סימולציית בגרות 4

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סימולציית בגרות 4 — שאלון 35471 (4 יח״ל). שמונה שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני — גאומטריה (שאלות 4–5); פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. כל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, כולל טבלת ההתפלגות הנורמלית, ובמחשבון שאינו גרפי. כאן כתובות כל שמונה השאלות: בחרו חמש כמו בבחינה, או פתרו את כולן כתרגול.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. שלושה הרגלים שחוסכים נקודות: בהתפלגות נורמלית — בדקו את הסימן של zz לפני שפותרים; בחקירה — טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון; ובשטח בעזרת f′f' — חלקו את הקטע בכל נקודה שבה הנגזרת מחליפה סימן.

תרגילים

שאלה 1 — התפלגות נורמלית

תרגיל 1

מכונה במפעל ממלאת בקבוקי שמן זית. נפח השמן בבקבוק (במ״ל) מתפלג נורמלית, והממוצע הוא 750750 מ״ל. 6.68%6.68\% מהבקבוקים מכילים פחות מ-735735 מ״ל. א. מצאו את סטיית התקן של הנפח. נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

P(X<735)=0.0668=1−0.9332\begin{aligned}P(X<735) &= 0.0668 \\ &= 1-0.9332\end{aligned}

השטח משמאל ל-735735 קטן מחצי: הנקודה מתחת לממוצע

Φ(z)=0.0668 ⇒ z=−1.5\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.0668 \ \Rightarrow \ z \\ &= -1.5\end{aligned}

סימטריה של העקומה: Φ(−z)=1−Φ(z)\Phi(-z)=1-\Phi(z)

−1.5=735−750σ ⇒ σ=10\begin{aligned}-1.5 &= \frac{735-750}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 10\end{aligned}

ציון התקן: z=x−μσz=\frac{x-\mu}{\sigma}

σ=10\sigma=10 מ״ל. המלכודת: לקחת z=+1.5z=+1.5 — אז יוצאת סטיית תקן שלילית. ערך מתחת לממוצע מקבל תמיד zz שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

מכונה במפעל ממלאת בקבוקי שמן זית. נפח השמן בבקבוק (במ״ל) מתפלג נורמלית, והממוצע הוא 750750 מ״ל. סטיית התקן היא 1010 מ״ל. ב. איזה אחוז מהבקבוקים מכילים בין 740740 ל-770770 מ״ל? נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1)=0.8413, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. ענו באחוזים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81.85

הפתרון:

z1=740−75010=−1z2=770−75010=2\begin{aligned}z_1 &= \frac{740-750}{10} \\ &= -1 \\ \quad z_2 &= \frac{770-750}{10} \\ &= 2\end{aligned}

ציוני התקן של שני הגבולות

Φ(−1)=1−0.8413=0.1587\begin{aligned}\Phi(-1) &= 1-0.8413 \\ &= 0.1587\end{aligned}

הגבול התחתון מתחת לממוצע

Φ(2)−Φ(−1)=0.9772−0.1587=0.8185\begin{aligned}\Phi(2)-\Phi(-1) &= 0.9772-0.1587 \\ &= 0.8185\end{aligned}

השטח בין שני הגבולות

81.85%81.85\%. המלכודת: לחסר 0.9772−0.84130.9772-0.8413 ולקבל 13.59%13.59\% — זה השטח בין 760760 ל-770770. הגבול 740740 נמצא מתחת לממוצע, ולכן צריך Φ(−1)\Phi(-1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

מכונה במפעל ממלאת בקבוקי שמן זית. נפח השמן בבקבוק (במ״ל) מתפלג נורמלית, והממוצע הוא 750750 מ״ל. סטיית התקן היא 1010 מ״ל. בקבוק נפסל אם הוא מכיל פחות מ-735735 מ״ל או יותר מ-770770 מ״ל. ביום אחד מילאה המכונה 40004000 בקבוקים. ג. כמה בקבוקים צפויים להיפסל? נתון: Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5)=0.9332, Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772. עגלו למספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 358

הפתרון:

P(X<735)=1−0.9332=0.0668\begin{aligned}P(X<735) &= 1-0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

z=−1.5z=-1.5

P(X>770)=1−0.9772=0.0228\begin{aligned}P(X>770) &= 1-0.9772 \\ &= 0.0228\end{aligned}

z=2z=2: השטח מימין

0.0668+0.0228=0.08960.0668+0.0228=0.0896

שני הזנבות — מאורעות זרים, מחברים

4000⋅0.0896=358.4≈3584000 \cdot 0.0896=358.4 \approx 358

מספר הבקבוקים הצפוי

כ-358358 בקבוקים. המלכודת: לחשב רק זנב אחד (כ-267267 או כ-9191 בקבוקים). «פחות מ… או יותר מ…» הם שני שטחים נפרדים שמחברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

מכונה במפעל ממלאת בקבוקי שמן זית. נפח השמן בבקבוק (במ״ל) מתפלג נורמלית, והממוצע הוא 750750 מ״ל. סטיית התקן היא 1010 מ״ל. טכנאי כייל מחדש את המכונה: סטיית התקן נשארה 1010 מ״ל, והממוצע השתנה. אחרי הכיול רק 2.28%2.28\% מהבקבוקים מכילים פחות מ-735735 מ״ל. ד. מהו הממוצע החדש (במ״ל)? נתון: Φ(2)=0.9772\Phi(2)=0.9772.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 755

הפתרון:

Φ(z)=0.0228=1−0.9772 ⇒ z=−2\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.0228 \\ &= 1-0.9772 \ \Rightarrow \ z \\ &= -2\end{aligned}

הערך 735735 מתחת לממוצע החדש

−2=735−μ10 ⇒ μ=755\begin{aligned}-2 &= \frac{735-\mu}{10} \ \Rightarrow \ \mu \\ &= 755\end{aligned}

ציון התקן, והנעלם הוא μ\mu

μ=755\mu=755 מ״ל. המלכודת: μ=715\mu=715 — לפתור עם z=+2z=+2. פחות בקבוקים מתחת ל-735735 פירושו שהממוצע עלה, ולכן הוא גדול מ-750750.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה ליניארית

תרגיל 5

חמישה מטופלים
מטופלאבגדה
x — מפגשים35679
y — ציון תפקוד5359626561

במכון שיקום בדקו חמישה מטופלים אחרי ניתוח בברך. xx — מספר מפגשי הפיזיותרפיה בחודש, yy — ציון התפקוד של הברך בסוף החודש (הנתונים בטבלה). א. חשבו את הממוצע של xx ואת הממוצע של yy.

xˉ=\bar{x}= ____ yˉ=\bar{y}= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: xˉ=\bar{x}= 6 yˉ=\bar{y}= 60

הפתרון:

xˉ=3+5+6+7+95=305=6\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{3+5+6+7+9}{5} \\ &= \frac{30}{5} \\ &= 6\end{aligned}

סכום חלקי מספר הנתונים

yˉ=53+59+62+65+615=3005=60\begin{aligned}\bar{y} &= \frac{53+59+62+65+61}{5} \\ &= \frac{300}{5} \\ &= 60\end{aligned}

xˉ=6\bar{x}=6, yˉ=60\bar{y}=60. נקודת הממוצעים (6, 60)(6,\,60) נמצאת תמיד על קו הרגרסיה. המלכודת: לחלק ב-44 במקום ב-55.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

חמישה מטופלים
מטופלאבגדה
x — מפגשים35679
y — ציון תפקוד5359626561

במכון שיקום בדקו חמישה מטופלים אחרי ניתוח בברך. xx — מספר מפגשי הפיזיותרפיה בחודש, yy — ציון התפקוד של הברך בסוף החודש (הנתונים בטבלה). נמצא: xˉ=6\bar{x}=6, yˉ=60\bar{y}=60, וסטיות התקן הן Sx=2S_x=2, Sy=4S_y=4. ב. חשבו את מקדם המתאם rr בין xx ל-yy.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

x−xˉ: −3, −1, 0, 1, 3x-\bar{x}: \ -3,\,-1,\,0,\,1,\,3

הסטיות מהממוצע של xx

y−yˉ: −7, −1, 2, 5, 1y-\bar{y}: \ -7,\,-1,\,2,\,5,\,1

הסטיות מהממוצע של yy

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=21+1+0+5+3=30\begin{aligned}\sum (x-\bar{x})(y-\bar{y}) &= 21+1+0+5+3 \\ &= 30\end{aligned}

סכום המכפלות

r=305⋅2⋅4=0.75\begin{aligned}r &= \frac{30}{5 \cdot 2 \cdot 4} \\ &= 0.75\end{aligned}

הנוסחה מהנוסחאון: n⋅Sx⋅Syn \cdot S_x \cdot S_y במכנה

r=0.75r=0.75: מתאם חיובי חזק למדי. המלכודת: לשכוח את n=5n=5 במכנה ולקבל 3.753.75 — ערך של rr תמיד בין −1-1 ל-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

חמישה מטופלים
מטופלאבגדה
x — מפגשים35679
y — ציון תפקוד5359626561

במכון שיקום בדקו חמישה מטופלים אחרי ניתוח בברך. xx — מספר מפגשי הפיזיותרפיה בחודש, yy — ציון התפקוד של הברך בסוף החודש (הנתונים בטבלה). נמצא: xˉ=6\bar{x}=6, yˉ=60\bar{y}=60, Sx=2S_x=2, Sy=4S_y=4, r=0.75r=0.75. ג. מצאו את משוואת קו הרגרסיה של yy על xx.

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= 1.5 x+x+ 51

הפתרון:

m=r⋅SySx=0.75⋅42=1.5\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= 0.75 \cdot \frac{4}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

שיפוע קו הרגרסיה

y−60=1.5(x−6) ⇒ y=1.5x+51\begin{aligned}y-60 &= 1.5(x-6) \ \Rightarrow \ y \\ &= 1.5x+51\end{aligned}

הקו עובר דרך נקודת הממוצעים

y=1.5x+51y=1.5x+51. המלכודת: להפוך את השבר, SxSy\frac{S_x}{S_y}, ולקבל שיפוע 0.3750.375.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

חמישה מטופלים
מטופלאבגדה
x — מפגשים35679
y — ציון תפקוד5359626561

במכון שיקום בדקו חמישה מטופלים אחרי ניתוח בברך. xx — מספר מפגשי הפיזיותרפיה בחודש, yy — ציון התפקוד של הברך בסוף החודש (הנתונים בטבלה). קו הרגרסיה של yy על xx הוא y=1.5x+51y=1.5x+51. ד. מטופל חדש הגיע ל-88 מפגשים בחודש. מהו ציון התפקוד החזוי שלו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 63

הפתרון:

y=1.5⋅8+51=63\begin{aligned}y &= 1.5 \cdot 8+51 \\ &= 63\end{aligned}

מציבים בקו הרגרסיה

3≤8≤93 \le 8 \le 9

x=8x=8 בתוך תחום הנתונים — הניבוי סביר

הציון החזוי 6363. המלכודת: לחפש בטבלה מטופל «קרוב», למשל 6565 של x=7x=7. הניבוי נלקח מהקו, לא מנקודה בודדת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

חמישה מטופלים
מטופלאבגדה
x — מפגשים35679
y — ציון תפקוד5359626561

במכון שיקום בדקו חמישה מטופלים אחרי ניתוח בברך. xx — מספר מפגשי הפיזיותרפיה בחודש, yy — ציון התפקוד של הברך בסוף החודש (הנתונים בטבלה). קו הרגרסיה הוא y=1.5x+51y=1.5x+51 ו-r=0.75r=0.75. אחרי בדיקה חוזרת הוסיפו לכל מטופל 55 נקודות לציון התפקוד. ה. מה נכון לגבי הנתונים החדשים?

  1. rr והשיפוע לא משתנים, והקבוע בקו גדל ב-55: y=1.5x+56y=1.5x+56
  2. rr, השיפוע והקבוע — שלושתם לא משתנים
  3. rr גדל, והשיפוע לא משתנה
  4. השיפוע גדל ב-55, ו-rr לא משתנה
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א rr והשיפוע לא משתנים, והקבוע בקו גדל ב-55: y=1.5x+56y=1.5x+56

הפתרון:

y↦y+5: yˉ↦65y \mapsto y+5: \ \bar{y} \mapsto 65

הממוצע גדל ב-55, וסטיית התקן SyS_y לא משתנה: הזזה לא משנה את הפיזור

r=0.75m=0.75⋅42=1.5\begin{aligned}r &= 0.75 \\ \quad m &= 0.75 \cdot \frac{4}{2} \\ &= 1.5\end{aligned}

המתאם והשיפוע נשארים

y−65=1.5(x−6)⇒y=1.5x+56\begin{aligned}y-65 &= 1.5(x-6) \Rightarrow y \\ &= 1.5x+56\end{aligned}

רק הקבוע גדל ב-55

הנכונה: rr והשיפוע לא משתנים, והקבוע גדל ב-55. המלכודת: לחשוב שכל הוספה «מחזקת» את המתאם. הוספת קבוע מזיזה את כל הנקודות למעלה, והצורה של הענן לא משתנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — הסתברות מותנית

תרגיל 10

משתלה קונה שתילים משני ספקים: 70%70\% מהשתילים מספק א ו-30%30\% מספק ב. 90%90\% מהשתילים של ספק א נקלטים באדמה, ו-80%80\% מהשתילים של ספק ב נקלטים. בוחרים באקראי שתיל מהמשתלה. א. מה ההסתברות שהשתיל ייקלט?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.87

הפתרון:

P(A∩N)=0.7⋅0.9=0.63\begin{aligned}P(A \cap N) &= 0.7 \cdot 0.9 \\ &= 0.63\end{aligned}

AA — ספק א, BB — ספק ב, NN — השתיל נקלט. ענף ספק א בעץ

P(B∩N)=0.3⋅0.8=0.24\begin{aligned}P(B \cap N) &= 0.3 \cdot 0.8 \\ &= 0.24\end{aligned}

ענף ספק ב

0.63+0.24=0.870.63+0.24=0.87

נוסחת ההסתברות השלמה: מחברים את שני הענפים

P=0.87P=0.87. המלכודת: לחשב ממוצע פשוט 0.9+0.82=0.85\frac{0.9+0.8}{2}=0.85 — שוכחים שספק א מספק יותר שתילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

משתלה קונה שתילים משני ספקים: 70%70\% מהשתילים מספק א ו-30%30\% מספק ב. 90%90\% מהשתילים של ספק א נקלטים באדמה, ו-80%80\% מהשתילים של ספק ב נקלטים. ההסתברות שהשתיל ייקלט היא 0.870.87. ב. שתיל שנבחר באקראי לא נקלט. מה ההסתברות שהוא מספק ב? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.46

הפתרון:

P(Nˉ)=1−0.87=0.13\begin{aligned}P(\bar{N}) &= 1-0.87 \\ &= 0.13\end{aligned}

Nˉ\bar{N} — השתיל לא נקלט: המאורע המשלים

P(B∩Nˉ)=0.3⋅0.2=0.06\begin{aligned}P(B \cap \bar{N}) &= 0.3 \cdot 0.2 \\ &= 0.06\end{aligned}

ענף ב ואז «לא נקלט»

P(B∣Nˉ)=0.060.13≈0.46P(B \mid \bar{N})=\frac{0.06}{0.13} \approx 0.46

הסתברות מותנית: החיתוך חלקי התנאי

≈0.46\approx 0.46. המלכודת: לענות 0.20.2 — זו P(Nˉ∣B)P(\bar{N} \mid B), השאלה ההפוכה. כאן התנאי הוא «לא נקלט», והוא במכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

משתלה קונה שתילים משני ספקים: 70%70\% מהשתילים מספק א ו-30%30\% מספק ב. 90%90\% מהשתילים של ספק א נקלטים באדמה, ו-80%80\% מהשתילים של ספק ב נקלטים. ההסתברות שהשתיל ייקלט היא 0.870.87. בוחרים באקראי שני שתילים, וכל שתיל נקלט או לא נקלט בלי קשר לשני. ג. מה ההסתברות שבדיוק אחד משני השתילים לא ייקלט? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.23

הפתרון:

P(N)⋅P(Nˉ)=0.87⋅0.13=0.1131\begin{aligned}P(N)\cdot P(\bar{N}) &= 0.87 \cdot 0.13 \\ &= 0.1131\end{aligned}

הראשון נקלט והשני לא

P(Nˉ)⋅P(N)=0.13⋅0.87=0.1131\begin{aligned}P(\bar{N})\cdot P(N) &= 0.13 \cdot 0.87 \\ &= 0.1131\end{aligned}

הראשון לא והשני כן

0.1131+0.1131=0.2262≈0.230.1131+0.1131=0.2262 \approx 0.23

שני סדרים — שני ענפים

≈0.23\approx 0.23. המלכודת: לענות 0.110.11 — זה סדר אחד בלבד. «בדיוק אחד» מתקיים בשני סדרים: הראשון או השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

משתלה קונה שתילים משני ספקים: 70%70\% מהשתילים מספק א ו-30%30\% מספק ב. 90%90\% מהשתילים של ספק א נקלטים באדמה, ו-80%80\% מהשתילים של ספק ב נקלטים. ההסתברות שהשתיל לא ייקלט היא 0.130.13. ד. הוכיחו או הפריכו: רוב השתילים שלא נקלטו הגיעו מספק א.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(A∩Nˉ)=0.7⋅0.1=0.07\begin{aligned}P(A \cap \bar{N}) &= 0.7 \cdot 0.1 \\ &= 0.07\end{aligned}

ענף א ואז «לא נקלט»

P(A∣Nˉ)=0.070.13≈0.54>0.5P(A \mid \bar{N})=\frac{0.07}{0.13} \approx 0.54>0.5

הסתברות מותנית

נכון: כ-54%54\% מהשתילים שלא נקלטו הם מספק א. המלכודת: לענות «לא נכון» כי אצל ספק ב שיעור הכישלון גבוה יותר (20%20\% לעומת 10%10\%). ספק א מספק פי יותר מפי שניים שתילים, ולכן יש ממנו יותר כישלונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — מרובע במערכת צירים

תרגיל 14

השרטוט להמחשה בלבד.

נתונות הנקודות A(0, 2)A(0,\,2) ו-B(4, 4)B(4,\,4). הישר המאונך ל-ABAB בנקודה BB חותך את ציר ה-xx בנקודה CC. א. מצאו את שיעורי הנקודה CC.

C(C( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: C(C( 6 ,, 0 ))

הפתרון:

mAB=4−24−0=12\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-2}{4-0} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע: m=y2−y1x2−x1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

mBC=−2m_{BC}=-2

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−4=−2(x−4) ⇒ y=−2x+12\begin{aligned}y-4 &= -2(x-4) \ \Rightarrow \ y \\ &= -2x+12\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

0=−2x+12 ⇒ x=6\begin{aligned}0 &= -2x+12 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

על ציר ה-xx: y=0y=0

C(6, 0)C(6,\,0). המלכודת: לקחת שיפוע −12-\frac{1}{2} — משנים רק את הסימן ושוכחים להפוך את השבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

השרטוט להמחשה בלבד.

נתונות הנקודות A(0, 2)A(0,\,2) ו-B(4, 4)B(4,\,4). הישר המאונך ל-ABAB בנקודה BB חותך את ציר ה-xx בנקודה CC. נמצא C(6, 0)C(6,\,0) ו-mBC=−2m_{BC}=-2. דרך AA העבירו ישר המקביל ל-BCBC, והוא חותך את ציר ה-xx בנקודה DD. ב. מצאו את שיעורי הנקודה DD.

D(D( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: D(D( 1 ,, 0 ))

הפתרון:

mAD=mBC=−2\begin{aligned}m_{AD} &= m_{BC} \\ &= -2\end{aligned}

ישרים מקבילים: שיפועים שווים

y=−2x+2y=-2x+2

הישר עובר דרך A(0, 2)A(0,\,2), ולכן הקבוע 22

0=−2x+2 ⇒ x=1\begin{aligned}0 &= -2x+2 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1\end{aligned}

על ציר ה-xx

D(1, 0)D(1,\,0). המלכודת: להעביר דרך AA ישר בשיפוע 12\frac{1}{2} — זה הישר ABAB עצמו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

השרטוט להמחשה בלבד.

נתונות הנקודות A(0, 2)A(0,\,2) ו-B(4, 4)B(4,\,4). הישר המאונך ל-ABAB בנקודה BB חותך את ציר ה-xx בנקודה CC. נמצא C(6, 0)C(6,\,0), ודרך AA עובר ישר המקביל ל-BCBC וחותך את ציר ה-xx ב-D(1, 0)D(1,\,0). ג. הוכיחו: ABCDABCD טרפז ישר-זווית.

  • A(0, 2)A(0,\,2), B(4, 4)B(4,\,4), C(6, 0)C(6,\,0), D(1, 0)D(1,\,0)
  • BC⊥ABBC \perp AB
  • AD∥BCAD \parallel BC

ABCDABCD טרפז ישר-זווית

להציג את התשובה והפתרון
  1. mAD=mBC=−2m_{AD}=m_{BC}=-2 — חישוב שיפוע: m=y2−y1x2−x1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  2. AD∥BCAD \parallel BC — ישרים שיש להם אותו שיפוע מקבילים
  3. mAB=12m_{AB}=\frac{1}{2}, mDC=0m_{DC}=0 — חישוב שיפוע: m=y2−y1x2−x1m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  4. AB∦DCAB \nparallel DC — ישרים עם שיפועים שונים אינם מקבילים
  5. ABCDABCD טרפז — מרובע שבו זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות הוא טרפז
  6. AB⊥BCAB \perp BC — מכפלת השיפועים 12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1, ולכן הישרים מאונכים
  7. ABCDABCD טרפז ישר-זווית — טרפז שבו שוק מאונכת לבסיסים הוא טרפז ישר-זווית

הפתרון:

mAD=0−21−0=−2=mBC\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{0-2}{1-0} \\ &= -2 \\ &= m_{BC}\end{aligned}

ישרים עם שיפועים שווים מקבילים

mAB=12≠0=mDC\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{1}{2} \neq 0 \\ &= m_{DC}\end{aligned}

זוג הצלעות השני אינו מקביל

12⋅(−2)=−1\frac{1}{2} \cdot (-2)=-1

מכפלת שיפועים −1-1: AB⊥BCAB \perp BC

טרפז: זוג אחד בלבד של צלעות נגדיות מקבילות, ולכן צריך להראות גם ש-ABAB ו-DCDC אינם מקבילים. המלכודת: לעצור אחרי AD∥BCAD \parallel BC — גם מקבילית מקיימת את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

השרטוט להמחשה בלבד.

נתונות הנקודות A(0, 2)A(0,\,2) ו-B(4, 4)B(4,\,4). הישר המאונך ל-ABAB בנקודה BB חותך את ציר ה-xx בנקודה CC. נמצא: C(6, 0)C(6,\,0), D(1, 0)D(1,\,0), ו-ABCDABCD טרפז שבו AD∥BCAD \parallel BC. האלכסונים ACAC ו-BDBD נחתכים בנקודה EE. ד. מהו היחס בין שטח המשולש AEDAED לשטח המשולש CEBCEB?

  1. 52\frac{\sqrt{5}}{2}
  2. 14\frac{1}{4}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 13\frac{1}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 14\frac{1}{4}

הפתרון:

AD=12+22=5BC=22+42=25\begin{aligned}AD &= \sqrt{1^2+2^2} \\ &= \sqrt{5} \\ \quad BC &= \sqrt{2^2+4^2} \\ &= 2\sqrt{5}\end{aligned}

נוסחת המרחק

△AED∼△CEB\triangle AED \sim \triangle CEB

ז.ז: זוויות קודקודיות ליד EE, וזוויות מתחלפות בין המקבילים AD∥BCAD \parallel BC

k=ADCB=12 ⇒ SAEDSCEB=k2=14\begin{aligned}k &= \frac{AD}{CB} \\ &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ \frac{S_{AED}}{S_{CEB}} \\ &= k^2 \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

הנכונה: 14\frac{1}{4}. המלכודת: 12\frac{1}{2} — יחס הדמיון בלי ריבוע. יחס השטחים הוא הריבוע של יחס הצלעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — מעגל ומשיק במערכת צירים

תרגיל 18

השרטוט להמחשה בלבד.

מעגל שמרכזו M(−4, 3)M(-4,\,3) עובר דרך ראשית הצירים O(0, 0)O(0,\,0) ודרך הנקודה A(−1, 7)A(-1,\,7). א. מהי משוואת המעגל?

  1. (x+1)2+(y−7)2=25(x+1)^2+(y-7)^2=25
  2. (x+4)2+(y−3)2=5(x+4)^2+(y-3)^2=5
  3. (x+4)2+(y−3)2=25(x+4)^2+(y-3)^2=25
  4. (x−4)2+(y+3)2=25(x-4)^2+(y+3)^2=25
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (x+4)2+(y−3)2=25(x+4)^2+(y-3)^2=25

הפתרון:

R2=MO2=(0+4)2+(0−3)2=25\begin{aligned}R^2 &= MO^2 \\ &= (0+4)^2+(0-3)^2 \\ &= 25\end{aligned}

הרדיוס: המרחק מהמרכז לנקודה על המעגל

(x+4)2+(y−3)2=25(x+4)^2+(y-3)^2=25

משוואת מעגל: (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2

הנכונה: (x+4)2+(y−3)2=25(x+4)^2+(y-3)^2=25. המלכודות: סימנים הפוכים בסוגריים — המרכז (−4, 3)(-4,\,3) נותן x+4x+4 ו-y−3y-3; ו-=5=5 — באגף ימין R2R^2, לא RR.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

השרטוט להמחשה בלבד.

מעגל שמרכזו M(−4, 3)M(-4,\,3) עובר דרך ראשית הצירים O(0, 0)O(0,\,0) ודרך הנקודה A(−1, 7)A(-1,\,7). משוואת המעגל (x+4)2+(y−3)2=25(x+4)^2+(y-3)^2=25. ב. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה AA.

y=y= ____ x+x+ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y= -0.75 x+x+ 6.25

הפתרון:

mMA=7−3−1+4=43\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{7-3}{-1+4} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m=−34m=-\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

y−7=−34(x+1) ⇒ y=−0.75x+6.25\begin{aligned}y-7 &= -\frac{3}{4}(x+1) \ \Rightarrow \ y \\ &= -0.75x+6.25\end{aligned}

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

y=−0.75x+6.25y=-0.75x+6.25. המלכודת: לקחת את השיפוע 43\frac{4}{3} של הרדיוס — זה הישר MAMA, שעובר דרך המרכז ואינו משיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

השרטוט להמחשה בלבד.

מעגל שמרכזו M(−4, 3)M(-4,\,3) עובר דרך ראשית הצירים O(0, 0)O(0,\,0) ודרך הנקודה A(−1, 7)A(-1,\,7). הישר AMAM חותך את המעגל פעם נוספת בנקודה DD. ג. מהו גודל הזווית AODAOD?

  1. 45∘45^\circ
  2. 120∘120^\circ
  3. 90∘90^\circ
  4. אי אפשר לדעת בלי השיעורים של DD
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 90∘90^\circ

הפתרון:

AD קוטרAD \ \text{קוטר}

הקטע ADAD עובר דרך המרכז MM

∠AOD=90∘\angle AOD=90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא ישרה

הנכונה: 90∘90^\circ, בלי לחשב אף שיעור. המלכודת: «אי אפשר לדעת בלי שיעורי DD» — מספיק ש-ADAD קוטר ו-OO על המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

השרטוט להמחשה בלבד.

מעגל שמרכזו M(−4, 3)M(-4,\,3) עובר דרך ראשית הצירים O(0, 0)O(0,\,0) ודרך הנקודה A(−1, 7)A(-1,\,7). הישר AMAM חותך את המעגל פעם נוספת בנקודה DD, ונמצא ∠AOD=90∘\angle AOD=90^\circ. ד. חשבו את שטח המשולש AODAOD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

D=2M−A=(−8+1, 6−7)=(−7, −1)\begin{aligned}D &= 2M-A \\ &= (-8+1,\ 6-7) \\ &= (-7,\,-1)\end{aligned}

MM אמצע הקוטר ADAD

OA=1+49=50OD=49+1=50\begin{aligned}OA &= \sqrt{1+49} \\ &= \sqrt{50} \\ \quad OD &= \sqrt{49+1} \\ &= \sqrt{50}\end{aligned}

נוסחת המרחק

S=OA⋅OD2=502=25\begin{aligned}S &= \frac{OA \cdot OD}{2} \\ &= \frac{50}{2} \\ &= 25\end{aligned}

במשולש ישר-זווית: חצי מכפלת הניצבים

השטח 2525. המלכודת: לקחת את AD=10AD=10 כאחד הניצבים — ADAD הוא היתר, מול הזווית הישרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית

תרגיל 22

נתונה הפונקציה f(x)=ax−10x2−4f(x)=\dfrac{ax-10}{x^2-4}, ו-aa פרמטר. הישר y=2y=2 משיק לגרף הפונקציה בנקודה שבה x=1x=1. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f(1)=2f(1)=2

נקודת ההשקה נמצאת גם על הגרף וגם על המשיק

a−101−4=2 ⇒ a−10=−6 ⇒ a=4\begin{aligned}\frac{a-10}{1-4} &= 2 \ \Rightarrow \ a-10 \\ &= -6 \ \Rightarrow \ a \\ &= 4\end{aligned}

מציבים x=1x=1

f′(1)=−4+20−169=0\begin{aligned}f'(1) &= \frac{-4+20-16}{9} \\ &= 0\end{aligned}

בדיקה: המשיק y=2y=2 אופקי, והנגזרת מתאפסת

a=4a=4. המלכודת: להציב f(2)f(2) או לשוות את f′(1)f'(1) ל-22 — המספר 22 הוא גובה נקודת ההשקה, והשיפוע של משיק אופקי הוא 00.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

נתונה הפונקציה f(x)=4x−10x2−4f(x)=\dfrac{4x-10}{x^2-4}. הנגזרת: f′(x)=−4(x−1)(x−4)(x2−4)2f'(x)=\dfrac{-4(x-1)(x-4)}{(x^2-4)^2}. ב. מהן נקודות הקיצון של הפונקציה, ומה סוגן?

  1. מינימום (1, 2)(1,\,2), מקסימום (4, 12)\left(4,\,\frac{1}{2}\right)
  2. מינימום (−1, 143)\left(-1,\,\frac{14}{3}\right), מקסימום (4, 12)\left(4,\,\frac{1}{2}\right)
  3. מינימום (1, 2)(1,\,2) בלבד
  4. מקסימום (1, 2)(1,\,2), מינימום (4, 12)\left(4,\,\frac{1}{2}\right)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מינימום (1, 2)(1,\,2), מקסימום (4, 12)\left(4,\,\frac{1}{2}\right)

הפתרון:

f′(x)=0 ⇒ x=1 או x=4\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= 4\end{aligned}

המונה מתאפס; המכנה חיובי בכל התחום

x<1:f′<0;1<x<4, x≠2:f′>0;x>4:f′<0x<1: f'<0; \quad 1<x<4, \ x \neq 2: f'>0; \quad x>4: f'<0

טבלת סימנים: הסימן נקבע לפי −4(x−1)(x−4)-4(x-1)(x-4)

f(1)=−6−3=2f(4)=612=12\begin{aligned}f(1) &= \frac{-6}{-3} \\ &= 2 \\ \quad f(4) &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

הנכונה: מינימום (1, 2)(1,\,2), מקסימום (4, 12)(4,\,\frac{1}{2}). המלכודת: להחליף ביניהם «כי 2>122>\frac{1}{2}». המינימום והמקסימום נמצאים על ענפים שונים של הגרף, מפרידה ביניהם האסימפטוטה x=2x=2, ולכן המינימום יכול להיות גבוה מהמקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

שלושה גרפים
-5-4-3-2-101234567-4-3-2-11234xy
  • גרף I
  • גרף II
  • גרף III

נתונה הפונקציה f(x)=4x−10x2−4f(x)=\dfrac{4x-10}{x^2-4}. האסימפטוטות: x=±2x=\pm 2 ו-y=0y=0. נקודות הקיצון: מינימום (1, 2)(1,\,2) ומקסימום (4, 12)(4,\,\frac{1}{2}). ג. בשרטוט שלושה גרפים. איזה מהם הוא הגרף של הנגזרת f′f'?

  1. גרף II
  2. גרף I
  3. גרף III
  4. אף אחד מהם
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף II

הפתרון:

x<1: f יורדת ⇒ f′<0x<1: \ f \ \text{יורדת} \ \Rightarrow \ f'<0

משמאל ל-x=1x=1 גרף הנגזרת מתחת לציר

f′(1)=f′(4)=0\begin{aligned}f'(1) &= f'(4) \\ &= 0\end{aligned}

גרף הנגזרת חותך את ציר ה-xx בשיעורי הקיצון

1<x<2: f′>01<x<2: \ f'>0

בין 11 לאסימפטוטה הנגזרת חיובית

הנכונה: גרף II. גרף I מתאפס באותן נקודות, אבל הוא −f′-f': חיובי שם ש-ff יורדת. גרף III הוא ff עצמה — הוא חותך את ציר ה-xx ב-x=2.5x=2.5, האפס של ff. המלכודת: לבחור לפי האפסים בלבד, בלי לבדוק את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

נתונה הפונקציה f(x)=4x−10x2−4f(x)=\dfrac{4x-10}{x^2-4}. הפונקציה יורדת בתחום x<1x<1 (x≠−2x \neq -2), ו-f′f' שלילית שם. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f′f', ציר ה-xx והישרים x=−1x=-1 ו-x=1x=1. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.67

הפתרון:

∫−11f′(x) dx=f(1)−f(−1)\int_{-1}^{1} f'(x)\,dx=f(1)-f(-1)

ff היא פונקציה קדומה של f′f'

f(1)=2f(−1)=−14−3=143\begin{aligned}f(1) &= 2 \\ \quad f(-1) &= \frac{-14}{-3} \\ &= \frac{14}{3}\end{aligned}
2−143=−832-\frac{14}{3}=-\frac{8}{3}

האינטגרל שלילי: השטח מתחת לציר

S=83≈2.67S=\frac{8}{3} \approx 2.67

שטח — ערך מוחלט

השטח 83≈2.67\frac{8}{3} \approx 2.67. אין צורך לבצע אינטגרציה של f′f' — הפונקציה הקדומה ידועה: זו ff. המלכודת: לענות −2.67-2.67; שטח הוא תמיד חיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — פונקציית שורש

תרגיל 26

נתונה הפונקציה f(x)=(x+4)a−xf(x)=(x+4)\sqrt{a-x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר דרך הנקודה (−1, 9)(-1,\,9). א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

(−1+4)a+1=9(-1+4)\sqrt{a+1}=9

מציבים את הנקודה בפונקציה

a+1=3 ⇒ a+1=9 ⇒ a=8\begin{aligned}\sqrt{a+1} &= 3 \ \Rightarrow \ a+1 \\ &= 9 \ \Rightarrow \ a \\ &= 8\end{aligned}

מעלים בריבוע

39=9 ✓3\sqrt{9}=9 \ \checkmark

בדיקה במשוואה המקורית

a=8a=8. המלכודת: לכתוב a−1\sqrt{a-1} — מציבים x=−1x=-1, ולכן מתחת לשורש a−(−1)=a+1a-(-1)=a+1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

נתונה הפונקציה f(x)=(x+4)8−xf(x)=(x+4)\sqrt{8-x}. הנגזרת: f′(x)=12−3x28−xf'(x)=\dfrac{12-3x}{2\sqrt{8-x}} בתחום x<8x<8. ב. מצאו את נקודת המקסימום של הפונקציה.

(( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 4 ,, 16 ))

הפתרון:

12−3x=0 ⇒ x=4\begin{aligned}12-3x &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

המונה מתאפס

x<4:f′>0,4<x<8:f′<0x<4: f'>0, \quad 4<x<8: f'<0

עלייה ואז ירידה — מקסימום

f(4)=84=16\begin{aligned}f(4) &= 8\sqrt{4} \\ &= 16\end{aligned}

המקסימום (4, 16)(4,\,16). הנקודה (8, 0)(8,\,0) היא מינימום בקצה התחום. המלכודת: לשכוח את −1-1, הנגזרת הפנימית של 8−x8-x, ולקבל מונה שמתאפס מחוץ לתחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

נתונה הפונקציה f(x)=(x+4)8−xf(x)=(x+4)\sqrt{8-x}. תחום ההגדרה x≤8x \le 8, ונקודת המקסימום (4, 16)(4,\,16). נתונה הפונקציה g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4). ג. מצאו את נקודת המקסימום של gg ואת תחום ההגדרה שלה.

מקסימום: (( ____ ,, ____ )), תחום: x≤x \le ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: (( 0 ,, 16 )), תחום: x≤x \le 4

הפתרון:

g(x)=f(x+4)g(x)=f(x+4)

הגרף של gg הוא הגרף של ff מוזז 44 יחידות שמאלה

(4, 16)↦(0, 16)(4,\,16) \mapsto (0,\,16)

שיעור ה-xx קטן ב-44, הגובה לא משתנה

x+4≤8 ⇒ x≤4x+4 \le 8 \ \Rightarrow \ x \le 4

תחום ההגדרה של gg

המקסימום של gg הוא (0, 16)(0,\,16) והתחום x≤4x \le 4. המלכודת: להזיז ימינה ולקבל (8, 16)(8,\,16) — ב-f(x+c)f(x+c) עם c>0c>0 הגרף זז שמאלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

נתונה הפונקציה f(x)=(x+4)8−xf(x)=(x+4)\sqrt{8-x}. נקודת המקסימום (4, 16)(4,\,16), ו-f′f' מחליפה סימן רק ב-x=4x=4. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f′f', ציר ה-xx והישרים x=−1x=-1 ו-x=7x=7.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

∫−14f′(x) dx=f(4)−f(−1)=16−9=7\begin{aligned}\int_{-1}^{4} f'(x)\,dx &= f(4)-f(-1) \\ &= 16-9 \\ &= 7\end{aligned}

ב-−1<x<4-1<x<4 הנגזרת חיובית: השטח מעל הציר

∫47f′(x) dx=f(7)−f(4)=11−16=−5\begin{aligned}\int_{4}^{7} f'(x)\,dx &= f(7)-f(4) \\ &= 11-16 \\ &= -5\end{aligned}

ב-4<x<74<x<7 הנגזרת שלילית: השטח מתחת לציר

S=7+5=12\begin{aligned}S &= 7+5 \\ &= 12\end{aligned}

מחברים את שני השטחים בערכם המוחלט

השטח 1212. המלכודת: לחשב f(7)−f(−1)=11−9=2f(7)-f(-1)=11-9=2 — האינטגרל מחסר את השטח שמתחת לציר במקום לחבר אותו. כשהנגזרת מחליפה סימן, מחלקים את הקטע בנקודת הקיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 8 — בעיית ערך קיצון

תרגיל 30

מלבן מתחת לגרף
ABCD-5-4-3-2-10123451234xy
המלבן מסורטט עבור ערך אחד של t.

נתונה הפונקציה f(x)=16x2+4f(x)=\dfrac{16}{x^2+4}. המלבן ABCDABCD בנוי כך: הקודקודים A(−t, 0)A(-t,\,0) ו-B(t, 0)B(t,\,0) על ציר ה-xx (t>0t>0), והקודקודים CC ו-DD על גרף הפונקציה, מעל BB ומעל AA. א. איזה ביטוי נותן את שטח המלבן S(t)S(t)?

  1. S(t)=32t2t2+4S(t)=\dfrac{32t^2}{t^2+4}
  2. S(t)=32tt2+4S(t)=\dfrac{32t}{t^2+4}
  3. S(t)=32t2+4S(t)=\dfrac{32}{t^2+4}
  4. S(t)=16tt2+4S(t)=\dfrac{16t}{t^2+4}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב S(t)=32tt2+4S(t)=\dfrac{32t}{t^2+4}

הפתרון:

AB=2tAB=2t

הבסיס: מ-−t-t עד tt

BC=f(t)=16t2+4\begin{aligned}BC &= f(t) \\ &= \frac{16}{t^2+4}\end{aligned}

הגובה: שיעור ה-yy של CC

S(t)=2t⋅16t2+4=32tt2+4\begin{aligned}S(t) &= 2t \cdot \frac{16}{t^2+4} \\ &= \frac{32t}{t^2+4}\end{aligned}

שטח מלבן: בסיס כפול גובה

הנכונה: 32tt2+4\frac{32t}{t^2+4}. המלכודת: 16tt2+4\frac{16t}{t^2+4} — לקחת את הבסיס tt במקום 2t2t. tt הוא רק חצי מהבסיס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

מלבן מתחת לגרף
ABCD-5-4-3-2-10123451234xy
המלבן מסורטט עבור ערך אחד של t.

נתונה הפונקציה f(x)=16x2+4f(x)=\dfrac{16}{x^2+4}. המלבן ABCDABCD בנוי כך: הקודקודים A(−t, 0)A(-t,\,0) ו-B(t, 0)B(t,\,0) על ציר ה-xx (t>0t>0), והקודקודים CC ו-DD על גרף הפונקציה, מעל BB ומעל AA. שטח המלבן S(t)=32tt2+4S(t)=\dfrac{32t}{t^2+4}. ב. מצאו את tt שבעבורו שטח המלבן מקסימלי, ואת השטח המקסימלי.

t=t= ____ Smax⁡=S_{\max}= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: t=t= 2 Smax⁡=S_{\max}= 8

הפתרון:

S′(t)=32(t2+4)−32t⋅2t(t2+4)2=32(4−t2)(t2+4)2\begin{aligned}S'(t) &= \frac{32(t^2+4)-32t \cdot 2t}{(t^2+4)^2} \\ &= \frac{32(4-t^2)}{(t^2+4)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

S′(t)=0 ⇒ t=2\begin{aligned}S'(t) &= 0 \ \Rightarrow \ t \\ &= 2\end{aligned}

רק t>0t>0

0<t<2:S′>0,t>2:S′<00<t<2: S'>0, \quad t>2: S'<0

עלייה ואז ירידה — מקסימום

S(2)=648=8\begin{aligned}S(2) &= \frac{64}{8} \\ &= 8\end{aligned}

t=2t=2, והשטח המקסימלי 88. המלכודת: לקבוע «מקסימום» בלי טבלת סימנים. כאן SS עולה ואז יורדת, ולכן זה אכן מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

מלבן מתחת לגרף
ABCD-5-4-3-2-10123451234xy
המלבן מסורטט עבור ערך אחד של t.

נתונה הפונקציה f(x)=16x2+4f(x)=\dfrac{16}{x^2+4}. המלבן ABCDABCD בנוי כך: הקודקודים A(−t, 0)A(-t,\,0) ו-B(t, 0)B(t,\,0) על ציר ה-xx (t>0t>0), והקודקודים CC ו-DD על גרף הפונקציה, מעל BB ומעל AA. שטח המלבן S(t)=32tt2+4S(t)=\dfrac{32t}{t^2+4}, והשטח המקסימלי הוא 88, ב-t=2t=2. ג. הוכיחו או הפריכו: אפשר לבנות מלבן כזה ששטחו 99.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

S(t)≤8 לכל t>0S(t) \le 8 \ \text{לכל} \ t>0

88 הוא הערך הגדול ביותר של SS

32tt2+4=9 ⇒ 9t2−32t+36=0 Δ=1024−1296<0\begin{aligned}\frac{32t}{t^2+4} &= 9 \ \Rightarrow \ 9t^2-32t+36 \\ &= 0 \\ \ \Delta &= 1024-1296<0\end{aligned}

בדיקה אלגברית: אין פתרון

לא נכון: השטח לא עולה על 88. המלכודת: לחשוב שאם tt גדל מספיק גם השטח גדל. כש-tt גדל, הגובה 16t2+4\frac{16}{t^2+4} קטן מהר יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

מלבן מתחת לגרף
ABCD-5-4-3-2-10123451234xy
המלבן מסורטט עבור ערך אחד של t.

נתונה הפונקציה f(x)=16x2+4f(x)=\dfrac{16}{x^2+4}. המלבן ABCDABCD בנוי כך: הקודקודים A(−t, 0)A(-t,\,0) ו-B(t, 0)B(t,\,0) על ציר ה-xx (t>0t>0), והקודקודים CC ו-DD על גרף הפונקציה, מעל BB ומעל AA. שטח המלבן S(t)=32tt2+4S(t)=\dfrac{32t}{t^2+4}, והשטח המקסימלי 88. ד. מצאו את שני הערכים של tt שבעבורם שטח המלבן הוא 6.46.4 (כתבו קודם את הקטן).

t=t= ____ או t=t= ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: t=t= 1 או t=t= 4

הפתרון:

32tt2+4=6.4 ⇒ 6.4t2−32t+25.6=0\begin{aligned}\frac{32t}{t^2+4} &= 6.4 \ \Rightarrow \ 6.4t^2-32t+25.6 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים במכנה

t2−5t+4=0 ⇒ (t−1)(t−4)=0\begin{aligned}t^2-5t+4 &= 0 \ \Rightarrow \ (t-1)(t-4) \\ &= 0\end{aligned}

מחלקים ב-6.46.4

t=1 או t=4\begin{aligned}t &= 1 \ \text{או} \ t \\ &= 4\end{aligned}

שניהם חיוביים

t=1t=1 או t=4t=4: מלבן צר וגבוה, ומלבן רחב ונמוך. המלכודת: לחפש פתרון אחד בלבד. כל שטח בין 00 ל-88 מתקבל פעמיים: פעם לפני המקסימום ופעם אחריו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת