מבדק פתיחה 2

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבדק פתיחה 2 — תחילת י״א. המבדק שבית הספר עורך בשבועיים הראשונים של השנה, ברוח עבודת הקיץ: חזרה על החומר של כיתה י. 5 שאלות עם סעיפים, 22 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא של עבודת הקיץ: הסתברות, סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש ובעיית קיצון.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את התוצאות שלפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בהסתברות מותנית כתבו קודם מה ידוע — הוא המכנה. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה: «ז.ז», «יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון».

תרגילים

שאלה 1 — הסתברות: בית קפה

תרגיל 1

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. א. מהי ההסתברות שהלקוח מזמין קפה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

P(C)=pP(C‾)=1−p\begin{aligned}P(\text{C}) &= p \\ \quad P(\overline{\text{C}}) &= 1 - p\end{aligned}

מאורע ומשלימו

p=3(1−p)⇒4p=3⇒p=0.75\begin{aligned}p &= 3(1 - p) \Rightarrow 4p \\ &= 3 \Rightarrow p \\ &= 0.75\end{aligned}

«גדולה פי 33»: הגדולה שווה לשלוש פעמים הקטנה

0.750.75. המלכודת: p=13p = \frac{1}{3} — היחס 3:13 : 1 מחלק את השלם לארבעה חלקים, לא לשלושה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. ההסתברות שלקוח מזמין קפה היא 0.750.75. ב. מהי ההסתברות שהלקוח מזמין עוגה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

P(C∩K)=0.75⋅0.4=0.3\begin{aligned}P(\text{C} \cap \text{K}) &= 0.75 \cdot 0.4 \\ &= 0.3\end{aligned}

קפה ועוגה: כלל הכפל

P(C‾∩K)=0.1P(\overline{\text{C}} \cap \text{K}) = 0.1

עוגה בלי קפה: נתון מתוך כלל הלקוחות

P(K)=0.3+0.1=0.4\begin{aligned}P(\text{K}) &= 0.3 + 0.1 \\ &= 0.4\end{aligned}

עמודת העוגה בטבלה הדו-ממדית

0.40.4. המלכודת: לכפול גם את ה-10%10\% ב-0.250.25 — הוא כבר חלק מכל הלקוחות, לא מבין מי שאינו מזמין קפה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. נמצא: ההסתברות לקפה 0.750.75, לקפה ועוגה 0.30.3, ולעוגה 0.40.4. ג. ידוע שהלקוח הזמין עוגה. מהי ההסתברות שהזמין גם קפה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

P(C∣K)=P(C∩K)P(K)P(\text{C} \mid \text{K}) = \frac{P(\text{C} \cap \text{K})}{P(\text{K})}

הסתברות מותנית: מחלקים במה שידוע

=0.30.4=0.75= \frac{0.3}{0.4} = 0.75

מציבים

0.750.75. המלכודת: לענות 0.40.4 — זו P(K∣C)P(\text{K} \mid \text{C}), הכיוון ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בבית קפה נמצא שההסתברות שלקוח מזמין קפה גדולה פי 33 מההסתברות שהוא אינו מזמין קפה. 40%40\% מהלקוחות שמזמינים קפה מזמינים גם עוגה, ו-10%10\% מכלל הלקוחות מזמינים עוגה בלי קפה. בוחרים באקראי לקוח אחד. נמצא: ההסתברות שלקוח מזמין קפה היא 0.750.75, וגם ההסתברות שלקוח שהזמין עוגה הזמין קפה היא 0.750.75. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «הלקוח מזמין קפה» ו«הלקוח מזמין עוגה» בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

P(C∣K)=0.75=P(C)\begin{aligned}P(\text{C} \mid \text{K}) &= 0.75 \\ &= P(\text{C})\end{aligned}

הידיעה שהוזמנה עוגה לא שינתה את ההסתברות לקפה

P(C)⋅P(K)=0.75⋅0.4=0.3=P(C∩K)\begin{aligned}P(\text{C}) \cdot P(\text{K}) &= 0.75 \cdot 0.4 \\ &= 0.3 \\ &= P(\text{C} \cap \text{K})\end{aligned}

בדיקה בכלל הכפל של מאורעות בלתי תלויים ✓

הטענה נכונה. המלכודת: להסיק «תלויים» כי «הרבה לקוחות מזמינים את שניהם» — אי-תלות נבדקת במספרים, לא בתחושה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה: דירות שנמכרו

תרגיל 5

0123456723456מספר החדריםמספר הדירות
העמודה של הדירות בנות 4 חדרים נמחקה

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. העמודה של הדירות בנות 44 חדרים נמחקה. ידוע שהממוצע של מספר החדרים בדירות שנמכרו הוא 4.14.1. א. כמה דירות בנות 44 חדרים נמכרו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

2⋅3+3⋅6+5⋅7+6⋅4=833+6+7+4=20\begin{aligned}2 \cdot 3 + 3 \cdot 6 + 5 \cdot 7 + 6 \cdot 4 &= 83 \\ \quad 3 + 6 + 7 + 4 &= 20\end{aligned}

מה שידוע: סכום החדרים ומספר הדירות, בלי הדירות בנות 44

83+4f20+f=4.1\frac{83 + 4f}{20 + f} = 4.1

נוסחת הממוצע, עם ff דירות בנות 44 חדרים

83+4f=82+4.1f⇒0.1f=1⇒f=10\begin{aligned}83 + 4f &= 82 + 4.1f \Rightarrow 0.1f \\ &= 1 \Rightarrow f \\ &= 10\end{aligned}

פותרים

1010 דירות. המלכודת: לשכוח להוסיף את ff גם למכנה — הדירות החסרות משנות גם את מספר הנתונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

01234567891023456מספר החדריםמספר הדירות
הדירות שנמכרו בשכונה, לפי מספר החדרים

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. נמכרו 3030 דירות. ב. מהו השכיח, ומהו החציון של מספר החדרים?

השכיח: ____ ; החציון: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השכיח: 4 ; החציון: 4

הפתרון:

f(4)=10f(4) = 10

העמודה הגבוהה ביותר: השכיח 44

n=30⇒x15+x162n = 30 \Rightarrow \frac{x_{15} + x_{16}}{2}

מספר זוגי של נתונים

3, 9, 193 ,\ 9 ,\ 19

שכיחות מצטברת של 22, 33, 44 חדרים: המקומות 1010 עד 1919 הם 44 חדרים

Me=4+42=4\begin{aligned}\text{Me} &= \frac{4 + 4}{2} \\ &= 4\end{aligned}

החציון

השכיח 44 והחציון 44. שני מדדים שונים, שבמקרה יצאו שווים: השכיח נקבע לפי הגובה, החציון לפי המקום האמצעי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

01234567891023456מספר החדריםמספר הדירות
הדירות שנמכרו בשכונה, לפי מספר החדרים

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. נמכרו 3030 דירות. ג. איזה אחוז מהדירות שנמכרו הן בנות פחות מ-44 חדרים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

3+6=93 + 6 = 9

דירות בנות 22 או 33 חדרים

930⋅100=30%\frac{9}{30} \cdot 100 = 30\%

אחוז מתוך כל הדירות

30%30\%. המלכודת: לכלול את הדירות בנות 44 חדרים — «פחות מ-44» לא כולל את 44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

01234567891023456מספר החדריםמספר הדירות
הדירות שנמכרו בשכונה, לפי מספר החדרים

הדיאגרמה מתארת את הדירות שנמכרו בשכונה בשנה האחרונה, לפי מספר החדרים בדירה. נמכרו 3030 דירות, הממוצע 4.14.1 חדרים, החציון 44 והשכיח 44. אחר כך נמכרה עוד דירה אחת, בת 44 חדרים. ד. מה נכון לגבי 3131 הדירות?

  1. הממוצע קטן, והחציון משתנה ל-4.54.5
  2. הממוצע קטן, והחציון והשכיח לא משתנים
  3. הממוצע גדל, והחציון והשכיח לא משתנים
  4. הממוצע לא משתנה, כי 44 קרוב לממוצע
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב הממוצע קטן, והחציון והשכיח לא משתנים

הפתרון:

xˉ=123+431≈4.097<4.1\bar{x} = \frac{123 + 4}{31} \approx 4.097 < 4.1

נתון קטן מהממוצע מקטין אותו

n=31⇒x16=4\begin{aligned}n &= 31 \Rightarrow x_{16} \\ &= 4\end{aligned}

מספר אי-זוגי: החציון הוא הנתון במקום 1616, עדיין בין 1010 ל-2020

f(4)=11f(4) = 11

השכיח נשאר 44, ואף גדל בשכיחותו

הממוצע קטן מעט, והחציון והשכיח נשארים 44. המלכודת: «קרוב לממוצע» אינו «שווה לממוצע» — רק נתון השווה בדיוק ל-4.14.1 היה משאיר אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — גאומטריה משולבת: הגובה ליתר

תרגיל 9

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. א. מצאו את משוואת הישר ABAB.

y=y = ____ x+x + ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y = -0.5 x+x + 5

הפתרון:

mOB=42=2\begin{aligned}m_{OB} &= \frac{4}{2} \\ &= 2\end{aligned}

שיפוע דרך הראשית ו-BB

mAB=−12m_{AB} = -\frac{1}{2}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−4=−12(x−2)⇒y=−0.5x+5\begin{aligned}y - 4 &= -\frac{1}{2}(x - 2) \Rightarrow y \\ &= -0.5x + 5\end{aligned}

ישר דרך BB

y=−0.5x+5y = -0.5x + 5. המלכודת: להפוך רק את הסימן (−2-2) או רק את השבר (12\frac{1}{2}) — השיפוע המאונך הוא ההופכי הנגדי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. משוואת ABAB היא y=−0.5x+5y = -0.5x + 5. ב. מצאו את שיעורי הנקודה AA.

A=A = ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: A=A = ( 10 , 0 )

הפתרון:

0=−0.5x+50 = -0.5x + 5

AA על ציר ה-xx: מציבים y=0y = 0

x=10⇒A(10,0)x = 10 \Rightarrow A(10, 0)

פותרים

A(10,0)A(10, 0). בדיקה: mOB⋅mAB=2⋅(−0.5)=−1m_{OB} \cdot m_{AB} = 2 \cdot (-0.5) = -1 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. נמצא: A(10,0)A(10, 0), H(2,0)H(2, 0), ו-∠OBA=90∘\angle OBA = 90^\circ. ג. מדוע △OHB∼△BHA\triangle OHB \sim \triangle BHA?

  1. ז.ז — ∠BHO=∠AHB=90∘\angle BHO = \angle AHB = 90^\circ, ו-∠BOH=∠ABH\angle BOH = \angle ABH, כי שתיהן משלימות את ∠BAO\angle BAO ל-90∘90^\circ
  2. המשולשים חופפים, כי BHBH משותפת והזוויות ב-HH ישרות
  3. ז.ז — ∠BOH=∠BAH\angle BOH = \angle BAH, כי OB=ABOB = AB
  4. צ.ז.צ — BHBH צלע משותפת, ו-∠BHO=∠BHA\angle BHO = \angle BHA
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ז.ז — ∠BHO=∠AHB=90∘\angle BHO = \angle AHB = 90^\circ, ו-∠BOH=∠ABH\angle BOH = \angle ABH, כי שתיהן משלימות את ∠BAO\angle BAO ל-90∘90^\circ

הפתרון:

∠BHO=∠AHB=90∘\begin{aligned}\angle BHO &= \angle AHB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

BHBH אנך לציר ה-xx

∠BOA+∠BAO=90∘\angle BOA + \angle BAO = 90^\circ

במשולש OBAOBA הזווית BB ישרה

∠ABH+∠BAH=90∘\angle ABH + \angle BAH = 90^\circ

במשולש BHABHA הזווית HH ישרה

∠BOH=∠ABH⇒△OHB∼△BHA\angle BOH = \angle ABH \Rightarrow \triangle OHB \sim \triangle BHA

שתי זוויות שוות: דמיון לפי ז.ז

ז.ז. המלכודת: OB=ABOB = AB אינו נכון (20≠80\sqrt{20} \ne \sqrt{80}), ו-BHBH משותפת לא מספיקה לחפיפה — OH=2OH = 2 ו-HA=8HA = 8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. נמצא: A(10,0)A(10, 0), H(2,0)H(2, 0), ו-△OHB∼△BHA\triangle OHB \sim \triangle BHA. ד. מהו יחס השטחים SOHBSBHA\frac{S_{OHB}}{S_{BHA}}? כתבו כמספר עשרוני.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

OH=2 HB=4 HA=8\begin{aligned}OH &= 2 \\ \ HB &= 4 \\ \ HA &= 8\end{aligned}

קטעים על הצירים: הפרשי שיעורים

k=OHBH=HBHA=12\begin{aligned}k &= \frac{OH}{BH} \\ &= \frac{HB}{HA} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

יחס הדמיון: OHOH מתאימה ל-BHBH, ו-HBHB ל-HAHA

SOHBSBHA=k2=14=0.25\begin{aligned}\frac{S_{OHB}}{S_{BHA}} &= k^2 \\ &= \frac{1}{4} \\ &= 0.25\end{aligned}

יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון

0.250.25. בדיקה ישירה: SOHB=2⋅42=4S_{OHB} = \frac{2 \cdot 4}{2} = 4 ו-SBHA=8⋅42=16S_{BHA} = \frac{8 \cdot 4}{2} = 16 ✓. המלכודת: לענות 12\frac{1}{2} — זה יחס הדמיון, לא יחס השטחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונה הנקודה B(2,4)B(2, 4), ו-OO ראשית הצירים. הישר שעובר דרך BB ומאונך ל-OBOB חותך את ציר ה-xx בנקודה AA. HH היא עקב האנך מ-BB לציר ה-xx. נמצא: A(10,0)A(10, 0) ו-H(2,0)H(2, 0). ה. חשבו את גודל הזווית ∠BAO\angle BAO (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 26.57

הפתרון:

tan⁡∠BAH=BHHA=48=0.5\begin{aligned}\tan\angle BAH &= \frac{BH}{HA} \\ &= \frac{4}{8} \\ &= 0.5\end{aligned}

במשולש ישר הזווית BHABHA: ניצב מול חלקי ניצב ליד

∠BAO≈26.57∘\angle BAO \approx 26.57^\circ

פונקציה הפוכה במחשבון

∠BAO≈26.57∘\angle BAO \approx 26.57^\circ. בדיקה: ∠BOA=arctan⁡2≈63.43∘\angle BOA = \arctan 2 \approx 63.43^\circ, והשתיים משלימות ל-90∘90^\circ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה עם שורש

תרגיל 14

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. א. מצאו את תחום ההגדרה של ff ואת נקודות החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx.

תחום ההגדרה: x≥x \ge ____ ; חיתוך עם ציר ה-xx: x=x = ____ ו-x=x = ____ (מהקטן לגדול)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה: x≥x \ge 0 ; חיתוך עם ציר ה-xx: x=x = 0 ו-x=x = 9 (מהקטן לגדול)

הפתרון:

x≥0x \ge 0

שורש ריבועי מוגדר למספר אי-שלילי

3x=x⇒9x=x2\begin{aligned}3\sqrt{x} &= x \Rightarrow 9x \\ &= x^2\end{aligned}

משווים לאפס ומעלים בריבוע

x(x−9)=0⇒x=0 x=9\begin{aligned}x(x - 9) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 9\end{aligned}

פותרים

f(9)=3⋅3−9=0 ✓\begin{aligned}f(9) &= 3 \cdot 3 - 9 \\ &= 0 \ ✓\end{aligned}

בודקים במשוואה המקורית

x≥0x \ge 0, והגרף חותך את ציר ה-xx ב-(0,0)(0, 0) וב-(9,0)(9, 0). המלכודת: לחלק ב-xx ולאבד את הפתרון x=0x = 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. ב. מהי הנגזרת f′(x)f'(x), בתחום x>0x > 0?

  1. 32x−1\dfrac{3}{2\sqrt{x}} - 1
  2. 123x−1\dfrac{1}{2\sqrt{3x}} - 1
  3. 3x−1\dfrac{3}{\sqrt{x}} - 1
  4. 3x−13\sqrt{x} - 1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 32x−1\dfrac{3}{2\sqrt{x}} - 1

הפתרון:

(x)′=12x(\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}

נגזרת השורש

f′(x)=3⋅12x−1=32x−1\begin{aligned}f'(x) &= 3 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} - 1 \\ &= \frac{3}{2\sqrt{x}} - 1\end{aligned}

מקדם נשאר, ונגזרת xx היא 11

32x−1\frac{3}{2\sqrt{x}} - 1. המלכודת: לשכוח את ה-22 במכנה של נגזרת השורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. הנגזרת: f′(x)=32x−1f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 1. ג. מצאו את נקודת הקיצון הפנימית של ff.

( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( 2.25 , 2.25 )

הפתרון:

32x=1⇒x=1.5⇒x=2.25\begin{aligned}\frac{3}{2\sqrt{x}} &= 1 \Rightarrow \sqrt{x} \\ &= 1.5 \Rightarrow x \\ &= 2.25\end{aligned}

משווים את הנגזרת לאפס

f′(1)=0.5>0f′(4)=−0.25<0\begin{aligned}f'(1) &= 0.5 > 0 \\ \quad f'(4) &= -0.25 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עלייה ואחריה ירידה — מקסימום

f(2.25)=3⋅1.5−2.25=2.25\begin{aligned}f(2.25) &= 3 \cdot 1.5 - 2.25 \\ &= 2.25\end{aligned}

ערך הפונקציה

מקסימום (2.25,2.25)(2.25, 2.25): ff עולה ב-0<x<2.250 < x < 2.25 ויורדת ב-x>2.25x > 2.25. בקצה (0,0)(0, 0) מינימום קצה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. הנגזרת: f′(x)=32x−1f'(x) = \frac{3}{2\sqrt{x}} - 1. ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף ff בנקודה שבה x=4x = 4.

y=y = ____ x+x + ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y = -0.25 x+x + 3

הפתרון:

f(4)=3⋅2−4=2\begin{aligned}f(4) &= 3 \cdot 2 - 4 \\ &= 2\end{aligned}

נקודת ההשקה (4,2)(4, 2)

f′(4)=34−1=−0.25\begin{aligned}f'(4) &= \frac{3}{4} - 1 \\ &= -0.25\end{aligned}

שיפוע המשיק

y−2=−0.25(x−4)⇒y=−0.25x+3\begin{aligned}y - 2 &= -0.25(x - 4) \Rightarrow y \\ &= -0.25x + 3\end{aligned}

ישר דרך נקודה בשיפוע נתון

y=−0.25x+3y = -0.25x + 3. השיפוע שלילי: מימין למקסימום x=2.25x = 2.25 הפונקציה יורדת ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

נתונה הפונקציה f(x)=3x−xf(x) = 3\sqrt{x} - x. ff מוגדרת ב-x≥0x \ge 0, f(0)=0f(0) = 0, יש לה מקסימום (2.25,2.25)(2.25, 2.25), והיא יורדת ב-x>2.25x > 2.25 בלי חסם. ה. לאילו ערכים של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k שני פתרונות בדיוק?

  1. 0≤k<2.250 \le k < 2.25
  2. 0<k<2.250 < k < 2.25
  3. k>0k > 0
  4. k<2.25k < 2.25
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 0≤k<2.250 \le k < 2.25

הפתרון:

0≤x≤2.25: 0≤f≤2.250 \le x \le 2.25:\ 0 \le f \le 2.25

בענף העולה ff מקבלת כל ערך מ-00 עד 2.252.25 פעם אחת

x≥2.25: f≤2.25x \ge 2.25:\ f \le 2.25

בענף היורד ff מקבלת כל ערך עד 2.252.25 פעם אחת

0≤k<2.250 \le k < 2.25

שני פתרונות: הישר y=ky = k פוגש את שני הענפים. ב-k=2.25k = 2.25 פתרון אחד, וב-k<0k < 0 רק הענף היורד

0≤k<2.250 \le k < 2.25. המלכודת: לפסול את k=0k = 0 — דווקא שם יש שני פתרונות, x=0x = 0 ו-x=9x = 9.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — בעיית קיצון: משולש מתחת לגרף

תרגיל 19

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. א. הביעו בעזרת tt את שטח המשולש OBAOBA.

  1. S(t)=t27−tS(t) = t\sqrt{27 - t}
  2. S(t)=t(27−t)2S(t) = \dfrac{t(27 - t)}{2}
  3. S(t)=27−t2S(t) = \dfrac{\sqrt{27 - t}}{2}
  4. S(t)=t27−t2S(t) = \dfrac{t\sqrt{27 - t}}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד S(t)=t27−t2S(t) = \dfrac{t\sqrt{27 - t}}{2}

הפתרון:

OB=tAB=27−t\begin{aligned}OB &= t \\ \quad AB &= \sqrt{27 - t}\end{aligned}

הניצבים: שיעור ה-xx של AA ושיעור ה-yy שלה

S(t)=OB⋅AB2=t27−t2\begin{aligned}S(t) &= \frac{OB \cdot AB}{2} \\ &= \frac{t\sqrt{27 - t}}{2}\end{aligned}

שטח משולש ישר זווית: חצי מכפלת הניצבים

S(t)=t27−t2S(t) = \frac{t\sqrt{27 - t}}{2}. המלכודת: t(27−t)2\frac{t(27 - t)}{2} שוכח את השורש — הגובה הוא f(t)f(t), לא 27−t27 - t.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. שטח המשולש הוא S(t)=t27−t2S(t) = \frac{t\sqrt{27 - t}}{2}. ב. מהי הנגזרת S′(t)S'(t)?

  1. 54−3t427−t\dfrac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}
  2. 54−t427−t\dfrac{54 - t}{4\sqrt{27 - t}}
  3. 27−3t227−t\dfrac{27 - 3t}{2\sqrt{27 - t}}
  4. 1427−t\dfrac{1}{4\sqrt{27 - t}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 54−3t427−t\dfrac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}

הפתרון:

S′(t)=12(27−t+t⋅−1227−t)S'(t) = \frac{1}{2}\left(\sqrt{27 - t} + t \cdot \frac{-1}{2\sqrt{27 - t}}\right)

נגזרת של מכפלה; נגזרת הפנים −1-1

=12⋅2(27−t)−t227−t=54−3t427−t= \frac{1}{2} \cdot \frac{2(27 - t) - t}{2\sqrt{27 - t}} = \frac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}

מכנה משותף

S′(t)=54−3t427−tS'(t) = \frac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}. המלכודת: לגזור את tt ואת השורש בנפרד ולכפול את הנגזרות — מכפלה נגזרת לפי הכלל u′v+uv′u'v + uv'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. הנגזרת: S′(t)=54−3t427−tS'(t) = \frac{54 - 3t}{4\sqrt{27 - t}}. ג. לאיזה ערך של tt שטח המשולש מקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 18

הפתרון:

54−3t=0⇒t=18\begin{aligned}54 - 3t &= 0 \Rightarrow t \\ &= 18\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס

S′(10)>0,S′(20)<0S'(10) > 0 ,\quad S'(20) < 0

המכנה חיובי, והמונה עובר מחיובי לשלילי: מקסימום

t=18t = 18, כלומר A(18,3)A(18, 3).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

הגרף של ff
OAB03691215182124270123456xy

נתונה הפונקציה f(x)=27−xf(x) = \sqrt{27 - x}. הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקציה ברביע הראשון, ושיעור ה-xx שלה הוא tt (0<t<270 < t < 27). מ-AA מורידים אנך לציר ה-xx, ועקבו הוא BB. OO ראשית הצירים. שטח המשולש S(t)=t27−t2S(t) = \frac{t\sqrt{27 - t}}{2} מקסימלי כאשר t=18t = 18. ד. מהו השטח המקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 27

הפתרון:

f(18)=9=3\begin{aligned}f(18) &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

הגובה ABAB

S(18)=18⋅32=27\begin{aligned}S(18) &= \frac{18 \cdot 3}{2} \\ &= 27\end{aligned}

השטח המקסימלי

השטח המקסימלי 2727 יחידות שטח. בדיקה: ב-t=11t = 11 (השרטוט) השטח 11⋅42=22<27\frac{11 \cdot 4}{2} = 22 < 27 ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת