx

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=35+1+1−4+35=68\begin{aligned}\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) &= 35+1+1-4+35 \\ &= 68\end{aligned}

סכום המכפלות

r=685⋅4⋅4=0.85\begin{aligned}r &= \frac{68}{5 \cdot 4 \cdot 4} \\ &= 0.85\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון

הנכונה: 0.850.85 — מתאם חיובי חזק: עצים מבוגרים גבוהים יותר. המלכודות: −0.85-0.85 הוא סימן שגוי; 0.990.99 מתאים לנקודות כמעט על קו ישר, וכאן העץ בן 1212 נמוך מהעץ בן 1111.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. נמצא: yˉ=12\bar{y}=12, Sy=4S_y=4, r=0.85r=0.85. ד. מצאו את משוואת קו הרגרסיה של yy על xx.

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= 0.85 x+x+ 3.5

הפתרון:

m=r⋅SySx=0.85⋅44=0.85\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= 0.85 \cdot \frac{4}{4} \\ &= 0.85\end{aligned}

שיפוע קו הרגרסיה

y−12=0.85(x−10)⇒y=0.85x+3.5\begin{aligned}y-12 &= 0.85(x-10) \Rightarrow y \\ &= 0.85x+3.5\end{aligned}

דרך (xˉ,yˉ)(\bar{x},\bar{y})

הקו y=0.85x+3.5y=0.85x+3.5. כאן השיפוע שווה ל-rr רק כי Sx=SyS_x=S_y. המלכודת: להסיק שתמיד m=rm=r.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

גיל העץ (x, שנים)39111215
גובה העץ (y, מטרים)7111310?

בפארק עירוני מדדו את הגיל (xx, בשנים) ואת הגובה (yy, במטרים) של חמישה עצים. הגובה של העץ החמישי נמחק מהטבלה. ידוע: xˉ=10\bar{x}=10, Sx=4S_x=4, והגובה הממוצע של חמשת העצים yˉ=12\bar{y}=12 מטרים. קו הרגרסיה: y=0.85x+3.5y=0.85x+3.5, ו-r=0.85r=0.85. ה. חוקרת אחרת רשמה את הגיל של אותם עצים בחודשים במקום בשנים (כל xx כפול 1212). מה משתנה?

  1. השיפוע הופך ל-0.85⋅120.85 \cdot 12, ו-rr לא משתנה
  2. השיפוע הופך ל-0.8512\frac{0.85}{12}, ו-rr לא משתנה
  3. rr הופך ל-0.8512\frac{0.85}{12}, והשיפוע לא משתנה
  4. גם השיפוע וגם rr לא משתנים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב השיפוע הופך ל-0.8512\frac{0.85}{12}, ו-rr לא משתנה

הפתרון:

x→12x: Sx=48x \to 12x: \ S_x=48

כפל מגדיל את הפיזור של xx

r=0.85r=0.85

המתאם לא תלוי ביחידות

m=0.85⋅448=0.8512≈0.071\begin{aligned}m &= 0.85 \cdot \frac{4}{48} \\ &= \frac{0.85}{12} \approx 0.071\end{aligned}

גידול בחודש אחד קטן פי 1212

הנכונה: השיפוע מתחלק ב-1212, ו-rr לא משתנה. המלכודת: לכפול את השיפוע ב-1212 — השיפוע הוא גידול לכל יחידת xx, ויחידה של חודש קטנה פי 1212 משנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — הסתברות מותנית: מכונת מיון

תרגיל 11

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». א. מה ההסתברות שהמכונה תפסול את התפוח? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.135

הפתרון:

P(R)=0.1⋅0.9+0.9⋅0.05P(R)=0.1 \cdot 0.9+0.9 \cdot 0.05

נוסחת ההסתברות השלמה

=0.09+0.045=0.135=0.09+0.045=0.135

P(R)=0.135P(R)=0.135. המלכודת: לשכוח את הענף של התקינים שנפסלו בטעות, ולענות 0.090.09.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». נמצא: P(R)=0.135P(R)=0.135. ב. ידוע שהמכונה פסלה את התפוח. מה ההסתברות שהוא באמת פגום? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.67

הפתרון:

P(D∣R)=P(D∩R)P(R)P(D \mid R)=\frac{P(D \cap R)}{P(R)}

הסתברות מותנית

=0.090.135=23≈0.67=\frac{0.09}{0.135}=\frac{2}{3} \approx 0.67

23≈0.67\frac{2}{3} \approx 0.67: שליש מהתפוחים הנפסלים תקינים! המלכודת: לענות 0.90.9 — זו P(R∣D)P(R \mid D), בכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». נמצא: P(R)=0.135P(R)=0.135. ג. ביום אחד עברו במכונה 20002000 תפוחים. בכמה תפוחים תקינים, בקירוב, צפוי שהמכונה תפסול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 90

הפתרון:

P(Dˉ∩R)=0.9⋅0.05=0.045\begin{aligned}P(\bar{D} \cap R) &= 0.9 \cdot 0.05 \\ &= 0.045\end{aligned}

ענף אחד: תקין ונפסל

2000⋅0.045=902000 \cdot 0.045=90

מהסתברות למספר תפוחים

כ-9090 תפוחים. המלכודת: 2000⋅0.05=1002000 \cdot 0.05=100 — ה-5%5\% הם מתוך התקינים בלבד, שהם 90%90\% מהתפוחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

במפעל לאריזת פירות 10%10\% מהתפוחים פגומים. מכונת מיון פוסלת 90%90\% מהתפוחים הפגומים, אבל פוסלת בטעות גם 5%5\% מהתפוחים התקינים. בוחרים תפוח באקראי. נסמן ב-DD את המאורע «התפוח פגום», וב-RR את המאורע «המכונה פסלה את התפוח». במכונה הראשונה: P(D∣R)=23P(D \mid R)=\frac{2}{3}. ד. מכונה משופרת פוסלת גם היא 90%90\% מהתפוחים הפגומים, ובה P(D∣R)=0.8P(D \mid R)=0.8. איזה אחוז מהתפוחים התקינים המכונה המשופרת פוסלת בטעות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

0.090.09+0.9q=0.8\frac{0.09}{0.09+0.9q}=0.8

qq — ההסתברות לפסול תפוח תקין

0.09=0.072+0.72q⇒q=0.025\begin{aligned}0.09 &= 0.072+0.72q \Rightarrow q \\ &= 0.025\end{aligned}
q=2.5%q=2.5\%

2.5%2.5\%. המלכודת: לכתוב 0.1q0.1q במכנה במקום 0.9q0.9q — הטעות נעשית על התפוחים התקינים, 90%90\% מהכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — דלתון במערכת צירים

תרגיל 15

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. א. מצאו את משוואת האנך האמצעי לקטע BDBD.

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= -1.5 x+x+ 9

הפתרון:

M=(1+72,1+52)=(4,3)\begin{aligned}M &= \left(\frac{1+7}{2},\frac{1+5}{2}\right) \\ &= (4,3)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע

mBD=5−17−1=23⇒m=−32\begin{aligned}m_{BD} &= \frac{5-1}{7-1} \\ &= \frac{2}{3} \Rightarrow m \\ &= -\frac{3}{2}\end{aligned}

אנך: מכפלת השיפועים −1-1

y−3=−32(x−4)⇒y=−1.5x+9\begin{aligned}y-3 &= -\frac{3}{2}(x-4) \Rightarrow y \\ &= -1.5x+9\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

האנך האמצעי y=−1.5x+9y=-1.5x+9. המלכודת: להעביר את האנך דרך BB או דרך DD — אנך אמצעי עובר דרך אמצע הקטע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. נמצא: האנך האמצעי לקטע BDBD הוא y=−1.5x+9y=-1.5x+9. ב. מצאו את AA ואת CC.

A(0,A(0, ____ )) ; C(C( ____ ,0),0)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: A(0,A(0, 9 )) ; C(C( 6 ,0),0)

הפתרון:

x=0⇒A(0,9)x=0 \Rightarrow A(0,9)

AA על ציר ה-yy

0=−1.5x+9⇒C(6,0)0=-1.5x+9 \Rightarrow C(6,0)

CC על ציר ה-xx

A(0,9)A(0,9) ו-C(6,0)C(6,0). המלכודת: להחליף בין הצירים — על ציר ה-yy מציבים x=0x=0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. נמצא: A(0,9)A(0,9) ו-C(6,0)C(6,0). ג. הוכיחו כי המרובע ABCDABCD הוא דלתון.

  • A(0,9)A(0,9), B(1,1)B(1,1), C(6,0)C(6,0), D(7,5)D(7,5)
  • AA ו-CC על האנך האמצעי לקטע BDBD

ABCDABCD דלתון

להציג את התשובה והפתרון
  1. AB=ADAB=AD — כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 65=65\sqrt{65}=\sqrt{65})
  2. CB=CDCB=CD — כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 26=26\sqrt{26}=\sqrt{26})
  3. ABCDABCD דלתון — מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות הוא דלתון

הפתרון:

AB=ADAB=AD

כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 65=65\sqrt{65}=\sqrt{65})

CB=CDCB=CD

כל נקודה על האנך האמצעי לקטע נמצאת במרחק שווה מקצותיו (בדיקה: 26=26\sqrt{26}=\sqrt{26})

ABCDדלתוןABCD דלתון

מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות הוא דלתון

דלתון: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, AB=ADAB=AD ו-CB=CDCB=CD. המלכודת: לחפש צלעות נגדיות שוות — זו תכונה של מקבילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. ABCDABCD דלתון: A(0,9)A(0,9), B(1,1)B(1,1), C(6,0)C(6,0), D(7,5)D(7,5). ד. חשבו את שטח הדלתון ABCDABCD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 39

הפתרון:

AC=62+92=117BD=62+42=52\begin{aligned}AC &= \sqrt{6^2+9^2} \\ &= \sqrt{117} \\ \quad BD &= \sqrt{6^2+4^2} \\ &= \sqrt{52}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=AC⋅BD2=60842=782=39\begin{aligned}S &= \frac{AC \cdot BD}{2} \\ &= \frac{\sqrt{6084}}{2} \\ &= \frac{78}{2} \\ &= 39\end{aligned}

שטח דלתון: מחצית מכפלת האלכסונים המאונכים

השטח 3939. המלכודת: לכפול את שתי הצלעות השונות, 65⋅26\sqrt{65} \cdot \sqrt{26} — זה נכון רק אם הזווית ביניהן ישרה, וכאן היא לא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

שרטוט לשאלה 4
ABCDM-2-10123456789-112345678910xy

נתונות הנקודות B(1,1)B(1,1) ו-D(7,5)D(7,5). הקודקודים AA ו-CC של המרובע ABCDABCD נמצאים על האנך האמצעי לקטע BDBD: AA על ציר ה-yy ו-CC על ציר ה-xx. ABCDABCD דלתון: A(0,9)A(0,9), B(1,1)B(1,1), C(6,0)C(6,0), D(7,5)D(7,5). ה. הוכיחו או הפריכו: אפשר לחסום את הדלתון ABCDABCD במעגל.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

∠ABC=∠ADC\angle ABC=\angle ADC

בדלתון הזוויות שבין הצלעות השונות שוות

∠ABC+∠ADC=180∘⇒∠ABC=90∘\begin{aligned}\angle ABC+\angle ADC &= 180^\circ \Rightarrow \angle ABC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

מרובע חסום: סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ, ולכן כל אחת מהן ישרה

mBA=9−10−1=−8mBC=0−16−1=−15\begin{aligned}m_{BA} &= \frac{9-1}{0-1} \\ &= -8 \\ \quad m_{BC} &= \frac{0-1}{6-1} \\ &= -\frac{1}{5}\end{aligned}

שיפועי הצלעות ב-BB

(−8)⋅(−15)=85≠−1(-8) \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)=\frac{8}{5} \neq -1

הזווית ב-BB אינה ישרה

לא נכון: ∠ABC\angle ABC אינה ישרה, ולכן סכום הזוויות הנגדיות BB ו-DD אינו 180∘180^\circ. המלכודת: «כל דלתון חסום במעגל» — רק דלתון שהזוויות שבין הצלעות השונות בו ישרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — מעגל, זווית היקפית ומשפט הסינוסים

תרגיל 20

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). א. מצאו את MM ואת רדיוס המעגל.

M(M( ____ ,0),0) ; R=R= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: M(M( 3 ,0),0) ; R=R= 10

הפתרון:

(9−a)2+82=(−5−a)2+62(9-a)^2+8^2=(-5-a)^2+6^2

MA=MBMA=MB: שני רדיוסים

145−18a=61+10a⇒a=3\begin{aligned}145-18a &= 61+10a \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}
R2=62+82=100⇒R=10\begin{aligned}R^2 &= 6^2+8^2 \\ &= 100 \Rightarrow R \\ &= 10\end{aligned}

נוסחת המרחק

M(3,0)M(3,0), R=10R=10: המעגל (x−3)2+y2=100(x-3)^2+y^2=100. המלכודת: לקחת את אמצע ABAB, (2,7)(2,7), כמרכז — הוא לא על ציר ה-xx, ו-ABAB אינו קוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). נמצא: M(3,0)M(3,0), R=10R=10. ב. הנקודה C(3,−10)C(3,-10) נמצאת על המעגל. מהו גודל הזווית ∠ACB\angle ACB?

  1. 90∘90^\circ
  2. 135∘135^\circ
  3. 22.5∘22.5^\circ
  4. 45∘45^\circ
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 45∘45^\circ

הפתרון:

mMA=86=43mMB=6−8=−34\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{8}{6} \\ &= \frac{4}{3} \\ \quad m_{MB} &= \frac{6}{-8} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

שיפועי הרדיוסים

43⋅(−34)=−1⇒∠AMB=90∘\begin{aligned}\frac{4}{3} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) &= -1 \Rightarrow \angle AMB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

הזווית המרכזית ישרה

∠ACB=90∘2=45∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{90^\circ}{2} \\ &= 45^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

הנכונה: 45∘45^\circ. המלכודות: 90∘90^\circ — זו הזווית המרכזית; 135∘135^\circ — זווית היקפית שנשענת על הקשת הגדולה, כש-CC על הקשת הקטנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). נמצא: M(3,0)M(3,0), R=10R=10, ו-∠ACB=45∘\angle ACB=45^\circ. ג. חשבו את אורך BCBC, ובעזרת משפט הסינוסים מצאו את הזווית החדה ∠BAC\angle BAC. ענו במעלות, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63.43

הפתרון:

BC=82+162=320\begin{aligned}BC &= \sqrt{8^2+16^2} \\ &= \sqrt{320}\end{aligned}

נוסחת המרחק

BCsin⁡∠BAC=2R=20\begin{aligned}\frac{BC}{\sin \angle BAC} &= 2R \\ &= 20\end{aligned}

משפט הסינוסים: המשולש ABCABC חסום במעגל

sin⁡∠BAC=32020≈0.8944⇒∠BAC≈63.43∘\sin \angle BAC=\frac{\sqrt{320}}{20} \approx 0.8944 \Rightarrow \angle BAC \approx 63.43^\circ

∠BAC≈63.43∘\angle BAC \approx 63.43^\circ. המלכודת: לכתוב BCsin⁡A=R\frac{BC}{\sin A}=R ולקבל סינוס גדול מ-11 — היחס שווה לקוטר, 2R=202R=20.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

שרטוט לשאלה 5
ABCM-9-7-5-3-113579111315-12-10-8-6-4-224681012xy

מרכז המעגל MM נמצא על ציר ה-xx, והמעגל עובר דרך הנקודות A(9,8)A(9,8) ו-B(−5,6)B(-5,6). נמצא: M(3,0)M(3,0), R=10R=10. ד. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= -0.75 x+x+ 14.75

הפתרון:

mMA=43m_{MA}=\frac{4}{3}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m=−34m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−8=−34(x−9)⇒y=−0.75x+14.75\begin{aligned}y-8 &= -\frac{3}{4}(x-9) \Rightarrow y \\ &= -0.75x+14.75\end{aligned}

המשיק y=−0.75x+14.75y=-0.75x+14.75. המלכודת: להשתמש בשיפוע של ABAB — המשיק מאונך לרדיוס MAMA, לא למיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית זוגית והזזה

תרגיל 24

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -8

הפתרון:

f(2)=8+a3=0\begin{aligned}f(2) &= \frac{8+a}{3} \\ &= 0\end{aligned}

אפס של מנה: המונה מתאפס

a=−8a=-8

a=−8a=-8. המלכודת: לאפס את המכנה — שם הפונקציה לא מוגדרת, ואין לה אפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. הציבו a=−8a=-8: f(x)=2x2−8x2−1f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-1}. ב. הוכיחו או הפריכו: ff היא פונקציה זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(−x)=2(−x)2−8(−x)2−1=2x2−8x2−1=f(x)\begin{aligned}f(-x) &= \frac{2(-x)^2-8}{(-x)^2-1} \\ &= \frac{2x^2-8}{x^2-1} \\ &= f(x)\end{aligned}

בודקים את f(−x)f(-x)

x≠±1x \neq \pm 1

גם התחום סימטרי

נכון: f(−x)=f(x)f(-x)=f(x), והגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy. המלכודת: לבדוק נקודה אחת, כמו f(2)=f(−2)f(2)=f(-2) — הוכחה דורשת את כל ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. f(x)=2x2−8x2−1f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-1}, והיא זוגית. ג. מהי נקודת הקיצון של ff, ומה סוגה?

  1. (0,8)(0,8) — מינימום
  2. (0,−8)(0,-8) — מינימום
  3. (2,0)(2,0) — מינימום
  4. (0,8)(0,8) — מקסימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א (0,8)(0,8) — מינימום

הפתרון:

f′(x)=4x(x2−1)−2x(2x2−8)(x2−1)2=12x(x2−1)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{4x(x^2-1)-2x(2x^2-8)}{(x^2-1)^2} \\ &= \frac{12x}{(x^2-1)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f′(x)=0⇒x=0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה חיובי בכל התחום

f′(−0.5)<0, f′(0.5)>0f'(-0.5)<0, \ f'(0.5)>0

ירידה ואז עלייה: מינימום

f(0)=−8−1=8\begin{aligned}f(0) &= \frac{-8}{-1} \\ &= 8\end{aligned}

הנכונה: (0,8)(0,8) — מינימום. המלכודות: «ערך 88 גבוה, אז זה מקסימום» — סוג הקיצון נקבע לפי סימן הנגזרת; (0,−8)(0,-8) — לשכוח שגם המכנה שלילי ב-x=0x=0; (2,0)(2,0) — אפס של ff, לא קיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

נתונה הפונקציה f(x)=2x2+ax2−1f(x)=\dfrac{2x^2+a}{x^2-1}, ו-aa פרמטר. x=2x=2 הוא אפס של הפונקציה. f(x)=2x2−8x2−1f(x)=\dfrac{2x^2-8}{x^2-1}; מינימום (0,8)(0,8). ד. נגדיר g(x)=f(x−3)g(x)=f(x-3). מצאו את האסימפטוטות של gg המקבילות לצירים.

אנכיות: x=x= ____ ו-x=x= ____ (מהקטנה לגדולה) ; אופקית: y=y= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אנכיות: x=x= 2 ו-x=x= 4 (מהקטנה לגדולה) ; אופקית: y=y= 2

הפתרון:

f: x=±1 y=2\begin{aligned}f: \ x &= \pm 1 \\ \ y &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס ב-±1\pm 1; יחס המקדמים המובילים 21\frac{2}{1}

g(x)=f(x−3): x=−1+3=2 x=1+3=4\begin{aligned}g(x) &= f(x-3): \ x \\ &= -1+3 \\ &= 2 \\ \ x &= 1+3 \\ &= 4\end{aligned}

ההזזה מזיזה ימינה ב-33

y=2y=2

הזזה אופקית לא משנה אסימפטוטה אופקית

אנכיות x=2x=2 ו-x=4x=4, אופקית y=2y=2. המלכודת: להזיז שמאלה, ל-x=−4x=-4 ו-x=−2x=-2 — מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה. ו-gg אינה זוגית: ציר הסימטריה שלה x=3x=3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — פונקציית שורש וגרף הנגזרת

תרגיל 28

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

(6−1)1+a=10(6-1)\sqrt{1+a}=10

מציבים את הנקודה

1+a=2⇒1+a=4⇒a=3\begin{aligned}\sqrt{1+a} &= 2 \Rightarrow 1+a \\ &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מעלים בריבוע

a=3a=3. המלכודת: 1+a=2⇒1+a=2\sqrt{1+a}=2 \Rightarrow 1+a=2 — שוכחים להעלות בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). הציבו a=3a=3: f(x)=(6−x)x+3f(x)=(6-x)\sqrt{x+3}. ב. מצאו את נקודת המקסימום של ff (את שיעור ה-yy עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

(( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 0 ,, 10.39 ))

הפתרון:

x≥−3x \ge -3

תחום ההגדרה

f′(x)=−x+3+6−x2x+3=−3x2x+3\begin{aligned}f'(x) &= -\sqrt{x+3}+\frac{6-x}{2\sqrt{x+3}} \\ &= \frac{-3x}{2\sqrt{x+3}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(−1)>0, f′(1)<0f'(-1)>0, \ f'(1)<0

עלייה ואז ירידה: מקסימום ב-x=0x=0

f(0)=63≈10.39f(0)=6\sqrt{3} \approx 10.39

מקסימום (0,63)≈(0,10.39)(0,6\sqrt{3}) \approx (0,10.39). המלכודת: לשכוח את המינוס בנגזרת של 6−x6-x ולקבל f′(x)=x+122x+3f'(x)=\frac{x+12}{2\sqrt{x+3}}, בלי קיצון פנימי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

שלושה גרפים — איזה מהם של f'?
-3-2-10123456-5-4-3-2-112345xy
  • גרף I
  • גרף II
  • גרף III

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). f(x)=(6−x)x+3f(x)=(6-x)\sqrt{x+3}; מקסימום (0,63)(0,6\sqrt{3}). ג. בשרטוט שלושה גרפים. איזה מהם הוא הגרף של פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x)?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף III
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף I

הפתרון:

f′(0)=0f'(0)=0

הנגזרת מתאפסת בשיעור ה-xx של המקסימום

−3<x<0: f′>0;x>0: f′<0-3<x<0: \ f'>0; \quad x>0: \ f'<0

עלייה לפני המקסימום, ירידה אחריו

x→−3+: f′→+∞x \to -3^+: \ f' \to +\infty

המכנה 2x+32\sqrt{x+3} שואף ל-00

הנכונה: גרף I. המלכודות: גרף II הוא −f′-f' — חיובי אחרי המקסימום, כאילו ff עולה שם; גרף III מתאפס ב-x=1x=1, לא בנקודת המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

נתונה הפונקציה f(x)=(6−x)x+af(x)=(6-x)\sqrt{x+a}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (1,10)(1,10). f(x)=(6−x)x+3f(x)=(6-x)\sqrt{x+3}; מקסימום (0,63)(0,6\sqrt{3}), ו-f(6)=0f(6)=0. ד. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′(x)f'(x), ציר ה-xx והישר x=6x=6, בקטע 0≤x≤60 \le x \le 6. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.39

הפתרון:

0<x≤6: f′(x)<00<x \le 6: \ f'(x)<0

הגרף של f′f' מתחת לציר ה-xx

∫06f′(x) dx=f(6)−f(0)=0−63\begin{aligned}\int_0^6 f'(x)\,dx &= f(6)-f(0) \\ &= 0-6\sqrt{3}\end{aligned}

ff פונקציה קדומה של f′f'

S=∣−63∣=63≈10.39\begin{aligned}S &= \left|-6\sqrt{3}\right| \\ &= 6\sqrt{3} \approx 10.39\end{aligned}

שטח הוא תמיד חיובי

השטח 63≈10.396\sqrt{3} \approx 10.39. המלכודת: לענות −10.39-10.39 — האינטגרל שלילי כי הגרף מתחת לציר, והשטח הוא הערך המוחלט שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 8 — קריאת הגרף של הנגזרת

תרגיל 32

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. א. מה אפשר ללמוד מהגרף על נקודות הקיצון של ff?

  1. ב-x=−1x=-1 מינימום, וב-x=3x=3 מקסימום
  2. שתיהן נקודות מינימום
  3. ב-x=1x=1 מינימום בלבד
  4. ב-x=−1x=-1 מקסימום, וב-x=3x=3 מינימום
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ב-x=−1x=-1 מקסימום, וב-x=3x=3 מינימום

הפתרון:

x<−1: f′>0;−1<x<3: f′<0x<-1: \ f'>0; \quad -1<x<3: \ f'<0

בנקודה −1-1 הנגזרת עוברת מחיובי לשלילי: מקסימום

x>3: f′>0x>3: \ f'>0

בנקודה 33 הנגזרת עוברת משלילי לחיובי: מינימום

הנכונה: מקסימום ב-−1-1, מינימום ב-33. המלכודת: x=1x=1 — זה המינימום של f′f', הקודקוד של הפרבולה, ולא נקודת קיצון של ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. נמצא: מקסימום ב-x=−1x=-1, מינימום ב-x=3x=3. ב. ערך המקסימום של ff הוא 1212. השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f' וציר ה-xx הוא 3232. מצאו את ערך המינימום של ff.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -20

הפתרון:

∫−13f′(x) dx=f(3)−f(−1)\int_{-1}^{3} f'(x)\,dx=f(3)-f(-1)

ff פונקציה קדומה של f′f'

−1<x<3: f′<0⇒∫−13f′(x) dx=−32-1<x<3: \ f'<0 \Rightarrow \int_{-1}^{3} f'(x)\,dx=-32

השטח מתחת לציר: האינטגרל שלילי

f(3)=12−32=−20\begin{aligned}f(3) &= 12-32 \\ &= -20\end{aligned}

f(−1)=12f(-1)=12

המינימום f(3)=−20f(3)=-20. המלכודת: 12+32=4412+32=44 — הפונקציה יורדת בין המקסימום למינימום, ולכן מחסרים את השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 34

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. מקסימום (−1,12)(-1,12), מינימום (3,−20)(3,-20). ג. לאילו ערכים של kk הישר y=ky=k חותך את הגרף של ff בשלוש נקודות בדיוק?

  1. k<−20k<-20 או k>12k>12
  2. −20<k<12-20<k<12
  3. −9<k<0-9<k<0
  4. −1<k<3-1<k<3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב −20<k<12-20<k<12

הפתרון:

f→−∞ (x→−∞),f→+∞ (x→+∞)f \to -\infty \ (x \to -\infty), \quad f \to +\infty \ (x \to +\infty)

פולינום ממעלה שלישית עם מקדם מוביל חיובי

f(−1)=12 f(3)=−20\begin{aligned}f(-1) &= 12 \\ \ f(3) &= -20\end{aligned}

ערכי הקיצון

−20<k<12-20<k<12

בין ערכי הקיצון הישר פוגש את שלושת הקטעים של הגרף

הנכונה: −20<k<12-20<k<12. המלכודות: −1<k<3-1<k<3 — שיעורי ה-xx של הקיצונים; מחוץ לתחום [−20,12][-20,12] יש נקודת חיתוך אחת בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

הגרף של f'(x)
-13-3-2-1012345-14-12-10-8-6-4-2246810121416xy
הגרף של פונקציית הנגזרת, לא של f.

בשרטוט הגרף של f′(x)=3x2−6x−9f'(x)=3x^2-6x-9, הנגזרת של פולינום f(x)f(x). הגרף של f′f' חותך את ציר ה-xx ב-x=−1x=-1 וב-x=3x=3. מקסימום של ff: (−1,12)(-1,12); מינימום: (3,−20)(3,-20). ד. נגדיר g(x)=f(x−2)g(x)=f(x-2). מצאו את נקודת המקסימום של gg.

(( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 1 ,, 12 ))

הפתרון:

x−2=−1⇒x=1\begin{aligned}x-2 &= -1 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

ההזזה מזיזה את הגרף 22 יחידות ימינה

g(1)=f(−1)=12\begin{aligned}g(1) &= f(-1) \\ &= 12\end{aligned}

הגובה לא משתנה

המקסימום של gg: (1,12)(1,12). המלכודת: (−3,12)(-3,12) — מינוס בתוך הסוגריים מזיז ימינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת