סימולציית בגרות 4

תרגיל 1

נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי, $1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1} = \frac{(2n+c) \cdot 3^n + 1}{4}$, כאשר $c$ קבוע. (1) מצאו את $c$ בעזרת המקרה $n = 1$.

תרגיל 2

נתונה הטענה: לכל $n$ טבעי, $1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3^2 + \dots + n \cdot 3^{n-1} = \frac{(2n+c) \cdot 3^n + 1}{4}$, כאשר $c$ קבוע. נמצא $c = -1$. (2) בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור $n = m$. לאיזה ביטוי שווה סכום $m + 1$ האיברים הראשונים, אחרי שמציבים את הנחת האינדוקציה?

1. א$\frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1}{4} + m \cdot 3^{m-1}$
2. ב$\frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1}{4} + (m+1) \cdot 3^m$
3. ג$\frac{(2m+1) \cdot 3^{m+1} + 1}{4} + (m+1) \cdot 3^m$
4. ד$\frac{(2m-1) \cdot 3^m + 1}{4} + (m+1) \cdot 3^{m+1}$

תרגיל 3

בשרטוט הגרף של הפונקציה $f(x) = x^2 - 3x$. נגדיר $g(x) = \int_0^x f(t)\,dt$. (1) לפונקציה $g$ יש נקודת מינימום אחת בתחום $x > 0$. מצאו את שיעור ה-$x$ שלה.

תרגיל 4

בשרטוט הגרף של הפונקציה $f(x) = x^2 - 3x$. נגדיר $g(x) = \int_0^x f(t)\,dt$. נמצא שהמינימום של $g$ בתחום $x > 0$ הוא ב-$x = 3$. (2) מצאו את ה-$x > 0$ שבו $g(x) = 0$.

תרגיל 5

מהנקודה $P$, שמחוץ למעגל, יוצאים המשיק $PT$ ($T$ נקודת ההשקה) והחותך $PB$, שחותך את המעגל בנקודות $A$ ו-$B$ ($A$ בין $P$ ל-$B$). נתון $PA = 4$ ו-$AB = 5$. (1) חשבו את $PT$.

תרגיל 6

מהנקודה $P$, שמחוץ למעגל, יוצאים המשיק $PT$ ($T$ נקודת ההשקה) והחותך $PB$, שחותך את המעגל בנקודות $A$ ו-$B$ ($A$ בין $P$ ל-$B$). נתון $PA = 4$ ו-$AB = 5$. נמצא $PT = 6$. (2) מהו היחס בין שטח $\triangle PTA$ לשטח $\triangle PBT$?

1. א$\frac{4}{5}$
2. ב$\frac{16}{25}$
3. ג$\frac{4}{9}$
4. ד$\frac{2}{3}$

תרגיל 7

רותם זורקת כדור לסל שוב ושוב, ומפסיקה ברגע שהיא קולעת בפעם הראשונה. בכל זריקה ההסתברות שהיא קולעת היא $0.3$, בלי תלות בזריקות האחרות. (1) מה ההסתברות שהיא תקלע לראשונה בזריקה השלישית?

תרגיל 8

רותם זורקת כדור לסל שוב ושוב, ומפסיקה ברגע שהיא קולעת בפעם הראשונה. בכל זריקה ההסתברות שהיא קולעת היא $0.3$, בלי תלות בזריקות האחרות. (2) מה ההסתברות שהיא תזרוק יותר מ-4 זריקות?

תרגיל 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת $a_n$, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא $18$, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, $a_1 + a_3 + a_5 + \dots$, הוא $13.5$. א. מהי מנת הסדרה $q$?

1. א$\frac{3}{4}$
2. ב$\frac{1}{3}$
3. ג$\frac{1}{4}$
4. ד$\frac{2}{3}$

תרגיל 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת $a_n$, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא $18$, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, $a_1 + a_3 + a_5 + \dots$, הוא $13.5$. נמצא $q = \frac{1}{3}$. ב. מצאו את $a_1$.

תרגיל 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת $a_n$, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא $18$, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, $a_1 + a_3 + a_5 + \dots$, הוא $13.5$. נמצא $a_1 = 12$ ו-$q = \frac{1}{3}$. מגדירים $b_n = a_{2n-1} - a_{2n}$. ג. הסדרה $b_n$ הנדסית. מהם האיבר הראשון שלה והמנה שלה?

1. א$b_1 = 8$, והמנה $\frac{1}{3}$
2. ב$b_1 = 4$, והמנה $\frac{1}{9}$
3. ג$b_1 = 8$, והמנה $\frac{1}{9}$
4. ד$b_1 = 16$, והמנה $\frac{1}{9}$

תרגיל 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית יורדת $a_n$, שכל איבריה חיוביים. סכום כל איברי הסדרה הוא $18$, וסכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים, $a_1 + a_3 + a_5 + \dots$, הוא $13.5$. נמצא $a_1 = 12$ ו-$q = \frac{1}{3}$. ד. מהו המקום $n$ הראשון שבו $a_n < 0.01$?

תרגיל 13

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה $60\%$ מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא $p$, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא $2p$. ידוע ש-$7\%$ מכל העוגיות במאפייה נשרפות. א. מצאו את $p$.

תרגיל 14

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה $60\%$ מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא $p$, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא $2p$. ידוע ש-$7\%$ מכל העוגיות במאפייה נשרפות. נמצא $p = 0.05$. ב. בוחרים באקראי עוגייה שרופה. מה ההסתברות שהיא מתנור ב? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 15

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה $60\%$ מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא $p$, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא $2p$. ידוע ש-$7\%$ מכל העוגיות במאפייה נשרפות. ההסתברות שעוגייה נשרפת היא $0.07$. ג. בוחרים באקראי 5 עוגיות, בלי תלות זו בזו. מה ההסתברות שבדיוק 2 מהן שרופות? עגלו לארבע ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 16

במאפייה שני תנורים. תנור א אופה $60\%$ מהעוגיות, ותנור ב אופה את השאר. ההסתברות שעוגייה מתנור א נשרפת היא $p$, וההסתברות שעוגייה מתנור ב נשרפת היא $2p$. ידוע ש-$7\%$ מכל העוגיות במאפייה נשרפות. ההסתברות שעוגייה נשרפת היא $0.07$, ובוחרים באקראי 5 עוגיות. ד. ידוע שבין 5 העוגיות יש לפחות עוגייה שרופה אחת. מה ההסתברות שיש ביניהן בדיוק אחת? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 17

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$, ו-$C$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $C$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $P$ ($B$ בין $A$ ל-$P$). א. הוכיחו: $\triangle PCB \sim \triangle PAC$.

• $AB$ קוטר במעגל
• $PC$ משיק למעגל בנקודה $C$
• $P$ על המשך $AB$

$\triangle PCB \sim \triangle PAC$

תרגיל 18

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$, ו-$C$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $C$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $P$ ($B$ בין $A$ ל-$P$). הוכח ש-$\triangle PCB \sim \triangle PAC$. ב. נתון $PB = 4$ ו-$PC = 8$. חשבו את רדיוס המעגל.

תרגיל 19

$AB$ קוטר במעגל שמרכזו $O$, ו-$C$ נקודה על המעגל. המשיק למעגל בנקודה $C$ חותך את המשך הקוטר $AB$ בנקודה $P$ ($B$ בין $A$ ל-$P$). הוכח ש-$\triangle PCB \sim \triangle PAC$, ונמצא $PA = 16$ ורדיוס המעגל $6$ (נתון $PB = 4$, $PC = 8$). ג. חשבו את שטח המשולש $ABC$.

תרגיל 20

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$. נתון $\angle BAC = \alpha$ ו-$\angle ABC = 2\alpha$. א. הביעו את $AC$ באמצעות $R$ ו-$\alpha$.

1. א$AC = 2R\sin 3\alpha$
2. ב$AC = 2R\sin 2\alpha$
3. ג$AC = R\sin 2\alpha$
4. ד$AC = 2R\sin\alpha$

תרגיל 21

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$. נתון $\angle BAC = \alpha$ ו-$\angle ABC = 2\alpha$. נמצא $AC = 2R\sin 2\alpha$ ו-$BC = 2R\sin\alpha$. ב. נתון $\frac{AC}{BC} = 1.6$. מצאו את $\alpha$ במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 22

המשולש $ABC$ חסום במעגל שרדיוסו $R$. נתון $\angle BAC = \alpha$ ו-$\angle ABC = 2\alpha$. נמצא $\cos\alpha = 0.8$ (כלומר $\sin\alpha = 0.6$). ג. נתון $R = 10$. חשבו את שטח המשולש $ABC$. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

תרגיל 23

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}$, כאשר $a > 0$ פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא $\frac{1}{3}$. א. מצאו את $a$.

תרגיל 24

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}$, כאשר $a > 0$ פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא $\frac{1}{3}$. נמצא $a = 9$. ב. מצאו את האסימפטוטות האופקיות של הפונקציה.

כאשר $x \to \infty$: $y =$ ____ כאשר $x \to -\infty$: $y =$ ____

תרגיל 25

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}$, כאשר $a > 0$ פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא $\frac{1}{3}$. נמצא $a = 9$, והנגזרת השנייה היא $f''(x) = \frac{-27x}{(x^2+9)^2\sqrt{x^2+9}}$. ג. מה נכון לגבי הקעירות של הפונקציה?

1. אקעורה כלפי מטה בכל התחום
2. בקעורה כלפי מעלה ב-$x < 0$, קעורה כלפי מטה ב-$x > 0$, ונקודת פיתול ב-$(0, 0)$
3. גקעורה כלפי מטה ב-$x < 0$, קעורה כלפי מעלה ב-$x > 0$, ונקודת פיתול ב-$(0, 0)$
4. דאין לפונקציה נקודת פיתול, כי $f'(0) \neq 0$

תרגיל 26

נתונה הפונקציה $f(x) = \frac{x}{\sqrt{x^2 + a}}$, כאשר $a > 0$ פרמטר. שיפוע המשיק לגרף הפונקציה בראשית הצירים הוא $\frac{1}{3}$. נמצא $a = 9$. ד. לאילו ערכים של $k$ יש למשוואה $f(x) = k$ פתרון אחד בדיוק?

1. א$k > 0$
2. ב$-1 \le k \le 1$
3. ג$-1 < k < 1$
4. דלכל $k$