מבחן לדוגמא 5

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא 5 — סוף השנה. 3 שאלות עם סעיפים, שאלה אחת מכל פרק של השאלון: הסתברות (פרק א), גאומטריה אנליטית עם מעגל (פרק ב), ובעיית ערך קיצון (פרק ג). 15 סעיפים בסך הכול, 90 דקות.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו. בהסתברות: עץ לפני כל חישוב, ובהסתברות מותנית שאלו «מה ידוע?». בבעיית קיצון: הביעו את הגודל בעזרת משתנה אחד, ואחרי הנגזרת — טבלת סימנים.

תרגילים

שאלה 1 — הסתברות מותנית

תרגיל 1

איך מגיעים לבית הספר, ומי מאחר

בתיכון בחיפה $40\%$ מהתלמידים מגיעים לבית הספר באוטובוס, והשאר ברגל או באופניים. מבין הנוסעים באוטובוס, $30\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע; מבין שאר התלמידים, $10\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע. א. בוחרים תלמיד באקראי. מה ההסתברות שהוא מאחר לפחות פעם בשבוע?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.18

הפתרון:

0.4 \cdot 0.3 = 0.12

המסלול «אוטובוס ומאחר»: כופלים לאורך הענף

0.6 \cdot 0.1 = 0.06

המסלול «לא באוטובוס ומאחר»

\begin{aligned}P(L) &= 0.12 + 0.06 \\ &= 0.18\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה: מחברים את המסלולים

$0.18$ . המלכודת: לחבר $0.18$ בלי לכפול בהסתברות של כל קבוצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

איך מגיעים לבית הספר, ומי מאחר

בתיכון בחיפה $40\%$ מהתלמידים מגיעים לבית הספר באוטובוס, והשאר ברגל או באופניים. מבין הנוסעים באוטובוס, $30\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע; מבין שאר התלמידים, $10\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע. ההסתברות שתלמיד מקרי מאחר לפחות פעם בשבוע היא $0.18$ . ב. נבחר תלמיד שמאחר לפחות פעם בשבוע. מה ההסתברות שהוא נוסע באוטובוס? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.67

הפתרון:

P(B \mid L) = \frac{P(B \cap L)}{P(L)}

הסתברות מותנית

= \frac{0.12}{0.18} = \frac{2}{3} \approx 0.67

המונה: המסלול «אוטובוס ומאחר» מסעיף א

$\frac{2}{3} \approx 0.67$ . המלכודת: לענות $0.3$ — זו $0.3$ , ההסתברות לאחר בהינתן אוטובוס; כאן התנאי הפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בתיכון בחיפה $40\%$ מהתלמידים מגיעים לבית הספר באוטובוס, והשאר ברגל או באופניים. מבין הנוסעים באוטובוס, $30\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע; מבין שאר התלמידים, $10\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע. ההסתברות שתלמיד מקרי מאחר לפחות פעם בשבוע היא $0.18$ . ג. בוחרים באקראי שני תלמידים מבית הספר (הבחירות בלתי תלויות). מה ההסתברות שבדיוק אחד מהם מאחר לפחות פעם בשבוע? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3

הפתרון:

0.18 \cdot 0.82 = 0.1476

המסלול «הראשון מאחר, השני לא»

0.82 \cdot 0.18 = 0.1476

המסלול «הראשון לא, השני מאחר»

0.1476 + 0.1476 = 0.2952 \approx 0.30

שני מסלולים זרים: מחברים

$0.2952 \approx 0.30$ . המלכודת: לחשב רק מסלול אחד ולקבל $0.15$ — «בדיוק אחד» יכול להיות הראשון או השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

איך מגיעים לבית הספר, ומי מאחר

בתיכון בחיפה $40\%$ מהתלמידים מגיעים לבית הספר באוטובוס, והשאר ברגל או באופניים. מבין הנוסעים באוטובוס, $30\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע; מבין שאר התלמידים, $10\%$ מאחרים לפחות פעם בשבוע. ההסתברות שתלמיד מקרי מאחר לפחות פעם בשבוע היא $0.18$ . ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «התלמיד נוסע באוטובוס» ו«התלמיד מאחר לפחות פעם בשבוע» בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

P(L \mid B) = 0.3

נתון: מבין הנוסעים באוטובוס

P(L) = 0.18

סעיף א

0.3 \ne 0.18

בלתי תלויים אם ורק אם $P(L \mid B) = P(L)$

הטענה שגויה: הנסיעה באוטובוס משנה את ההסתברות לאחר, ולכן המאורעות תלויים. בדיקה נוספת: $P(B \cap L) = 0.12 \ne 0.4 \cdot 0.18 = 0.072$ . המלכודת: לבלבל «בלתי תלויים» עם «זרים».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

(המשך לשאלה 1.) בכיתה אחת בבית הספר $20$ תלמידים, ו- $n$ מהם נוסעים באוטובוס. בוחרים באקראי שני תלמידים שונים מהכיתה, בזה אחר זה. ההסתברות ששניהם נוסעים באוטובוס היא $n$ . ה. מצאו את $n$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\frac{n}{20} \cdot \frac{n - 1}{19} = \frac{33}{95}

בלי החזרה: בבחירה השנייה נשארו $n - 1$ מתוך $19$

\begin{aligned}n(n - 1) &= 380 \cdot \frac{33}{95} \\ &= 132\end{aligned}

כופלים ב- $380$

\begin{aligned}n^2 - n - 132 &= 0 \Rightarrow n \\ &= 12\end{aligned}

משוואה ריבועית; $n = -11$ נפסל

$n = 12$ . המלכודת: לכתוב $\left(\frac{n}{20}\right)^2$ , כאילו התלמיד הראשון חוזר לכיתה — אותו תלמיד אינו יכול להיבחר פעמיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — משולש ומרובע חסומים במעגל, במערכת צירים

תרגיל 6

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . א. הוכיחו או הפריכו: $\angle ACB = 90^\circ$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{5 - 6}{6 - (-1)} \\ &= -\frac{1}{7}\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

\begin{aligned}m_{CB} &= \frac{-2 - 5}{5 - 6} \\ &= 7\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

m_{AC} \cdot m_{CB} = -1

מכפלת שיפועים $-1$ : הישרים מאונכים

הטענה נכונה. המלכודת: להשוות את השיפועים עצמם ( $-\frac{1}{7}$ ו- $7$ ) ולומר «לא מאונכים כי השיפועים שונים» — בודקים את המכפלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . הוכח ש- $\angle ACB = 90^\circ$ . ב. מצאו את מרכז המעגל $M$ החוסם את המשולש $M$ .

$x_M =$ ____ , $y_M =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_M =$ 2 , $y_M =$ 2

הפתרון:

\begin{aligned}\angle ACB &= 90^\circ \Rightarrow AB \\ &= 2R\end{aligned}

זווית היקפית ישרה נשענת על קוטר: $AB$ קוטר

\begin{aligned}M &= \left(\frac{-1 + 5}{2}, \frac{6 - 2}{2}\right) \\ &= (2, 2)\end{aligned}

המרכז הוא אמצע הקוטר

$M(2, 2)$ . המלכודת: לחפש חיתוך של שני אנכים אמצעיים — אפשר, אבל במשולש ישר זווית המרכז הוא פשוט אמצע היתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . $\angle ACB = 90^\circ$ , ומרכז המעגל החוסם את המשולש הוא $M(2, 2)$ . ג. כתבו את משוואת המעגל החוסם.

$(x -$ ____ $)^2 + (y -$ ____ $)^2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x -$ 2 $)^2 + (y -$ 2 $)^2 =$ 25

הפתרון:

\begin{aligned}R^2 &= MA^2 \\ &= (-1 - 2)^2 + (6 - 2)^2 \\ &= 25\end{aligned}

נוסחת המרחק בריבוע

(x-2)^2 + (y-2)^2 = 25

משוואת מעגל

C:\ 4^2 + 3^2 = 25

בדיקה: $C$ על המעגל ✓

$(x-2)^2 + (y-2)^2 = 25$ . המלכודת: לכתוב $(x+2)^2$ — הסימן בסוגריים הפוך לשיעור המרכז.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . $\angle ACB = 90^\circ$ , ומרכז המעגל החוסם את המשולש הוא $M(2, 2)$ . משוואת המעגל: $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 25$ . $D$ היא הנקודה שבעבורה $ACBD$ מקבילית. ד. מצאו את שיעורי $D$ .

$D$ ____ , $y_D =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x_D =$ -2 , $y_D =$ -1

הפתרון:

\begin{aligned}M_{AB} &= M_{CD} \\ &= (2, 2)\end{aligned}

במקבילית $ACBD$ האלכסונים $AB$ ו- $CD$ חוצים זה את זה

\begin{aligned}D &= (2 \cdot 2 - 6,\ 2 \cdot 2 - 5) \\ &= (-2, -1)\end{aligned}

נוסחת אמצע קטע, הפוכה

(-4)^2 + (-3)^2 = 25

בדיקה: גם $D$ על המעגל

$D(-2, -1)$ . המלכודת: לקרוא את המרובע $ACBD$ בסדר אחר — הקודקוד $D$ מול $D$ , ולכן $C$ הוא אלכסון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . $\angle ACB = 90^\circ$ , ומרכז המעגל החוסם את המשולש הוא $M(2, 2)$ . משוואת המעגל: $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 25$ . $D(-2, -1)$ , ו- $ACBD$ מקבילית. ה. מה סוג המרובע $ACBD$ ?

ריבוע
מקבילית שאינה מלבן ואינה מעוין
מלבן שאינו ריבוע
מעוין שאינו ריבוע

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ריבוע

הפתרון:

\angle ACB = 90^\circ

מקבילית עם זווית ישרה היא מלבן

\begin{aligned}AC &= \sqrt{7^2 + 1^2} \\ &= \sqrt{50} \\ \quad CB &= \sqrt{1^2 + 7^2} \\ &= \sqrt{50}\end{aligned}

נוסחת המרחק: שתי צלעות סמוכות שוות

\begin{aligned}AC &= CB \\ \quad \angle ACB &= 90^\circ\end{aligned}

מלבן שיש בו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע

ריבוע. המלכודת: לעצור ב«מלבן» — צריך לבדוק גם אורכים. בדיקה: האלכסונים $AB$ ו- $CD$ שווים ( $10$ ) ומאונכים ( $-\frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = -1$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון המשולש $ABC$ : $A(-1, 6)$ , $B(5, -2)$ , $C(6, 5)$ . $\angle ACB = 90^\circ$ , ומרכז המעגל החוסם את המשולש הוא $M(2, 2)$ . משוואת המעגל: $(x-2)^2 + (y-2)^2 = 25$ . $D(-2, -1)$ , ו- $ACBD$ ריבוע. ו. חשבו את שטח הריבוע $ACBD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

\begin{aligned}S &= AC^2 \\ &= (\sqrt{50})^2 \\ &= 50\end{aligned}

שטח ריבוע: צלע בריבוע

\begin{aligned}S &= \frac{AB \cdot CD}{2} \\ &= \frac{10 \cdot 10}{2} \\ &= 50\end{aligned}

בדיקה: מחצית מכפלת האלכסונים המאונכים

השטח $50$ . המלכודת: לקחת את הקוטר $50$ כצלע ולקבל $100$ — הקוטר הוא האלכסון של הריבוע החסום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — בעיית ערך קיצון

תרגיל 12

הגרף של

f

והמלבן

OAPB

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x) = \frac{4}{x^2}$ ברביע הראשון, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ( $t$ ). מ- $P$ מורידים אנכים לצירים: $A$ על ציר ה- $x$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ . $y$ ראשית הצירים, ו- $OAPB$ מלבן. א. הביעו את היקף המלבן $OAPB$ בעזרת $t$ .

$L(t) = 2t + \frac{8}{t}$
$L(t) = \frac{4}{t}$
$L(t) = t + \frac{4}{t^2}$
$L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$

הפתרון:

\begin{aligned}OA &= t \\ \quad AP &= f(t) \\ &= \frac{4}{t^2}\end{aligned}

אורך המלבן: ה- $x$ של $x$ ; רוחבו: ה- $P$ של $P$

\begin{aligned}L(t) &= 2\left(t + \frac{4}{t^2}\right) \\ &= 2t + \frac{8}{t^2}\end{aligned}

היקף מלבן: פעמיים סכום שתי צלעות סמוכות

$L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$ . המלכודת: $\frac{4}{t}$ הוא השטח ( $t \cdot \frac{4}{t^2}$ ), ו- $t + \frac{4}{t^2}$ הוא רק חצי היקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

הגרף של

f

והמלבן

OAPB

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x) = \frac{4}{x^2}$ ברביע הראשון, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ( $t$ ). מ- $P$ מורידים אנכים לצירים: $A$ על ציר ה- $x$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ . $y$ ראשית הצירים, ו- $OAPB$ מלבן. היקף המלבן: $L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$ . ב. מצאו את $t$ שבעבורו היקף המלבן מינימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

L'(t) = 2 - \frac{16}{t^3}

גוזרים: $\left(\frac{8}{t^2}\right)' = -\frac{16}{t^3}$

\begin{aligned}2 - \frac{16}{t^3} &= 0 \Rightarrow t^3 \\ &= 8 \Rightarrow t \\ &= 2\end{aligned}

משווים לאפס

\begin{aligned}L'(1) &= -14 < 0 \\ \quad L'(4) &= 1.75 > 0\end{aligned}

טבלת סימנים: יורדת ואחר כך עולה — מינימום

$t = 2$ . המלכודת: לא להוכיח שזה מינימום — בלי טבלת סימנים (או בדיקה בשני הצדדים) נקודה עם $L' = 0$ יכולה להיות גם מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הגרף של

f

והמלבן

OAPB

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x) = \frac{4}{x^2}$ ברביע הראשון, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ( $t$ ). מ- $P$ מורידים אנכים לצירים: $A$ על ציר ה- $x$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ . $y$ ראשית הצירים, ו- $OAPB$ מלבן. היקף המלבן: $L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$ . ההיקף מינימלי כש- $t = 2$ . ג. מהו ההיקף המינימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

\begin{aligned}L(2) &= 2 \cdot 2 + \frac{8}{4} \\ &= 4 + 2 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים $t = 2$ בפונקציית ההיקף

ההיקף המינימלי $6$ ; המלבן: $6$ על $2$ , ו- $P(2, 1)$ . המלכודת: להציב בנגזרת, או לענות $2$ — זה ה- $2$ , לא ההיקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

הגרף של

f

והמלבן

OAPB

הנקודה $P$ נמצאת על הגרף של $f(x) = \frac{4}{x^2}$ ברביע הראשון, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $t$ ( $t$ ). מ- $P$ מורידים אנכים לצירים: $A$ על ציר ה- $x$ ו- $B$ על ציר ה- $B$ . $y$ ראשית הצירים, ו- $OAPB$ מלבן. היקף המלבן: $L(t) = 2t + \frac{8}{t^2}$ . ההיקף המינימלי הוא $6$ , והוא מתקבל כש- $t = 2$ . ד. הוכיחו או הפריכו: יש נקודה $P$ על הגרף שבעבורה היקף המלבן $OAPB$ הוא $5$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

L(t) \ge L(2) = 6

$L$ יורדת עד $t = 2$ ועולה אחריו: $6$ הוא הערך הקטן ביותר

5 < 6

ההיקף הרצוי קטן מהמינימום

הטענה שגויה: כל היקף הוא לפחות $6$ . המלכודת: לחשוב שכל מספר חיובי אפשרי — המינימום הוא הגבול התחתון של ההיקפים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת