סימולציית בגרות 3

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סימולציית בגרות 3 — שאלון 35571, 5 יח״ל. המבנה של תשפ״ז: ארבעה פרקים, 8 שאלות, 3 שעות ו-45 דקות. עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות שאלה אחת מהפרק הראשון או מהפרק השני, ולפחות שאלה אחת מכל אחד מהפרקים השלישי והרביעי. לכל שאלה 20 נקודות. פרק ראשון — שאלות קצרות: שאלה 1, ובה ארבעה סעיפים; מי שבוחר בה עונה על 2 סעיפים מתוך 4. פרק שני — אינדוקציה, סדרות והסתברות: שאלות 2 ו-3. פרק שלישי — גאומטריה וטריגונומטריה במישור: שאלות 4 ו-5. פרק רביעי — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי: שאלות 6, 7 ו-8. מותר להשתמש בנוסחאון ל-5 יח״ל ובמחשבון שאינו גרפי. שאלה 1: אינדוקציה על מכפלה, הגרפים של ff, f′f' ו-f′′f'', טרפז ויחסי שטחים, שבר מחזורי. שאלה 2: סדרות הנדסיות הבנויות מסדרה נתונה. שאלה 3: התפלגות בינומית ומותנית. שאלה 4: קוטר וגובה ליתר. שאלה 5: מרובע חסום ונוסחאות סכום. שאלה 6: פונקציה רציונלית ופונקציה קדומה. שאלה 7: פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר. שאלה 8: בעיית קיצון עם משיק לפרבולה.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. לפני שמתחילים לכתוב, הקדישו חמש דקות לבחירה: עברו על כל השאלות וסמנו את חמש השאלות שאתם בטוחים בהן. בבעיית קיצון בדקו שהנקודה שמצאתם היא באמת מינימום או מקסימום; במשוואה טריגונומטרית בדקו כל פתרון מול הגאומטריה — זווית שמתקבלת מהחישוב אינה תמיד אפשרית בשרטוט.

תרגילים

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף א: אינדוקציה)

תרגיל 1

נתונה הטענה: (1−122)(1−132)⋅…⋅(1−1n2)=n+12n\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n+1}{2n} לכל n≥2n \ge 2 טבעי. סעיף א (1). בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור n=kn = k, וכופלים את שני האגפים בגורם הבא. למה שווה k+12k⋅(1−1(k+1)2)\frac{k+1}{2k} \cdot \left(1 - \frac{1}{(k+1)^2}\right)?

  1. k+12(k+2)\frac{k+1}{2(k+2)}
  2. k+22k\frac{k+2}{2k}
  3. k2(k+1)\frac{k}{2(k+1)}
  4. k+22(k+1)\frac{k+2}{2(k+1)}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד k+22(k+1)\frac{k+2}{2(k+1)}

הפתרון:

1−1(k+1)2=(k+1)2−1(k+1)2=k(k+2)(k+1)2\begin{aligned}1 - \frac{1}{(k+1)^2} &= \frac{(k+1)^2 - 1}{(k+1)^2} \\ &= \frac{k(k+2)}{(k+1)^2}\end{aligned}

הפרש ריבועים: (k+1)2−1=k(k+2)(k+1)^2 - 1 = k(k+2)

k+12k⋅k(k+2)(k+1)2=k+22(k+1)\frac{k+1}{2k} \cdot \frac{k(k+2)}{(k+1)^2} = \frac{k+2}{2(k+1)}

מצמצמים kk ו-(k+1)(k+1)

(k+1)+12(k+1)\frac{(k+1)+1}{2(k+1)}

זו הטענה עבור n=k+1n = k+1

הנכונה: k+22(k+1)\frac{k+2}{2(k+1)}. המלכודת: k+22k\frac{k+2}{2k} — לצמצם את kk ולשכוח שבמכנה נשאר (k+1)(k+1) מהגורם החדש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הטענה: (1−122)(1−132)⋅…⋅(1−1n2)=n+12n\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 - \frac{1}{n^2}\right) = \frac{n+1}{2n} לכל n≥2n \ge 2 טבעי. סעיף א (2). עבור איזה nn המכפלה שווה ל-0.520.52?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

n+12n=0.52\frac{n+1}{2n} = 0.52

לפי הטענה

n+1=1.04n⇒0.04n=1⇒n=25\begin{aligned}n + 1 &= 1.04n \Rightarrow 0.04n \\ &= 1 \Rightarrow n \\ &= 25\end{aligned}

n=25n = 25: המכפלה מסתיימת בגורם 1−12521 - \frac{1}{25^2}. המלכודת: לחשוב שמספר הגורמים הוא nn — המכפלה מתחילה ב-22, ולכן יש בה n−1=24n - 1 = 24 גורמים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ב: הגרפים של f, f′, f″)

תרגיל 3

שלושה גרפים: I, II, III
IIIIII-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-12-9-6-336912xy

בשרטוט שלושה גרפים, I, II ו-III: של פונקציה ff, של הנגזרת f′f' ושל הנגזרת השנייה f′′f'' (לא בהכרח בסדר הזה). הגרף I עובר דרך הנקודות (0,−3)(0, -3) ו-(1,0)(1, 0) המסומנות. סעיף ב (1). איזו התאמה נכונה?

  1. I — ff, II — f′f', III — f′′f''
  2. I — f′f', II — ff, III — f′′f''
  3. I — f′′f'', II — ff, III — f′f'
  4. I — f′f', II — f′′f'', III — ff
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד I — f′f', II — f′′f'', III — ff

הפתרון:

III: x=±1\text{III}: \ x = \pm 1

לגרף III קיצונים ב-x=±1x = \pm 1, ושם גרף I חותך את ציר ה-xx: I היא הנגזרת של III

I: x=0\text{I}: \ x = 0

לגרף I מינימום ב-x=0x = 0, ושם הישר II חותך את הציר: II היא הנגזרת של I

III=f I=f′ II=f′′\begin{aligned}\text{III} &= f \\ \ \text{I} &= f' \\ \ \text{II} &= f''\end{aligned}

הנכונה: I — f′f', II — f′′f'', III — ff. הכלל: בכל נקודת קיצון של גרף, הגרף של הנגזרת שלו חותך את ציר ה-xx. המלכודת: לקבוע לפי «צורה» — ישר נראה «פשוט», אבל הוא כאן הנגזרת השנייה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

שלושה גרפים: I, II, III
IIIIII-2.5-2-1.5-1-0.500.511.522.5-12-9-6-336912xy

בשרטוט שלושה גרפים, I, II ו-III: של פונקציה ff, של הנגזרת f′f' ושל הנגזרת השנייה f′′f'' (לא בהכרח בסדר הזה). הגרף I עובר דרך הנקודות (0,−3)(0, -3) ו-(1,0)(1, 0) המסומנות. נמצא: I הוא הגרף של f′f', ו-II הוא הגרף של f′′f''. סעיף ב (2). חשבו את ∫01f′′(x) dx\int_0^1 f''(x)\,dx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

∫01f′′(x) dx=f′(1)−f′(0)\int_0^1 f''(x)\,dx = f'(1) - f'(0)

המשפט היסודי: f′f' היא פונקציה קדומה של f′′f''

=0−(−3)=3= 0 - (-3) = 3

קוראים מגרף I את הנקודות המסומנות

התוצאה 33. המלכודת: לקרוא את הערכים מגרף III, של ff — הקדומה של f′′f'' היא f′f', ולכן קוראים מגרף I.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ג: גאומטריה)

תרגיל 5

ABCDE

בטרפז ABCDABCD הבסיסים הם AB=12AB = 12 ו-CD=6CD = 6 (AB∥CDAB \parallel CD). האלכסונים נחתכים בנקודה EE. סעיף ג (1). חשבו את היחס S△ABES△CDE\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle CDE}}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

∠ABE=∠CDE∠AEB=∠CED\begin{aligned}\angle ABE &= \angle CDE \\ \quad \angle AEB &= \angle CED\end{aligned}

זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים, וזוויות קודקודיות

△ABE∼△CDEk=ABCD=2\begin{aligned}\triangle ABE \sim \triangle CDE \\ \quad k &= \frac{AB}{CD} \\ &= 2\end{aligned}

משפט דמיון ז.ז

SABESCDE=k2=4\begin{aligned}\frac{S_{ABE}}{S_{CDE}} &= k^2 \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

היחס 44. המלכודת: לענות 22 — יחס הדמיון בלי ריבוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ABCDE

בטרפז ABCDABCD הבסיסים הם AB=12AB = 12 ו-CD=6CD = 6 (AB∥CDAB \parallel CD). האלכסונים נחתכים בנקודה EE. נמצא △ABE∼△CDE\triangle ABE \sim \triangle CDE ביחס 22. נתון S△CDE=5S_{\triangle CDE} = 5. סעיף ג (2). חשבו את שטח הטרפז.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 45

הפתרון:

SABE=4⋅5=20\begin{aligned}S_{ABE} &= 4 \cdot 5 \\ &= 20\end{aligned}

ריבוע יחס הדמיון

AEEC=2⇒SADE=2⋅SCDE=10\begin{aligned}\frac{AE}{EC} &= 2 \Rightarrow S_{ADE} \\ &= 2 \cdot S_{CDE} \\ &= 10\end{aligned}

למשולשים ADEADE ו-CDECDE אותו גובה מ-DD לאלכסון ACAC

SBCE=2⋅SCDE=10\begin{aligned}S_{BCE} &= 2 \cdot S_{CDE} \\ &= 10\end{aligned}

אותו נימוק עם BEED=2\frac{BE}{ED} = 2

S=5+20+10+10=45\begin{aligned}S &= 5 + 20 + 10 + 10 \\ &= 45\end{aligned}

סכום ארבעת המשולשים

שטח הטרפז 4545. המלכודת: להניח שלארבעת המשולשים יחס 1:2:41 : 2 : 4 בלבד ולשכוח את ADEADE ו-BCEBCE — שני המשולשים הצדדיים שווים זה לזה, וכל אחד מהם 1010.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1 — שאלות קצרות (סעיף ד: טור הנדסי)

תרגיל 7

המספר 1.2454545…1.2454545\ldots הוא שבר עשרוני מחזורי: הספרות 4545 חוזרות בלי סוף. סעיף ד (1). כתבו אותו כשבר פשוט בעזרת סכום של סדרה הנדסית אינסופית.

  1. 137111\frac{137}{111}
  2. 4133\frac{41}{33}
  3. 137110\frac{137}{110}
  4. 1245999\frac{1245}{999}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 137110\frac{137}{110}

הפתרון:

1.2454545…=1.2+0.045+0.00045+…1.2454545\ldots = 1.2 + 0.045 + 0.00045 + \ldots

החלק המחזורי הוא סדרה הנדסית

0.045+0.00045+…=0.0451−0.01=45990=122\begin{aligned}0.045 + 0.00045 + \ldots &= \frac{0.045}{1 - 0.01} \\ &= \frac{45}{990} \\ &= \frac{1}{22}\end{aligned}

a1=0.045a_1 = 0.045, q=0.01q = 0.01

1.2+122=132+5110=137110\begin{aligned}1.2 + \frac{1}{22} &= \frac{132 + 5}{110} \\ &= \frac{137}{110}\end{aligned}

הנכונה: 137110\frac{137}{110}. המלכודת: 1245999\frac{1245}{999} — «הכלל» של 999999 מתאים רק כשכל הספרות חוזרות; כאן 22 שאחרי הנקודה אינה חלק מהמחזור.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון 0<x<10 < x < 1. סעיף ד (2). סכום הסדרה ההנדסית האינסופית x+x2+x3+…x + x^2 + x^3 + \ldots הוא 44. מצאו את xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8

הפתרון:

x1−x=4\frac{x}{1 - x} = 4

סכום סדרה הנדסית אינסופית: a1=xa_1 = x, q=xq = x

x=4−4x⇒x=0.8\begin{aligned}x &= 4 - 4x \Rightarrow x \\ &= 0.8\end{aligned}

x=0.8x = 0.8. המלכודת: לכתוב 11−x=4\frac{1}{1 - x} = 4 — הסדרה מתחילה ב-xx, לא ב-11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סדרות הנדסיות הבנויות מסדרה נתונה

תרגיל 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. א. מצאו את המנה qq.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.6

הפתרון:

21−q=5\frac{2}{1 - q} = 5

סכום סדרה הנדסית אינסופית

1−q=0.4⇒q=0.6\begin{aligned}1 - q &= 0.4 \Rightarrow q \\ &= 0.6\end{aligned}
∣q∣<1|q| < 1

בדיקה: הסדרה מתכנסת

q=0.6q = 0.6. המלכודת: לכתוב 21+q=5\frac{2}{1 + q} = 5 ולקבל q=−0.6q = -0.6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. נמצא q=0.6q = 0.6. מגדירים bn=an2b_n = a_n^2. ב. הראו ש-bnb_n סדרה הנדסית מתכנסת, וחשבו את סכום כל איבריה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6.25

הפתרון:

bn+1bn=(an+1an)2=q2=0.36\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \left(\frac{a_{n+1}}{a_n}\right)^2 \\ &= q^2 \\ &= 0.36\end{aligned}

מנה קבועה — סדרה הנדסית, ו-0.36<10.36 < 1

b1=a12=4\begin{aligned}b_1 &= a_1^2 \\ &= 4\end{aligned}
Sb=41−0.36=6.25\begin{aligned}S_b &= \frac{4}{1 - 0.36} \\ &= 6.25\end{aligned}

הסכום 6.256.25. המלכודת: להעלות בריבוע את הסכום, 52=255^2 = 25 — סכום הריבועים אינו ריבוע הסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. נמצא q=0.6q = 0.6. מגדירים cn=an⋅knc_n = a_n \cdot k^n, ו-k≠0k \neq 0 פרמטר. ג. לאילו ערכים של kk הסדרה cnc_n מתכנסת (כלומר יש לה סכום סופי)?

  1. −1<k<1-1 < k < 1, k≠0k \neq 0
  2. k<53k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0
  3. −53<k<53-\frac{5}{3} < k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0
  4. 0<k<530 < k < \frac{5}{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג −53<k<53-\frac{5}{3} < k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0

הפתרון:

cn+1cn=an+1an⋅k=0.6k\begin{aligned}\frac{c_{n+1}}{c_n} &= \frac{a_{n+1}}{a_n} \cdot k \\ &= 0.6k\end{aligned}

המנה של cnc_n

∣0.6k∣<1⇒∣k∣<53|0.6k| < 1 \Rightarrow |k| < \frac{5}{3}

תנאי ההתכנסות של טור הנדסי

הנכונה: −53<k<53-\frac{5}{3} < k < \frac{5}{3}, k≠0k \neq 0. המלכודת: k<53k < \frac{5}{3} — לשכוח את הערך המוחלט; עבור k=−2k = -2 המנה −1.2-1.2, והסדרה מתבדרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת ana_n שבה a1=2a_1 = 2, וסכום כל איבריה 55. נמצא q=0.6q = 0.6, ו-cn=an⋅knc_n = a_n \cdot k^n. ד. עבור k=1.5k = 1.5 חשבו את סכום כל איברי cnc_n.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 30

הפתרון:

c1=a1⋅1.5=3\begin{aligned}c_1 &= a_1 \cdot 1.5 \\ &= 3\end{aligned}

שימו לב: knk^n עם n=1n = 1

qc=0.6⋅1.5=0.9\begin{aligned}q_c &= 0.6 \cdot 1.5 \\ &= 0.9\end{aligned}
Sc=31−0.9=30\begin{aligned}S_c &= \frac{3}{1 - 0.9} \\ &= 30\end{aligned}

הסכום 3030. המלכודת: לקחת c1=a1=2c_1 = a_1 = 2 ולקבל 2020 — באיבר הראשון כבר יש גורם k1k^1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — התפלגות בינומית ומותנית

תרגיל 13

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. ההסתברות שבשתי שאלות היא תטעה בדיוק באחת היא 0.420.42. א. מצאו את pp.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7

הפתרון:

2p(1−p)=0.422p(1 - p) = 0.42

שני סדרים: נכון-שגוי או שגוי-נכון

p2−p+0.21=0⇒p=0.7 או p=0.3\begin{aligned}p^2 - p + 0.21 &= 0 \Rightarrow p \\ &= 0.7 \ \text{או} \ p \\ &= 0.3\end{aligned}
p=0.7p = 0.7

לפי הנתון p>0.5p > 0.5

p=0.7p = 0.7. המלכודת: לכתוב p(1−p)=0.42p(1 - p) = 0.42 בלי הגורם 22 — אין לזה פתרון ממשי, כי המקסימום של p(1−p)p(1-p) הוא 0.250.25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. נמצא p=0.7p = 0.7. בחידון 6 שאלות. ב. מה ההסתברות שהתלמידה תענה נכון על 5 שאלות לפחות? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.42

הפתרון:

P(5)=(65)⋅0.75⋅0.3≈0.3025P(5) = \binom{6}{5} \cdot 0.7^5 \cdot 0.3 \approx 0.3025

נוסחת ברנולי

P(6)=0.76≈0.1176P(6) = 0.7^6 \approx 0.1176
P(≥5)≈0.420P(\ge 5) \approx 0.420

מאורעות זרים: מחברים

ההסתברות ≈0.420\approx 0.420. המלכודת: לחשב רק P(5)P(5) — «לפחות 5» כולל גם את 6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. נמצא p=0.7p = 0.7; בחידון של 6 שאלות, ההסתברות לענות נכון על 5 לפחות היא בערך 0.4200.420. ג. ידוע שהתלמידה ענתה נכון על 5 שאלות לפחות. מה ההסתברות שענתה נכון על כל השאלות? (עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.28

הפתרון:

P(6∣≥5)=P(6)P(≥5)P(6 \mid \ge 5) = \frac{P(6)}{P(\ge 5)}

המאורע «6» מוכל ב-«לפחות 5»: החיתוך הוא P(6)P(6)

=0.760.4202≈0.280= \frac{0.7^6}{0.4202} \approx 0.280

ההסתברות ≈0.280\approx 0.280. המלכודת: לענות 0.76≈0.1180.7^6 \approx 0.118 — זו ההסתברות בלי התנאי. המידע שקיבלנו מקטין את מרחב המדגם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

בחידון, כל תלמיד עונה על שאלות של «נכון או לא נכון». ההסתברות שתלמידה מסוימת תענה נכון על שאלה היא pp, כאשר p>0.5p > 0.5, והתשובות בלתי תלויות זו בזו. נמצא p=0.7p = 0.7. בחידון 6 שאלות. ד. ידוע שהתלמידה ענתה נכון על 4 שאלות בדיוק. מה ההסתברות ששתי השאלות הראשונות הן בין אלה שענתה עליהן נכון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.4

הפתרון:

P(4)=(64)p4(1−p)2P(\text{4}) = \binom{6}{4} p^4 (1-p)^2

התנאי

P(שתיים∩4)=p2⋅(42)p2(1−p)2P(\text{שתיים} \cap 4) = p^2 \cdot \binom{4}{2} p^2 (1-p)^2

שתי הראשונות נכונות, ועוד 2 נכונות מבין 4 האחרות

(42)(64)=615=0.4\begin{aligned}\frac{\binom{4}{2}}{\binom{6}{4}} &= \frac{6}{15} \\ &= 0.4\end{aligned}

pp מצטמצם

ההסתברות 0.40.4 — והיא לא תלויה ב-pp: בהינתן 4 תשובות נכונות, כל בחירה של 4 מקומות שווה בסיכוייה. המלכודת: לענות 0.72=0.490.7^2 = 0.49 ולהתעלם מהתנאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — קוטר וגובה ליתר

תרגיל 17

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. א. הוכיחו: △ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC.

  • ABAB קוטר
  • CE⊥ABCE \perp AB

△ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. ∠AEC=90∘\angle AEC = 90^\circ — נתון: CE⊥ABCE \perp AB
  3. ∠CAB=∠EAC\angle CAB = \angle EAC — זווית משותפת לשני המשולשים
  4. △ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠ACB=∠AEC=90∘\begin{aligned}\angle ACB &= \angle AEC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על קוטר, ונתון

∠A\angle A

משותפת

△ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC

ז.ז

ההתאמה: A→AA \to A, C→EC \to E, B→CB \to C. המלכודת: להתאים BB ל-EE — הזוויות הישרות הן ב-CC במשולש הגדול וב-EE בקטן, ולכן C↔EC \leftrightarrow E.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. הוכח: △ACB∼△AEC\triangle ACB \sim \triangle AEC. נתון AE=3AE = 3 ו-EB=9EB = 9. ב. חשבו את ACAC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

ACAE=ABAC\frac{AC}{AE} = \frac{AB}{AC}

יחס צלעות מתאימות

AC2=AE⋅AB=3⋅12=36\begin{aligned}AC^2 &= AE \cdot AB \\ &= 3 \cdot 12 \\ &= 36\end{aligned}

AB=AE+EB=12AB = AE + EB = 12

AC=6AC = 6

AC=6AC = 6. המלכודת: לכפול AE⋅EB=27AE \cdot EB = 27 — זה נותן את CE2CE^2, לא את AC2AC^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. נתון AE=3AE = 3 ו-EB=9EB = 9, ונמצא AC=6AC = 6. ג. מהו אורך CECE?

  1. 333\sqrt{3}
  2. 323\sqrt{2}
  3. 232\sqrt{3}
  4. 636\sqrt{3}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 333\sqrt{3}

הפתרון:

CE2=AC2−AE2=36−9=27\begin{aligned}CE^2 &= AC^2 - AE^2 \\ &= 36 - 9 \\ &= 27\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש AECAEC

CE=27=33\begin{aligned}CE &= \sqrt{27} \\ &= 3\sqrt{3}\end{aligned}
CE2=AE⋅EB=27\begin{aligned}CE^2 &= AE \cdot EB \\ &= 27\end{aligned}

בדיקה: הגובה ליתר

הנכונה: 333\sqrt{3}. המלכודת: 636\sqrt{3} — זה BCBC, ולא הגובה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

ABOECM

ABAB קוטר במעגל שמרכזו OO, והנקודה CC על המעגל. CECE מאונך לקוטר (EE על ABAB). MM אמצע המיתר ACAC. נתון AE=3AE = 3, EB=9EB = 9; נמצא AC=6AC = 6 ו-CE=33CE = 3\sqrt{3}. ד. הוכיחו או הפריכו: OM=CEOM = CE.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

OM∥BCOM=BC2\begin{aligned}OM \parallel BC \\ \quad OM &= \frac{BC}{2}\end{aligned}

קטע אמצעים במשולש ABCABC: OO אמצע ABAB ו-MM אמצע ACAC

BC=AB2−AC2=144−36=63\begin{aligned}BC &= \sqrt{AB^2 - AC^2} \\ &= \sqrt{144 - 36} \\ &= 6\sqrt{3}\end{aligned}

משפט פיתגורס: ∠ACB=90∘\angle ACB = 90^\circ

OM=33=CE\begin{aligned}OM &= 3\sqrt{3} \\ &= CE\end{aligned}

נכון: שניהם 333\sqrt{3}. המלכודת: לחשוב ש-OMOM רדיוס כי OO המרכז — MM אינה על המעגל, היא אמצע מיתר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — מרובע חסום ונוסחאות סכום

תרגיל 21

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. א. הביעו את האלכסון BDBD באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. 2Rcos⁡3α2R\cos 3\alpha
  2. 2Rsin⁡α2R\sin\alpha
  3. 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha
  4. Rsin⁡3αR\sin 3\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha

הפתרון:

∠BAD=α+2α=3α\begin{aligned}\angle BAD &= \alpha + 2\alpha \\ &= 3\alpha\end{aligned}

חיבור זוויות

BDsin⁡∠BAD=2R\frac{BD}{\sin \angle BAD} = 2R

משפט הסינוסים במשולש ABDABD, החסום באותו מעגל

BD=2Rsin⁡3αBD = 2R\sin 3\alpha

הנכונה: 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha. המלכודת: Rsin⁡3αR\sin 3\alpha — היחס בין צלע לסינוס הזווית שמולה הוא הקוטר, 2R2R.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. ב. מהו שטח המרובע ABCDABCD?

  1. R2(sin⁡α+sin⁡2α)R^2(\sin\alpha + \sin 2\alpha)
  2. 2R2sin⁡3αsin⁡α2R^2\sin 3\alpha\sin\alpha
  3. R2sin⁡3αcos⁡αR^2\sin 3\alpha\cos\alpha
  4. 2R2sin⁡3αcos⁡α2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 2R2sin⁡3αcos⁡α2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha

הפתרון:

∠ABC=∠ADC=90∘\begin{aligned}\angle ABC &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית הנשענת על קוטר

SABC=12⋅2Rcos⁡α⋅2Rsin⁡α=R2sin⁡2α\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{1}{2} \cdot 2R\cos\alpha \cdot 2R\sin\alpha \\ &= R^2\sin 2\alpha\end{aligned}

במשולש ישר-זווית: AB=2Rcos⁡αAB = 2R\cos\alpha, BC=2Rsin⁡αBC = 2R\sin\alpha

SADC=12⋅2Rcos⁡2α⋅2Rsin⁡2α=R2sin⁡4α\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{1}{2} \cdot 2R\cos 2\alpha \cdot 2R\sin 2\alpha \\ &= R^2\sin 4\alpha\end{aligned}

אותו חישוב עם 2α2\alpha

R2(sin⁡4α+sin⁡2α)=2R2sin⁡3αcos⁡αR^2(\sin 4\alpha + \sin 2\alpha) = 2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha

סכום סינוסים: sin⁡x+sin⁡y=2sin⁡x+y2cos⁡x−y2\sin x + \sin y = 2\sin\frac{x+y}{2}\cos\frac{x-y}{2}

הנכונה: 2R2sin⁡3αcos⁡α2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha. המלכודת: R2(sin⁡α+sin⁡2α)R^2(\sin\alpha + \sin 2\alpha) — לשכוח שהזווית הכפולה נכנסת לשטח: 12⋅2sin⁡αcos⁡α⋅4R2=R2sin⁡2α\frac{1}{2} \cdot 2\sin\alpha\cos\alpha \cdot 4R^2 = R^2 \sin 2\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. נמצא BD=2Rsin⁡3αBD = 2R\sin 3\alpha. נתון BD=R2BD = R\sqrt{2}. ג. מצאו את α\alpha (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

sin⁡3α=22\sin 3\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}
3α=45∘ או 3α=135∘\begin{aligned}3\alpha &= 45^\circ \ \text{או} \ 3\alpha \\ &= 135^\circ\end{aligned}

שתי זוויות בין 0∘0^\circ ל-180∘180^\circ

α=45∘⇒∠CAD=90∘\begin{aligned}\alpha &= 45^\circ \Rightarrow \angle CAD \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נפסל: זווית היקפית הנשענת על חלק מחצי מעגל קטנה מ-90∘90^\circ; DD הייתה מתלכדת עם AA

α=15∘\alpha = 15^\circ

α=15∘\alpha = 15^\circ. המלכודת: להשאיר גם α=45∘\alpha = 45^\circ — אז ∠CAD=90∘\angle CAD = 90^\circ, וזה אפשרי רק אם D=AD = A.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

α2αACOBD

המרובע ABCDABCD חסום במעגל שמרכזו OO ורדיוסו RR. האלכסון ACAC הוא קוטר, והנקודות BB ו-DD משני צדדיו. נתון ∠CAB=α\angle CAB = \alpha ו-∠CAD=2α\angle CAD = 2\alpha. נמצא α=15∘\alpha = 15^\circ, ושטח המרובע S=2R2sin⁡3αcos⁡αS = 2R^2\sin 3\alpha\cos\alpha. נתון ששטח המרובע 3636. ד. מצאו את RR (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.13

הפתרון:

2R2sin⁡45∘cos⁡15∘=362R^2\sin 45^\circ\cos 15^\circ = 36

מציבים α=15∘\alpha = 15^\circ

R2=362⋅0.7071⋅0.9659≈26.35R^2 = \frac{36}{2 \cdot 0.7071 \cdot 0.9659} \approx 26.35
R≈5.13R \approx 5.13

R≈5.13R \approx 5.13. המלכודת: להציב sin⁡15∘\sin 15^\circ במקום sin⁡45∘\sin 45^\circ — בנוסחה מופיע sin⁡3α\sin 3\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית ופונקציה קדומה

תרגיל 25

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f(1)=a(1+1)2=a4=2\begin{aligned}f(1) &= \frac{a}{(1 + 1)^2} \\ &= \frac{a}{4} \\ &= 2\end{aligned}

מציבים x=1x = 1

a=8a = 8

a=8a = 8. המלכודת: לשכוח את הריבוע שבמכנה ולקבל a=4a = 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. נמצא a=8a = 8, ו-f′(x)=8(1−3x2)(x2+1)3f'(x) = \frac{8(1 - 3x^2)}{(x^2 + 1)^3}. ב. מצאו את נקודת המקסימום של ff (עגלו את שני השיעורים לשתי ספרות אחרי הנקודה).

( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( 0.58 , 2.6 )

הפתרון:

f′(x)=0⇒x2=13⇒x=±13\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x^2 \\ &= \frac{1}{3} \Rightarrow x \\ &= \pm\frac{1}{\sqrt{3}}\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

−13<x<13:f′>0;x>13:f′<0-\frac{1}{\sqrt{3}} < x < \frac{1}{\sqrt{3}}: f' > 0; \quad x > \frac{1}{\sqrt{3}}: f' < 0

מקסימום ב-x=13x = \frac{1}{\sqrt{3}}

f(13)=83169=332≈2.60\begin{aligned}f\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) &= \frac{\frac{8}{\sqrt{3}}}{\frac{16}{9}} \\ &= \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.60\end{aligned}

המקסימום (13,332)≈(0.58,2.60)\left(\frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{3\sqrt{3}}{2}\right) \approx (0.58, 2.60). המלכודת: לקחת את x=−13x = -\frac{1}{\sqrt{3}} — שם ff שלילית, וזו נקודת המינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. נמצא a=8a = 8. gg היא פונקציה שמקיימת g′(x)=f(x)g'(x) = f(x) לכל xx, והישר y=0y = 0 הוא אסימפטוטה אופקית של gg. ג. מהי g(x)g(x)?

  1. g(x)=−4(x2+1)2g(x) = -\frac{4}{(x^2 + 1)^2}
  2. g(x)=−4x2+1g(x) = -\frac{4}{x^2 + 1}
  3. g(x)=4−4x2+1g(x) = 4 - \frac{4}{x^2 + 1}
  4. g(x)=4x2+1g(x) = \frac{4}{x^2 + 1}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב g(x)=−4x2+1g(x) = -\frac{4}{x^2 + 1}

הפתרון:

∫8x(x2+1)2 dx=4∫2x(x2+1)2 dx\int \frac{8x}{(x^2 + 1)^2}\,dx = 4\int \frac{2x}{(x^2 + 1)^2}\,dx

המונה הוא נגזרת הביטוי הפנימי: f(u)⋅u′f(u) \cdot u' עם u=x2+1u = x^2 + 1

=4⋅(−1x2+1)+C=−4x2+1+C= 4 \cdot \left(-\frac{1}{x^2 + 1}\right) + C = -\frac{4}{x^2 + 1} + C

הקדומה של 1u2\frac{1}{u^2} היא −1u-\frac{1}{u}

x→∞: g→C=0x \to \infty: \ g \to C = 0

האסימפטוטה y=0y = 0 קובעת את הקבוע

הנכונה: −4x2+1-\frac{4}{x^2 + 1}. המלכודת: 4−4x2+14 - \frac{4}{x^2 + 1} — זו קדומה נכונה, אבל האסימפטוטה שלה y=4y = 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

נתונה הפונקציה f(x)=ax(x2+1)2f(x) = \frac{ax}{(x^2 + 1)^2}, ו-aa פרמטר. נתון f(1)=2f(1) = 2. נמצא a=8a = 8, ו-g(x)=−4x2+1g(x) = -\frac{4}{x^2 + 1} היא פונקציה קדומה של ff. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף ff, ציר ה-xx והישר x=1x = 1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x≥0⇒f(x)≥0x \ge 0 \Rightarrow f(x) \ge 0

המונה 8x8x אי-שלילי והמכנה חיובי: הגרף מעל הציר

S=∫01f(x) dx=g(1)−g(0)\begin{aligned}S &= \int_0^1 f(x)\,dx \\ &= g(1) - g(0)\end{aligned}

השטח מתחיל בנקודת החיתוך של ff עם הציר, x=0x = 0

=−2−(−4)=2= -2 - (-4) = 2

השטח 22. המלכודת: להניח ש-g(0)=0g(0) = 0 ולענות −2-2 — g(0)=−4g(0) = -4, ושטח אינו שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — פונקציה טריגונומטרית עם פרמטר

תרגיל 29

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. א. מצאו את bb.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f′(x)=2sin⁡xcos⁡x−bsin⁡x=sin⁡x(2cos⁡x−b)\begin{aligned}f'(x) &= 2\sin x\cos x - b\sin x \\ &= \sin x(2\cos x - b)\end{aligned}

נגזרת של פונקציה מורכבת: (sin⁡2x)′=2sin⁡x⋅cos⁡x(\sin^2 x)' = 2\sin x \cdot \cos x

f′(π3)=32(1−b)=0⇒b=1\begin{aligned}f'\left(\frac{\pi}{3}\right) &= \frac{\sqrt{3}}{2}(1 - b) \\ &= 0 \Rightarrow b \\ &= 1\end{aligned}

cos⁡π3=12\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}

b=1b = 1. המלכודת: לגזור sin⁡2x\sin^2 x ל-2sin⁡x2\sin x בלי הנגזרת הפנימית cos⁡x\cos x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. נמצא b=1b = 1, כלומר f(x)=sin⁡2x+cos⁡xf(x) = \sin^2 x + \cos x. ב. הוכיחו או הפריכו: ff פונקציה זוגית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

f(−x)=sin⁡2(−x)+cos⁡(−x)=(−sin⁡x)2+cos⁡x\begin{aligned}f(-x) &= \sin^2(-x) + \cos(-x) \\ &= (-\sin x)^2 + \cos x\end{aligned}

sin⁡\sin אי-זוגית ו-cos⁡\cos זוגית

=sin⁡2x+cos⁡x=f(x)= \sin^2 x + \cos x = f(x)

והתחום סימטרי

נכון: ff זוגית, והגרף סימטרי ביחס לציר ה-yy. המלכודת: לחשוב ש-sin⁡2x\sin^2 x אי-זוגית «כי sin⁡\sin אי-זוגית» — הריבוע מבטל את הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. נמצא b=1b = 1; ff זוגית, f(0)=1f(0) = 1, f(±π)=−1f(\pm\pi) = -1, ובנקודות x=±π3x = \pm\frac{\pi}{3} יש מקסימום שערכו 1.251.25. ג. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1.1f(x) = 1.1 בתחום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f′(x)=sin⁡x(2cos⁡x−1)f'(x) = \sin x(2\cos x - 1)

קיצונים ב-00, ±π3\pm\frac{\pi}{3}, ובקצוות

0→π3: 1↗1.25;π3→π: 1.25↘−10 \to \frac{\pi}{3}: \ 1 \nearrow 1.25; \quad \frac{\pi}{3} \to \pi: \ 1.25 \searrow -1

בכל קטע מונוטוני הערך 1.11.1 מתקבל פעם אחת

2+2=42 + 2 = 4

עוד שני פתרונות בחצי השלילי, מהזוגיות

ארבעה פתרונות. המלכודת: לענות 22 ולפספס את הקטע 0<x<π30 < x < \frac{\pi}{3} — בין המינימום המקומי f(0)=1f(0) = 1 למקסימום 1.251.25 הגרף עובר גם הוא דרך 1.11.1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+bcos⁡xf(x) = \sin^2 x + b\cos x בתחום −π≤x≤π-\pi \le x \le \pi, ו-bb פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=π3x = \frac{\pi}{3}. נמצא b=1b = 1, כלומר f(x)=sin⁡2x+cos⁡xf(x) = \sin^2 x + \cos x, ו-f(x)≥0f(x) \ge 0 בתחום 0≤x≤π20 \le x \le \frac{\pi}{2}. ד. חשבו את השטח הכלוא בין גרף ff, הצירים והישר x=π2x = \frac{\pi}{2} (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.79

הפתרון:

sin⁡2x=1−cos⁡2x2\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}

זהות הזווית הכפולה: cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

∫0π/2(12−cos⁡2x2+cos⁡x)dx=[x2−sin⁡2x4+sin⁡x]0π/2\int_0^{\pi/2} \left(\frac{1}{2} - \frac{\cos 2x}{2} + \cos x\right) dx = \left[\frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + \sin x\right]_0^{\pi/2}
=π4+1≈1.79= \frac{\pi}{4} + 1 \approx 1.79

השטח π4+1≈1.79\frac{\pi}{4} + 1 \approx 1.79. המלכודת: לכתוב ∫sin⁡2x dx=sin⁡3x3\int \sin^2 x\,dx = \frac{\sin^3 x}{3} — זה נכון רק כשיש גם גורם cos⁡x\cos x; כאן חייבים את זהות הזווית הכפולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 8 — בעיית קיצון עם משיק לפרבולה

תרגיל 33

y = 9 − x²
A01234-1123456789101112xy

הנקודה A(t,9−t2)A(t, 9 - t^2) נמצאת על גרף הפונקציה y=9−x2y = 9 - x^2, ו-0<t<30 < t < 3. המשיק לגרף בנקודה AA יוצר עם הצירים משולש ברביע הראשון. א. מהו שטח המשולש כפונקציה של tt?

  1. S(t)=(9+t2)22tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{2t}
  2. S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t}
  3. S(t)=(9−t2)24tS(t) = \frac{(9 - t^2)^2}{4t}
  4. S(t)=9+t24tS(t) = \frac{9 + t^2}{4t}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t}

הפתרון:

y=−2t(x−t)+9−t2=−2tx+9+t2\begin{aligned}y &= -2t(x - t) + 9 - t^2 \\ &= -2tx + 9 + t^2\end{aligned}

משוואת המשיק: השיפוע y′=−2ty' = -2t

x=0: y=9+t2;y=0: x=9+t22t\begin{aligned}x &= 0: \ y \\ &= 9 + t^2; \quad y \\ &= 0: \ x \\ &= \frac{9 + t^2}{2t}\end{aligned}

נקודות החיתוך עם הצירים

S=12⋅9+t22t⋅(9+t2)=(9+t2)24t\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot \frac{9 + t^2}{2t} \cdot (9 + t^2) \\ &= \frac{(9 + t^2)^2}{4t}\end{aligned}

שטח משולש ישר-זווית

הנכונה: (9+t2)24t\frac{(9 + t^2)^2}{4t}. המלכודת: (9−t2)24t\frac{(9 - t^2)^2}{4t} — להשתמש בגובה של הנקודה AA במקום בנקודת החיתוך של המשיק עם ציר ה-yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 34

y = 9 − x²
A01234-1123456789101112xy

הנקודה A(t,9−t2)A(t, 9 - t^2) נמצאת על גרף הפונקציה y=9−x2y = 9 - x^2, ו-0<t<30 < t < 3. המשיק לגרף בנקודה AA יוצר עם הצירים משולש ברביע הראשון. שטח המשולש הוא S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t}. ב. עבור איזה tt השטח מינימלי? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.73

הפתרון:

S′(t)=2(9+t2)⋅2t⋅4t−(9+t2)2⋅416t2=(9+t2)(3t2−9)4t2\begin{aligned}S'(t) &= \frac{2(9 + t^2) \cdot 2t \cdot 4t - (9 + t^2)^2 \cdot 4}{16t^2} \\ &= \frac{(9 + t^2)(3t^2 - 9)}{4t^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

3t2−9=0⇒t=3≈1.73\begin{aligned}3t^2 - 9 &= 0 \Rightarrow t \\ &= \sqrt{3} \approx 1.73\end{aligned}

9+t2>09 + t^2 > 0

t<3:S′<0;t>3:S′>0t < \sqrt{3}: S' < 0; \quad t > \sqrt{3}: S' > 0

מינימום

t=3≈1.73t = \sqrt{3} \approx 1.73. המלכודת: לגזור את (9+t2)2(9 + t^2)^2 בלי הנגזרת הפנימית 2t2t.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

y = 9 − x²
A01234-1123456789101112xy

הנקודה A(t,9−t2)A(t, 9 - t^2) נמצאת על גרף הפונקציה y=9−x2y = 9 - x^2, ו-0<t<30 < t < 3. המשיק לגרף בנקודה AA יוצר עם הצירים משולש ברביע הראשון. השטח S(t)=(9+t2)24tS(t) = \frac{(9 + t^2)^2}{4t} מינימלי כאשר t=3t = \sqrt{3}. ג. חשבו את השטח המינימלי (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20.78

הפתרון:

S(3)=12243=363=123≈20.78\begin{aligned}S(\sqrt{3}) &= \frac{12^2}{4\sqrt{3}} \\ &= \frac{36}{\sqrt{3}} \\ &= 12\sqrt{3} \approx 20.78\end{aligned}

השטח המינימלי 123≈20.7812\sqrt{3} \approx 20.78. המלכודת: להציב t=3t = 3 במקום t2=3t^2 = 3.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת