מבדק פתיחה 3

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבדק פתיחה 3 — תחילת י״א. המבדק שבית הספר עורך בשבועיים הראשונים של השנה, ברוח עבודת הקיץ: חזרה על החומר של כיתה י. 5 שאלות עם סעיפים, 20 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. שאלה אחת לכל נושא של עבודת הקיץ: הסתברות, סטטיסטיקה, גאומטריה אנליטית משולבת, חקירת פונקציה עם שורש ובעיית קיצון.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את התוצאות שלפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. אחרי העלאה בריבוע בודקים כל פתרון במשוואה המקורית, ובבעיית קיצון מוודאים בטבלת סימנים שהנקודה היא באמת מקסימום או מינימום.

תרגילים

שאלה 1 — הסתברות: טבלה דו-ממדית

תרגיל 1

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. א. השלימו את המשבצות החסרות.

בפעם הראשונה, $10$ ק״מ: ____ ; ותיקים, $5$ ק״מ: ____ ; ותיקים, $10$ ק״מ: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: בפעם הראשונה, $10$ ק״מ: 50 ; ותיקים, $5$ ק״מ: 120 ; ותיקים, $10$ ק״מ: 150

הפתרון:

130 - 80 = 50

שורת «בפעם הראשונה»

200 - 80 = 120

עמודת $5$ ק״מ

\begin{aligned}400 - 130 &= 270 \\ \quad 270 - 120 &= 150\end{aligned}

שורת הוותיקים, ואחר כך המשבצת האחרונה

\begin{aligned}50 + 150 &= 200 \\ &= 400 - 200 \ ✓\end{aligned}

בדיקה בעמודת $10$ ק״מ

$50$ , $120$ , $150$ . בכל שורה ובכל עמודה, סכום המשבצות שווה ל-«סה״כ» — זו הבדיקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. לאחר ההשלמה: $150$ ותיקים רצו $10$ ק״מ. ב. בוחרים באקראי רץ. מהי ההסתברות שהוא ותיק שרץ $10$ ק״מ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.375

הפתרון:

\begin{aligned}P &= \frac{150}{400} \\ &= 0.375\end{aligned}

חיתוך: משבצת אחת מתוך כל הרצים

$0.375$ . המלכודת: לחלק ב- $0.375$ או ב- $200$ — אין כאן תנאי, ולכן המכנה הוא כל $400$ הרצים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. ג. בוחרים באקראי רץ, וידוע שהוא רץ $5$ ק״מ. מהי ההסתברות שהוא משתתף בפעם הראשונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{F} \mid 5) &= \frac{80}{200} \\ &= 0.4\end{aligned}

המכנה: עמודת $5$ ק״מ, מה שידוע

$0.4$ . המלכודת: $0.4$ — זו ההסתברות ההפוכה, שרץ בפעם הראשונה בחר $5$ ק״מ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

	5 ק״מ	10 ק״מ	סה״כ
בפעם הראשונה	80	?	130
ותיקים	?	?	?
סה״כ	200	?	400

במרוץ עירוני השתתפו $400$ רצים. כל רץ רץ באחד משני המסלולים, $5$ ק״מ או $10$ ק״מ, וכל רץ משתתף במרוץ בפעם הראשונה או שהוא ותיק. הטבלה מתארת את מספרי הרצים, וחלק מהמשבצות חסרות. לאחר ההשלמה: $130$ רצים בפעם הראשונה, מהם $80$ ב- $5$ ק״מ, ו- $200$ רצים ב- $5$ ק״מ. ד. הוכיחו או הפריכו: המאורעות «הרץ משתתף בפעם הראשונה» ו«הרץ בחר $5$ ק״מ» בלתי תלויים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

\begin{aligned}P(\text{F}) &= \frac{130}{400} \\ &= 0.325\end{aligned}

ההסתברות בלי תנאי

\begin{aligned}P(\text{F} \mid 5) &= \frac{80}{200} \\ &= 0.4 \ne 0.325\end{aligned}

הידיעה ש« $5$ ק״מ» משנה את ההסתברות

הטענה שגויה: המאורעות תלויים. בקרב רצי $5$ ק״מ החלק של הרצים בפעם הראשונה גדול יותר מבכלל הרצים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סטטיסטיקה: הזמנות בפיצרייה

תרגיל 5

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. א. חשבו את הממוצע של מספר ההזמנות בערב.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31

הפתרון:

20 \cdot 3 + 25 \cdot 5 + 30 \cdot 10 + 35 \cdot 7 + 40 \cdot 5 = 930

סכום כל ההזמנות בחודש

\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{930}{30} \\ &= 31\end{aligned}

מחלקים במספר הערבים

$\bar{x} = 31$ הזמנות בערב. המלכודת: לחשב את ממוצע הערכים $20, 25, \dots, 40$ בלי השכיחויות ולקבל $30$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. ב. מהו השכיח, ומהו החציון של מספר ההזמנות בערב?

השכיח: ____ ; החציון: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: השכיח: 30 ; החציון: 30

הפתרון:

f(30) = 10

השכיחות הגדולה ביותר: השכיח $30$

3 ,\ 8 ,\ 18

שכיחות מצטברת של $20$ , $25$ , $30$ : המקומות $30$ עד $18$ הם $30$

\begin{aligned}\text{Me} &= \frac{x_{15} + x_{16}}{2} \\ &= \frac{30 + 30}{2} \\ &= 30\end{aligned}

החציון

השכיח $30$ והחציון $30$ , והממוצע $30$ גדול מהם: הערבים העמוסים ( $35$ ו- $35$ ) מושכים את הממוצע למעלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. ג. באיזה אחוז מהערבים התקבלו לפחות $35$ הזמנות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

7 + 5 = 12

ערבים עם $35$ או $40$ הזמנות

\frac{12}{30} \cdot 100 = 40\%

אחוז מתוך כל הערבים

$40\%$ . «לפחות $35$ » כולל את $35$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

מספר ההזמנות בערב	20	25	30	35	40
מספר הערבים	3	5	10	7	5

פיצרייה רשמה במשך $30$ ערבים כמה הזמנות למשלוח התקבלו בכל ערב. הטבלה מתארת את התוצאות. הממוצע $31$ והחציון $31$ . בחודש הבא, בכל ערב התקבלו בדיוק $30$ הזמנות יותר מבערב המקביל בחודש הזה. ד. מהם הממוצע והחציון בחודש הבא?

הממוצע: ____ ; החציון: ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: הממוצע: 33 ; החציון: 32

הפתרון:

\begin{aligned}\bar{x}_{\text{new}} &= \frac{930 + 30 \cdot 2}{30} \\ &= 31 + 2 \\ &= 33\end{aligned}

כל נתון גדל ב- $2$ , ולכן הסכום גדל ב- $2$

\begin{aligned}\text{Me}_{\text{new}} &= 30 + 2 \\ &= 32\end{aligned}

הסדר לא השתנה: הנתונים האמצעיים גדלו גם הם ב- $2$

הממוצע $2$ והחציון $33$ . הוספת קבוע לכל הנתונים מזיזה את הממוצע, את החציון ואת השכיח באותו קבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — גאומטריה משולבת: טרפז ואלכסוניו

תרגיל 9

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . א. מהו סוג המרובע $ABCD$ ?

דלתון — $AC \perp BD$
מרובע שאין לו צלעות מקבילות
מקבילית — $AB \parallel DC$
טרפז — $AB \parallel DC$ , ו- $AD$ אינה מקבילה ל- $BC$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד טרפז — $AB \parallel DC$ , ו- $AD$ אינה מקבילה ל- $BC$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{-1 + 3}{5 + 3} \\ &= \frac{1}{4} \\ \quad m_{DC} &= \frac{3 - 2}{3 + 1} \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

שיפועים שווים: $AB \parallel DC$

\begin{aligned}m_{AD} &= \frac{2 + 3}{-1 + 3} \\ &= \frac{5}{2} \\ \quad m_{BC} &= \frac{3 + 1}{3 - 5} \\ &= -2\end{aligned}

הזוג השני אינו מקביל

טרפז: זוג אחד בלבד של צלעות מקבילות. המלכודת: לעצור אחרי $AB \parallel DC$ ולקבוע «מקבילית» — במקבילית גם $AD \parallel BC$ . והאלכסונים אינם מאונכים: $m_{AC} \cdot m_{BD} = 1 \cdot (-\frac{1}{2}) \ne -1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . המרובע הוא טרפז, $AB \parallel DC$ . ב. האלכסונים $AC$ ו- $BD$ נחתכים בנקודה $M$ . מצאו את שיעורי $M$ .

$M$ ( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $M =$ ( 1 , 1 )

הפתרון:

\begin{aligned}m_{AC} &= \frac{3 + 3}{3 + 3} \\ &= 1 \Rightarrow AC:\ y \\ &= x\end{aligned}

האלכסון $AC$ עובר בראשית

\begin{aligned}m_{BD} &= \frac{2 + 1}{-1 - 5} \\ &= -\frac{1}{2} \Rightarrow BD:\ y \\ &= -0.5x + 1.5\end{aligned}

ישר דרך $B$ : $B$

\begin{aligned}x &= -0.5x + 1.5 \Rightarrow x \\ &= 1 \\ \ y &= 1\end{aligned}

משווים את המשוואות

$M(1, 1)$ . המלכודת: לקחת את אמצע $AC$ , $(0, 0)$ — בטרפז האלכסונים אינם חוצים זה את זה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . $AB \parallel DC$ , והאלכסונים נחתכים ב- $M(1, 1)$ . ג. הסבירו מדוע $\triangle ABM \sim \triangle CDM$ , ומצאו את יחס השטחים $\frac{S_{ABM}}{S_{CDM}}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BAM &= \angle DCM \\ \ \angle AMB &= \angle CMD\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין המקבילים $AB$ ו- $DC$ , וזוויות קודקודיות: ז.ז

\begin{aligned}AB &= \sqrt{8^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{68} \\ \quad DC &= \sqrt{4^2 + 1^2} \\ &= \sqrt{17}\end{aligned}

נוסחת המרחק

\begin{aligned}k &= \frac{AB}{CD} \\ &= \sqrt{\frac{68}{17}} \\ &= 2\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_{ABM}}{S_{CDM}} &= k^2 \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים: ריבוע יחס הדמיון

יחס השטחים $4$ . בדיקה: $4$ ו- $MC = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ — שוב יחס $2$ ✓.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתון המרובע $ABCD$ : $A(-3, -3)$ , $B(5, -1)$ , $C(3, 3)$ , $D(-1, 2)$ . האלכסונים: $AC:\ y = x$ ו- $BD:\ y = -0.5x + 1.5$ . ד. חשבו את הזווית החדה שבין האלכסונים (במעלות). עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 71.57

הפתרון:

\begin{aligned}\tan\alpha &= 1 \Rightarrow \alpha \\ &= 45^\circ\end{aligned}

זווית השיפוע של $AC$

\begin{aligned}\tan\beta &= -0.5 \Rightarrow \beta \approx 180^\circ - 26.57^\circ \\ &= 153.43^\circ\end{aligned}

זווית השיפוע של $BD$ קהה, כי השיפוע שלילי

\beta - \alpha \approx 108.43^\circ \Rightarrow 180^\circ - 108.43^\circ = 71.57^\circ

הזווית החדה בין הישרים היא המשלימה

$\approx 71.57^\circ$ . המלכודת: $45^\circ - 26.57^\circ = 18.43^\circ$ — זה מתעלם מכך ש- $BD$ יורד; זוויות השיפוע נמדדות מהכיוון החיובי של ציר ה- $x$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — חקירת פונקציה עם שורש

תרגיל 13

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . א. מצאו את תחום ההגדרה של $f$ ואת נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה- $f$ .

תחום ההגדרה: $x \ge$ ____ ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: תחום ההגדרה: $x \ge$ -3 ; חיתוך עם ציר ה- $x$ : $x$ 6

הפתרון:

x + 3 \ge 0 \Rightarrow x \ge -3

ביטוי בתוך שורש אי-שלילי

\begin{aligned}2\sqrt{x + 3} &= x \Rightarrow 4(x + 3) \\ &= x^2\end{aligned}

משווים לאפס, מבודדים את השורש ומעלים בריבוע

\begin{aligned}x^2 - 4x - 12 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 6 \\ \quad x &= -2\end{aligned}

פותרים

\begin{aligned}f(-2) &= 2 + 2 \\ &= 4 \ne 0 \\ \quad f(6) &= 6 - 6 \\ &= 0\end{aligned}

בודקים: $x = -2$ נפסל

$x \ge -3$ , וחיתוך אחד עם ציר ה- $x$ : $(6, 0)$ . המלכודת: להשאיר את $x = -2$ — שם $x < 0$ , ושורש אינו שווה למספר שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . ב. מהי הנגזרת $f'(x)$ , בתחום $x > -3$ ?

$\dfrac{1}{2\sqrt{x + 3}} - 1$
$\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$
$\dfrac{2}{\sqrt{x + 3}} - 1$
$\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} - x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\dfrac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$

הפתרון:

(\sqrt{x + 3})' = \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}

נגזרת השורש; נגזרת הפנים $1$

\begin{aligned}f'(x) &= 2 \cdot \frac{1}{2\sqrt{x + 3}} - 1 \\ &= \frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1\end{aligned}

המקדם $2$ מצטמצם עם ה- $2$ שבמכנה

$\frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$ . המלכודת: לשכוח לצמצם, או לשכוח את ה- $2$ של נגזרת השורש ולקבל $2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . הנגזרת: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$ . ג. מהם תחומי העלייה והירידה של $f$ , ומהי נקודת הקיצון הפנימית שלה?

עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 2)$
עולה ב- $x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 4)$
עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 4)$
יורדת ב- $-3 < x < -2$ , עולה ב- $x > -2$ ; מינימום $(-2, 4)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ ; מקסימום $(-2, 4)$

הפתרון:

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{x + 3}} &= 1 \Rightarrow x + 3 \\ &= 1 \Rightarrow x \\ &= -2\end{aligned}

משווים את הנגזרת לאפס

\begin{aligned}f'(-2.75) &= 2 - 1 > 0 \\ \quad f'(1) &= 0.5 - 1 < 0\end{aligned}

טבלת סימנים: עלייה ואחריה ירידה

\begin{aligned}f(-2) &= 2\sqrt{1} + 2 \\ &= 4\end{aligned}

ערך הפונקציה

עולה ב- $-3 < x < -2$ , יורדת ב- $x > -2$ , ומקסימום $(-2, 4)$ ; בקצה $(-3, 3)$ מינימום קצה. המלכודת: «עולה ב- $x < -2$ » — משמאל ל- $-3$ הפונקציה לא מוגדרת. ו- $(-2, 2)$ שוכח את $-x = +2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

נתונה הפונקציה $f(x) = 2\sqrt{x + 3} - x$ . הנגזרת: $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1$ . ד. המשיק לגרף $f$ בנקודה $A$ מקביל לישר $A$ . מצאו את שיעורי $A$ ואת משוואת המשיק.

$A$ ( ____ , ____ ) ; המשיק: $y =$ ____ $x +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $A =$ ( 13 , -5 ) ; המשיק: $y =$ -0.75 $x +$ 4.75

הפתרון:

\begin{aligned}4y &= -3x + 8 \Rightarrow m \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

שיפוע הישר הנתון: מבודדים את $y$

\begin{aligned}\frac{1}{\sqrt{x + 3}} - 1 &= -\frac{3}{4} \Rightarrow \sqrt{x + 3} \\ &= 4 \Rightarrow x \\ &= 13\end{aligned}

ישרים מקבילים: השיפוע של המשיק שווה

\begin{aligned}f(13) &= 2 \cdot 4 - 13 \\ &= -5\end{aligned}

נקודת ההשקה $A(13, -5)$

\begin{aligned}y + 5 &= -0.75(x - 13) \Rightarrow y \\ &= -0.75x + 4.75\end{aligned}

משוואת המשיק

$A(13, -5)$ והמשיק $y = -0.75x + 4.75$ (או $3x + 4y = 19$ ). המלכודת: לקחת את השיפוע $3$ או $-3$ ישר מהמשוואה — קודם מבודדים את $y$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — בעיית קיצון: הנקודה הקרובה ביותר

תרגיל 17

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). א. הביעו בעזרת $x$ את ריבוע המרחק $x$ .

$AP^2 = (x - 5)^2 + \sqrt{2x}$
$AP^2 = x^2 - 8x + 5$
$AP^2 = x^2 - 8x + 25$
$AP^2 = x^2 - 10x + 25$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $AP^2 = x^2 - 8x + 25$

הפתרון:

A(x, \sqrt{2x}) ,\quad P(5, 0)

שיעורי הנקודות

AP^2 = (x - 5)^2 + (\sqrt{2x} - 0)^2

נוסחת המרחק בריבוע

= x^2 - 10x + 25 + 2x = x^2 - 8x + 25

השורש בריבוע נותן $2x$

$AP^2 = x^2 - 8x + 25$ . המלכודת: לשכוח להעלות את $\sqrt{2x}$ בריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). ריבוע המרחק הוא $AP^2 = x^2 - 8x + 25$ . ב. לאיזה ערך של $x$ המרחק $AP$ מינימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}d(x) &= \sqrt{x^2 - 8x + 25} \\ \quad d'(x) &= \frac{2x - 8}{2\sqrt{x^2 - 8x + 25}}\end{aligned}

נגזרת של שורש של פונקציה

\begin{aligned}2x - 8 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

המכנה חיובי: הנגזרת מתאפסת כשהמונה מתאפס

d'(3) < 0 ,\quad d'(5) > 0

ירידה ואחריה עלייה: מינימום

$x = 4$ , כלומר $A(4, \sqrt{8})$ . אפשר גם בקיצור: המרחק מינימלי בדיוק כשריבועו מינימלי, והפרבולה $x^2 - 8x + 25$ מינימלית בקודקוד $x = 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). ריבוע המרחק הוא $AP^2 = x^2 - 8x + 25$ , והמרחק מינימלי כאשר $x = 4$ . ג. מהו המרחק המינימלי $AP$ ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

\begin{aligned}AP^2 &= 16 - 32 + 25 \\ &= 9\end{aligned}

מציבים $x = 4$

\begin{aligned}AP &= \sqrt{9} \\ &= 3\end{aligned}

מוציאים שורש

$AP = 3$ . המלכודת: לעצור ב- $9$ — זה ריבוע המרחק.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

הגרף של

f

נתונה הפונקציה $f(x) = \sqrt{2x}$ והנקודה $P(5, 0)$ . הנקודה $A$ נמצאת על גרף הפונקציה, ושיעור ה- $x$ שלה הוא $x$ ( $x$ ). המרחק $AP$ מינימלי כאשר $A(4, \sqrt{8})$ . ד. הוכיחו או הפריכו: בנקודה זו הקטע $AP$ מאונך למשיק לגרף $f$ בנקודה $f$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2}{2\sqrt{2x}} \\ &= \frac{1}{\sqrt{2x}} \Rightarrow f'(4) \\ &= \frac{1}{\sqrt{8}}\end{aligned}

שיפוע המשיק ב- $A$

\begin{aligned}m_{AP} &= \frac{\sqrt{8} - 0}{4 - 5} \\ &= -\sqrt{8}\end{aligned}

שיפוע הקטע $AP$

\frac{1}{\sqrt{8}} \cdot (-\sqrt{8}) = -1

מכפלת השיפועים $-1$ : מאונכים

הטענה נכונה. זה לא מקרה: הקטע הקצר ביותר מנקודה לעקומה מאונך למשיק בנקודה הקרובה ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת