סימולציית בגרות 2

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סימולציית בגרות 2 — שאלון 35571, 5 יח״ל. המבנה של תשפ״ז: ארבעה פרקים, 8 שאלות, 3 שעות ו-45 דקות. עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מהפרק הראשון או מהפרק השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מהפרקים השלישי והרביעי. לכל שאלה 20 נקודות. פרק ראשון — שאלות קצרות: שאלה 1, ובה ארבעה סעיפים; מי שבוחר בה עונה על 2 סעיפים מתוך 4. פרק שני — אינדוקציה, סדרות והסתברות: שאלות 2 ו-3. פרק שלישי — גאומטריה וטריגונומטריה במישור: שאלות 4 ו-5. פרק רביעי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלות 6, 7 ו-8. מותר להשתמש בנוסחאון ל-5 יח״ל ובמחשבון שאינו גרפי. שאלה 1: אינדוקציה (סכום טלסקופי), גרף הנגזרת, טרפז חסום, הסתברות ברנולי. שאלה 2: סדרה הנדסית אינסופית עם מנה שלילית. שאלה 3: שתי קופסאות — הסתברות שלמה, מותנית וברנולי. שאלה 4: חוצה זווית במשולש חסום. שאלה 5: משפט הסינוסים עם פרמטר. שאלה 6: פונקציית שורש עם פרמטר. שאלה 7: מנה טריגונומטרית. שאלה 8: בעיית קיצון על גרף שורש.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. לפני שמתחילים לכתוב, הקדישו חמש דקות לבחירה: עברו על כל השאלות וסמנו את חמש השאלות שאתם בטוחים בהן. במשוואה עם שורש מציבים כל פתרון במשוואה המקורית; בסדרה עם מנה שלילית בודקים את הסימן של כל איבר; ובגרף של f′f' קוראים סימן, לא עלייה וירידה.

תרגילים

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף א: אינדוקציה)

תרגיל 1

נתונה הטענה: 11⋅3+13⋅5+15⋅7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1} לכל nn טבעי. סעיף א (1). בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור n=kn = k ומוסיפים את המחובר 1(2k+1)(2k+3)\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}. אחרי כינוס למכנה משותף (2k+1)(2k+3)(2k+1)(2k+3) המונה הוא k(2k+3)+1k(2k+3) + 1. השלימו את הפירוק ואת התוצאה:

k(2k+3)+1=2k2+k(2k+3) + 1 = 2k^2 + ____ k+1=(k+1)(2k+k + 1 = (k+1)(2k + ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: k(2k+3)+1=2k2+k(2k+3) + 1 = 2k^2 + 3 k+1=(k+1)(2k+k + 1 = (k+1)(2k + 1 ))

הפתרון:

k2k+1+1(2k+1)(2k+3)=k(2k+3)+1(2k+1)(2k+3)\frac{k}{2k+1} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)}

מכנה משותף

2k2+3k+1=(k+1)(2k+1)2k^2 + 3k + 1 = (k+1)(2k+1)

פירוק הטרינום

(k+1)(2k+1)(2k+1)(2k+3)=k+12k+3=k+12(k+1)+1\begin{aligned}\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)} &= \frac{k+1}{2k+3} \\ &= \frac{k+1}{2(k+1)+1}\end{aligned}

מצמצמים ב-2k+12k+1: זו הטענה עבור n=k+1n = k+1

אחרי הצמצום מתקבל k+12(k+1)+1\frac{k+1}{2(k+1)+1} — הטענה עבור n=k+1n = k+1. המלכודת: להוסיף את המחובר 1(2k−1)(2k+1)\frac{1}{(2k-1)(2k+1)} — הוא כבר בתוך הסכום של n=kn = k; המחובר החדש מתחיל ב-2k+12k+1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הטענה: 11⋅3+13⋅5+15⋅7+⋯+1(2n−1)(2n+1)=n2n+1\frac{1}{1 \cdot 3} + \frac{1}{3 \cdot 5} + \frac{1}{5 \cdot 7} + \dots + \frac{1}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{n}{2n+1} לכל nn טבעי. סעיף א (2). כמה מחוברים יש בסכום שמתחיל ב-11⋅3\frac{1}{1 \cdot 3} ושווה ל-1225\frac{12}{25}?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

n2n+1=1225\frac{n}{2n+1} = \frac{12}{25}

לפי הטענה

25n=24n+12⇒n=12\begin{aligned}25n &= 24n + 12 \Rightarrow n \\ &= 12\end{aligned}

כופלים בהצלבה

123⋅25\frac{1}{23 \cdot 25}

המחובר האחרון: 2n−1=232n - 1 = 23

1212 מחוברים, והאחרון 123⋅25\frac{1}{23 \cdot 25}. המלכודת: לענות 2525 או 2323 — מספרים שמופיעים במחובר האחרון, ולא מספר המחוברים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ב: גרף הנגזרת)

תרגיל 3

הגרף של f′
-2-101234-5-4-3-2-1123456xy

בשרטוט הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff המוגדרת לכל xx. הגרף של f′f' הוא פרבולה החותכת את ציר ה-xx בנקודות x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. סעיף ב (1). באיזה xx יש ל-ff נקודת מקסימום מקומי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

x<−1:f′>0;−1<x<3:f′<0x < -1: f' > 0; \quad -1 < x < 3: f' < 0

קוראים את סימן f′f' מהגרף: מעל הציר או מתחתיו

x=−1x = -1

ff עולה ואחר כך יורדת — מקסימום

מקסימום ב-x=−1x = -1. המלכודת: לענות x=1x = 1, נקודת המינימום של הפרבולה — שם f′f' מינימלית, וזו נקודת פיתול של ff.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגרף של f′
-2-101234-5-4-3-2-1123456xy

בשרטוט הגרף של הנגזרת f′f' של פונקציה ff המוגדרת לכל xx. הגרף של f′f' הוא פרבולה החותכת את ציר ה-xx בנקודות x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. נתון f(−1)=4f(-1) = 4, והשטח הכלוא בין גרף f′f' לציר ה-xx בתחום −1≤x≤3-1 \le x \le 3 הוא 323\frac{32}{3}. סעיף ב (2). חשבו את f(3)f(3) (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -6.67

הפתרון:

∫−13f′(x) dx=−323\int_{-1}^{3} f'(x)\,dx = -\frac{32}{3}

הגרף מתחת לציר: האינטגרל שווה למינוס השטח

∫−13f′(x) dx=f(3)−f(−1)\int_{-1}^{3} f'(x)\,dx = f(3) - f(-1)

המשפט היסודי

f(3)=4−323=−203≈−6.67\begin{aligned}f(3) &= 4 - \frac{32}{3} \\ &= -\frac{20}{3} \approx -6.67\end{aligned}

f(3)=−203≈−6.67f(3) = -\frac{20}{3} \approx -6.67. המלכודת: להוסיף את השטח ולקבל 14.6714.67 — בין −1-1 ל-33 הפונקציה יורדת, ולכן f(3)<f(−1)f(3) < f(-1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ג: גאומטריה)

תרגיל 5

25°30°ADCB

הטרפז ABCDABCD (AB∥CDAB \parallel CD) חסום במעגל. BDBD אלכסון בטרפז. נתון ∠ABD=25∘\angle ABD = 25^\circ ו-∠DBC=30∘\angle DBC = 30^\circ. סעיף ג (1). חשבו את ∠ADC\angle ADC (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 125

הפתרון:

∠ABC=25∘+30∘=55∘\begin{aligned}\angle ABC &= 25^\circ + 30^\circ \\ &= 55^\circ\end{aligned}

חיבור זוויות

∠ADC=180∘−55∘=125∘\begin{aligned}\angle ADC &= 180^\circ - 55^\circ \\ &= 125^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום כל זוג זוויות נגדיות הוא 180∘180^\circ

∠ADC=125∘\angle ADC = 125^\circ. המלכודת: לענות 55∘55^\circ — זוויות נגדיות במרובע חסום משלימות זו את זו ל-180∘180^\circ, הן לא שוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

25°30°ADCB

הטרפז ABCDABCD (AB∥CDAB \parallel CD) חסום במעגל. BDBD אלכסון בטרפז. נתון ∠ABD=25∘\angle ABD = 25^\circ ו-∠DBC=30∘\angle DBC = 30^\circ. סעיף ג (2). הוכיחו או הפריכו: ∠BAC=∠ABD\angle BAC = \angle ABD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

∠ACD=∠BAC\angle ACD = \angle BAC

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים AB∥CDAB \parallel CD

∠ACD=∠ABD\angle ACD = \angle ABD

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת ADAD שוות

∠BAC=∠ABD=25∘\begin{aligned}\angle BAC &= \angle ABD \\ &= 25^\circ\end{aligned}

כלל המעבר

נכון: שתיהן 25∘25^\circ — ולכן גם AD=BCAD = BC, והטרפז שווה-שוקיים. המלכודת: לחפש קשר ישיר בין שתי הזוויות — הן לא נשענות על אותה קשת, והמעבר עובר דרך ∠ACD\angle ACD.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ד: הסתברות)

תרגיל 7

קלע יורה במטרה. בכל ירייה ההסתברות שיפגע היא pp, והיריות בלתי תלויות זו בזו. ההסתברות שיפגע לפחות פעם אחת בשתי יריות היא 0.640.64. סעיף ד (1). מצאו את pp.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

P(לפחות)=1−(1−p)2P(\text{לפחות}) = 1 - (1 - p)^2

המאורע המשלים: שתי החטאות

(1−p)2=0.36⇒1−p=0.6\begin{aligned}(1 - p)^2 &= 0.36 \Rightarrow 1 - p \\ &= 0.6\end{aligned}

1−p=−0.61 - p = -0.6 נפסל: הסתברות אינה שלילית

p=0.4p = 0.4

p=0.4p = 0.4. המלכודת: לכתוב p2=0.64p^2 = 0.64 ולקבל p=0.8p = 0.8 — p2p^2 היא ההסתברות לשתי פגיעות, ולא «לפחות אחת».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

קלע יורה במטרה. בכל ירייה ההסתברות שיפגע היא pp, והיריות בלתי תלויות זו בזו. ההסתברות שיפגע לפחות פעם אחת בשתי יריות היא 0.640.64. נמצא p=0.4p = 0.4. סעיף ד (2). הקלע יורה 4 יריות. מה ההסתברות שיפגע בדיוק פעמיים? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.346

הפתרון:

P=(42)⋅0.42⋅0.62P = \binom{4}{2} \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^2

נוסחת ברנולי

=6⋅0.16⋅0.36≈0.346= 6 \cdot 0.16 \cdot 0.36 \approx 0.346

ההסתברות ≈0.346\approx 0.346. המלכודת: לשכוח את (42)=6\binom{4}{2} = 6 ולקבל 0.0580.058 — זו ההסתברות לסדר אחד מסוים, למשל שתי פגיעות ואחריהן שתי החטאות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סדרה הנדסית אינסופית עם מנה שלילית

תרגיל 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. א. מהי המנה qq?

  1. −13-\frac{1}{3}
  2. −12-\frac{1}{2}
  3. 12\frac{1}{2}
  4. 13\frac{1}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א −13-\frac{1}{3}

הפתרון:

S=a11−qSodd=a11−q2\begin{aligned}S &= \frac{a_1}{1 - q} \\ \quad S_{odd} &= \frac{a_1}{1 - q^2}\end{aligned}

הסדרה החלקית במקומות האי-זוגיים: אותו a1a_1, מנה q2q^2

SoddS=1−q1−q2=11+q=96\begin{aligned}\frac{S_{odd}}{S} &= \frac{1 - q}{1 - q^2} \\ &= \frac{1}{1 + q} \\ &= \frac{9}{6}\end{aligned}

1−q2=(1−q)(1+q)1 - q^2 = (1-q)(1+q)

1+q=23⇒q=−13\begin{aligned}1 + q &= \frac{2}{3} \Rightarrow q \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

הנכונה: −13-\frac{1}{3}. הסכום החלקי גדול מהסכום כולו, ולכן איברי המקומות הזוגיים שליליים — המנה שלילית. המלכודת: 13\frac{1}{3} — לשכוח את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. נמצא q=−13q = -\frac{1}{3}. ב. מצאו את a1a_1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

a11+13=6\frac{a_1}{1 + \frac{1}{3}} = 6

סכום סדרה הנדסית אינסופית

a1=6⋅43=8\begin{aligned}a_1 &= 6 \cdot \frac{4}{3} \\ &= 8\end{aligned}
81−19=9\frac{8}{1 - \frac{1}{9}} = 9

בדיקה בסכום האי-זוגיים

a1=8a_1 = 8. המלכודת: לכתוב במכנה 1−131 - \frac{1}{3} ולקבל a1=4a_1 = 4 — כאן 1−q=1+131 - q = 1 + \frac{1}{3}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. נמצא a1=8a_1 = 8 ו-q=−13q = -\frac{1}{3}. מגדירים bn=an⋅an+1b_n = a_n \cdot a_{n+1}. ג. הסדרה bnb_n הנדסית ומתכנסת. חשבו את סכום כל איבריה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -24

הפתרון:

bn+1bn=an+1an+2anan+1=q2=19\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1} a_{n+2}}{a_n a_{n+1}} \\ &= q^2 \\ &= \frac{1}{9}\end{aligned}

המנה של bnb_n

b1=a1a2=8⋅(−83)=−643\begin{aligned}b_1 &= a_1 a_2 \\ &= 8 \cdot \left(-\frac{8}{3}\right) \\ &= -\frac{64}{3}\end{aligned}
Sb=−6431−19=−24\begin{aligned}S_b &= \frac{-\frac{64}{3}}{1 - \frac{1}{9}} \\ &= -24\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אינסופית

הסכום −24-24. המלכודת: לקחת את המנה q=−13q = -\frac{1}{3} גם ל-bnb_n — במכפלה של שני איברים עוקבים המנה מופיעה פעמיים, q2q^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שמנתה q≠0q \neq 0. סכום כל איבריה הוא 66, וסכום האיברים העומדים במקומות האי-זוגיים (a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots) הוא 99. נמצא a1=8a_1 = 8 ו-q=−13q = -\frac{1}{3}. ד. מהו המקום של האיבר הראשון בסדרה ana_n שהערך המוחלט שלו קטן מ-0.0010.001?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

∣an∣=83n−1<0.001⇒3n−1>8000|a_n| = \frac{8}{3^{n-1}} < 0.001 \Rightarrow 3^{n-1} > 8000

הערך המוחלט מבטל את הסימן המתחלף

38=6561<800039=19683>8000\begin{aligned}3^8 &= 6561 < 8000 \\ \quad 3^9 &= 19683 > 8000\end{aligned}

מנסים חזקות של 33

n−1=9⇒n=10\begin{aligned}n - 1 &= 9 \Rightarrow n \\ &= 10\end{aligned}

האיבר העשירי. המלכודת: לחפש an<0.001a_n < 0.001 בלי ערך מוחלט — כבר a2=−83a_2 = -\frac{8}{3} קטן מ-0.0010.001, כי הוא שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — שתי קופסאות

תרגיל 13

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. ההסתברות להוציא כדור אדום היא 0.40.4. א. מצאו את nn.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

P(אדום)=12⋅35+12⋅2n+2P(\text{אדום}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{n+2}

נוסחת ההסתברות השלמה

0.3+1n+2=0.4⇒n+2=10\begin{aligned}0.3 + \frac{1}{n+2} &= 0.4 \Rightarrow n + 2 \\ &= 10\end{aligned}
n=8n = 8

n=8n = 8. המלכודת: לכתוב 2n\frac{2}{n} — במכנה כל הכדורים שבקופסה, n+2n + 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. נמצא n=8n = 8, וההסתברות להוציא כדור אדום היא 0.40.4. ב. הוצא כדור אדום. מה ההסתברות שהוא הוצא מקופסה I?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.75

הפתרון:

P(I∩אדום)=12⋅35=0.3\begin{aligned}P(\text{I} \cap \text{אדום}) &= \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} \\ &= 0.3\end{aligned}

ענף אחד בעץ

P(I∣אדום)=0.30.4=0.75\begin{aligned}P(\text{I} \mid \text{אדום}) &= \frac{0.3}{0.4} \\ &= 0.75\end{aligned}

הסתברות מותנית

ההסתברות 0.750.75. המלכודת: לענות 0.60.6, ההסתברות לאדום מתוך קופסה I — כאן התנאי הפוך: יודעים שהכדור אדום ושואלים על הקופסה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. נמצא n=8n = 8, וההסתברות להוציא כדור אדום היא 0.40.4. חוזרים על הניסוי כולו (הטלת מטבע והוצאת כדור) 6 פעמים, ובכל פעם מחזירים את הכדור לקופסה שממנה הוצא. ג. מה ההסתברות שיוצא כדור אדום בדיוק פעמיים? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.311

הפתרון:

P=(62)⋅0.42⋅0.64P = \binom{6}{2} \cdot 0.4^2 \cdot 0.6^4

נוסחת ברנולי: הניסויים בלתי תלויים כי מחזירים

=15⋅0.16⋅0.1296≈0.311= 15 \cdot 0.16 \cdot 0.1296 \approx 0.311

ההסתברות ≈0.311\approx 0.311. המלכודת: להשתמש ב-35\frac{3}{5} או ב-210\frac{2}{10} — בכל חזרה ההסתברות לאדום היא ההסתברות הכוללת, 0.40.4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

בקופסה I יש 3 כדורים אדומים ו-2 לבנים. בקופסה II יש 2 כדורים אדומים ו-nn כדורים לבנים. מטילים מטבע הוגן: אם מתקבל «עץ» מוציאים כדור אחד מקופסה I, ואם מתקבל «פלי» — כדור אחד מקופסה II. נמצא שההסתברות להוציא כדור אדום בכל חזרה היא 0.40.4, והחזרות בלתי תלויות. ד. מהו מספר החזרות הקטן ביותר שעבורו ההסתברות להוציא לפחות כדור אדום אחד גדולה מ-0.950.95?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

1−0.6m>0.95⇒0.6m<0.051 - 0.6^m > 0.95 \Rightarrow 0.6^m < 0.05

המאורע המשלים: אף כדור אדום

0.65≈0.078,0.66≈0.0470.6^5 \approx 0.078, \quad 0.6^6 \approx 0.047

מנסים ערכים

m=6m = 6

שש חזרות. המלכודת: לחשב 0.4m0.4^m במקום 0.6m0.6^m — המשלים של «לפחות אדום אחד» הוא «כולם לבנים».

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — חוצה זווית במשולש חסום

תרגיל 17

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. א. הוכיחו: △ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC.

  • AEAE חוצה את ∠BAC\angle BAC
  • AA, BB, CC, EE על המעגל

△ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC — הגדרת חוצה זווית
  2. ∠AEB=∠ACB\angle AEB = \angle ACB — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת שוות
  3. △ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠BAE=∠DAC\angle BAE = \angle DAC

חוצה זווית

∠AEB=∠ACB\angle AEB = \angle ACB

שתיהן נשענות על הקשת ABAB

△ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC

ז.ז

ההתאמה: A→AA \to A, B→DB \to D, E→CE \to C. המלכודת: לכתוב ∠ABE=∠ACD\angle ABE = \angle ACD — אלה לא נשענות על אותה קשת; הזוג הנכון הוא הזוויות שליד EE וליד CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. נתון AB=6AB = 6, AC=8AC = 8 ו-BC=7BC = 7. ב. חשבו את BDBD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

BDDC=ABAC=68\begin{aligned}\frac{BD}{DC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{6}{8}\end{aligned}

משפט חוצה הזווית במשולש

BD=7⋅614=3\begin{aligned}BD &= 7 \cdot \frac{6}{14} \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים את BC=7BC = 7 ביחס 6:86 : 8

BD=3BD = 3 ו-DC=4DC = 4. המלכודת: לחלק את BCBC לשניים — חוצה הזווית אינו תיכון; הוא מחלק את הצלע ביחס הצלעות הסמוכות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. נתון AB=6AB = 6, AC=8AC = 8, BC=7BC = 7, ונמצא BD=3BD = 3, DC=4DC = 4. ג. היעזרו בדמיון △ABE∼△ADC\triangle ABE \sim \triangle ADC ובמשפט המיתרים הנחתכים (AD⋅DE=BD⋅DCAD \cdot DE = BD \cdot DC), וחשבו את ADAD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

ABAD=AEAC⇒AD⋅AE=AB⋅AC=48\begin{aligned}\frac{AB}{AD} &= \frac{AE}{AC} \Rightarrow AD \cdot AE \\ &= AB \cdot AC \\ &= 48\end{aligned}

יחס צלעות מתאימות במשולשים הדומים

AD⋅DE=BD⋅DC=12\begin{aligned}AD \cdot DE &= BD \cdot DC \\ &= 12\end{aligned}

מכפלת קטעי מיתרים נחתכים

AD⋅AE=AD(AD+DE)=AD2+12=48\begin{aligned}AD \cdot AE &= AD(AD + DE) \\ &= AD^2 + 12 \\ &= 48\end{aligned}

AE=AD+DEAE = AD + DE

AD2=36⇒AD=6\begin{aligned}AD^2 &= 36 \Rightarrow AD \\ &= 6\end{aligned}

AD=6AD = 6. המלכודת: לכתוב AD⋅AE=48AD \cdot AE = 48 ולהניח ש-AE=8AE = 8 «כמו ACAC» — AEAE אינה צלע במשולש, והיא נמצאת רק דרך המשוואה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית AA חותך את הצלע BCBC בנקודה DD ואת המעגל בנקודה EE. נמצא BD=3BD = 3, DC=4DC = 4 ו-AD=6AD = 6. ד. חשבו את DEDE.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

AD⋅DE=BD⋅DCAD \cdot DE = BD \cdot DC

מכפלת קטעי מיתרים נחתכים: המיתרים AEAE ו-BCBC נחתכים ב-DD

6⋅DE=12⇒DE=2\begin{aligned}6 \cdot DE &= 12 \Rightarrow DE \\ &= 2\end{aligned}

DE=2DE = 2, ולכן AE=8AE = 8. המלכודת: לכתוב AD⋅BD=DE⋅DCAD \cdot BD = DE \cdot DC — בכל אגף מכפילים את שני הקטעים של אותו מיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — משפט הסינוסים עם פרמטר

תרגיל 21

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). א. הביעו את ACAC באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. 2ksin⁡α2k\sin\alpha
  2. 2kcos⁡α2k\cos\alpha
  3. kcos⁡2αk\cos 2\alpha
  4. k2cos⁡α\frac{k}{2\cos\alpha}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 2kcos⁡α2k\cos\alpha

הפתרון:

ACsin⁡2α=ABsin⁡α\frac{AC}{\sin 2\alpha} = \frac{AB}{\sin\alpha}

משפט הסינוסים: ACAC מול BB, ו-ABAB מול CC

AC=k⋅2sin⁡αcos⁡αsin⁡α=2kcos⁡α\begin{aligned}AC &= \frac{k \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2k\cos\alpha\end{aligned}

סינוס של זווית כפולה

הנכונה: 2kcos⁡α2k\cos\alpha. המלכודת: k2cos⁡α\frac{k}{2\cos\alpha} — להפוך את היחס במשפט הסינוסים; הצלע הגדולה מול הזווית הגדולה, ו-ACAC מול 2α2\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). נמצא AC=2kcos⁡αAC = 2k\cos\alpha. נתון AC=1.5kAC = 1.5k. ב. מצאו את α\alpha (במעלות, עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 41.41

הפתרון:

2kcos⁡α=1.5k⇒cos⁡α=0.75\begin{aligned}2k\cos\alpha &= 1.5k \Rightarrow \cos\alpha \\ &= 0.75\end{aligned}

מחלקים ב-k>0k > 0

α≈41.41∘\alpha \approx 41.41^\circ
3α≈124.2∘<180∘3\alpha \approx 124.2^\circ < 180^\circ

בדיקה: הזווית A=180∘−3αA = 180^\circ - 3\alpha חיובית

α≈41.41∘\alpha \approx 41.41^\circ. המלכודת: לפתור cos⁡2α=0.75\cos 2\alpha = 0.75 — בביטוי של ACAC מופיע cos⁡α\cos\alpha, והזווית הכפולה נעלמה בפישוט.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). נמצא cos⁡α=0.75\cos\alpha = 0.75. רדיוס המעגל החוסם את המשולש ABCABC הוא 88. ג. מצאו את kk (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10.58

הפתרון:

sin⁡α=1−0.752=74\begin{aligned}\sin\alpha &= \sqrt{1 - 0.75^2} \\ &= \frac{\sqrt{7}}{4}\end{aligned}

sin⁡2α+cos⁡2α=1\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1, ו-α\alpha חדה

ABsin⁡α=2R⇒k=16⋅74=47\begin{aligned}\frac{AB}{\sin\alpha} &= 2R \Rightarrow k \\ &= 16 \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} \\ &= 4\sqrt{7}\end{aligned}

משפט הסינוסים: מול ABAB הזווית C=αC = \alpha

k≈10.58k \approx 10.58

k=47≈10.58k = 4\sqrt{7} \approx 10.58. המלכודת: לשכוח את ה-22 ב-2R2R ולקבל 5.295.29.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

αααABCD

במשולש ABCABC נתון AB=kAB = k, ∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha ו-∠ACB=α\angle ACB = \alpha. הקטע BDBD חוצה את הזווית BB (DD על ACAC). נמצא cos⁡α=0.75\cos\alpha = 0.75, AC=1.5kAC = 1.5k ו-k=47k = 4\sqrt{7}. ד. הראו ש-△ABD∼△ACB\triangle ABD \sim \triangle ACB, וחשבו את ADAD (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.06

הפתרון:

∠ABD=α=∠ACB\begin{aligned}\angle ABD &= \alpha \\ &= \angle ACB\end{aligned}

הגדרת חוצה זווית: ∠ABD=2α2\angle ABD = \frac{2\alpha}{2}

△ABD∼△ACB\triangle ABD \sim \triangle ACB

משפט דמיון ז.ז: גם הזווית AA משותפת

ADAB=ABAC⇒AD=k21.5k=2k3\begin{aligned}\frac{AD}{AB} &= \frac{AB}{AC} \Rightarrow AD \\ &= \frac{k^2}{1.5k} \\ &= \frac{2k}{3}\end{aligned}

יחס צלעות מתאימות

AD=873≈7.06AD = \frac{8\sqrt{7}}{3} \approx 7.06

AD=2k3≈7.06AD = \frac{2k}{3} \approx 7.06. המלכודת: להתאים ADAD ל-ACAC — במשולש ABDABD הצלע ADAD מול הזווית α\alpha שב-BB, ובמשולש ACBACB מול α\alpha נמצאת ABAB.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — פונקציית שורש עם פרמטר

תרגיל 25

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

24+a=22\frac{2}{\sqrt{4 + a}} = \frac{\sqrt{2}}{2}

מציבים x=2x = 2

4+a=42=22⇒4+a=8\begin{aligned}\sqrt{4 + a} &= \frac{4}{\sqrt{2}} \\ &= 2\sqrt{2} \Rightarrow 4 + a \\ &= 8\end{aligned}

מעלים בריבוע

a=4a = 4

a=4a = 4. המלכודת: להעלות בריבוע רק את המכנה ולקבל 4+a=44 + a = 4 — מעלים בריבוע את שני האגפים של משוואה שלמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. נמצא a=4a = 4, כלומר f(x)=xx2+4f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}, המוגדרת לכל xx. ב. מצאו את האסימפטוטות האופקיות של ff.

כאשר x→∞x \to \infty: y=y = ____ ; כאשר x→−∞x \to -\infty: y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: כאשר x→∞x \to \infty: y=y = 1 ; כאשר x→−∞x \to -\infty: y=y = -1

הפתרון:

x2+4=∣x∣1+4x2\sqrt{x^2 + 4} = |x|\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}

מוציאים x2x^2 מהשורש: x2=∣x∣\sqrt{x^2} = |x|

x→∞: xx→1;x→−∞: x−x→−1x \to \infty: \ \frac{x}{x} \to 1; \quad x \to -\infty: \ \frac{x}{-x} \to -1

שתי אסימפטוטות שונות: y=1y = 1 ו-y=−1y = -1. המלכודת: לכתוב x2=x\sqrt{x^2} = x ולקבל y=1y = 1 בשני הכיוונים — כש-xx שלילי, x2=−x\sqrt{x^2} = -x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. נמצא a=4a = 4. ג. מהי הנגזרת של f(x)=xx2+4f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 4}}?

  1. f′(x)=4(x2+4)3/2f'(x) = \frac{4}{(x^2 + 4)^{3/2}}
  2. f′(x)=1x2+4f'(x) = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4}}
  3. f′(x)=x2(x2+4)3/2f'(x) = \frac{x^2}{(x^2 + 4)^{3/2}}
  4. f′(x)=4−x2(x2+4)3/2f'(x) = \frac{4 - x^2}{(x^2 + 4)^{3/2}}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א f′(x)=4(x2+4)3/2f'(x) = \frac{4}{(x^2 + 4)^{3/2}}

הפתרון:

f′(x)=x2+4−x⋅xx2+4x2+4f'(x) = \frac{\sqrt{x^2+4} - x \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}{x^2 + 4}

נגזרת של מנה, ונגזרת השורש: 2x2x2+4\frac{2x}{2\sqrt{x^2+4}}

=x2+4−x2(x2+4)x2+4=4(x2+4)3/2= \frac{x^2 + 4 - x^2}{(x^2 + 4)\sqrt{x^2 + 4}} = \frac{4}{(x^2 + 4)^{3/2}}

כופלים מונה ומכנה ב-x2+4\sqrt{x^2+4}

הנכונה: 4(x2+4)3/2\frac{4}{(x^2+4)^{3/2}} — חיובית תמיד, ולכן ff עולה בכל התחום ואין לה קיצון. המלכודת: 1x2+4\frac{1}{\sqrt{x^2+4}} — לגזור רק את המונה ולהשאיר את המכנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

נתונה הפונקציה f(x)=xx2+af(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}, ו-a>0a > 0 פרמטר. נתון f(2)=22f(2) = \frac{\sqrt{2}}{2}. נמצא a=4a = 4. ד. פתרו את המשוואה f(x)=0.6f(x) = 0.6.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.5

הפתרון:

x=0.6x2+4⇒x2=0.36(x2+4)\begin{aligned}x &= 0.6\sqrt{x^2 + 4} \Rightarrow x^2 \\ &= 0.36(x^2 + 4)\end{aligned}

מעלים בריבוע

0.64x2=1.44⇒x=±1.5\begin{aligned}0.64x^2 &= 1.44 \Rightarrow x \\ &= \pm 1.5\end{aligned}

פתרונות חשודים

f(−1.5)=−0.6≠0.6f(-1.5) = -0.6 \neq 0.6

בדיקה: x=−1.5x = -1.5 נפסל

x=1.5x = 1.5

x=1.5x = 1.5 בלבד. המלכודת: להשאיר גם x=−1.5x = -1.5 — העלאה בריבוע מוסיפה פתרון; ff שלילית כש-xx שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — מנה טריגונומטרית

תרגיל 29

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f′(x)=cos⁡x(a+cos⁡x)+sin⁡2x(a+cos⁡x)2=acos⁡x+1(a+cos⁡x)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\cos x(a + \cos x) + \sin^2 x}{(a + \cos x)^2} \\ &= \frac{a\cos x + 1}{(a + \cos x)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה, ו-cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1

f′(2π3)=0⇒−a2+1=0⇒a=2\begin{aligned}f'\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= 0 \Rightarrow -\frac{a}{2} + 1 \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 2\end{aligned}

cos⁡2π3=−12\cos\frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}

a=2a = 2. המלכודת: לשכוח ש-cos⁡2x+sin⁡2x=1\cos^2 x + \sin^2 x = 1 ולהישאר עם ביטוי שאי אפשר לפתור. כש-a>1a > 1 המכנה חיובי תמיד, ולכן אין אסימפטוטות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. נמצא a=2a = 2, כלומר f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x} ו-f′(x)=2cos⁡x+1(2+cos⁡x)2f'(x) = \frac{2\cos x + 1}{(2 + \cos x)^2}. ב. מהי נקודת המקסימום של ff בתחום 0<x<2π0 < x < 2\pi?

  1. (π3,35)\left(\frac{\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{5}\right)
  2. (π2,12)\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right)
  3. (4π3,33)\left(\frac{4\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
  4. (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right)

הפתרון:

2cos⁡x+1=0⇒x=2π3 4π3\begin{aligned}2\cos x + 1 &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{2\pi}{3} \\ \ \frac{4\pi}{3}\end{aligned}

המכנה חיובי: סימן הנגזרת לפי המונה

0<x<2π3:f′>0;2π3<x<4π3:f′<00 < x < \frac{2\pi}{3}: f' > 0; \quad \frac{2\pi}{3} < x < \frac{4\pi}{3}: f' < 0

מקסימום ב-2π3\frac{2\pi}{3}

f(2π3)=322−12=33\begin{aligned}f\left(\frac{2\pi}{3}\right) &= \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{2 - \frac{1}{2}} \\ &= \frac{\sqrt{3}}{3}\end{aligned}

הנכונה: (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right). המלכודת: (π2,12)\left(\frac{\pi}{2}, \frac{1}{2}\right) — לחשוב שהמקסימום של המנה נמצא במקסימום של המונה sin⁡x\sin x; המכנה משתנה גם הוא.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. נמצא a=2a = 2; נקודת המקסימום (2π3,33)\left(\frac{2\pi}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}\right) ונקודת המינימום (4π3,−33)\left(\frac{4\pi}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3}\right). ג. הוכיחו או הפריכו: לכל xx בתחום מתקיים −0.6≤f(x)≤0.6-0.6 \le f(x) \le 0.6.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(0)=f(2π)=0\begin{aligned}f(0) &= f(2\pi) \\ &= 0\end{aligned}

ערכי הקצוות

−33≤f(x)≤33-\frac{\sqrt{3}}{3} \le f(x) \le \frac{\sqrt{3}}{3}

הערך הגדול ביותר והקטן ביותר מבין הקיצונים והקצוות

33≈0.577<0.6\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 < 0.6

נכון. המלכודת: לבדוק רק את נקודות הקיצון ולשכוח את הקצוות — כאן הקצוות נותנים 00, ולכן הם לא משנים את התשובה, אבל בודקים אותם תמיד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡xa+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{a + \cos x} בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi, ו-a>1a > 1 פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2π3x = \frac{2\pi}{3}. נמצא a=2a = 2, כלומר f(x)=sin⁡x2+cos⁡xf(x) = \frac{\sin x}{2 + \cos x}, ו-f′(x)≥0f'(x) \ge 0 בתחום 0≤x≤2π30 \le x \le \frac{2\pi}{3}. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף הנגזרת f′f', ציר ה-xx והישר x=2π3x = \frac{2\pi}{3} (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.58

הפתרון:

S=∫02π/3f′(x) dx=f(2π3)−f(0)\begin{aligned}S &= \int_0^{2\pi/3} f'(x)\,dx \\ &= f\left(\frac{2\pi}{3}\right) - f(0)\end{aligned}

המשפט היסודי: ff קדומה של f′f'

=33−0≈0.58= \frac{\sqrt{3}}{3} - 0 \approx 0.58

השטח 33≈0.58\frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.58. המלכודת: לנסות לבצע אינטגרל ל-f′f' ישירות — הקדומה של f′f' היא ff עצמה, ואין צורך בשום חישוב נוסף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 8 — בעיית קיצון על גרף שורש

תרגיל 33

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. א. הישר x=tx = t מחלק את המשולש OPBOPB לשני משולשים. מהו שטח המשולש OPBOPB כפונקציה של tt?

  1. S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t
  2. S(t)=9t−3tS(t) = 9\sqrt{t} - 3t
  3. S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5t - 1.5\sqrt{t}
  4. S(t)=4.5tS(t) = 4.5\sqrt{t}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t

הפתרון:

y=x3y = \frac{x}{3}

הישר OBOB

PQ=t−t3PQ = \sqrt{t} - \frac{t}{3}

QQ על OBOB מתחת ל-PP: הקטע האנכי

S=12⋅PQ⋅t+12⋅PQ⋅(9−t)=92(t−t3)\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot t + \frac{1}{2} \cdot PQ \cdot (9 - t) \\ &= \frac{9}{2}\left(\sqrt{t} - \frac{t}{3}\right)\end{aligned}

שני משולשים עם בסיס משותף PQPQ; סכום הגבהים 99

S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t

הנכונה: 4.5t−1.5t4.5\sqrt{t} - 1.5t. המלכודת: 9t−3t9\sqrt{t} - 3t — לשכוח את החצי בנוסחת שטח המשולש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 34

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. שטח המשולש הוא S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t. ב. עבור איזה tt השטח מקסימלי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.25

הפתרון:

S′(t)=4.52t−1.5=0\begin{aligned}S'(t) &= \frac{4.5}{2\sqrt{t}} - 1.5 \\ &= 0\end{aligned}

נגזרת של t\sqrt{t}: 12t\frac{1}{2\sqrt{t}}

t=1.5⇒t=2.25\begin{aligned}\sqrt{t} &= 1.5 \Rightarrow t \\ &= 2.25\end{aligned}
t<2.25:S′>0;t>2.25:S′<0t < 2.25: S' > 0; \quad t > 2.25: S' < 0

מקסימום

t=2.25t = 2.25. המלכודת: לעצור ב-t=1.5\sqrt{t} = 1.5 ולענות 1.51.5 — שואלים על tt.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. השטח מקסימלי כאשר t=2.25t = 2.25. ג. הוכיחו או הפריכו: המשיק לגרף y=xy = \sqrt{x} בנקודה PP שבה השטח מקסימלי מקביל לקטע OBOB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

y′=12x⇒y′(2.25)=13\begin{aligned}y' &= \frac{1}{2\sqrt{x}} \Rightarrow y'(2.25) \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע המשיק

mOB=39=13\begin{aligned}m_{OB} &= \frac{3}{9} \\ &= \frac{1}{3}\end{aligned}

שיפוע OBOB

13=13\frac{1}{3} = \frac{1}{3}

שיפועים שווים — ישרים מקבילים

נכון: השטח מקסימלי כש-PP רחוקה ככל האפשר מ-OBOB, וזה קורה כשהמשיק ב-PP מקביל ל-OBOB. המלכודת: להשוות את השיפוע ל-33, היחס 93\frac{9}{3} ההפוך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 36

y = √x
OBP0123456789101234xy

הנקודה P(t,t)P(t, \sqrt{t}) נמצאת על גרף הפונקציה y=xy = \sqrt{x}, בין ראשית הצירים OO לנקודה B(9,3)B(9, 3) שעל הגרף: 0<t<90 < t < 9. נתבונן במשולש OPBOPB. השטח S(t)=4.5t−1.5tS(t) = 4.5\sqrt{t} - 1.5t מקסימלי כאשר t=2.25t = 2.25. ד. חשבו את השטח המקסימלי (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.375

הפתרון:

S(2.25)=4.5⋅1.5−1.5⋅2.25=6.75−3.375=3.375\begin{aligned}S(2.25) &= 4.5 \cdot 1.5 - 1.5 \cdot 2.25 \\ &= 6.75 - 3.375 \\ &= 3.375\end{aligned}

השטח המקסימלי 3.375≈3.383.375 \approx 3.38. המלכודת: להציב t=2.25\sqrt{t} = 2.25 במקום t=2.25t = 2.25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת