סימולציית בגרות 5

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סימולציית בגרות 5 — שאלון 35471 (4 יח״ל). שמונה שאלות בשלושה פרקים: פרק ראשון — סטטיסטיקה והסתברות (שאלות 1–3); פרק שני — גאומטריה (שאלות 4–5); פרק שלישי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). עליכם לענות על 5 שאלות, לפחות אחת מכל פרק. כל שאלה 20 נקודות. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי (210 דקות). מותר להשתמש בנוסחאון, כולל טבלת ההתפלגות הנורמלית, ובמחשבון שאינו גרפי. כאן כתובות כל שמונה השאלות: בחרו חמש כמו בבחינה, או פתרו את כולן כתרגול.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. שלושה הרגלים שחוסכים נקודות: בהסתברות בלי החזרה — המכנה קטן בשלב השני; בגאומטריה — משפט לכל שורה; ובבעיית קיצון — בדקו את התחום לפני שמקבלים פתרון של $S'=0$ .

תרגילים

שאלה 1 — התפלגות נורמלית

תרגיל 1

במרפאה בדקו את רמת ויטמין D בדם של המטופלים. הרמה מתפלגת נורמלית, והממוצע הוא $30$ יחידות. ל- $10.56\%$ מהמטופלים רמה גבוהה מ- $40$ יחידות. א. מצאו את סטיית התקן. נתון: $\Phi(1.25)=0.8944$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}P(X>40) &= 0.1056 \ \Rightarrow \ P(X<40) \\ &= 0.8944\end{aligned}

הטבלה נותנת את השטח משמאל

\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.8944 \ \Rightarrow \ z \\ &= 1.25\end{aligned}

\begin{aligned}1.25 &= \frac{40-30}{\sigma} \ \Rightarrow \ \sigma \\ &= 8\end{aligned}

ציון התקן: $z=\frac{x-\mu}{\sigma}$

$\sigma=8$ . המלכודת: לחפש בטבלה את $0.1056$ — זה השטח מימין ל- $40$ . הטבלה נותנת תמיד את השטח משמאל, ולכן מחפשים $1-0.1056=0.8944$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

במרפאה בדקו את רמת ויטמין D בדם של המטופלים. הרמה מתפלגת נורמלית, והממוצע הוא $30$ יחידות. סטיית התקן היא $8$ יחידות. ב. בוחרים באקראי מטופל שהרמה שלו נמוכה מהממוצע. מה ההסתברות שהרמה שלו נמוכה מ- $18$ יחידות? נתון: $18$ . ענו באחוזים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.36

הפתרון:

\begin{aligned}z &= \frac{18-30}{8} \\ &= -1.5 \ \Rightarrow \ P(X<18) \\ &= 1-0.9332 \\ &= 0.0668\end{aligned}

ציון התקן והסימטריה של העקומה

P(X<30)=0.5

חצי מהשטח משמאל לממוצע

\begin{aligned}P(X<18 \mid X<30) &= \frac{0.0668}{0.5} \\ &= 0.1336\end{aligned}

הסתברות מותנית: מי שמתחת ל- $18$ נמצא בוודאי גם מתחת ל- $30$

$30$ . המלכודת: לענות $6.68\%$ — זה אחוז מכל המטופלים. השאלה בוחרת רק מבין מי שמתחת לממוצע, ולכן מחלקים בחצי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

במרפאה בדקו את רמת ויטמין D בדם של המטופלים. הרמה מתפלגת נורמלית, והממוצע הוא $30$ יחידות. סטיית התקן היא $8$ יחידות. המרפאה נותנת תוסף ל- $20\%$ מהמטופלים, אלה שהרמה שלהם הנמוכה ביותר. ג. מתחת לאיזו רמה מקבלים תוסף? נתון: $\Phi(0.84)=0.7995$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 23.28

הפתרון:

\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.2 \ \Rightarrow \ \Phi(-z) \\ &= 0.8 \approx 0.7995\end{aligned}

הערך הקרוב ביותר בטבלה: $0.84$

z=-0.84

הסף מתחת לממוצע

\begin{aligned}x &= 30-0.84 \cdot 8 \\ &= 23.28\end{aligned}

$x=\mu+z\sigma$

הסף $23.28$ יחידות. המלכודת: $36.72$ — לקחת $36.72$ . $20\%$ התחתונים נמצאים משמאל לממוצע, ולכן $z$ שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

במרפאה בדקו את רמת ויטמין D בדם של המטופלים. הרמה מתפלגת נורמלית, והממוצע הוא $30$ יחידות. סטיית התקן היא $8$ יחידות. במרפאה שנייה הרמה מתפלגת נורמלית עם ממוצע $24$ וסטיית תקן $24$ . לדנה, מהמרפאה הראשונה, רמה $40$ ; ליוסי, מהמרפאה השנייה, רמה $33$ . ד. למי מהם רמה גבוהה יותר יחסית למרפאה שלו?

ליוסי, כי ציון התקן שלו גבוה יותר
לשניהם אותו מקום יחסי
לדנה, כי $40>33$
אי אפשר להשוות בין שתי מרפאות שונות

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ליוסי, כי ציון התקן שלו גבוה יותר

הפתרון:

\begin{aligned}z_D &= \frac{40-30}{8} \\ &= 1.25\end{aligned}

ציון התקן של דנה, במרפאה הראשונה

\begin{aligned}z_Y &= \frac{33-24}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציון התקן של יוסי, במרפאה השנייה

1.5>1.25

ציון תקן גבוה יותר — מקום יחסי גבוה יותר

הנכונה: יוסי. המלכודת: לבחור בדנה כי $40>33$ . משווים בין שתי קבוצות שונות רק דרך ציוני התקן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה ליניארית

תרגיל 5

במפעל בדקו $20$ מכונות אריזה בגילים $2$ עד $10$ שנים. $x$ — גיל המכונה (בשנים), $y$ — עלות התיקונים החודשית שלה (במאות ₪). נמצא: $y$ , $S_x=2$ , $r=0.75$ , וקו הרגרסיה של $y$ על $x$ הוא $x$ . א. מהו הממוצע $\bar{y}$ של עלות התיקונים (במאות ₪)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 28

הפתרון:

(\bar{x},\,\bar{y})=(6,\,\bar{y})

קו הרגרסיה עובר תמיד דרך נקודת הממוצעים

\begin{aligned}\bar{y} &= 3 \cdot 6+10 \\ &= 28\end{aligned}

מציבים $\bar{x}=6$

$\bar{y}=28$ , כלומר $2800$ ₪. המלכודת: לחפש נוסחה עם $r$ — הממוצע נקבע מהקו לבד, בהצבת $r$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

במפעל בדקו $20$ מכונות אריזה בגילים $2$ עד $10$ שנים. $x$ — גיל המכונה (בשנים), $y$ — עלות התיקונים החודשית שלה (במאות ₪). נמצא: $y$ , $S_x=2$ , $r=0.75$ , וקו הרגרסיה של $y$ על $x$ הוא $x$ . נמצא $\bar{y}=28$ . ב. מהי סטיית התקן $S_y$ של עלות התיקונים (במאות ₪)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

m=r \cdot \frac{S_y}{S_x}

שיפוע קו הרגרסיה, מהנוסחאון

3=0.75 \cdot \frac{S_y}{2}

מציבים $m=3$ , $r=0.75$ , $S_x=2$

\begin{aligned}S_y &= \frac{3 \cdot 2}{0.75} \\ &= 8\end{aligned}

$S_y=8$ . המלכודת: $S_y=0.5$ — להפוך את השבר ולכתוב $m=r \cdot \frac{S_x}{S_y}$ . בשיפוע, סטיית התקן של $y$ במונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

במפעל בדקו $20$ מכונות אריזה בגילים $2$ עד $10$ שנים. $x$ — גיל המכונה (בשנים), $y$ — עלות התיקונים החודשית שלה (במאות ₪). נמצא: $y$ , $S_x=2$ , $r=0.75$ , וקו הרגרסיה של $y$ על $x$ הוא $x$ . ג. העריכו את עלות התיקונים החודשית (במאות ₪) של מכונה בת $9$ שנים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 37

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 3 \cdot 9+10 \\ &= 37\end{aligned}

מציבים בקו הרגרסיה

2 \le 9 \le 10

הגיל בתוך תחום הנתונים — הניבוי סביר

בערך $37$ מאות ₪, כלומר $3700$ ₪. זו הערכה, לא ודאות: $3700$ , ולכן הנקודות מפוזרות סביב הקו. המלכודת: לענות $3700$ — השאלה מבקשת במאות ₪.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

במפעל בדקו $20$ מכונות אריזה בגילים $2$ עד $10$ שנים. $x$ — גיל המכונה (בשנים), $y$ — עלות התיקונים החודשית שלה (במאות ₪). נמצא: $y$ , $S_x=2$ , $r=0.75$ , וקו הרגרסיה של $y$ על $x$ הוא $x$ . עלות כל התיקונים עלתה ב- $20\%$ : כל ערך של $y$ הוכפל ב- $y$ . ד. מה נכון לגבי הנתונים החדשים?

$y=3.6x+12$ , ו- $r=0.9$
$y=3.6x+10$ , ו- $r=0.9$
$y=3x+12$ , ו- $r=0.75$
$y=3.6x+12$ , ו- $r=0.75$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $y=3.6x+12$ , ו- $r=0.75$

הפתרון:

y \mapsto 1.2y: \ \bar{y} \mapsto 33.6, \ S_y \mapsto 9.6

הממוצע וסטיית התקן מוכפלים ב- $1.2$

r=0.75

כפל בקבוע חיובי לא משנה את המתאם

\begin{aligned}m &= 0.75 \cdot \frac{9.6}{2} \\ &= 3.6 \\ \quad y &= 3.6x+12\end{aligned}

כל הקו מוכפל ב- $1.2$

הנכונה: $y=3.6x+12$ , ו- $r=0.75$ . המלכודת: לחשוב ש- $r$ גדל כי כל הערכים גדלו. $r$ מודד כמה הנקודות קרובות לקו ישר — וכפל בקבוע חיובי לא משנה את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — הסתברות — נעלם בבעיה

תרגיל 9

בצידנית $3$ בקבוקי מיץ לימון ו- $x$ בקבוקי מיץ תפוזים, ו- $x$ . מוציאים באקראי שני בקבוקים, זה אחר זה, בלי החזרה. ההסתברות ששני הבקבוקים מסוגים שונים היא $\frac{1}{2}$ . א. מצאו את $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}P &= \frac{3}{x+3} \cdot \frac{x}{x+2}+\frac{x}{x+3} \cdot \frac{3}{x+2} \\ &= \frac{6x}{(x+3)(x+2)}\end{aligned}

שני סדרים: לימון ואז תפוזים, או תפוזים ואז לימון

\begin{aligned}\frac{6x}{(x+3)(x+2)} &= \frac{1}{2} \ \Rightarrow \ x^2-7x+6 \\ &= 0\end{aligned}

כופלים במכנים

\begin{aligned}(x-1)(x-6) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 6\end{aligned}

הפתרון $x=1$ נפסל, כי $x>3$

$x=6$ . המלכודת: לכתוב רק סדר אחד, $\frac{3x}{(x+3)(x+2)}$ — אז יוצאת משוואה אחרת. גם לא לשכוח לפסול את $x=1$ לפי התנאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בצידנית $3$ בקבוקי מיץ לימון ו- $x$ בקבוקי מיץ תפוזים, ו- $x$ . מוציאים באקראי שני בקבוקים, זה אחר זה, בלי החזרה. נמצא $x=6$ : בצידנית $9$ בקבוקים. ב. מה ההסתברות ששני הבקבוקים שהוצאו הם מיץ תפוזים? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.42

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} &= \frac{30}{72} \\ &= \frac{5}{12} \approx 0.42\end{aligned}

בלי החזרה: בשלב השני נשארו $8$ בקבוקים, $5$ מהם תפוזים

$\frac{5}{12} \approx 0.42$ . המלכודת: $\left(\frac{6}{9}\right)^2 \approx 0.44$ — חישוב עם החזרה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בצידנית $3$ בקבוקי מיץ לימון ו- $x$ בקבוקי מיץ תפוזים, ו- $x$ . מוציאים באקראי שני בקבוקים, זה אחר זה, בלי החזרה. נמצא $x=6$ : בצידנית $9$ בקבוקים. ג. הבקבוק השני שהוצא הוא מיץ תפוזים. מה ההסתברות שהבקבוק הראשון היה מיץ לימון? ענו בשבר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

\begin{aligned}P(L_1 \cap T_2) &= \frac{3}{9} \cdot \frac{6}{8} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

$L_1$ — הראשון לימון, $T_1$ — הראשון תפוזים, $T_2$ — השני תפוזים

\begin{aligned}P(T_1 \cap T_2) &= \frac{6}{9} \cdot \frac{5}{8} \\ &= \frac{5}{12}\end{aligned}

\begin{aligned}P(T_2) &= \frac{1}{4}+\frac{5}{12} \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

שני הענפים שבהם השני תפוזים

\begin{aligned}P(L_1 \mid T_2) &= \frac{1/4}{2/3} \\ &= \frac{3}{8} \\ &= 0.375\end{aligned}

הסתברות מותנית

$0.375$ . המלכודת: לענות $0.375$ — להתעלם מהמידע על הבקבוק השני. וגם $\frac{1}{4}$ היא החיתוך, עוד לפני החלוקה בהסתברות התנאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בצידנית $3$ בקבוקי מיץ לימון ו- $x$ בקבוקי מיץ תפוזים, ו- $x$ . מוציאים באקראי שני בקבוקים, זה אחר זה, בלי החזרה. נמצא $x=6$ . ד. הוכיחו או הפריכו: המאורע «הבקבוק הראשון לימון» והמאורע «הבקבוק השני תפוזים» הם מאורעות בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}P(L_1) &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3} \\ \quad P(T_2) &= \frac{2}{3}\end{aligned}

$L_1$ — הראשון לימון, $T_2$ — השני תפוזים

\begin{aligned}\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{3} &= \frac{2}{9} \neq \frac{1}{4} \\ &= P(L_1 \cap T_2)\end{aligned}

אי-תלות: המכפלה שווה לחיתוך — כאן היא לא

לא נכון: המאורעות תלויים. בלי החזרה, מה שיצא ראשון משנה את מה שנשאר בצידנית. המלכודת: לחשוב ש- $P(T_2)=\frac{2}{3}$ , כמו בראשון, מוכיח אי-תלות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — משולש במערכת צירים

תרגיל 13

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המשולש $ABC$ : $A(2,\,8)$ , $B(-2,\,0)$ , $C(10,\,4)$ . הנקודה $D$ היא אמצע הצלע $D$ , והנקודה $E$ היא אמצע הצלע $E$ . א. מצאו את שיעורי הנקודות $D$ ו- $D$ .

$E$ ____ $,$ ____ $)$ $E($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 0 $,$ 4 $)$ $E($ 6 $,$ 6 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}D &= \left(\frac{2-2}{2},\ \frac{8+0}{2}\right) \\ &= (0,\,4)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע

\begin{aligned}E &= \left(\frac{2+10}{2},\ \frac{8+4}{2}\right) \\ &= (6,\,6)\end{aligned}

$D(0,\,4)$ , $E(6,\,6)$ . המלכודת: לחסר במקום לחבר — אמצע קטע הוא ממוצע השיעורים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המשולש $ABC$ : $A(2,\,8)$ , $B(-2,\,0)$ , $C(10,\,4)$ . הנקודה $D$ היא אמצע הצלע $D$ , והנקודה $E$ היא אמצע הצלע $E$ . נמצא $D(0,\,4)$ ו- $E(6,\,6)$ . ב. הוכיחו בעזרת שיפועים: $DE \parallel BC$ .

$A(2,\,8)$ , $B(-2,\,0)$ , $C(10,\,4)$
$D(0,\,4)$ אמצע $AB$ , $E(6,\,6)$ אמצע $AC$

$DE \parallel BC$

להציג את התשובה והפתרון

$m_{DE}=\frac{6-4}{6-0}=\frac{1}{3}$ — חישוב שיפוע: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$m_{BC}=\frac{4-0}{10+2}=\frac{1}{3}$ — חישוב שיפוע: $m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
$DE \parallel BC$ — ישרים שיש להם אותו שיפוע מקבילים

הפתרון:

\begin{aligned}m_{DE} &= \frac{1}{3} \\ \quad m_{BC} &= \frac{1}{3}\end{aligned}

חישוב שיפוע

DE \parallel BC

ישרים שיש להם אותו שיפוע מקבילים

שני השיפועים $\frac{1}{3}$ , ולכן הקטעים מקבילים — כמו שקובע משפט קטע האמצעים במשולש. המלכודת: לבדוק רק ש- $DE=\frac{1}{2}BC$ ; אורכים שווים לא מוכיחים הקבלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המשולש $ABC$ : $A(2,\,8)$ , $B(-2,\,0)$ , $C(10,\,4)$ . הנקודה $D$ היא אמצע הצלע $D$ , והנקודה $E$ היא אמצע הצלע $E$ . ג. הוכיחו או הפריכו: $\angle BAC=90^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{8-0}{2+2} \\ &= 2 \\ \quad m_{AC} &= \frac{4-8}{10-2} \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

חישוב שיפוע

2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=-1

מכפלת שיפועים $-1$ : הישרים מאונכים

נכון: $AB \perp AC$ . המלכודת: לשפוט לפי השרטוט, או לבדוק שהשיפועים הפוכים בלבד ( $2$ ו- $2$ ). צריך גם סימן הפוך: המכפלה $-1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המשולש $ABC$ : $A(2,\,8)$ , $B(-2,\,0)$ , $C(10,\,4)$ . הנקודה $D$ היא אמצע הצלע $D$ , והנקודה $E$ היא אמצע הצלע $E$ . נמצא $\angle BAC=90^\circ$ . ד. חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש $ABC$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.32

הפתרון:

\begin{aligned}BC &= \sqrt{12^2+4^2} \\ &= \sqrt{160} \\ &= 4\sqrt{10}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\frac{BC}{\sin 90^\circ}=2R

משפט הסינוסים; וגם: זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר

R=2\sqrt{10} \approx 6.32

$R \approx 6.32$ , ומרכז המעגל הוא אמצע $BC$ , הנקודה $(4,\,2)$ . המלכודת: לענות $12.65$ — זה $12.65$ , הקוטר, ולא הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — מעגל, מיתר ומשפט הסינוסים

תרגיל 17

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המעגל $x^2+y^2+4x-2y-20=0$ , שמרכזו $M$ . א. מהם מרכז המעגל ורדיוסו?

$M(-2,\,1)$ , $R=\sqrt{20}$
$M(-2,\,1)$ , $R=5$
$M(2,\,-1)$ , $R=5$
$M(-4,\,2)$ , $R=5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $M(-2,\,1)$ , $R=5$

הפתרון:

(x^2+4x+4)+(y^2-2y+1)=20+4+1

השלמה לריבוע בכל משתנה

\begin{aligned}(x+2)^2+(y-1)^2 &= 25 \ \Rightarrow \ M(-2,\,1) \\ \ R &= 5\end{aligned}

הנכונה: $M(-2,\,1)$ , $R=5$ . המלכודות: $R=\sqrt{20}$ — לשכוח את $4+1$ שנוספו בהשלמה לריבוע; $M(2,\,-1)$ — סימנים הפוכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המעגל $x^2+y^2+4x-2y-20=0$ , שמרכזו $M$ . המרכז $M$ והרדיוס $5$ . הישר $5$ חותך את המעגל בנקודות $A$ ו- $B$ ( $B$ ). ב. מצאו את שיעורי $A$ ו- $A$ .

$B$ ____ $,$ ____ $)$ $B($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A($ 1 $,$ 5 $)$ $B($ -6 $,$ -2 $)$

הפתרון:

x^2+(x+4)^2+4x-2(x+4)-20=0

מציבים $y=x+4$ במשוואת המעגל

\begin{aligned}2x^2+10x-12 &= 0 \ \Rightarrow \ x^2+5x-6 \\ &= 0\end{aligned}

\begin{aligned}(x-1)(x+6) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 1 \ \text{או} \ x \\ &= -6\end{aligned}

A(1,\,5), \quad B(-6,\,-2)

שיעורי $y$ מהישר

$A(1,\,5)$ , $B(-6,\,-2)$ . המלכודת: למצוא את שיעורי ה- $x$ ולעצור — את $y$ מחשבים מהישר, שהוא פשוט יותר מהמעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המעגל $x^2+y^2+4x-2y-20=0$ , שמרכזו $M$ . רדיוס המעגל $5$ , והמיתר $5$ מחבר את $A(1,\,5)$ ו- $B(-6,\,-2)$ . הנקודה $C(2,\,-2)$ נמצאת על המעגל. ג. חשבו את $\sin\angle ACB$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.99

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{7^2+7^2} \\ &= 7\sqrt{2}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}\frac{AB}{\sin\angle ACB} &= 2R \\ &= 10\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש $ABC$ , החסום במעגל

\sin\angle ACB=\frac{7\sqrt{2}}{10} \approx 0.99

$\sin\angle ACB \approx 0.99$ (הזווית $\approx 81.9^\circ$ ). המלכודת: לשכוח את ה- $2$ ב- $2R$ ולקבל $1.98$ — סינוס אינו גדול מ- $1.98$ , וזה סימן לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

השרטוט להמחשה בלבד.

נתון המעגל $x^2+y^2+4x-2y-20=0$ , שמרכזו $M$ . המרכז $M(-2,\,1)$ , והמיתר $AB$ מחבר את $A(1,\,5)$ ו- $B(-6,\,-2)$ , על הישר $y=x+4$ . ד. חשבו את שטח המשולש $AMB$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.5

הפתרון:

\begin{aligned}d &= \frac{|-2-1+4|}{\sqrt{1^2+1^2}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}

המרחק מ- $M$ לישר $M$ : זה הגובה לצלע $AB$

\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot 7\sqrt{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \\ &= 3.5\end{aligned}

חצי בסיס כפול גובה

\begin{aligned}\cos\angle AMB &= \frac{3 \cdot (-4)+4 \cdot (-3)}{25} \\ &= -\frac{24}{25} \\ \ \sin\angle AMB &= \frac{7}{25}\end{aligned}

בדיקה: $S=\frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 5 \cdot \frac{7}{25}=3.5$

השטח $3.5$ . המשולש צר: הזווית $3.5$ כמעט שטוחה, והמיתר עובר קרוב למרכז. המלכודת: לקחת את $R=5$ כגובה — הגובה הוא המרחק מהמרכז אל המיתר, לא הרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית

תרגיל 21

נתונה הפונקציה $f(x)=\dfrac{x^2}{x-k}$ , ו- $k>0$ פרמטר. הנגזרת היא $f'(x)=\dfrac{x^2-2kx}{(x-k)^2}$ . הישר $y=16$ משיק לגרף הפונקציה בנקודת המינימום שלה. א. מצאו את $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}x^2-2kx &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 2k\end{aligned}

הנגזרת מתאפסת

0<x<2k, \ x \neq k: f'<0; \quad x>2k: f'>0

לכן ב- $x=2k$ מינימום

\begin{aligned}f(2k) &= \frac{4k^2}{k} \\ &= 4k \\ &= 16 \ \Rightarrow \ k \\ &= 4\end{aligned}

גובה המינימום שווה לגובה המשיק

$k=4$ . המלכודת: להשוות את $f(0)$ ל- $16$ — ב- $x=0$ יש מקסימום, וגובהו $0$ לכל $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

נתונה הפונקציה $f(x)=\dfrac{x^2}{x-4}$ . ב. מהן האסימפטוטות של הפונקציה המאונכות לצירים?

$x=-4$ , ואין אסימפטוטה אופקית
$x=4$ , ואין אסימפטוטה אופקית
$x=4$ ו- $y=1$
$x=4$ ו- $y=0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x=4$ , ואין אסימפטוטה אופקית

הפתרון:

\begin{aligned}x-4 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

המכנה מתאפס והמונה לא: אסימפטוטה אנכית

\frac{x^2}{x-4} \approx x \ \text{כש-} x \to \infty

מעלת המונה גדולה ממעלת המכנה: אין אסימפטוטה אופקית

הנכונה: $x=4$ , ואין אסימפטוטה אופקית. המלכודת: $y=0$ «כי זה שבר». כשמעלת המונה גדולה ממעלת המכנה, הפונקציה אינה מתקרבת לקו אופקי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

נתונה הפונקציה $f(x)=\dfrac{x^2}{x-4}$ . הנגזרת: $f'(x)=\dfrac{x(x-8)}{(x-4)^2}$ . ג. מהן נקודות הקיצון של הפונקציה, ומה סוגן?

מינימום $(0,\,0)$ , מקסימום $(8,\,16)$
מקסימום $(0,\,0)$ , מינימום $(8,\,16)$
מקסימום $(4,\,0)$ , מינימום $(8,\,16)$
מינימום $(8,\,16)$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מקסימום $(0,\,0)$ , מינימום $(8,\,16)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 8\end{aligned}

x<0: f'>0; \quad 0<x<8, \ x \neq 4: f'<0; \quad x>8: f'>0

טבלת סימנים

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(8) &= \frac{64}{4} \\ &= 16\end{aligned}

הנכונה: מקסימום $(0,\,0)$ , מינימום $(8,\,16)$ . המלכודת: להחליף ביניהם כי $16>0$ . המקסימום על הענף השמאלי והמינימום על הענף הימני, משני צדי האסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

נתונה הפונקציה $f(x)=\dfrac{x^2}{x-4}$ . האסימפטוטה האנכית $x=4$ ; מקסימום $(0,\,0)$ , מינימום $(8,\,16)$ ; ב- $x<4$ הפונקציה אינה חיובית. נתונה הפונקציה $g(x)=|f(x)|$ . ד. כמה פתרונות יש למשוואה $g(x)=20$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}x<4: \ g &= -f \\ \ \text{מינימום} \ (0,\,0)\end{aligned}

הענף השמאלי מתהפך מעל הציר

x \to -\infty \ \text{ו-} \ x \to 4^-: \ g \to \infty

לכן $y=20$ חותך את הענף השמאלי פעמיים

x>4: \ g=f \ge 16

גם הענף הימני יורד אל $16$ ועולה שוב: שני פתרונות

2+2=4

$4$ פתרונות. המלכודת: לספור רק את הענף הימני, $2$ פתרונות. ב- $|f|$ הענף השלילי מתהפך למעלה, והוא חותך את $y=20$ פעמיים גם הוא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

נתונה הפונקציה $f(x)=\dfrac{x^2}{x-4}$ . ב- $x<4$ מתקיים $f(x) \le 0$ , ו- $f(x)=0$ רק ב- $x=0$ . הפונקציה $g$ מקיימת $g$ . ה. הוכיחו או הפריכו: ל- $g$ יש נקודת קיצון ב- $g$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}g'(0) &= f(0) \\ &= 0\end{aligned}

הנגזרת של $g$ מתאפסת ב- $0$

x<0: g'<0, \quad 0<x<4: g'<0

הנגזרת לא מחליפה סימן

g \searrow

$g$ יורדת משני הצדדים של $g$ : אין קיצון

לא נכון: $g'$ מתאפסת ב- $x=0$ אבל לא מחליפה סימן, ולכן אין שם קיצון. המלכודת: « $g'=0$ ולכן קיצון» — אפס של הנגזרת הוא רק מועמד; את הסוג קובעת טבלת הסימנים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — פונקציית שורש

תרגיל 26

נתונה הפונקציה $f(x)=(x-a)\sqrt{x}$ , ו- $a$ פרמטר. הגרף של $f$ עובר דרך הנקודה $f$ . א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

(9-a)\sqrt{9}=-9

מציבים את הנקודה

\begin{aligned}3(9-a) &= -9 \ \Rightarrow \ 9-a \\ &= -3 \ \Rightarrow \ a \\ &= 12\end{aligned}

$a=12$ . המלכודת: $a=6$ — לשכוח את הסימן ולפתור $3(9-a)=9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

נתונה הפונקציה $f(x)=(x-12)\sqrt{x}$ , המוגדרת ב- $x \ge 0$ . הנגזרת: $f'(x)=\dfrac{3x-12}{2\sqrt{x}}$ בתחום $x>0$ . ב. מצאו את נקודת המינימום של הפונקציה.

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 4 $,$ -16 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}3x-12 &= 0 \ \Rightarrow \ x \\ &= 4\end{aligned}

המונה מתאפס

0<x<4: f'<0, \quad x>4: f'>0

ירידה ואז עלייה — מינימום

\begin{aligned}f(4) &= (4-12) \cdot 2 \\ &= -16\end{aligned}

המינימום $(4,\,-16)$ . הנקודה $(0,\,0)$ היא מקסימום בקצה התחום. המלכודת: $f(4)=-8 \cdot 4$ — לשכוח את השורש: $\sqrt{4}=2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

שלושה גרפים

גרף I
גרף II
גרף III

נתונה הפונקציה $f(x)=(x-12)\sqrt{x}$ , המוגדרת ב- $x \ge 0$ . נקודת המינימום $(4,\,-16)$ , והפונקציה חותכת את ציר ה- $x$ ב- $x=0$ וב- $x=12$ . ג. בשרטוט שלושה גרפים. איזה מהם הוא הגרף של $f'$ ?

אף אחד מהם
גרף III
גרף I
גרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף III

הפתרון:

f'(4)=0

הנגזרת מתאפסת בנקודת הקיצון, לא באפס של $f$

0<x<4: f'<0

הפונקציה יורדת לפני המינימום

x \to 0^+: \ f' \to -\infty

המכנה $2\sqrt{x}$ שואף ל- $0$

הנכונה: גרף III. גרף II מתאפס ב- $x=4$ אבל חיובי לפני כן — זה $-f'$ . גרף I מתאפס ב- $x=12$ , האפס של $f$ עצמה. המלכודת: לחפש בגרף הנגזרת את האפסים של $f$ ; הנגזרת מתאפסת בקיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

נתונה הפונקציה $f(x)=(x-12)\sqrt{x}$ , המוגדרת ב- $x \ge 0$ . נקודת המינימום $(4,\,-16)$ , ו- $f'>0$ בכל התחום $x>4$ . ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף $f'$ , ציר ה- $x$ והישרים $x=4$ ו- $x=16$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 32

הפתרון:

f'>0 \ \text{ב-} \ 4<x<16

השטח כולו מעל הציר

\int_4^{16} f'(x)\,dx=f(16)-f(4)

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$

\begin{aligned}f(16) &= 4 \cdot 4 \\ &= 16 \\ \quad 16-(-16) &= 32\end{aligned}

השטח $32$ . המלכודת: $32$ — לשכוח ש- $f(4)$ שלילי. חיסור של מספר שלילי הוא חיבור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

נתונה הפונקציה $f(x)=(x-12)\sqrt{x}$ , המוגדרת ב- $x \ge 0$ . תחום ההגדרה $x \ge 0$ , ונקודת המינימום $(4,\,-16)$ . נתונה הפונקציה $g(x)=f(x-2)$ . ה. מצאו את תחום ההגדרה של $g$ ואת נקודת המינימום שלה.

תחום: $x \ge$ ____, מינימום: $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום: $x \ge$ 2, מינימום: $($ 6 $,$ -16 $)$

הפתרון:

x-2 \ge 0 \ \Rightarrow \ x \ge 2

מה שבתוך $f$ חייב להיות בתחום של $f$

(4,\,-16) \mapsto (6,\,-16)

$f(x-2)$ : הגרף זז $2$ יחידות ימינה, הגובה לא משתנה

התחום $x \ge 2$ , והמינימום $(6,\,-16)$ . המלכודת: להזיז שמאלה — ב- $f(x-c)$ עם $c>0$ הגרף זז ימינה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 8 — בעיית ערך קיצון

תרגיל 31

הישר מסורטט עבור ערך אחד של t.

ישר עובר דרך הנקודה $P(2,\,4)$ . הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $x$ , כאשר $t>2$ , ואת החלק החיובי של ציר ה- $y$ בנקודה $y$ . $B$ היא ראשית הצירים. א. מהו שיעור ה- $y$ של הנקודה $y$ , כפונקציה של $t$ ?

$\dfrac{4}{t-2}$
$\dfrac{4t}{t+2}$
$\dfrac{2t}{t-2}$
$\dfrac{4t}{t-2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\dfrac{4t}{t-2}$

הפתרון:

m_{AP}=\frac{4-0}{2-t}

שיפוע הישר דרך $A$ ו- $P$

y=\frac{4}{2-t}(x-t)

משוואת ישר לפי נקודה ושיפוע

\begin{aligned}x &= 0: \ y \\ &= \frac{-4t}{2-t} \\ &= \frac{4t}{t-2}\end{aligned}

החיתוך עם ציר ה- $y$

הנכונה: $\frac{4t}{t-2}$ . בדיקה: ב- $t=3$ מקבלים $12$ , כמו בשרטוט. המלכודת: $12$ — טעות סימן במכנה של השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

הישר מסורטט עבור ערך אחד של t.

ישר עובר דרך הנקודה $P(2,\,4)$ . הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $x$ , כאשר $t>2$ , ואת החלק החיובי של ציר ה- $y$ בנקודה $y$ . $B$ היא ראשית הצירים. נמצא $O$ . ב. מצאו את $t$ שבעבורו שטח המשולש $AOB$ מינימלי, ואת השטח המינימלי.

$t=$ ____ $S_{\min}=$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $t=$ 4 $S_{\min}=$ 16

הפתרון:

\begin{aligned}S(t) &= \frac{1}{2} \cdot t \cdot \frac{4t}{t-2} \\ &= \frac{2t^2}{t-2}\end{aligned}

משולש ישר-זווית: חצי מכפלת הניצבים $OA$ ו- $OB$

\begin{aligned}S'(t) &= \frac{4t(t-2)-2t^2}{(t-2)^2} \\ &= \frac{2t(t-4)}{(t-2)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

2<t<4: S'<0, \quad t>4: S'>0

ירידה ואז עלייה — מינימום

\begin{aligned}S(4) &= \frac{32}{2} \\ &= 16\end{aligned}

$t=4$ , והשטח המינימלי $16$ . המלכודת: לפתור $16$ ולקבל גם $t=0$ — הוא מחוץ לתחום $t>2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

הישר מסורטט עבור ערך אחד של t.

ישר עובר דרך הנקודה $P(2,\,4)$ . הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $x$ , כאשר $t>2$ , ואת החלק החיובי של ציר ה- $y$ בנקודה $y$ . $B$ היא ראשית הצירים. שטח המשולש $O$ , והשטח המינימלי $16$ , ב- $t=4$ . ג. הוכיחו או הפריכו: יש ישר כזה שיוצר עם הצירים משולש ששטחו $15$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

S(t) \ge 16 \ \text{לכל} \ t>2

$16$ הוא הערך הקטן ביותר

\begin{aligned}\frac{2t^2}{t-2} &= 15 \ \Rightarrow \ 2t^2-15t+30 \\ &= 0 \\ \ \Delta &= 225-240<0\end{aligned}

בדיקה אלגברית: אין פתרון

לא נכון: כל משולש כזה שטחו לפחות $16$ . המלכודת: לחשוב שישר «תלול יותר» ייתן משולש קטן כרצוננו — אבל הישר חייב לעבור דרך $P(2,\,4)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 34

הישר מסורטט עבור ערך אחד של t.

ישר עובר דרך הנקודה $P(2,\,4)$ . הוא חותך את החלק החיובי של ציר ה- $x$ בנקודה $x$ , כאשר $t>2$ , ואת החלק החיובי של ציר ה- $y$ בנקודה $y$ . $B$ היא ראשית הצירים. השטח מינימלי כאשר $O$ . ד. מצאו את משוואת הישר $AB$ במצב הזה.

$y=$ ____ $x+$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y=$ -2 $x+$ 8

הפתרון:

\begin{aligned}A(4,\,0) \\ \quad B\left(0,\,\frac{16}{2}\right) &= (0,\,8)\end{aligned}

מציבים $t=4$

\begin{aligned}m &= \frac{8-0}{0-4} \\ &= -2\end{aligned}

חישוב שיפוע

y=-2x+8

החיתוך עם ציר ה- $y$ הוא $8$

-2 \cdot 2+8=4 \ \checkmark

בדיקה: הישר עובר דרך $P(2,\,4)$

$y=-2x+8$ . ב- $t=4$ הנקודה $P$ היא בדיוק אמצע הקטע $P$ . המלכודת: לכתוב $y=-2x+4$ — לקחת את $4$ של $t$ כחיתוך עם ציר ה- $t$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת