מבדק פתיחה 1

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבדק פתיחה 1 — תחילת י״א. המבדק שבית הספר עורך בשבועיים הראשונים של השנה, ברוח עבודת הקיץ: חזרה על החומר של כיתה י. 5 שאלות עם סעיפים, 22 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא של עבודת הקיץ: הסתברות, סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש ובעיית קיצון.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בהסתברות בנו טבלה דו-ממדית לפני שמחשבים, ובחקירה בנו טבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון.

תרגילים

שאלה 1 — הסתברות: אופניים וקסדות

תרגיל 1

בסקר שנערך בקרב רוכבי האופניים בעיר נמצא ש- $35\%$ מהרוכבים רוכבים על אופניים חשמליים, והשאר על אופניים רגילים. $80\%$ מרוכבי האופניים החשמליים חובשים קסדה, ו- $37\%$ מכלל הרוכבים הם רוכבי אופניים רגילים שאינם חובשים קסדה. בוחרים באקראי רוכב אחד. א. מהי ההסתברות שהרוכב רוכב על אופניים חשמליים וחובש קסדה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.28

הפתרון:

P(\text{E}) = 0.35

ההסתברות לאופניים חשמליים

P(\text{H} \mid \text{E}) = 0.8

$80\%$ מרוכבי החשמליים — הסתברות מותנית

\begin{aligned}P(\text{E} \cap \text{H}) &= 0.35 \cdot 0.8 \\ &= 0.28\end{aligned}

כלל הכפל

$0.28$ . המלכודת: לענות $0.28$ — זו ההסתברות לקסדה מבין רוכבי החשמליים, לא מבין כל הרוכבים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בסקר שנערך בקרב רוכבי האופניים בעיר נמצא ש- $35\%$ מהרוכבים רוכבים על אופניים חשמליים, והשאר על אופניים רגילים. $80\%$ מרוכבי האופניים החשמליים חובשים קסדה, ו- $37\%$ מכלל הרוכבים הם רוכבי אופניים רגילים שאינם חובשים קסדה. בוחרים באקראי רוכב אחד. ההסתברות שהרוכב רוכב על אופניים חשמליים וחובש קסדה היא $0.28$ . ב. מהי ההסתברות שהרוכב חובש קסדה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.56

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{R}) &= 1 - 0.35 \\ &= 0.65\end{aligned}

רוכבי אופניים רגילים: המשלים

\begin{aligned}P(\text{R} \cap \text{H}) &= 0.65 - 0.37 \\ &= 0.28\end{aligned}

בשורת הרגילים: מי שלא חובש ומי שחובש משלימים ל- $0.65$

\begin{aligned}P(\text{H}) &= 0.28 + 0.28 \\ &= 0.56\end{aligned}

חובשי הקסדה: חשמליים ורגילים

$0.56$ . כדאי לבנות טבלה דו-ממדית: שורות חשמליים/רגילים, עמודות קסדה/בלי קסדה. המלכודת: לחסר $0.56$ מ- $1$ — ה- $37\%$ הם רק חלק משורת הרגילים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בסקר שנערך בקרב רוכבי האופניים בעיר נמצא ש- $35\%$ מהרוכבים רוכבים על אופניים חשמליים, והשאר על אופניים רגילים. $80\%$ מרוכבי האופניים החשמליים חובשים קסדה, ו- $37\%$ מכלל הרוכבים הם רוכבי אופניים רגילים שאינם חובשים קסדה. בוחרים באקראי רוכב אחד. נמצא שההסתברות שהרוכב רוכב על אופניים חשמליים וחובש קסדה היא $0.28$ , וההסתברות שהוא חובש קסדה היא $0.56$ . ג. ידוע שהרוכב שנבחר חובש קסדה. מהי ההסתברות שהוא רוכב על אופניים חשמליים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.5

הפתרון:

P(\text{E} \mid \text{H}) = \frac{P(\text{E} \cap \text{H})}{P(\text{H})}

הסתברות מותנית: המכנה הוא מה שידוע

= \frac{0.28}{0.56} = 0.5

מציבים

$0.5$ : מחצית חובשי הקסדה רוכבים על חשמליים. המלכודת: לחלק ב- $0.5$ — זה היה נותן את $0.35$ , ההפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בסקר שנערך בקרב רוכבי האופניים בעיר נמצא ש- $35\%$ מהרוכבים רוכבים על אופניים חשמליים, והשאר על אופניים רגילים. $80\%$ מרוכבי האופניים החשמליים חובשים קסדה, ו- $37\%$ מכלל הרוכבים הם רוכבי אופניים רגילים שאינם חובשים קסדה. בוחרים באקראי רוכב אחד. נמצא שההסתברות שהרוכב חובש קסדה היא $0.56$ . ד. ידוע שהרוכב שנבחר אינו חובש קסדה. מהי ההסתברות שהוא רוכב על אופניים רגילים? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.841

הפתרון:

\begin{aligned}P(\overline{\text{H}}) &= 1 - 0.56 \\ &= 0.44\end{aligned}

מי שאינו חובש קסדה: המשלים

\begin{aligned}P(\text{R} \mid \overline{\text{H}}) &= \frac{0.37}{0.44} \\ &= \frac{37}{44} \approx 0.841\end{aligned}

הסתברות מותנית

$\frac{37}{44} \approx 0.841$ . בדיקה: בעמודת «בלי קסדה» יש $0.07$ חשמליים ו- $0.37$ רגילים, ו- $0.07 + 0.37 = 0.44$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה: נוסעים במכונית

תרגיל 5

מספר הנוסעים, כולל הנהג, ב-40 מכוניות

בבוקר אחד ספרו את מספר הנוסעים (כולל הנהג) בכל אחת מ- $40$ המכוניות שעברו בצומת. הדיאגרמה מתארת כמה מכוניות היו עם כל מספר של נוסעים. א. מהו השכיח, ומהו החציון של מספר הנוסעים?

השכיח: ____ ; החציון: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השכיח: 1 ; החציון: 2

הפתרון:

f(1) = 12

העמודה הגבוהה ביותר: השכיח הוא $1$ נוסע

n = 40 \Rightarrow \frac{x_{20} + x_{21}}{2}

מספר זוגי של נתונים: החציון הוא ממוצע שני האמצעיים

\begin{aligned}12 < 20 \\ \ 21 \le 12 + 10 &= 22\end{aligned}

השכיחות המצטברת: המקומות $13$ עד $22$ הם מכוניות עם $2$ נוסעים

\begin{aligned}\text{Me} &= \frac{2 + 2}{2} \\ &= 2\end{aligned}

החציון

השכיח $1$ , החציון $2$ . המלכודת: לענות $2$ — זו השכיחות של השכיח, לא הערך שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מספר הנוסעים, כולל הנהג, ב-40 מכוניות

בבוקר אחד ספרו את מספר הנוסעים (כולל הנהג) בכל אחת מ- $40$ המכוניות שעברו בצומת. הדיאגרמה מתארת כמה מכוניות היו עם כל מספר של נוסעים. ב. חשבו את הממוצע של מספר הנוסעים במכונית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.45

הפתרון:

\begin{aligned}\sum x_i f_i &= 1 \cdot 12 + 2 \cdot 10 + 3 \cdot 9 + 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 \\ &= 98\end{aligned}

סכום כל הנוסעים

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{98}{40} \\ &= 2.45\end{aligned}

מחלקים במספר המכוניות

$\bar{x} = 2.45$ . המלכודת: לחלק ב- $5$ (מספר העמודות) — מחלקים במספר הנתונים, $5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מספר הנוסעים, כולל הנהג, ב-40 מכוניות

בבוקר אחד ספרו את מספר הנוסעים (כולל הנהג) בכל אחת מ- $40$ המכוניות שעברו בצומת. הדיאגרמה מתארת כמה מכוניות היו עם כל מספר של נוסעים. ג. באיזה אחוז מהמכוניות היו יותר משני נוסעים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

9 + 6 + 3 = 18

מכוניות עם $3$ , $3$ או $5$ נוסעים

\frac{18}{40} \cdot 100 = 45\%

אחוז מתוך כל המכוניות

$45\%$ . המלכודת: לכלול את המכוניות עם $2$ נוסעים — «יותר משני» מתחיל ב- $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מספר הנוסעים, כולל הנהג, ב-40 מכוניות

בבוקר אחד ספרו את מספר הנוסעים (כולל הנהג) בכל אחת מ- $40$ המכוניות שעברו בצומת. הדיאגרמה מתארת כמה מכוניות היו עם כל מספר של נוסעים. סכום כל הנוסעים ב- $40$ המכוניות הוא $40$ . מאוחר יותר עברו בצומת עוד $98$ מכוניות, ובכל אחת מהן $3$ נוסעים. ד. מהו הממוצע החדש, ומהו החציון החדש, של $50$ המכוניות?

הממוצע החדש: ____ ; החציון החדש: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע החדש: 2.56 ; החציון החדש: 3

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{98 + 10 \cdot 3}{50} \\ &= \frac{128}{50} \\ &= 2.56\end{aligned}

הממוצע: סכום חדש חלקי מספר חדש

\begin{aligned}f(3) &= 9 + 10 \\ &= 19\end{aligned}

השכיחות של $3$ גדלה

12 ,\ 22 ,\ 41

שכיחות מצטברת: $1$ , $2$ , $2$ נוסעים

\begin{aligned}n &= 50:\ x_{25} \\ &= x_{26} \\ &= 3 \Rightarrow \text{Me} \\ &= 3\end{aligned}

שני האמצעיים נמצאים בין המקומות $23$ ל- $41$

הממוצע $41$ והחציון $2.56$ . החציון קפץ מ- $3$ ל- $2$ , כי כל המכוניות החדשות נוספו מעל החציון הישן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — גאומטריה משולבת: ישר מקביל בתוך משולש

תרגיל 9

במשולש $ABC$ נתון: $A(2, 8)$ , $B(-2, 0)$ , $C(4, 0)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $E$ . א. מצאו את משוואת הישר $AC$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ -4 $x +$ 16

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{0 - 8}{4 - 2} \\ &= -4\end{aligned}

שיפוע דרך שתי נקודות

\begin{aligned}y - 0 &= -4(x - 4) \Rightarrow y \\ &= -4x + 16\end{aligned}

ישר דרך $C$ בשיפוע $-4$

-4 \cdot 2 + 16 = 8

בדיקה עם $A$ ✓

$y = -4x + 16$ . המלכודת: טעות סימן בהפרש $0 - 8$ — בודקים תמיד עם הנקודה השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

במשולש $ABC$ נתון: $A(2, 8)$ , $B(-2, 0)$ , $C(4, 0)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $E$ . משוואת $E$ היא $y = -4x + 16$ . ב. מצאו את שיעורי הנקודות $D$ ו- $D$ .

$E$ ( ____ , ____ ) ; $E =$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D =$ ( 1 , 6 ) ; $E =$ ( 2.5 , 6 )

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{8 - 0}{2 - (-2)} \\ &= 2 \Rightarrow y \\ &= 2x + 4\end{aligned}

משוואת $AB$ : דרך $B$ בשיפוע $2$

\begin{aligned}6 &= 2x + 4 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

$D$ על $AB$ ועל $y = 6$

\begin{aligned}6 &= -4x + 16 \Rightarrow x \\ &= 2.5\end{aligned}

$E$ על $AC$ ועל $y = 6$

$D(1, 6)$ ו- $E(2.5, 6)$ . ה- $y$ של שתיהן ידוע מראש: הן על הישר האופקי $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

במשולש $ABC$ נתון: $A(2, 8)$ , $B(-2, 0)$ , $C(4, 0)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $E$ . נמצא: $D(1, 6)$ , $E(2.5, 6)$ . ג. מדוע $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ , ומהו יחס הדמיון $\frac{DE}{BC}$ ?

ז.ז — $DE \parallel BC$ , ולכן הזוויות המתאימות שוות; היחס $\frac{1}{4}$
ז.ז — $DE \parallel BC$ , ולכן הזוויות המתאימות שוות; היחס $\frac{1}{3}$
ז.ז — $DE \parallel BC$ , ולכן הזוויות המתאימות שוות; היחס $\frac{3}{4}$
צ.צ.צ — כל הצלעות ידועות; היחס $\frac{1}{4}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ז.ז — $DE \parallel BC$ , ולכן הזוויות המתאימות שוות; היחס $\frac{1}{4}$

הפתרון:

DE \parallel BC

שני הישרים אופקיים: $y = 6$ ו- $y = 0$

\begin{aligned}\angle ADE &= \angle ABC \\ \ \angle AED &= \angle ACB\end{aligned}

זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים; $\angle A$ משותפת

\begin{aligned}DE &= 2.5 - 1 \\ &= 1.5 \\ \quad BC &= 4 - (-2) \\ &= 6\end{aligned}

קטעים אופקיים: הפרש שיעורי ה- $x$

\begin{aligned}\frac{DE}{BC} &= \frac{1.5}{6} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

יחס הדמיון

ז.ז, ויחס $\frac{1}{4}$ . בדיקה בגבהים: מ- $A$ לישר $DE$ המרחק $8 - 6 = 2$ , ומ- $A$ ל- $BC$ המרחק $8$ — שוב $8$ . המלכודת: $\frac{1}{3}$ הוא היחס $AD : DB$ , לא $AD : AB$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

במשולש $ABC$ נתון: $A(2, 8)$ , $B(-2, 0)$ , $C(4, 0)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $E$ . נמצא: $D(1, 6)$ , $E(2.5, 6)$ , ו- $\triangle ADE \sim \triangle ABC$ ביחס $\frac{1}{4}$ . ד. חשבו את שטח הטרפז $DBCE$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22.5

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{6 \cdot 8}{2} \\ &= 24\end{aligned}

בסיס $BC = 6$ , הגובה מ- $A$ הוא $8$

\begin{aligned}\frac{S_{ADE}}{S_{ABC}} &= \left(\frac{1}{4}\right)^2 \\ &= \frac{1}{16} \Rightarrow S_{ADE} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

\begin{aligned}S_{DBCE} &= 24 - 1.5 \\ &= 22.5\end{aligned}

הטרפז הוא המשולש הגדול פחות הקטן

$22.5$ . בדיקה בנוסחת הטרפז: $22.5$ ✓. המלכודת: לחשב את $S_{ADE}$ ביחס $\frac{1}{4}$ ולא $\frac{1}{16}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

במשולש $ABC$ נתון: $A(2, 8)$ , $B(-2, 0)$ , $C(4, 0)$ . הישר $y = 6$ חותך את הצלע $AB$ בנקודה $D$ ואת הצלע $AC$ בנקודה $E$ . ה. חשבו את גודל הזווית $\angle ACB$ (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 75.96

הפתרון:

H(2, 0)

עקב הגובה מ- $A$ לציר ה- $x$

\begin{aligned}\tan\angle ACB &= \frac{AH}{HC} \\ &= \frac{8}{4 - 2} \\ &= 4\end{aligned}

במשולש ישר הזווית $AHC$ : ניצב מול חלקי ניצב ליד

\angle ACB \approx 75.96^\circ

פונקציה הפוכה במחשבון

$\angle ACB \approx 75.96^\circ$ . אפשר גם מהשיפוע: $m_{AC} = -4$ , והזווית החדה עם ציר ה- $x$ מקיימת $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה עם שורש

תרגיל 14

נתונה הפונקציה $f(x) = x + 4\sqrt{5 - x}$ . א. מהו תחום ההגדרה של $f$ ?

$x < 5$
$x \ge 0$
$x \ge 5$
$x \le 5$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $x \le 5$

הפתרון:

5 - x \ge 0

ביטוי בתוך שורש ריבועי חייב להיות אי-שלילי

x \le 5

פותרים: מעבירים אגף והופכים את סימן אי-השוויון

$x \le 5$ . המלכודת: $x < 5$ — השורש של $0$ מוגדר, ו- $0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונה הפונקציה $f(x) = x + 4\sqrt{5 - x}$ . תחום ההגדרה: $x \le 5$ . ב. מהי הנגזרת $f'(x)$ , בתחום $x < 5$ ?

$1 + \dfrac{2}{\sqrt{5 - x}}$
$1 - \dfrac{1}{2\sqrt{5 - x}}$
$1 - \dfrac{4}{\sqrt{5 - x}}$
$1 - \dfrac{2}{\sqrt{5 - x}}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $1 - \dfrac{2}{\sqrt{5 - x}}$

הפתרון:

(\sqrt{5 - x})' = \frac{-1}{2\sqrt{5 - x}}

נגזרת של $\sqrt{g(x)}$ היא $\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$ , ו- $g'(x) = -1$

\begin{aligned}f'(x) &= 1 + 4 \cdot \frac{-1}{2\sqrt{5 - x}} \\ &= 1 - \frac{2}{\sqrt{5 - x}}\end{aligned}

מצמצמים $\frac{4}{2} = 2$

המלכודת: לשכוח את נגזרת הפנים, $-1$ , ולקבל סימן $+$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

נתונה הפונקציה $f(x) = x + 4\sqrt{5 - x}$ . הנגזרת: $f'(x) = 1 - \frac{2}{\sqrt{5 - x}}$ , בתחום $x < 5$ . ג. מהם תחומי העלייה והירידה של $f$ , ומהי נקודת הקיצון הפנימית שלה?

עולה ב- $x < 1$ , יורדת ב- $x > 1$ ; מקסימום $(1, 9)$
יורדת ב- $x < 1$ , עולה ב- $1 < x < 5$ ; מינימום $(1, 9)$
עולה ב- $x < 1$ , יורדת ב- $1 < x < 5$ ; מקסימום $(1, 9)$
עולה ב- $x < 4$ , יורדת ב- $4 < x < 5$ ; מקסימום $(4, 8)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג עולה ב- $x < 1$ , יורדת ב- $1 < x < 5$ ; מקסימום $(1, 9)$

הפתרון:

\begin{aligned}1 - \frac{2}{\sqrt{5 - x}} &= 0 \Rightarrow \sqrt{5 - x} \\ &= 2 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

משווים את הנגזרת לאפס

\begin{aligned}f'(-4) &= 1 - \frac{2}{3} > 0 \\ \quad f'(4) &= 1 - 2 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: נקודה משמאל ונקודה מימין ל- $1$

\begin{aligned}f(1) &= 1 + 4\sqrt{4} \\ &= 9\end{aligned}

ערך הפונקציה בנקודת הקיצון

עולה ב- $x < 1$ , יורדת ב- $1 < x < 5$ , ומקסימום $(1, 9)$ . בקצה התחום $(5, 5)$ יש מינימום קצה. המלכודת: לכתוב «יורדת ב- $x > 1$ » — מימין ל- $5$ הפונקציה לא מוגדרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתונה הפונקציה $f(x) = x + 4\sqrt{5 - x}$ . לפונקציה מקסימום $(1, 9)$ , והיא מוגדרת ב- $x \le 5$ . ד. מצאו את שיעור ה- $x$ של נקודת החיתוך של גרף $f$ עם ציר ה- $f$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -20

הפתרון:

\begin{aligned}x + 4\sqrt{5 - x} &= 0 \Rightarrow 4\sqrt{5 - x} \\ &= -x\end{aligned}

מבודדים את השורש

\begin{aligned}16(5 - x) &= x^2 \Rightarrow x^2 + 16x - 80 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}(x + 20)(x - 4) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -20 \\ \quad x &= 4\end{aligned}

פותרים

\begin{aligned}f(4) &= 4 + 4 \\ &= 8 \ne 0 \\ \quad f(-20) &= -20 + 4 \cdot 5 \\ &= 0\end{aligned}

בודקים במשוואה המקורית: $x = 4$ נפסל

$x = -20$ . המלכודת: לא לבדוק אחרי העלאה בריבוע — $x = 4$ פותר את המשוואה הריבועית, אבל שם $-x < 0$ ושורש אינו שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

נתונה הפונקציה $f(x) = x + 4\sqrt{5 - x}$ . הנגזרת: $f'(x) = 1 - \frac{2}{\sqrt{5 - x}}$ . ה. מצאו את משוואת המשיק לגרף $f$ בנקודה שבה $f$ .

$y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 0.5 $x +$ 10.5

הפתרון:

\begin{aligned}f(-11) &= -11 + 4\sqrt{16} \\ &= 5\end{aligned}

נקודת ההשקה $(-11, 5)$

\begin{aligned}f'(-11) &= 1 - \frac{2}{4} \\ &= 0.5\end{aligned}

שיפוע המשיק

\begin{aligned}y - 5 &= 0.5(x + 11) \Rightarrow y \\ &= 0.5x + 10.5\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

$y = 0.5x + 10.5$ . המלכודת: להציב $x = -11$ בנגזרת ולשכוח למצוא את $y$ של הנקודה בפונקציה עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — בעיית קיצון: גדר לאורך קיר

תרגיל 19

הקו העבה DC הוא הקיר; AD, EF ו-BC הן שלוש הצלעות המאונכות לקיר

חקלאית מגדרת שטח מלבני הצמוד לקיר ארוך: בצד הקיר אין צורך בגדר. מחיצה מאונכת לקיר מחלקת את השטח לשתי חלקות, ויש לה $60$ מטר גדר בסך הכול, כולל המחיצה. נסמן ב- $x$ את האורך (במטרים) של כל אחת משלוש הצלעות המאונכות לקיר. א. מהו אורך הצלע המקבילה לקיר, בעזרת $x$ ?

$60 - 2x$
$\dfrac{60 - 3x}{2}$
$30 - x$
$60 - 3x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $60 - 3x$

הפתרון:

3x + AB = 60

הגדר: שלוש צלעות מאונכות ( $AD$ , $EF$ , $BC$ ) וצלע אחת מקבילה ( $AB$ )

AB = 60 - 3x

מבודדים

$60 - 3x$ . המלכודת: $60 - 2x$ שוכח את המחיצה, ו- $\frac{60 - 3x}{2}$ מגדר גם את הקיר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

הקו העבה DC הוא הקיר; AD, EF ו-BC הן שלוש הצלעות המאונכות לקיר

חקלאית מגדרת שטח מלבני הצמוד לקיר ארוך: בצד הקיר אין צורך בגדר. מחיצה מאונכת לקיר מחלקת את השטח לשתי חלקות, ויש לה $60$ מטר גדר בסך הכול, כולל המחיצה. נסמן ב- $x$ את האורך (במטרים) של כל אחת משלוש הצלעות המאונכות לקיר. הצלע המקבילה לקיר היא $x$ . ב. הביעו את שטח המלבן $S(x)$ , וכתבו את תחום הערכים של $x$ .

$x$ ____ $x^2 +$ ____ $x$ ; התחום: $0 < x <$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $S(x) =$ -3 $x^2 +$ 60 $x$ ; התחום: $0 < x <$ 20

הפתרון:

\begin{aligned}S(x) &= x(60 - 3x) \\ &= -3x^2 + 60x\end{aligned}

שטח מלבן: אורך כפול רוחב

60 - 3x > 0 \Rightarrow x < 20

אורך הצלע המקבילה חייב להיות חיובי

$S(x) = -3x^2 + 60x$ , ב- $0 < x < 20$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

הקו העבה DC הוא הקיר; AD, EF ו-BC הן שלוש הצלעות המאונכות לקיר

חקלאית מגדרת שטח מלבני הצמוד לקיר ארוך: בצד הקיר אין צורך בגדר. מחיצה מאונכת לקיר מחלקת את השטח לשתי חלקות, ויש לה $60$ מטר גדר בסך הכול, כולל המחיצה. נסמן ב- $x$ את האורך (במטרים) של כל אחת משלוש הצלעות המאונכות לקיר. שטח המלבן הוא $x$ , ב- $0 < x < 20$ . ג. לאיזה ערך של $x$ השטח מקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

\begin{aligned}S'(x) &= -6x + 60 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

משווים את הנגזרת לאפס

\begin{aligned}S'(5) &= 30 > 0 \\ \quad S'(15) &= -30 < 0\end{aligned}

הנגזרת עוברת מחיובית לשלילית: מקסימום

$x = 10$ מטר. אפשר גם בלי נגזרת: $S$ פרבולה בוכה, והמקסימום בקודקוד $S$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

הקו העבה DC הוא הקיר; AD, EF ו-BC הן שלוש הצלעות המאונכות לקיר

חקלאית מגדרת שטח מלבני הצמוד לקיר ארוך: בצד הקיר אין צורך בגדר. מחיצה מאונכת לקיר מחלקת את השטח לשתי חלקות, ויש לה $60$ מטר גדר בסך הכול, כולל המחיצה. נסמן ב- $x$ את האורך (במטרים) של כל אחת משלוש הצלעות המאונכות לקיר. שטח המלבן הוא $x$ , והוא מקסימלי כאשר $x = 10$ . ד. מהו השטח המקסימלי (במ״ר)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 300

הפתרון:

\begin{aligned}AB &= 60 - 3 \cdot 10 \\ &= 30\end{aligned}

הצלע המקבילה לקיר

\begin{aligned}S(10) &= 10 \cdot 30 \\ &= 300\end{aligned}

השטח המקסימלי

$300$ מ״ר: מלבן של $10$ על $30$ מטר. המלכודת: לענות $10$ — זה ה- $x$ של המקסימום, לא השטח.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת