מבחן לדוגמא 3

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא 3 — אמצע השנה. 3 שאלות עם סעיפים, 15 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: חקירת פונקציה עם שורש ופרמטר, משפט הסינוסים ושטח משולש, והתפלגות נורמלית. טבלת ההתפלגות הנורמלית: הערכים הדרושים נתונים בכל שאלה.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו. בשורש: תחום הגדרה ובדיקת הקצה; במשפט הסינוסים: כל צלע מול הזווית שלה, והיחס שווה ל-2R2R; בהתפלגות נורמלית: מציירים פעמון לפני שפותחים את הטבלה. עגלו רק בתוצאה הסופית.

תרגילים

שאלה 1 — חקירת פונקציה עם שורש

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=xa−xf(x) = x\sqrt{a - x}, ו-aa פרמטר. הגרף של ff עובר בנקודה (−1,−2)(-1, -2). א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(−1)=−1⋅a+1=−2\begin{aligned}f(-1) &= -1 \cdot \sqrt{a + 1} \\ &= -2\end{aligned}

מציבים את הנקודה בפונקציה

a+1=2\sqrt{a + 1} = 2

מחלקים ב-−1-1

a+1=4⇒a=3\begin{aligned}a + 1 &= 4 \Rightarrow a \\ &= 3\end{aligned}

מעלים בריבוע; השורש חיובי, ולכן אין פתרון זר

a=3a = 3. המלכודת: לשכוח את הגורם x=−1x = -1 שלפני השורש ולקבל a+1=−2\sqrt{a + 1} = -2, משוואה בלי פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x\sqrt{3 - x} (בסעיף א נמצא ש-a=3a = 3). ב. מהו תחום ההגדרה של ff?

  1. 0≤x≤30 \le x \le 3
  2. x≤3x \le 3
  3. x<3x < 3
  4. x≥3x \ge 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x≤3x \le 3

הפתרון:

3−x≥03 - x \ge 0

ביטוי בתוך שורש ריבועי אינו שלילי

x≤3x \le 3

פותרים

f(3)=3⋅0=0\begin{aligned}f(3) &= 3 \cdot 0 \\ &= 0\end{aligned}

הקצה בתחום: שורש של 00 מוגדר

x≤3x \le 3. המלכודת: 0≤x≤30 \le x \le 3 — הגורם xx שלפני השורש יכול להיות שלילי; רק מה שבתוך השורש מוגבל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x\sqrt{3 - x} (בסעיף א נמצא ש-a=3a = 3). תחום ההגדרה: x≤3x \le 3. הנגזרת: f′(x)=6−3x23−xf'(x) = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}}. ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של ff. (בקצה התחום, (3,0)(3, 0), יש קיצון נוסף.)

מקסימום: x=x = ____ , y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: מקסימום: x=x = 2 , y=y = 2

הפתרון:

6−3x=0⇒x=2\begin{aligned}6 - 3x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

f′(x)=0f'(x) = 0: המונה מתאפס

f′(0)>0,f′(2.75)<0f'(0) > 0 ,\quad f'(2.75) < 0

טבלת סימנים: המכנה חיובי, והסימן הוא סימן המונה

f(2)=21=2\begin{aligned}f(2) &= 2\sqrt{1} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים ב-ff

מקסימום (2,2)(2, 2). בקצה (3,0)(3, 0) יש מינימום מקומי, כי ff יורדת אליו. המלכודת: להציב x=2x = 2 בנגזרת במקום בפונקציה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x\sqrt{3 - x} (בסעיף א נמצא ש-a=3a = 3). תחום ההגדרה: x≤3x \le 3. הנגזרת: f′(x)=6−3x23−xf'(x) = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}}. ל-ff מקסימום (2,2)(2, 2), והיא עולה ב-x<2x < 2 ויורדת ב-2<x<32 < x < 3. ד. נגדיר g(x)=f(x)+cg(x) = f(x) + c. הישר y=5y = 5 משיק לגרף של gg. מצאו את cc.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

g′(x)=f′(x)g'(x) = f'(x)

הזזה אנכית אינה משנה את הנגזרת: אותה נקודת קיצון x=2x = 2

g(2)=f(2)+c=2+c\begin{aligned}g(2) &= f(2) + c \\ &= 2 + c\end{aligned}

המשיק האופקי עובר במקסימום של gg

2+c=5⇒c=3\begin{aligned}2 + c &= 5 \Rightarrow c \\ &= 3\end{aligned}

c=3c = 3. המלכודת: c=5c = 5 — הישר y=5y = 5 הוא גובה המקסימום של gg, ולא גודל ההזזה; ההזזה היא 5−25 - 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x\sqrt{3 - x} (בסעיף א נמצא ש-a=3a = 3). תחום ההגדרה: x≤3x \le 3. הנגזרת: f′(x)=6−3x23−xf'(x) = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}}. ל-ff מקסימום (2,2)(2, 2), והיא עולה ב-x<2x < 2 ויורדת ב-2<x<32 < x < 3. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של f′f', ציר ה-xx והישר x=−1x = -1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

−1<x<2: f′(x)>0f′(2)=0\begin{aligned}-1 < x < 2:\ f'(x) > 0 \\ \quad f'(2) &= 0\end{aligned}

הגרף של f′f' מעל הציר, וחותך אותו ב-x=2x = 2

∫−12f′(x) dx=f(2)−f(−1)\int_{-1}^{2} f'(x)\,dx = f(2) - f(-1)

המשפט היסודי: ff פונקציה קדומה של f′f'

2−(−2)=42 - (-2) = 4

הנקודה (−1,−2)(-1, -2) נתונה

השטח 44. המלכודת: לחשב f(2)−f(−1)=2−2f(2) - f(-1) = 2 - 2 — הערך f(−1)f(-1) שלילי, −2-2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

הגרף של ff
-2-101234-5-4-3-2-1123xy

נתונה הפונקציה f(x)=x3−xf(x) = x\sqrt{3 - x} (בסעיף א נמצא ש-a=3a = 3). תחום ההגדרה: x≤3x \le 3. הנגזרת: f′(x)=6−3x23−xf'(x) = \frac{6 - 3x}{2\sqrt{3 - x}}. ל-ff מקסימום (2,2)(2, 2), והיא עולה ב-x<2x < 2 ויורדת ב-2<x<32 < x < 3. בשרטוט הגרף של ff. ו. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k בדיוק שני פתרונות?

  1. 0≤k≤20 \le k \le 2
  2. k<2k < 2
  3. 0<k<20 < k < 2
  4. 0≤k<20 \le k < 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 0≤k<20 \le k < 2

הפתרון:

x≤2: f(x)≤2, f↗x \le 2:\ f(x) \le 2 ,\ f \nearrow

בענף העולה ff מקבלת כל ערך קטן מ-22 פעם אחת

2≤x≤3: 0≤f≤22 \le x \le 3:\ 0 \le f \le 2

בענף היורד היא יורדת מ-22 עד 00 בקצה

k=0: x=0 x=3\begin{aligned}k &= 0:\ x \\ &= 0 \\ \ x &= 3\end{aligned}

גם ל-k=0k = 0 שני פתרונות, כי הקצה (3,0)(3, 0) שייך לגרף

0≤k<20 \le k < 2. המלכודת: לשכוח את k=0k = 0 — הקצה (3,0)(3, 0) בתחום. ול-k=2k = 2 יש רק פתרון אחד, המקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — משפט הסינוסים ושטח משולש

תרגיל 7

ABC

במשולש ABCABC נתון: AB=12AB = 12 ס״מ, ∠BAC=75∘\angle BAC = 75^\circ ו-∠ACB=40∘\angle ACB = 40^\circ. א. חשבו את BCBC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18.03

הפתרון:

BCsin⁡75∘=ABsin⁡40∘\frac{BC}{\sin 75^\circ} = \frac{AB}{\sin 40^\circ}

משפט הסינוסים: כל צלע מול הזווית שלה

BC=12sin⁡75∘sin⁡40∘≈18.03BC = \frac{12 \sin 75^\circ}{\sin 40^\circ} \approx 18.03

מבודדים

BC≈18.03BC \approx 18.03 ס״מ. המלכודת: להציב את ABAB מול ∠A\angle A — הצלע שמול ∠A\angle A היא BCBC, ומול ∠C\angle C עומדת ABAB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ABC

במשולש ABCABC נתון: AB=12AB = 12 ס״מ, ∠BAC=75∘\angle BAC = 75^\circ ו-∠ACB=40∘\angle ACB = 40^\circ. נמצא ש-BC≈18.03BC \approx 18.03 ס״מ. ב. חשבו את רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCABC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.33

הפתרון:

ABsin⁡40∘=2R\frac{AB}{\sin 40^\circ} = 2R

משפט הסינוסים המורחב

R=122sin⁡40∘≈9.33R = \frac{12}{2 \sin 40^\circ} \approx 9.33

מבודדים

R≈9.33R \approx 9.33 ס״מ. המלכודת: לשכוח את ה-22 ולקבל 18.6718.67 — היחס שווה לקוטר, לא לרדיוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

ABC

במשולש ABCABC נתון: AB=12AB = 12 ס״מ, ∠BAC=75∘\angle BAC = 75^\circ ו-∠ACB=40∘\angle ACB = 40^\circ. נמצא ש-BC≈18.03BC \approx 18.03 ס״מ. ג. חשבו את שטח המשולש ABCABC. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 98.06

הפתרון:

∠ABC=180∘−75∘−40∘=65∘\begin{aligned}\angle ABC &= 180^\circ - 75^\circ - 40^\circ \\ &= 65^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

S=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡∠ABCS = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\angle ABC

שטח משולש: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

S=12⋅12⋅18.03⋅sin⁡65∘≈98.06S = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 18.03 \cdot \sin 65^\circ \approx 98.06

S≈98.06S \approx 98.06 סמ״ר. המלכודת: להכניס את sin⁡75∘\sin 75^\circ או sin⁡40∘\sin 40^\circ — הזווית חייבת להיות הכלואה בין ABAB ל-BCBC, כלומר ∠B\angle B.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

ABCD

במשולש ABCABC נתון: AB=12AB = 12 ס״מ, ∠BAC=75∘\angle BAC = 75^\circ ו-∠ACB=40∘\angle ACB = 40^\circ. ∠ABC=65∘\angle ABC = 65^\circ. הנקודה DD נמצאת על הצלע BCBC, ו-∠BAD=30∘\angle BAD = 30^\circ. ד. חשבו את ADAD. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.92

הפתרון:

∠ADB=180∘−30∘−65∘=85∘\begin{aligned}\angle ADB &= 180^\circ - 30^\circ - 65^\circ \\ &= 85^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABDABD

ADsin⁡65∘=ABsin⁡85∘\frac{AD}{\sin 65^\circ} = \frac{AB}{\sin 85^\circ}

משפט הסינוסים במשולש ABDABD

AD=12sin⁡65∘sin⁡85∘≈10.92AD = \frac{12 \sin 65^\circ}{\sin 85^\circ} \approx 10.92

מבודדים

AD≈10.92AD \approx 10.92 ס״מ. המלכודת: לעבוד במשולש ABCABC — ADAD היא צלע של ABDABD, ובו צריך קודם את הזווית ∠ADB\angle ADB שמול ABAB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — התפלגות נורמלית

תרגיל 11

משקל כיכר לחם (גרם)
4805004404604805005205405600גרם

משקל כיכרות הלחם במאפייה בבאר שבע מתפלג נורמלית, עם ממוצע 500500 גרם. ידוע ש-15.87%15.87\% מהכיכרות שוקלות פחות מ-480480 גרם. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5) = 0.9332. א. מצאו את סטיית התקן של משקל הכיכרות (בגרם).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

Φ(z)=0.1587⇒Φ(−z)=0.8413⇒z=−1\begin{aligned}\Phi(z) &= 0.1587 \Rightarrow \Phi(-z) \\ &= 0.8413 \Rightarrow z \\ &= -1\end{aligned}

זנב שמאלי: משלימים ל-11 ומחפשים בטבלה

−1=480−500σ-1 = \frac{480 - 500}{\sigma}

ציון תקן: z=x−μσz = \frac{x - \mu}{\sigma}

σ=20\sigma = 20

פותרים

σ=20\sigma = 20 גרם. המלכודת: z=1z = 1 בלי סימן — 480480 מתחת לממוצע, ולכן zz שלילי; עם z=1z = 1 יוצאת סטיית תקן שלילית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

משקל כיכר לחם (גרם)
5005304404604805005205405600גרם

משקל כיכרות הלחם במאפייה בבאר שבע מתפלג נורמלית, עם ממוצע 500500 גרם. ידוע ש-15.87%15.87\% מהכיכרות שוקלות פחות מ-480480 גרם. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5) = 0.9332. סטיית התקן היא 2020 גרם. ב. איזה אחוז מהכיכרות שוקלות יותר מ-530530 גרם? ענו באחוזים, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.68

הפתרון:

z=530−50020=1.5\begin{aligned}z &= \frac{530 - 500}{20} \\ &= 1.5\end{aligned}

ציון תקן

P(X>530)=1−Φ(1.5)=0.0668\begin{aligned}P(X > 530) &= 1 - \Phi(1.5) \\ &= 0.0668\end{aligned}

הטבלה נותנת שטח משמאל; «יותר מ-» הוא הזנב הימני

6.68%6.68\%. המלכודת: לענות 93.32%93.32\% — זה אחוז הכיכרות שמשקלן פחות מ-530530 גרם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

משקל כיכר לחם (גרם)
4805304404604805005205405600גרם

משקל כיכרות הלחם במאפייה בבאר שבע מתפלג נורמלית, עם ממוצע 500500 גרם. ידוע ש-15.87%15.87\% מהכיכרות שוקלות פחות מ-480480 גרם. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5) = 0.9332. סטיית התקן היא 2020 גרם. במאפייה נאפו ביום אחד 12001200 כיכרות. ג. כמה מהן, בקירוב, שוקלות בין 480480 ל-530530 גרם? עגלו למספר שלם.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 929

הפתרון:

z1=−1z2=1.5\begin{aligned}z_1 &= -1 \\ \quad z_2 &= 1.5\end{aligned}

ציוני התקן של שני הגבולות

Φ(1.5)−Φ(−1)=0.9332−0.1587=0.7745\begin{aligned}\Phi(1.5) - \Phi(-1) &= 0.9332 - 0.1587 \\ &= 0.7745\end{aligned}

השטח שבין הגבולות: Φ(−1)=1−0.8413\Phi(-1) = 1 - 0.8413

1200⋅0.7745=929.4≈9291200 \cdot 0.7745 = 929.4 \approx 929

מהסתברות לכמות

בערך 929929 כיכרות. המלכודת: לחסר 0.9332−0.84130.9332 - 0.8413 — Φ(1)\Phi(1) הוא השטח משמאל ל-520520 גרם, לא ל-480480.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

משקל כיכר לחם (גרם)
5004404604805005205405600גרם

משקל כיכרות הלחם במאפייה בבאר שבע מתפלג נורמלית, עם ממוצע 500500 גרם. ידוע ש-15.87%15.87\% מהכיכרות שוקלות פחות מ-480480 גרם. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5) = 0.9332. סטיית התקן היא 2020 גרם. המאפייה מסמנת ב«פרימיום» את 10%10\% הכיכרות הכבדות ביותר. ד. מהו המשקל המינימלי של כיכר פרימיום (בגרם)? עגלו לספרה אחת אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 525.6

הפתרון:

P(X>t)=0.10⇒Φ(z)=0.90\begin{aligned}P(X > t) &= 0.10 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.90\end{aligned}

משמאל ל-tt נמצאות 90%90\% מהכיכרות

z≈1.28z \approx 1.28

חיפוש הפוך בטבלה: Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997

t=500+1.28⋅20=525.6\begin{aligned}t &= 500 + 1.28 \cdot 20 \\ &= 525.6\end{aligned}

x=μ+zσx = \mu + z\sigma

t≈525.6t \approx 525.6 גרם. המלכודת: לחפש בטבלה את 0.100.10 — הטבלה מצטברת משמאל, ולכן הכבדים ביותר מתאימים ל-0.900.90.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

משקל כיכר לחם (גרם)
5005204404604805005205405600גרם

משקל כיכרות הלחם במאפייה בבאר שבע מתפלג נורמלית, עם ממוצע 500500 גרם. ידוע ש-15.87%15.87\% מהכיכרות שוקלות פחות מ-480480 גרם. נתון: Φ(1)=0.8413\Phi(1) = 0.8413, Φ(1.28)=0.8997\Phi(1.28) = 0.8997, Φ(1.5)=0.9332\Phi(1.5) = 0.9332. סטיית התקן היא 2020 גרם. המאפייה מוסיפה 1010 גרם בצק לכל כיכר, וסטיית התקן נשארת 2020 גרם. ה. הוכיחו או הפריכו: אחוז הכיכרות שמשקלן בין הממוצע לבין הממוצע ועוד סטיית תקן אחת אינו משתנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

μ′=510σ′=20\begin{aligned}\mu' &= 510 \\ \quad \sigma' &= 20\end{aligned}

תוספת קבועה מזיזה את הממוצע ומשאירה את הפיזור

P(μ′<X<μ′+σ′)=Φ(1)−Φ(0)P(\mu' < X < \mu' + \sigma') = \Phi(1) - \Phi(0)

בציוני תקן: בין z=0z = 0 ל-z=1z = 1

0.8413−0.5=0.34130.8413 - 0.5 = 0.3413

אותו שטח בכל התפלגות נורמלית

הטענה נכונה: בכל התפלגות נורמלית 34.13%34.13\% מהערכים בין μ\mu ל-μ+σ\mu + \sigma. המלכודת: לחשוב שהאחוז משתנה כי הגבולות זזו — הם זזו יחד עם הפעמון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת