מבחן לדוגמא 2

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא 2 — אמצע המחצית הראשונה. 3 שאלות עם סעיפים, 16 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר, זיהוי הגרף של $f'$ ושטח מתחתיו, והמעגל — זווית היקפית ומרכזית, משיק ודמיון משולשים.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בחקירה: תחום הגדרה קודם לכול, ואחר כך טבלת סימנים של $f'$ לפני שקובעים סוג קיצון. במעגל: לכל שורה משפט.

תרגילים

שאלה 1 — חקירת פונקציה רציונלית עם פרמטר

תרגיל 1

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a(x-3)}{(x-2)^2}$ , ו- $a$ פרמטר חיובי. א. מצאו את האסימפטוטות של $f$ המקבילות לצירים ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $f$ .

אנכית: $x =$ ____ ; אופקית: $y =$ ____ ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אנכית: $x =$ 2 ; אופקית: $y =$ 0 ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x$ 3

הפתרון:

\begin{aligned}(x-2)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

המכנה מתאפס והמונה לא: אסימפטוטה אנכית

\frac{a(x-3)}{(x-2)^2} \to 0

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה: אסימפטוטה אופקית $y = 0$

\begin{aligned}a(x-3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 3\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה- $x$ : המונה מתאפס ( $a \ne 0$ )

$x = 2$ , $y = 0$ , ונקודת החיתוך $(3, 0)$ . המלכודת: לחפש אסימפטוטה אופקית בחלוקת המקדמים המובילים — כאן המונה ממעלה $1$ והמכנה ממעלה $1$ , ולכן $y = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a(x-3)}{(x-2)^2}$ , ו- $a$ פרמטר חיובי. האסימפטוטות: $x = 2$ ו- $y = 0$ . הנגזרת היא $f'(x) = \frac{a(4-x)}{(x-2)^3}$ . ב. הישר $y = 2$ משיק לגרף של $f$ בנקודת הקיצון שלה. מצאו את $f$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

המונה של הנגזרת מתאפס: נקודה חשודה לקיצון, לכל $a$

\begin{aligned}f(4) &= \frac{a \cdot 1}{2^2} \\ &= \frac{a}{4}\end{aligned}

מציבים $x = 4$ בפונקציה

\begin{aligned}\frac{a}{4} &= 2 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

משיק אופקי בנקודת קיצון: $y$ של המשיק הוא ערך הפונקציה

$a = 8$ . המלכודת: להציב $2$ בנגזרת — השיפוע של משיק אופקי הוא $2$ , ו- $0$ הוא הגובה שלו, כלומר $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a(x-3)}{(x-2)^2}$ , ונמצא ש- $a = 8$ : $f(x) = \frac{8(x-3)}{(x-2)^2}$ ו- $f'(x) = \frac{8(4-x)}{(x-2)^3}$ . ג. מצאו את תחומי העלייה והירידה של $f$ .

עולה ב- $2 < x < 4$ ; יורדת ב- $x < 2$ וב- $x > 4$
עולה ב- $x < 2$ וב- $x > 4$ ; יורדת ב- $2 < x < 4$
עולה ב- $x < 4$ ( $x \ne 2$ ); יורדת ב- $x > 4$
עולה ב- $x > 4$ ; יורדת ב- $2 < x < 4$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א עולה ב- $2 < x < 4$ ; יורדת ב- $x < 2$ וב- $x > 4$

הפתרון:

x < 2:\ \frac{+}{-} < 0

טבלת סימנים: $4 - x > 0$ ו- $(x-2)^3 < 0$ — $f$ יורדת

2 < x < 4:\ \frac{+}{+} > 0

$f$ עולה

x > 4:\ \frac{-}{+} < 0

$f$ יורדת, ולכן $(4, 2)$ מקסימום

עולה ב- $2 < x < 4$ , יורדת ב- $x < 2$ וב- $x > 4$ . המלכודת: לבדוק רק את המונה — המכנה $(x-2)^3$ בחזקה אי-זוגית, והוא מחליף סימן באסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שני גרפים: I ו-II

גרף I
גרף II

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a(x-3)}{(x-2)^2}$ , ונמצא ש- $a = 8$ : $f(x) = \frac{8(x-3)}{(x-2)^2}$ ו- $f'(x) = \frac{8(4-x)}{(x-2)^3}$ . $f$ עולה ב- $2 < x < 4$ ויורדת ב- $x < 2$ וב- $x > 4$ . ד. בשרטוט שני גרפים, I ו-II. אחד מהם הוא הגרף של $f'$ . איזה?

אף אחד מהם
גרף I
גרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף II

הפתרון:

2 < x < 4:\ f \nearrow \Rightarrow f' > 0

בתחום עלייה הנגזרת חיובית: הגרף מעל ציר ה- $x$

\begin{aligned}x > 4:\ f' < 0 \\ \quad f'(4) &= 0\end{aligned}

בתחום ירידה הנגזרת שלילית, והיא מתאפסת בקיצון

x < 2:\ f' < 0

גם משמאל לאסימפטוטה $f$ יורדת

גרף II. גרף I הוא $-f'$ : הוא מתאפס באותה נקודה, אבל כל הסימנים הפוכים. המלכודת: לזהות לפי נקודת האפס בלבד — בודקים את הסימן בכל תחום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{a(x-3)}{(x-2)^2}$ , ונמצא ש- $a = 8$ : $f(x) = \frac{8(x-3)}{(x-2)^2}$ ו- $f'(x) = \frac{8(4-x)}{(x-2)^3}$ . הגרף של $f'$ חותך את ציר ה- $x$ ב- $x$ . ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישר $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

\int_4^6 f'(x)\,dx = f(6) - f(4)

$f$ היא פונקציה קדומה של $f'$ (המשפט היסודי)

\begin{aligned}f(6) &= \frac{8 \cdot 3}{16} \\ &= 1.5 \\ \quad f(4) &= 2\end{aligned}

מציבים בפונקציה, לא בנגזרת

\begin{aligned}1.5 - 2 &= -0.5 \Rightarrow S \\ &= 0.5\end{aligned}

$f' < 0$ בתחום: השטח מתחת לציר, לוקחים ערך מוחלט

השטח $0.5$ . המלכודת: לנסות למצוא פונקציה קדומה ל- $0.5$ — היא כבר נתונה: זו $f$ עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — המעגל: קוטר, משיק ודמיון

תרגיל 6

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $O$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$ . א. מדוע $\angle ACB = 90^\circ$ ?

סכום הזוויות במשולש הוא $180^\circ$
זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

הפתרון:

AB = 2R

$AB$ קוטר — נתון

\angle ACB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

הזווית $ACB$ נשענת על הקוטר $AB$ . המלכודת: לנמק במשיק — המשיק עובר ב- $B$ , והוא קובע את הזווית ליד $B$ , לא ליד $C$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $O$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$ . נמצא ש- $\angle ACB = 90^\circ$ . ב. מדוע $\angle ABD = 90^\circ$ ?

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
זוויות קודקודיות שוות
המשולש $ABD$ שווה שוקיים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב המשיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

הפתרון:

OB \perp BD

$BD$ משיק ב- $B$ , ו- $B$ רדיוס לנקודת ההשקה

\angle ABD = 90^\circ

משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

הזווית בין הקוטר $AB$ למשיק ב- $B$ ישרה. המלכודת: «זווית היקפית» — $\angle ABD$ אינה היקפית: הצלע $BD$ אינה מיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $O$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$ . $D$ ו- $\angle ABD = 90^\circ$ . ג. הוכיחו: $\triangle ACB \sim \triangle ABD$ .

$AB$ קוטר
$BD$ משיק למעגל ב- $B$
$C$ על המעגל ועל $AD$

$\triangle ACB \sim \triangle ABD$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle CAB = \angle BAD$ — זווית משותפת לשני המשולשים
$\angle ACB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
$\angle ABD = 90^\circ$ — משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה
$\triangle ACB \sim \triangle ABD$ — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

\angle CAB = \angle BAD

זווית משותפת

\begin{aligned}\angle ACB &= \angle ABD \\ &= 90^\circ\end{aligned}

סעיפים א ו-ב

\triangle ACB \sim \triangle ABD

משפט דמיון ז.ז

ההתאמה: $A \to A$ , $C \to B$ , $B \to D$ — הזווית הישרה של המשולש הקטן ליד $C$ , ושל הגדול ליד $B$ . המלכודת: לכתוב $\triangle ACB \sim \triangle ADB$ , בסדר אותיות שלא שומר על ההתאמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $O$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$ . $\triangle ACB \sim \triangle ABD$ , ונתון: $AB = 10$ ס״מ ו- $AC = 6$ ס״מ. ד. חשבו את $AD$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16.67

הפתרון:

\frac{AC}{AB} = \frac{AB}{AD}

יחס הדמיון: $AC$ מתאימה ל- $AB$ , ו- $AB$ ל- $AD$

\begin{aligned}AD &= \frac{AB^2}{AC} \\ &= \frac{100}{6} \\ &= \frac{50}{3}\end{aligned}

מבודדים

AD \approx 16.67

$AD = \frac{50}{3} \approx 16.67$ ס״מ. המלכודת: להתאים צלעות לפי המיקום בשרטוט — ההתאמה נקבעת לפי הזוויות: $AC$ מול הזווית ליד $B$ במשולש הקטן, $AB$ מול הזווית ליד $D$ בגדול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $O$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$ . $\triangle ACB \sim \triangle ABD$ , ונתון: $AB = 10$ ס״מ ו- $AC = 6$ ס״מ. נמצא ש- $AD = \frac{50}{3}$ ס״מ. ה. חשבו את אורך המשיק $BD$ . עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.33

הפתרון:

BD^2 = AD^2 - AB^2

משפט פיתגורס במשולש $ABD$ ( $\angle ABD = 90^\circ$ )

\begin{aligned}BD^2 &= \frac{2500}{9} - 100 \\ &= \frac{1600}{9}\end{aligned}

מציבים

BD = \frac{40}{3} \approx 13.33

$BD \approx 13.33$ ס״מ. דרך שנייה: $BC = 8$ (פיתגורס ב- $ACB$ ) ו- $\frac{BD}{CB} = \frac{AD}{AB}$ . המלכודת: לעגל את $AD$ ל- $16.67$ לפני החישוב — עובדים עם $16.67$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$ , ו- $O$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $B$ חותך את המשך המיתר $AC$ בנקודה $D$ . $\triangle ACB \sim \triangle ABD$ , ונתון: $AB = 10$ ס״מ ו- $AC = 6$ ס״מ. ו. חשבו את הזווית המרכזית $\angle BOC$ (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 106.26

הפתרון:

\begin{aligned}\cos\angle BAC &= \frac{AC}{AB} \\ &= \frac{6}{10}\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $ACB$ : ניצב ליד הזווית חלקי היתר

\angle BAC \approx 53.13^\circ

\angle BOC = 2\angle BAC \approx 106.26^\circ

זווית מרכזית שווה לפעמיים זווית היקפית הנשענת על אותה קשת

$\angle BOC \approx 106.26^\circ$ . המלכודת: לענות $53.13^\circ$ — זו הזווית ההיקפית; המרכזית, הנשענת על אותה קשת $BC$ , כפולה ממנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — פונקציה רציונלית והגרף של הנגזרת

תרגיל 12

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 3}$ . א. $f$ מוגדרת לכל $f$ . מצאו את האסימפטוטה האופקית שלה: $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x^2 + 3 \ge 3 > 0

המכנה אף פעם לא מתאפס: אין אסימפטוטה אנכית

\frac{2x^2}{x^2 + 3} \to \frac{2}{1} = 2

מונה ומכנה מאותה מעלה: יחס המקדמים המובילים

$y = 2$ . המלכודת: לחפש אסימפטוטה אנכית מ- $x^2 + 3 = 0$ — למשוואה אין פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 3}$ . האסימפטוטה האופקית של $f$ היא $f$ . ב. הוכיחו או הפריכו: $f$ זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f(-x) &= \frac{2(-x)^2}{(-x)^2 + 3} \\ &= \frac{2x^2}{x^2 + 3} \\ &= f(x)\end{aligned}

מציבים $-x$ : כל $x$ מופיע בחזקה זוגית

הטענה נכונה: $f(-x) = f(x)$ לכל $x$ , והגרף סימטרי לציר ה- $y$ . המלכודת: לבדוק נקודה אחת, כמו $y$ — זו דוגמה, לא הוכחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הגרף של

f'

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 3}$ . $f$ זוגית, ו- $f$ . בשרטוט הגרף של $f'$ . ג. מצאו את נקודת הקיצון של $f$ וקבעו את סוגה.

מקסימום $(1, 0.5)$
מינימום $(0, 0)$
מקסימום $(0, 0)$
אין ל- $f$ נקודת קיצון

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מינימום $(0, 0)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

הגרף של $f'$ חותך את ציר ה- $x$ רק ב- $x = 0$

x < 0:\ f' < 0 ,\quad x > 0:\ f' > 0

משמאל הגרף של $f'$ מתחת לציר, מימין מעליו: $f$ יורדת ואחר כך עולה

f(0) = 0

מציבים ב- $f$

מינימום $(0, 0)$ . המלכודת: לבחור $x = 1$ , שבה הגרף של $f'$ מגיע לשיא — שם $f$ עולה הכי מהר, אבל אינה בקיצון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 3}$ . ל- $f$ אסימפטוטה אופקית $y = 2$ ומינימום $(0, 0)$ ; $f$ יורדת ב- $x < 0$ ועולה ב- $x > 0$ . ד. לאילו ערכים של $k$ הישר $y = k$ חותך את הגרף של $f$ בשתי נקודות בדיוק?

$0 < k < 2$
$0 \le k \le 2$
$k > 0$
$k < 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $0 < k < 2$

הפתרון:

0 \le f(x) < 2

המינימום $0$ , והפונקציה מתקרבת ל- $0$ ואינה מגיעה אליו

0 < k < 2

בכל ענף ( $x < 0$ , $x > 0$ ) $f$ מונוטונית, ומקבלת את $k$ פעם אחת

\begin{aligned}k &= 0:\ x \\ &= 0\end{aligned}

בגובה המינימום יש נקודה אחת בלבד

$0 < k < 2$ . המלכודת: לכלול את $k = 2$ — האסימפטוטה אינה נחתכת כאן, כי $2x^2 = 2x^2 + 6$ אינה אפשרית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

הגרף של

f'

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 3}$ . $f'(x) = \frac{12x}{(x^2+3)^2}$ , ו- $f'(x) > 0$ לכל $x > 0$ . ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f'$ , ציר ה- $x$ והישר $x$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

\int_0^3 f'(x)\,dx = f(3) - f(0)

המשפט היסודי: $f$ פונקציה קדומה של $f'$

\begin{aligned}f(3) &= \frac{18}{12} \\ &= 1.5 \\ \quad f(0) &= 0\end{aligned}

מציבים ב- $f$

S = 1.5

$f' > 0$ בתחום: השטח שווה לאינטגרל

השטח $1.5$ . המלכודת: להציב בנגזרת: $1.5$ — האינטגרל של $f'$ הוא הפרש ערכי $f$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת