מבחן לדוגמא 1

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא 1 — תחילת השנה. 3 שאלות עם סעיפים, 17 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: הנושא הראשון של י״א — קדם אנליזה, הפונקציה $\frac{1}{f}$ כש- $f$ פרבולה — וחזרה על גאומטריה אנליטית של כיתה י: מרובע ודלתון במערכת צירים, כמו בשאלת המצולע של הבגרות.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. ב- $\frac{1}{f}$ מתחילים מ- $f$ : האפסים שלה הם האסימפטוטות, והקודקוד שלה הוא הקיצון. בגאומטריה אנליטית כתבו לכל שורה את הנוסחה או את המשפט.

תרגילים

שאלה 1 — קדם אנליזה: ההופכי של פרבולה

תרגיל 1

הגרף של

f

נתונה הפרבולה $f(x) = x^2 - 6x + 5$ , ונגדיר $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . א. מצאו את האסימפטוטות של $g$ המקבילות לצירים.

אנכיות: $x =$ ____ ו- $x =$ ____ (מהקטנה לגדולה) ; אופקית: $y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אנכיות: $x =$ 1 ו- $x =$ 5 (מהקטנה לגדולה) ; אופקית: $y =$ 0

הפתרון:

f(x) = (x-1)(x-5)

מפרקים את הפרבולה לגורמים

\begin{aligned}x &= 1 \\ \quad x &= 5\end{aligned}

האפסים של $f$ מאפסים את המכנה של $f$ : אסימפטוטות אנכיות

y = 0

רחוק מהראשית $f$ גדלה מאוד, ולכן $\frac{1}{f}$ שואפת ל- $0$ : אסימפטוטה אופקית

שלוש אסימפטוטות: $x = 1$ , $x = 5$ , $y = 0$ . המלכודת: לשכוח את האופקית $y = 0$ — כשהמכנה פרבולה, היא קיימת תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הגרף של

f

נתונה הפרבולה $f(x) = x^2 - 6x + 5$ , ונגדיר $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . האסימפטוטות האנכיות של $g$ הן $x = 1$ ו- $x = 5$ . ב. מצאו את נקודת הקיצון של $g$ וקבעו את סוגה.

מינימום $\left(3, -\frac{1}{4}\right)$
מקסימום $(3, 4)$
מינימום $(3, -4)$
מקסימום $\left(3, -\frac{1}{4}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקסימום $\left(3, -\frac{1}{4}\right)$

הפתרון:

\begin{aligned}x_v &= \frac{6}{2} \\ &= 3 \\ \quad f(3) &= -4\end{aligned}

קודקוד הפרבולה: נקודת המינימום של $f$

\begin{aligned}g(3) &= \frac{1}{-4} \\ &= -\frac{1}{4}\end{aligned}

ערך $g$ הוא ההופכי של ערך $f$

f \searrow \nearrow \ \Rightarrow \ g \nearrow \searrow

כש- $f$ יורדת, $\frac{1}{f}$ עולה (באותו סימן), ולהפך: סוג הקיצון מתחלף

מקסימום $\left(3, -\frac{1}{4}\right)$ . המלכודת: להעתיק את הקודקוד $(3, -4)$ — זו נקודה של $f$ , לא של $g$ . והמינימום של $g$ נעשה מקסימום של $f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הגרף של

f

נתונה הפרבולה $f(x) = x^2 - 6x + 5$ , ונגדיר $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . ל- $g$ אסימפטוטות $g$ , $x = 5$ ו- $y = 0$ , ונקודת מקסימום $\left(3, -\frac{1}{4}\right)$ . ג. באילו תחומים $g(x) > 0$ ?

לכל $x$ בתחום ההגדרה
$1 < x < 5$
$x > 3$
$x < 1$ או $x > 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x < 1$ או $x > 5$

הפתרון:

g(x) > 0 \iff f(x) > 0

למספר ולהופכי שלו אותו סימן

x < 1 ,\quad x > 5

פרבולה מחייכת חיובית מחוץ לאפסים שלה: $f(x) > 0$

$g > 0$ כש- $x < 1$ או $x > 5$ . המלכודת: לחשוב ש- $\frac{1}{f}$ תמיד חיובית — בין האפסים $f$ שלילית, וכך גם $f$ ; לכן המקסימום $g$ שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגרף של

f

נתונה הפרבולה $f(x) = x^2 - 6x + 5$ , ונגדיר $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . ל- $g$ אסימפטוטות $g$ , $x = 5$ ו- $y = 0$ , ונקודת מקסימום $\left(3, -\frac{1}{4}\right)$ . ד. מצאו את תחומי העלייה של $g$ .

$x < 3$
$x < 1$ וגם $1 < x < 3$
$1 < x < 5$
$3 < x < 5$ וגם $x > 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x < 1$ וגם $1 < x < 3$

הפתרון:

x < 3:\ f \searrow

הפרבולה יורדת משמאל לקודקוד

\begin{aligned}x < 3 \\ \ x \ne 1:\ g &= \frac{1}{f} \nearrow\end{aligned}

כש- $f$ יורדת, $g$ עולה בכל תחום שבו היא מוגדרת

x < 1 ,\quad 1 < x < 3

האסימפטוטה $x = 1$ מפרידה בין שני תחומים

$g$ עולה ב- $x < 1$ וב- $1 < x < 3$ . המלכודת: לכתוב $x < 3$ בתחום אחד — ב- $x = 1$ הפונקציה אינה מוגדרת, ומשמאל לאסימפטוטה $g$ חיובית ומימינה שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

הגרף של

f

נתונה הפרבולה $f(x) = x^2 - 6x + 5$ , ונגדיר $g(x) = \frac{1}{f(x)}$ . ל- $g$ אסימפטוטות $g$ , $x = 5$ ו- $y = 0$ , ונקודת מקסימום $\left(3, -\frac{1}{4}\right)$ . $g$ עולה ב- $x < 1$ וב- $1 < x < 3$ , ויורדת ב- $3 < x < 5$ וב- $x > 5$ . ה. לאיזה ערך של $k$ יש למשוואה $g(x) = k$ פתרון אחד בדיוק? כתבו את התשובה כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.25

הפתרון:

x < 1:\ 0 < g < \infty ,\quad x > 5:\ 0 < g < \infty

בשני הענפים החיצוניים $g$ מקבלת כל ערך חיובי פעם אחת: לכל $k > 0$ שני פתרונות

1 < x < 5:\ g \le -\frac{1}{4}

בענף האמצעי המקסימום $-\frac{1}{4}$ : לכל $k < -\frac{1}{4}$ שני פתרונות

\begin{aligned}k &= -\frac{1}{4} \\ &= -0.25\end{aligned}

הישר $y = k$ נוגע בגרף רק בנקודת המקסימום

$k = -0.25$ . המלכודת: לענות $k = 0$ — המונה של $g$ הוא $g$ , ולכן $1$ אף פעם אינה מתאפסת: למשוואה $g(x) = 0$ אין פתרון בכלל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — גאומטריה אנליטית: מרובע במערכת צירים

תרגיל 6

נתונות הנקודות $A(-1, 2)$ ו- $B(3, 4)$ . הנקודה $C$ נמצאת על הישר שעובר דרך $B$ ומאונך ל- $B$ , וגם על הישר $y = -2$ . א. מצאו את משוואת הישר $BC$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -2 $x +$ 10

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{4-2}{3-(-1)} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

m_{BC} = -2

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים היא $-1$

\begin{aligned}y - 4 &= -2(x - 3) \Rightarrow y \\ &= -2x + 10\end{aligned}

משוואת ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

$y = -2x + 10$ . המלכודת: להפוך רק את הסימן ( $-\frac{1}{2}$ ) או רק את השבר ( $2$ ) — השיפוע המאונך הוא ההופכי הנגדי, $-2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונות הנקודות $A(-1, 2)$ ו- $B(3, 4)$ . הנקודה $C$ נמצאת על הישר שעובר דרך $B$ ומאונך ל- $B$ , וגם על הישר $y = -2$ . משוואת $BC$ היא $y = -2x + 10$ . ב. מצאו את שיעורי הנקודה $C$ .

$C$ ____ , $y_C =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_C =$ 6 , $y_C =$ -2

הפתרון:

-2 = -2x + 10

נקודת חיתוך: מציבים $y = -2$ במשוואת $BC$

x = 6 \Rightarrow C(6, -2)

פותרים

$C(6, -2)$ . המלכודת: להציב $x = -2$ במקום $y = -2$ — הישר $y = -2$ אופקי, ולכן ה- $y$ של $C$ ידוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונות הנקודות $A(-1, 2)$ ו- $B(3, 4)$ . הנקודה $C$ נמצאת על הישר שעובר דרך $B$ ומאונך ל- $B$ , וגם על הישר $y = -2$ . נמצא ש- $C(6, -2)$ . הנקודה $D$ נבחרת כך ש- $ABCD$ מקבילית. ג. מצאו את שיעורי $D$ .

$D$ ____ , $y_D =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_D =$ 2 , $y_D =$ -4

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{-1+6}{2}, \frac{2-2}{2}\right) \\ &= (2.5, 0)\end{aligned}

במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה: אמצע $AC$ הוא גם אמצע $BD$

\begin{aligned}D &= (2 \cdot 2.5 - 3,\ 2 \cdot 0 - 4) \\ &= (2, -4)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, הפוכה

$D(2, -4)$ . המלכודת: לקחת את $D$ מול $A$ — במקבילית $ABCD$ הקודקוד $D$ מול $D$ , ולכן $B$ הוא האלכסון שעובר באמצע של $AC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונות הנקודות $A(-1, 2)$ ו- $B(3, 4)$ . הנקודה $C$ נמצאת על הישר שעובר דרך $B$ ומאונך ל- $B$ , וגם על הישר $y = -2$ . $C(6, -2)$ , $D(2, -4)$ , ו- $ABCD$ מקבילית. ד. מה סוג המרובע $ABCD$ , ומדוע?

מלבן — מקבילית שיש בה זווית ישרה, כי $AB \perp BC$
ריבוע — כל הצלעות שוות
מקבילית בלבד — אין בה זווית ישרה
מעוין — האלכסונים מאונכים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מלבן — מקבילית שיש בה זווית ישרה, כי $AB \perp BC$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} \cdot m_{BC} &= \frac{1}{2} \cdot (-2) \\ &= -1\end{aligned}

מכפלת שיפועים $-1$ : $AB \perp BC$

\angle ABC = 90^\circ

מקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן

\begin{aligned}AB &= \sqrt{20} \ne \sqrt{45} \\ &= BC\end{aligned}

נוסחת המרחק: צלעות סמוכות לא שוות, ולכן אינו ריבוע

מלבן. המלכודת: לקבוע «ריבוע» לפי השרטוט — בודקים אורכים: $\sqrt{20} \ne \sqrt{45}$ . והאלכסונים אינם מאונכים: $m_{AC} = -\frac{4}{7}$ , $m_{BD} = 8$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונות הנקודות $A(-1, 2)$ ו- $B(3, 4)$ . הנקודה $C$ נמצאת על הישר שעובר דרך $B$ ומאונך ל- $B$ , וגם על הישר $y = -2$ . $C(6, -2)$ , $D(2, -4)$ , והוכח ש- $ABCD$ מלבן. ה. חשבו את שטח המלבן.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= \sqrt{4^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{20}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BC &= \sqrt{3^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{45}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \sqrt{20} \cdot \sqrt{45} \\ &= \sqrt{900} \\ &= 30\end{aligned}

שטח מלבן: מכפלת שתי צלעות סמוכות

השטח $30$ . המלכודת: לכפול את האלכסונים — זה נכון רק כשהם מאונכים, ואז מחלקים ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונות הנקודות $A(-1, 2)$ ו- $B(3, 4)$ . הנקודה $C$ נמצאת על הישר שעובר דרך $B$ ומאונך ל- $B$ , וגם על הישר $y = -2$ . $C(6, -2)$ , ו- $ABCD$ מלבן. ו. חשבו את הזווית החדה שהאלכסון $AC$ יוצר עם ציר ה- $x$ (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 29.74

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{-2 - 2}{6 - (-1)} \\ &= -\frac{4}{7}\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

\tan\alpha = \frac{4}{7}

הזווית החדה עם ציר ה- $x$ : $x$

\alpha \approx 29.74^\circ

פונקציה הפוכה במחשבון

$\alpha \approx 29.74^\circ$ . המלכודת: הזווית עם הכיוון החיובי של הציר היא $180^\circ - 29.74^\circ = 150.26^\circ$ — קהה, כי השיפוע שלילי. החדה היא המשלימה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — גאומטריה אנליטית: דלתון

תרגיל 12

המרובע $ABCD$ הוא דלתון: $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . נתון: $A(1, 8)$ , $B(2, 1)$ , $C(11, -2)$ . א. מצאו את משוואת האלכסון $AC$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -1 $x +$ 9

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{-2 - 8}{11 - 1} \\ &= -1\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

\begin{aligned}y - 8 &= -(x - 1) \Rightarrow y \\ &= -x + 9\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

-11 + 9 = -2

בדיקה עם $C$ ✓

$y = -x + 9$ . המלכודת: טעות סימן בהפרש $-2 - 8$ — בודקים תמיד עם הנקודה השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

המרובע $ABCD$ הוא דלתון: $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . נתון: $A(1, 8)$ , $B(2, 1)$ , $C(11, -2)$ . משוואת $AC$ היא $y = -x + 9$ . ב. מצאו את משוואת האלכסון $BD$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 1 $x +$ -1

הפתרון:

AC \perp BD

בדלתון האלכסון הראשי מאונך לאלכסון המשני

m_{BD} = 1

מכפלת שיפועים של ישרים מאונכים: $-1$

\begin{aligned}y - 1 &= 1(x - 2) \Rightarrow y \\ &= x - 1\end{aligned}

ישר דרך $B$ בשיפוע $1$

$1$ . המלכודת: לחפש את $D$ לפני שיש משוואה — $D$ עדיין לא ידועה, אבל $B$ ידועה והשיפוע נובע מהמאונכות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

המרובע $ABCD$ הוא דלתון: $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . נתון: $A(1, 8)$ , $B(2, 1)$ , $C(11, -2)$ . $AC: y = -x + 9$ ו- $BD: y = x - 1$ . ג. מצאו את נקודת החיתוך $E$ של האלכסונים.

$E$ ____ , $y_E =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_E =$ 5 , $y_E =$ 4

הפתרון:

-x + 9 = x - 1

משווים את שתי המשוואות

\begin{aligned}x &= 5 \\ \quad y &= 4\end{aligned}

פותרים ומציבים

$E(5, 4)$ . בדיקה: $-5 + 9 = 4$ ✓ ו- $5 - 1 = 4$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

המרובע $ABCD$ הוא דלתון: $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . נתון: $A(1, 8)$ , $B(2, 1)$ , $C(11, -2)$ . האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $E(5, 4)$ . ד. מצאו את שיעורי $D$ .

$D$ ____ , $y_D =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_D =$ 8 , $y_D =$ 7

הפתרון:

BE = ED

בדלתון האלכסון הראשי חוצה את האלכסון המשני: $E$ אמצע $BD$

\begin{aligned}D &= (2 \cdot 5 - 2,\ 2 \cdot 4 - 1) \\ &= (8, 7)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, הפוכה

\begin{aligned}AD &= \sqrt{7^2 + 1^2} \\ &= \sqrt{50} \\ &= AB\end{aligned}

בדיקה בנוסחת המרחק ✓

$D(8, 7)$ . המלכודת: להניח ש- $E$ היא גם אמצע $AC$ ולחשב ממנה — רק $BD$ נחצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

המרובע $ABCD$ הוא דלתון: $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . נתון: $A(1, 8)$ , $B(2, 1)$ , $C(11, -2)$ . האלכסונים נחתכים ב- $E(5, 4)$ , ו- $D(8, 7)$ . ה. הוכיחו או הפריכו: $E$ היא גם אמצע האלכסון $E$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AC} &= \left(\frac{1 + 11}{2}, \frac{8 - 2}{2}\right) \\ &= (6, 3)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע

(6, 3) \ne (5, 4)

אמצע $AC$ אינו $E$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{50} \\ \quad CB &= \sqrt{90}\end{aligned}

הצלעות אינן שוות: הדלתון אינו מעוין

הטענה שגויה. רק במעוין כל אלכסון חוצה את השני; בדלתון רק האלכסון הראשי $AC$ חוצה את $BD$ . המלכודת: להסיק מהסימטריה של השרטוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

המרובע $ABCD$ הוא דלתון: $AB = AD$ ו- $CB = CD$ . נתון: $A(1, 8)$ , $B(2, 1)$ , $C(11, -2)$ . $D(8, 7)$ , והאלכסונים מאונכים. ו. חשבו את שטח הדלתון $ABCD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

\begin{aligned}AC &= \sqrt{10^2 + 10^2} \\ &= 10\sqrt{2}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}BD &= \sqrt{6^2 + 6^2} \\ &= 6\sqrt{2}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}S &= \frac{10\sqrt{2} \cdot 6\sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{120}{2} \\ &= 60\end{aligned}

שטח מרובע שאלכסוניו מאונכים: מחצית מכפלת האלכסונים

השטח $60$ . המלכודת: לשכוח לחלק ב- $60$ — מכפלת האלכסונים היא שטח המלבן שחוסם את הדלתון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת