מבחן לדוגמא 4

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא 4 — סוף המחצית. 3 שאלות עם סעיפים, 16 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: פונקציה קדומה ואינטגרל מסוים, שטחים עם פרמטר, משוואת המעגל ומשיק, ומתאם ורגרסיה ליניארית.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו. בשטח: קודם בודקים איפה הפונקציה מעל הציר ואיפה מתחתיו, ורק אחר כך מחשבים. ברגרסיה: הקו עובר תמיד דרך $(\bar{x}, \bar{y})$ , ובנוסחאון מחלקים במספר הנתונים.

תרגילים

שאלה 1 — פונקציה קדומה ושטחים

תרגיל 1

הנגזרת של הפונקציה $f$ היא $f$ , והגרף של $f$ עובר בנקודה $f$ . א. מצאו את $f(x)$ .

$f(x) =$ ____ $x^3 +$ ( ____ ) $x^2 +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $f(x) =$ 1 $x^3 +$ ( -3 ) $x^2 +$ 4

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= \int (3x^2 - 6x)\,dx \\ &= x^3 - 3x^2 + c\end{aligned}

פונקציה קדומה: מעלים את החזקה ומחלקים בחזקה החדשה

\begin{aligned}f(1) &= 1 - 3 + c \\ &= 2\end{aligned}

מציבים את הנקודה $(1, 2)$

c = 4

פותרים

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . המלכודת: לשכוח את הקבוע $c$ — יש אינסוף פונקציות קדומות, והנקודה בוחרת אחת מהן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

הנגזרת של הפונקציה $f$ היא $f$ , והגרף של $f$ עובר בנקודה $f$ . נמצא ש- $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . ב. מצאו את נקודות החיתוך של הגרף של $f$ עם ציר ה- $f$ . (רמז: $x$ היא אחת מהן.)

$x =$ ____ ו- $x =$ ____ (מהקטנה לגדולה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x =$ -1 ו- $x =$ 2 (מהקטנה לגדולה)

הפתרון:

\begin{aligned}f(-1) &= -1 - 3 + 4 \\ &= 0\end{aligned}

בדיקת הרמז

x^3 - 3x^2 + 4 = (x + 1)(x^2 - 4x + 4)

מוציאים את הגורם $(x + 1)$

\begin{aligned}(x + 1)(x - 2)^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 2\end{aligned}

הגורם השני ריבוע שלם

$x = -1$ ו- $x = 2$ . ב- $x = 2$ הגרף רק נוגע בציר (שורש כפול), ולכן בין $-1$ ל- $2$ הפונקציה אינה מחליפה סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

הנגזרת של הפונקציה $f$ היא $f$ , והגרף של $f$ עובר בנקודה $f$ . נמצא ש- $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ . הגרף חותך את ציר ה- $x$ ב- $x = -1$ ונוגע בו ב- $x = 2$ . ג. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של $f$ וציר ה- $f$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.75

הפתרון:

-1 \le x \le 2:\ f(x) = (x+1)(x-2)^2 \ge 0

הפונקציה מעל הציר בכל התחום

\int_{-1}^{2} (x^3 - 3x^2 + 4)\,dx = \left[\frac{x^4}{4} - x^3 + 4x\right]_{-1}^{2}

אינטגרל מסוים

\begin{aligned}(4 - 8 + 8) - \left(\frac{1}{4} + 1 - 4\right) &= 4 + 2.75 \\ &= 6.75\end{aligned}

מציבים את הגבולות

השטח $6.75$ . המלכודת: טעות סימן בהצבת $x = -1$ : $(-1)^3 = -1$ , ולכן $-x^3$ נותן $+1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

(המשך לשאלה 1.) נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{a}{(x+1)^2}$ , ו- $a$ פרמטר חיובי. השטח המוגבל על ידי הגרף של $a$ , הצירים והישר $g$ שווה ל- $6$ . ד. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

\int \frac{a}{(x+1)^2}\,dx = -\frac{a}{x+1} + c

אינטגרל של $\frac{a}{(mx+b)^2}$ מהנוסחאון

\begin{aligned}\left[-\frac{a}{x+1}\right]_0^3 &= -\frac{a}{4} + a \\ &= \frac{3a}{4}\end{aligned}

גבולות: ציר ה- $y$ ( $y$ ) והישר $x = 3$

\begin{aligned}\frac{3a}{4} &= 6 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

משווים לשטח הנתון

$a = 8$ . המלכודת: לכתוב פונקציה קדומה $\frac{a}{x+1}$ בלי המינוס — אז השטח יוצא שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

(המשך לשאלה 1.) נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{a}{(x+1)^2}$ , ו- $a$ פרמטר חיובי. השטח המוגבל על ידי הגרף של $a$ , הצירים והישר $g$ שווה ל- $6$ . נמצא ש- $a = 8$ , כלומר $g(x) = \frac{8}{(x+1)^2}$ . ה. מצאו את $k > 0$ שבעבורו השטח המוגבל על ידי הגרף של $g$ , הצירים והישר $g$ שווה ל- $4$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

\left[-\frac{8}{x+1}\right]_0^k = 8 - \frac{8}{k+1}

אותה פונקציה קדומה, עם גבול עליון $k$

\begin{aligned}8 - \frac{8}{k+1} &= 4 \Rightarrow \frac{8}{k+1} \\ &= 4\end{aligned}

משווים ל- $4$

\begin{aligned}k + 1 &= 2 \Rightarrow k \\ &= 1\end{aligned}

$k = 1$ . המלכודת: לחשוב ששטח חצי מ- $6$ דורש חצי מהרוחב, $k = 1.5$ — הגרף גבוה ליד ציר ה- $y$ , ושם מצטבר רוב השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — משוואת המעגל ומשיק

תרגיל 6

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . א. מצאו את שיעורי המרכז $M$ .

$M$ ____ , $y_M =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_M =$ 2 , $y_M =$ 1

הפתרון:

MA = MB

מרכז המעגל נמצא על האנך האמצעי של המיתר $AB$

\begin{aligned}y_A &= y_B \\ &= 5 \Rightarrow x \\ &= \frac{5 + (-1)}{2} \\ &= 2\end{aligned}

המיתר אופקי, ולכן האנך האמצעי הוא הישר $x = 2$

\begin{aligned}y &= 2 - 1 \\ &= 1\end{aligned}

מציבים בישר $y = x - 1$

$M(2, 1)$ . המלכודת: לקחת את אמצע $AB$ , $(2, 5)$ , כמרכז — $AB$ מיתר, לא קוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . נמצא ש- $M(2, 1)$ . ב. כתבו את משוואת המעגל.

$(x -$ ____ $)^2 + (y -$ ____ $)^2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x -$ 2 $)^2 + (y -$ 1 $)^2 =$ 25

הפתרון:

\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= (5-2)^2 + (5-1)^2 \\ &= 25\end{aligned}

הרדיוס הוא המרחק מהמרכז לנקודה על המעגל

(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25

משוואת מעגל שמרכזו $(a, b)$ : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$

$(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25$ . המלכודת: לכתוב $5$ באגף ימין — שם $5$ , לא $R$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . נמצא ש- $M(2, 1)$ והמשוואה היא $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25$ . ג. מצאו את משוואת המשיק למעגל בנקודה $A$ .

$A$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -0.75 $x +$ 8.75

הפתרון:

\begin{aligned}m_{MA} &= \frac{5 - 1}{5 - 2} \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

שיפוע הרדיוס לנקודת ההשקה

m = -\frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה

\begin{aligned}y - 5 &= -\frac{3}{4}(x - 5) \Rightarrow y \\ &= -0.75x + 8.75\end{aligned}

ישר דרך $A$

$A$ . המלכודת: לקחת את שיפוע הרדיוס, $\frac{4}{3}$ , כשיפוע המשיק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . נמצא ש- $M(2, 1)$ והמשוואה היא $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25$ . ד. היכן נמצאת הנקודה $P(7, 3)$ ביחס למעגל?

בתוך המעגל
מחוץ למעגל
על המעגל

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מחוץ למעגל

הפתרון:

\begin{aligned}MP^2 &= (7-2)^2 + (3-1)^2 \\ &= 29\end{aligned}

מציבים את $P$ באגף שמאל של המשוואה

29 > 25 = R^2

המרחק מהמרכז גדול מהרדיוס

מחוץ למעגל. המלכודת: להשוות $29$ ל- $R = 5$ — משווים ריבוע לריבוע: $MP^2$ ל- $R^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . נמצא ש- $M(2, 1)$ והמשוואה היא $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25$ . $AC$ הוא קוטר של המעגל. ה. מצאו את שיעורי $C$ .

$C$ ____ , $y_C =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_C =$ -1 , $y_C =$ -3

הפתרון:

M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}\right)

המרכז הוא אמצע כל קוטר

\begin{aligned}C &= (2 \cdot 2 - 5,\ 2 \cdot 1 - 5) \\ &= (-1, -3)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, הפוכה

$C(-1, -3)$ . בדיקה: $(-3)^2 + (-4)^2 = 25$ ✓. המלכודת: לחסר בכיוון ההפוך ולקבל את $A$ שוב.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

המעגל שמרכזו $M$ עובר בנקודות $A(5, 5)$ ו- $B(-1, 5)$ . המרכז $M$ נמצא על הישר $M$ . נמצא ש- $M(2, 1)$ והמשוואה היא $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 25$ . $AC$ קוטר, ו- $C(-1, -3)$ . ו. חשבו את שטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\angle ABC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה

\begin{aligned}AB &= 5 - (-1) \\ &= 6 \\ \quad BC &= 5 - (-3) \\ &= 8\end{aligned}

$AB$ אופקי ו- $BC$ אנכי: המרחק הוא הפרש שיעורים

\begin{aligned}S &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: חצי מכפלת הניצבים

השטח $24$ . המלכודת: לחשב עם הקוטר $24$ כאילו היה ניצב — הוא היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — מתאם ורגרסיה ליניארית

תרגיל 12

טמפרטורה במעלות (x)	23	25	26	27	29
ארטיקים, בעשרות (y)	14	18	22	20	26

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים ( $x$ , במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו ( $y$ , בעשרות). הנתונים בטבלה. א. חשבו את הממוצע $\bar{x}$ ואת סטיית התקן $S_x$ .

$\bar{x} =$ ____ , $S_x =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\bar{x} =$ 26 , $S_x =$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{23 + 25 + 26 + 27 + 29}{5} \\ &= \frac{130}{5} \\ &= 26\end{aligned}

ממוצע

x - \bar{x}:\ -3,\ -1,\ 0,\ 1,\ 3

הסטיות מהממוצע

\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{9 + 1 + 0 + 1 + 9}{5}} \\ &= \sqrt{4} \\ &= 2\end{aligned}

סטיית תקן: מחלקים במספר הנתונים

$\bar{x} = 26$ , $S_x = 2$ . המלכודת: לשכוח את השורש ולענות $4$ — זו השונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

טמפרטורה במעלות (x)	23	25	26	27	29
ארטיקים, בעשרות (y)	14	18	22	20	26

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים ( $x$ , במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו ( $y$ , בעשרות). הנתונים בטבלה. $y$ ו- $S_x = 2$ ; ידוע גם $\bar{y} = 20$ ו- $S_y = 4$ . ב. איזה מהערכים הוא מקדם המתאם $r$ ? בדקו בחישוב.

$0.95$
$0.75$
$-0.95$
$0.5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $0.95$

הפתרון:

y - \bar{y}:\ -6,\ -2,\ 2,\ 0,\ 6

הסטיות של $y$

\begin{aligned}\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) &= 18 + 2 + 0 + 0 + 18 \\ &= 38\end{aligned}

סכום המכפלות

\begin{aligned}r &= \frac{38}{5 \cdot 2 \cdot 4} \\ &= 0.95\end{aligned}

נוסחת מקדם המתאם מהנוסחאון

$r = 0.95$ : מתאם חיובי חזק. המלכודת: לחלק ב- $S_x S_y$ בלי $n = 5$ ולקבל $4.75$ — ערך מחוץ לתחום $-1 \le r \le 1$ הוא סימן לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

טמפרטורה במעלות (x)	23	25	26	27	29
ארטיקים, בעשרות (y)	14	18	22	20	26

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים ( $x$ , במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו ( $y$ , בעשרות). הנתונים בטבלה. $\bar{x} = 26$ , $S_x = 2$ , $\bar{y} = 20$ , $S_y = 4$ . מקדם המתאם $r = 0.95$ . ג. מצאו את קו הרגרסיה של $y$ לפי $y$ .

$x$ ____ $x +$ ( ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 1.9 $x +$ ( -29.4 )

הפתרון:

\begin{aligned}m &= r \cdot \frac{S_y}{S_x} \\ &= 0.95 \cdot \frac{4}{2} \\ &= 1.9\end{aligned}

שיפוע קו הרגרסיה

y - 20 = 1.9(x - 26)

הקו עובר דרך $(\bar{x}, \bar{y})$

y = 1.9x - 29.4

$y = 1.9x - 29.4$ . המלכודת: להפוך את השבר ( $\frac{S_x}{S_y}$ ) ולקבל שיפוע $0.475$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

טמפרטורה במעלות (x)	23	25	26	27	29
ארטיקים, בעשרות (y)	14	18	22	20	26

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים ( $x$ , במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו ( $y$ , בעשרות). הנתונים בטבלה. $\bar{x} = 26$ , $S_x = 2$ , $\bar{y} = 20$ , $S_y = 4$ . קו הרגרסיה: $y = 1.9x - 29.4$ . ד. לפי קו הרגרסיה, כמה ארטיקים (בעשרות) צפויים להימכר ביום של $28$ מעלות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 23.8

הפתרון:

\begin{aligned}y &= 1.9 \cdot 28 - 29.4 \\ &= 53.2 - 29.4 \\ &= 23.8\end{aligned}

מציבים $x = 28$ בקו הרגרסיה

$23.8$ עשרות, כלומר כ- $238$ ארטיקים. $28$ בתוך תחום הנתונים ( $23$ עד $23$ ), ולכן החיזוי סביר. המלכודת: לחזות ליום של $29$ מעלות — אקסטרפולציה רחוק מהנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

טמפרטורה במעלות (x)	23	25	26	27	29
ארטיקים, בעשרות (y)	14	18	22	20	26

בקיוסק בחוף בתל אביב רשמו בחמישה ימים את הטמפרטורה בצהריים ( $x$ , במעלות) ואת מספר הארטיקים שנמכרו ( $y$ , בעשרות). הנתונים בטבלה. $\bar{x} = 26$ , $S_x = 2$ , $\bar{y} = 20$ , $S_y = 4$ . קו הרגרסיה: $y = 1.9x - 29.4$ , ו- $r = 0.95$ . בכל אחד מחמשת הימים נמכרו גם $3$ עשרות ארטיקים בהזמנה קבועה של מחנה קיץ, ולכן כל ערך של $y$ גדל ב- $y$ . ה. מה משתנה?

השיפוע גדל ב- $3$
$S_y$ גדלה ב- $3$
$r$ גדל, והשיפוע לא משתנה
$r$ והשיפוע לא משתנים; המספר החופשי גדל ב- $3$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $r$ והשיפוע לא משתנים; המספר החופשי גדל ב- $3$

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{y}' &= 23 \\ \quad S_y' &= 4\end{aligned}

הזזה מזיזה את הממוצע ולא את הפיזור

\begin{aligned}r' &= 0.95 \\ \quad m' &= 1.9\end{aligned}

הסטיות מהממוצע לא השתנו

y = 1.9x - 26.4

הקו כולו עולה ב- $3$

רק המספר החופשי משתנה: $-29.4 + 3 = -26.4$ . המלכודת: לחשוב שתוספת «משפרת» את המתאם — $r$ מודד את הצורה של הענן, והזזה לא משנה אותה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת