סימולציית בגרות 5

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סימולציית בגרות 5 — שאלון 035571 (5 יח״ל). משך הבחינה: שלוש שעות ושלושה רבעים (225 דקות). מותר להשתמש במחשבון לא גרפי ובנוסחאון ל-5 יח״ל. בבחינה ארבעה פרקים ושמונה שאלות: פרק א — שאלות קצרות (שאלה 1); פרק ב — אינדוקציה, סדרות והסתברות (שאלות 2–3); פרק ג — גאומטריה וטריגונומטריה במישור (שאלות 4–5); פרק ד — חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי (שאלות 6–8). עליכם לענות על 5 שאלות: לפחות אחת מפרק א או מפרק ב, ולפחות אחת מכל אחד מהפרקים ג ו-ד. מי שבוחר בשאלה 1 עונה על 2 מתוך 4 הסעיפים שלה. לכל שאלה 20 נקודות. כל השאלות כתובות כאן — בחרו כמו בבחינה, או תרגלו את כולן.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בשאלה 1 הסעיפים א–ד בלתי תלויים. בגאומטריה כתבו משפט לכל שורה; בחקירה — תחום הגדרה קודם, וטבלת סימנים לפני שקובעים סוג קיצון. חלקו את הזמן: כ-45 דקות לשאלה.

תרגילים

שאלה 1א — שאלות קצרות: אינדוקציה

תרגיל 1

נתונה הטענה: לכל nn טבעי, 312⋅22+522⋅32+⋯+2n+1n2(n+1)2=1−1(n+c)2\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \dots + \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = 1 - \frac{1}{(n+c)^2}, כאשר c>0c > 0 קבוע. (1) מצאו את cc בעזרת המקרה n=1n = 1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

34=1−1(1+c)2\frac{3}{4} = 1 - \frac{1}{(1+c)^2}

מציבים n=1n = 1: באגף שמאל איבר אחד

(1+c)2=4⇒1+c=±2\begin{aligned}(1+c)^2 &= 4 \Rightarrow 1 + c \\ &= \pm 2\end{aligned}
c=1(c=−3 נפסל)c = 1 \quad (c = -3 \ \text{נפסל})

נתון c>0c > 0

c=1c = 1. המלכודת: לשכוח את הפתרון השלילי של (1+c)2=4(1+c)^2 = 4, או לא לפסול אותו — כאן התנאי c>0c > 0 בוחר אחד מהשניים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הטענה: לכל nn טבעי, 312⋅22+522⋅32+⋯+2n+1n2(n+1)2=1−1(n+c)2\frac{3}{1^2 \cdot 2^2} + \frac{5}{2^2 \cdot 3^2} + \dots + \frac{2n+1}{n^2(n+1)^2} = 1 - \frac{1}{(n+c)^2}, כאשר c>0c > 0 קבוע. נמצא c=1c = 1. (2) בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור n=mn = m. איזה איבר מוסיפים לסכום כדי לקבל את אגף שמאל עבור n=m+1n = m + 1?

  1. 2m+2(m+1)2(m+2)2\frac{2m+2}{(m+1)^2(m+2)^2}
  2. 2m+3(m+1)2(m+2)2\frac{2m+3}{(m+1)^2(m+2)^2}
  3. 2m+3m2(m+1)2\frac{2m+3}{m^2(m+1)^2}
  4. 2m+1m2(m+1)2\frac{2m+1}{m^2(m+1)^2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 2m+3(m+1)2(m+2)2\frac{2m+3}{(m+1)^2(m+2)^2}

הפתרון:

2(m+1)+1(m+1)2(m+2)2=2m+3(m+1)2(m+2)2\frac{2(m+1)+1}{(m+1)^2(m+2)^2} = \frac{2m+3}{(m+1)^2(m+2)^2}

מציבים n=m+1n = m + 1 באיבר הכללי

1−1(m+1)2+2m+3(m+1)2(m+2)2=1−(m+2)2−(2m+3)(m+1)2(m+2)21 - \frac{1}{(m+1)^2} + \frac{2m+3}{(m+1)^2(m+2)^2} = 1 - \frac{(m+2)^2 - (2m+3)}{(m+1)^2(m+2)^2}

הנחת האינדוקציה ומכנה משותף

(m+2)2−(2m+3)=m2+2m+1=(m+1)2\begin{aligned}(m+2)^2 - (2m+3) &= m^2 + 2m + 1 \\ &= (m+1)^2\end{aligned}
=1−1(m+2)2= 1 - \frac{1}{(m+2)^2}

זו הטענה עבור n=m+1n = m + 1

התשובה הנכונה: 2m+3(m+1)2(m+2)2\frac{2m+3}{(m+1)^2(m+2)^2}. המלכודות: להוסיף שוב את האיבר ה-mm; או להציב m+1m + 1 רק במונה — צריך להחליף את nn בכל מקום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1ב — שאלות קצרות: פונקציה הופכית

תרגיל 3

הגרף של f
-2-101234-5-4-3-2-1123456xy

בשרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3. נגדיר g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. (1) מצאו את האסימפטוטות האנכיות של gg (הקטנה קודם).

x=x = ____ ו-x=x = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x = -1 ו-x=x = 3

הפתרון:

x2−2x−3=(x+1)(x−3)=0\begin{aligned}x^2 - 2x - 3 &= (x+1)(x-3) \\ &= 0\end{aligned}

נקודות האפס של ff — שם המכנה של gg מתאפס

x=−1x=3\begin{aligned}x &= -1 \\ \quad x &= 3\end{aligned}

האסימפטוטות x=−1x = -1 ו-x=3x = 3. המלכודת: לחפש אסימפטוטה בקודקוד x=1x = 1 — שם ff אינה מתאפסת, ולכן gg מוגדרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

הגרף של f
-2-101234-5-4-3-2-1123456xy

בשרטוט הגרף של הפונקציה f(x)=x2−2x−3f(x) = x^2 - 2x - 3. נגדיר g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. (2) לפונקציה gg יש נקודת קיצון אחת. מה שיעור ה-yy שלה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.25

הפתרון:

g′(x)=−f′(x)f(x)2g'(x) = -\frac{f'(x)}{f(x)^2}

נגזרת של מנה

g′(x)=0  ⟺  f′(x)=0  ⟺  x=1\begin{aligned}g'(x) &= 0 \iff f'(x) \\ &= 0 \iff x \\ &= 1\end{aligned}

הקודקוד של הפרבולה

g(1)=1−4=−0.25\begin{aligned}g(1) &= \frac{1}{-4} \\ &= -0.25\end{aligned}

הסימן של g′g' הפוך לסימן של f′f': המינימום של ff הוא מקסימום של gg

y=−0.25y = -0.25 — נקודת מקסימום של gg. המלכודת: לענות −4-4, ערך הקיצון של ff — ב-gg לוקחים את ההופכי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1ג — שאלות קצרות: שני משיקים

תרגיל 5

50°PABCDO

מהנקודה PP יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו OO, שמשיקים לו בנקודות AA ו-BB. נתון ∠APB=50∘\angle APB = 50^\circ. הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB, והנקודה DD על הקשת הקטנה ABAB. (1) חשבו את ∠ACB\angle ACB (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 65

הפתרון:

∠OAP=∠OBP=90∘\begin{aligned}\angle OAP &= \angle OBP \\ &= 90^\circ\end{aligned}

רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה

∠AOB=360∘−90∘−90∘−50∘=130∘\begin{aligned}\angle AOB &= 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - 50^\circ \\ &= 130^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במרובע OAPBOAPB

∠ACB=130∘2=65∘\begin{aligned}\angle ACB &= \frac{130^\circ}{2} \\ &= 65^\circ\end{aligned}

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה קשת

65∘65^\circ. המלכודת: לענות 50∘50^\circ או 130∘130^\circ — הזווית ב-PP אינה היקפית, והזווית המרכזית כפולה מההיקפית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

50°PABCDO

מהנקודה PP יוצאים שני משיקים למעגל שמרכזו OO, שמשיקים לו בנקודות AA ו-BB. נתון ∠APB=50∘\angle APB = 50^\circ. הנקודה CC נמצאת על הקשת הגדולה ABAB, והנקודה DD על הקשת הקטנה ABAB. נמצא ∠ACB=65∘\angle ACB = 65^\circ. (2) חשבו את ∠ADB\angle ADB (במעלות).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 115

הפתרון:

A,C,B,DA, C, B, D

ארבע הנקודות על המעגל: המרובע ACBDACBD חסום במעגל

∠ADB=180∘−65∘=115∘\begin{aligned}\angle ADB &= 180^\circ - 65^\circ \\ &= 115^\circ\end{aligned}

במרובע חסום במעגל סכום זוויות נגדיות 180∘180^\circ

115∘115^\circ. המלכודת: לענות 65∘65^\circ — «זוויות היקפיות על אותה קשת שוות» נכון רק כששתיהן באותו צד של המיתר. DD בצד השני.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 1ד — שאלות קצרות: זהות ושטח

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡2xf(x) = 2\sin^2 x. (1) הוכיחו או הפריכו: f(x)=1−cos⁡2xf(x) = 1 - \cos 2x לכל xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

זהות הזווית הכפולה (בנוסחאון)

1−cos⁡2x=2sin⁡2x=f(x)\begin{aligned}1 - \cos 2x &= 2\sin^2 x \\ &= f(x)\end{aligned}

הטענה נכונה. המלכודת: לבחור את הצורה cos⁡2x=cos⁡2x−sin⁡2x\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x ולהיתקע — יש שלוש צורות לזהות, ובוחרים את זו שבה מופיע רק sin⁡x\sin x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=2sin⁡2xf(x) = 2\sin^2 x. נמצא f(x)=1−cos⁡2xf(x) = 1 - \cos 2x. (2) חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של ff לבין ציר ה-xx בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.14

הפתרון:

f(x)=2sin⁡2x≥0f(x) = 2\sin^2 x \ge 0

הגרף מעל הציר — השטח שווה לאינטגרל

∫0π(1−cos⁡2x) dx=[x−sin⁡2x2]0π=π\begin{aligned}\int_0^{\pi} (1 - \cos 2x)\,dx &= \left[x - \frac{\sin 2x}{2}\right]_0^{\pi} \\ &= \pi\end{aligned}
π≈3.14\pi \approx 3.14

השטח π≈3.14\pi \approx 3.14. המלכודת: לחפש פונקציה קדומה ל-sin⁡2x\sin^2 x ישירות, כמו sin⁡3x3\frac{\sin^3 x}{3} — הנגזרת שלה היא sin⁡2xcos⁡x\sin^2 x\cos x. לכן עוברים קודם לזווית כפולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סדרה הנדסית אינסופית עם מנה שלילית

תרגיל 9

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שמנתה qq מקיימת −1<q<0-1 < q < 0. סכום כל איברי הסדרה הוא 88, וסכום ריבועי איבריה, a12+a22+a32+…a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots, הוא 192192. א. מצאו את qq.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.5

הפתרון:

a11−q=8a121−q2=192\begin{aligned}\frac{a_1}{1-q} &= 8 \\ \quad \frac{a_1^2}{1-q^2} &= 192\end{aligned}

ריבועי האיברים: סדרה הנדסית שמנתה q2q^2

a121−q2:a12(1−q)2=1−q1+q=19264=3\begin{aligned}\frac{a_1^2}{1-q^2} : \frac{a_1^2}{(1-q)^2} &= \frac{1-q}{1+q} \\ &= \frac{192}{64} \\ &= 3\end{aligned}

מחלקים בריבוע הסכום

1−q=3+3q⇒q=−12\begin{aligned}1 - q &= 3 + 3q \Rightarrow q \\ &= -\frac{1}{2}\end{aligned}

מקיים −1<q<0-1 < q < 0

q=−12q = -\frac{1}{2}. המלכודת: לכתוב שסכום הריבועים הוא ריבוע הסכום, 6464 — זה נכון רק לאיבר אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שמנתה qq מקיימת −1<q<0-1 < q < 0. סכום כל איברי הסדרה הוא 88, וסכום ריבועי איבריה, a12+a22+a32+…a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots, הוא 192192. נמצא q=−12q = -\frac{1}{2}. ב. מצאו את a1a_1.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

a1=8(1−q)=8⋅32=12\begin{aligned}a_1 &= 8(1 - q) \\ &= 8 \cdot \frac{3}{2} \\ &= 12\end{aligned}
1441−14=192 ✓\frac{144}{1 - \frac{1}{4}} = 192 \ \checkmark

בדיקה בסכום הריבועים

a1=12a_1 = 12. המלכודת: 1−q=1−(−12)=321 - q = 1 - \left(-\frac{1}{2}\right) = \frac{3}{2}, לא 12\frac{1}{2} — המינוס של המנה הופך לפלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שמנתה qq מקיימת −1<q<0-1 < q < 0. סכום כל איברי הסדרה הוא 88, וסכום ריבועי איבריה, a12+a22+a32+…a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots, הוא 192192. נמצא a1=12a_1 = 12 ו-q=−12q = -\frac{1}{2}. ג. חשבו את סכום האיברים שבמקומות הזוגיים, a2+a4+a6+…a_2 + a_4 + a_6 + \dots

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -8

הפתרון:

a2=12⋅(−12)=−6\begin{aligned}a_2 &= 12 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) \\ &= -6\end{aligned}

האיבר הראשון של תת-הסדרה

a21−q2=−634=−8\begin{aligned}\frac{a_2}{1 - q^2} &= \frac{-6}{\frac{3}{4}} \\ &= -8\end{aligned}

תת-סדרה הנדסית שמנתה q2=14q^2 = \frac{1}{4}

16+(−8)=8 ✓16 + (-8) = 8 \ \checkmark

בדיקה: האי-זוגיים (123/4=16\frac{12}{3/4} = 16) ועוד הזוגיים נותנים את הסכום כולו

הסכום −8-8. המלכודת: לשכוח שהאיברים במקומות הזוגיים שליליים — עם מנה שלילית הסימנים מתחלפים, וכל איבר זוגי שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שמנתה qq מקיימת −1<q<0-1 < q < 0. סכום כל איברי הסדרה הוא 88, וסכום ריבועי איבריה, a12+a22+a32+…a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + \dots, הוא 192192. נמצא a1=12a_1 = 12 ו-q=−12q = -\frac{1}{2}. מגדירים cn=an+an+1c_n = a_n + a_{n+1}. ד. הסדרה cnc_n הנדסית. חשבו את סכום כל איבריה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

cn=an(1+q)=12an⇒cn+1cn=q\begin{aligned}c_n &= a_n(1 + q) \\ &= \frac{1}{2} a_n \Rightarrow \frac{c_{n+1}}{c_n} \\ &= q\end{aligned}

הסדרה הנדסית באותה מנה

c1=12−6=6∑cn=61+12=4\begin{aligned}c_1 &= 12 - 6 \\ &= 6 \\ \quad \sum c_n &= \frac{6}{1 + \frac{1}{2}} \\ &= 4\end{aligned}
∑cn=S+(S−a1)=8+(8−12)=4 ✓\begin{aligned}\sum c_n &= S + (S - a_1) \\ &= 8 + (8 - 12) \\ &= 4 \ \checkmark\end{aligned}

בדיקה: כל איבר מלבד a1a_1 נספר פעמיים

הסכום 44. המלכודת: לענות 2S=162S = 16 — האיבר a1a_1 מופיע רק פעם אחת, בתוך c1c_1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — הסתברות: עד ההצלחה הראשונה

תרגיל 13

בשקית 2 כדורים אדומים ו-kk כדורים כחולים. שולפים כדור באקראי, רושמים את צבעו ומחזירים אותו לשקית, וחוזרים על כך עד שיוצא לראשונה כדור אדום. ההסתברות שהכדור האדום יוצא לראשונה בשליפה השנייה היא 625\frac{6}{25}. א. נתון ש-kk מספר שלם. מצאו את kk.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

kk+2⋅2k+2=625\frac{k}{k+2} \cdot \frac{2}{k+2} = \frac{6}{25}

כחול בשליפה הראשונה, אדום בשנייה

50k=6(k+2)2⇒3k2−13k+12=0\begin{aligned}50k &= 6(k+2)^2 \Rightarrow 3k^2 - 13k + 12 \\ &= 0\end{aligned}
k=3אוk=43\begin{aligned}k &= 3 \quad \text{או} \quad k \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

kk שלם, ולכן k=3k = 3

k=3k = 3. המלכודת: לשכוח שהשליפה עם החזרה — המכנה נשאר k+2k + 2 בשתי השליפות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

בשקית 2 כדורים אדומים ו-kk כדורים כחולים. שולפים כדור באקראי, רושמים את צבעו ומחזירים אותו לשקית, וחוזרים על כך עד שיוצא לראשונה כדור אדום. ההסתברות שהכדור האדום יוצא לראשונה בשליפה השנייה היא 625\frac{6}{25}. נמצא k=3k = 3. ב. מה ההסתברות שיידרשו לכל היותר 3 שליפות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.784

הפתרון:

25=0.4\frac{2}{5} = 0.4

ההסתברות לאדום בכל שליפה: בשקית 5 כדורים

1−0.63=1−0.216=0.784\begin{aligned}1 - 0.6^3 &= 1 - 0.216 \\ &= 0.784\end{aligned}

המשלים: שלוש השליפות הראשונות כחולות

0.7840.784. המלכודת: לחבר רק את 0.4⋅0.620.4 \cdot 0.6^2 — «לכל היותר 3» כולל גם שליפה אחת ושתיים. המשלים קצר יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

בשקית 2 כדורים אדומים ו-kk כדורים כחולים. שולפים כדור באקראי, רושמים את צבעו ומחזירים אותו לשקית, וחוזרים על כך עד שיוצא לראשונה כדור אדום. ההסתברות שהכדור האדום יוצא לראשונה בשליפה השנייה היא 625\frac{6}{25}. נמצא k=3k = 3, וההסתברות שיידרשו לכל היותר 3 שליפות היא 0.7840.784. ג. ידוע שנדרשו לכל היותר 3 שליפות. מה ההסתברות שנדרשה שליפה אחת בלבד? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.51

הפתרון:

0.40.4

ההסתברות שנדרשה שליפה אחת; המאורע הזה מוכל בתנאי

0.40.784≈0.51\frac{0.4}{0.784} \approx 0.51

הסתברות מותנית

≈0.51\approx 0.51. המלכודת: לענות 0.40.4 — בלי לחלק בהסתברות התנאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

בשקית 2 כדורים אדומים ו-kk כדורים כחולים. שולפים כדור באקראי, רושמים את צבעו ומחזירים אותו לשקית, וחוזרים על כך עד שיוצא לראשונה כדור אדום. ההסתברות שהכדור האדום יוצא לראשונה בשליפה השנייה היא 625\frac{6}{25}. נמצא k=3k = 3. ד. נועה ויואב משחקים בשקית זו: הם שולפים לסירוגין (עם החזרה), נועה ראשונה, ומי ששולף ראשון כדור אדום מנצח. מה ההסתברות שנועה תנצח?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.625

הפתרון:

P=0.4+0.62⋅0.4+0.64⋅0.4+…P = 0.4 + 0.6^2 \cdot 0.4 + 0.6^4 \cdot 0.4 + \dots

נועה מנצחת בשליפה 1, 3, 5, …: לפני כל אחת — סבב של שתי החטאות

0.41−0.36=0.40.64=0.625\begin{aligned}\frac{0.4}{1 - 0.36} &= \frac{0.4}{0.64} \\ &= 0.625\end{aligned}

סכום של סדרה הנדסית אינסופית שמנתה 0.360.36

0.6250.625. המלכודת: לענות 0.50.5 «כי המשחק הוגן» — מי שמתחיל נהנה מהסיכוי הראשון; או להשתמש במנה 0.60.6 במקום 0.620.6^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — חוצה זווית שחותך את המעגל

תרגיל 17

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית ∠BAC\angle BAC חותך את הצלע BCBC בנקודה EE ואת המעגל בנקודה DD. א. הוכיחו: △ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC.

  • ABCABC חסום במעגל
  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC
  • EE על BCBC, DD על המעגל

△ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠BAD=∠EAC\angle BAD = \angle EAC — חוצה זווית מחלק אותה לשתי זוויות שוות
  2. ∠ADB=∠ACE\angle ADB = \angle ACE — זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת ABAB שוות
  3. △ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠BAD=∠EAC\angle BAD = \angle EAC

חוצה זווית

∠ADB=∠ACB\angle ADB = \angle ACB

היקפיות על הקשת ABAB

△ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC

ז.ז

ההתאמה: A→AA \to A, B→EB \to E, D→CD \to C. המלכודת: להתאים את BB ל-CC «כי שתיהן על הצלע BCBC» — הזוויות השוות הן ב-DD וב-CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית ∠BAC\angle BAC חותך את הצלע BCBC בנקודה EE ואת המעגל בנקודה DD. הוכח ש-△ABD∼△AEC\triangle ABD \sim \triangle AEC. ב. נתון AB=6AB = 6, AC=8AC = 8 ו-AE=4AE = 4. חשבו את EDED.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

ABAE=ADAC\frac{AB}{AE} = \frac{AD}{AC}

יחס צלעות מתאימות: AB↔AEAB \leftrightarrow AE, AD↔ACAD \leftrightarrow AC

AD=AB⋅ACAE=6⋅84=12\begin{aligned}AD &= \frac{AB \cdot AC}{AE} \\ &= \frac{6 \cdot 8}{4} \\ &= 12\end{aligned}
ED=AD−AE=12−4=8\begin{aligned}ED &= AD - AE \\ &= 12 - 4 \\ &= 8\end{aligned}

ED=8ED = 8. המלכודת: לעצור ב-AD=12AD = 12 — השאלה על הקטע שבין הצלע למעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ABCDE

המשולש ABCABC חסום במעגל. חוצה הזווית ∠BAC\angle BAC חותך את הצלע BCBC בנקודה EE ואת המעגל בנקודה DD. נתון AB=6AB = 6, AC=8AC = 8, AE=4AE = 4, ונמצא AD=12AD = 12 ו-ED=8ED = 8. ג. חשבו את BDBD. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.8

הפתרון:

∠DBE=∠DBC=∠DAC\begin{aligned}\angle DBE &= \angle DBC \\ &= \angle DAC\end{aligned}

זוויות היקפיות הנשענות על אותה קשת DCDC שוות

∠DAC=∠BAD⇒∠DBE=∠DAB\begin{aligned}\angle DAC &= \angle BAD \Rightarrow \angle DBE \\ &= \angle DAB\end{aligned}

חוצה זווית

∠BDE=∠ADB⇒△DBE∼△DAB\angle BDE = \angle ADB \Rightarrow \triangle DBE \sim \triangle DAB

זווית משותפת; משפט דמיון ז.ז

DBDA=DEDB⇒DB2=8⋅12=96\begin{aligned}\frac{DB}{DA} &= \frac{DE}{DB} \Rightarrow DB^2 \\ &= 8 \cdot 12 \\ &= 96\end{aligned}
DB=46≈9.80DB = 4\sqrt{6} \approx 9.80

BD=46≈9.80BD = 4\sqrt{6} \approx 9.80. המלכודת: להניח BD=BEBD = BE או BD=EDBD = ED לפי השרטוט — שני המשולשים דומים, לא שווי-שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — משולש שווה-שוקיים: רדיוס חוסם ורדיוס חסום

תרגיל 20

2αABC

במשולש שווה-השוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=2α\angle BAC = 2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ. RR הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש. א. הביעו את RR באמצעות kk ו-α\alpha.

  1. R=k2cos⁡αR = \frac{k}{2\cos\alpha}
  2. R=k2sin⁡αR = \frac{k}{2\sin\alpha}
  3. R=k2sin⁡2αR = \frac{k}{2\sin 2\alpha}
  4. R=kcos⁡αR = \frac{k}{\cos\alpha}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א R=k2cos⁡αR = \frac{k}{2\cos\alpha}

הפתרון:

∠ABC=180∘−2α2=90∘−α\begin{aligned}\angle ABC &= \frac{180^\circ - 2\alpha}{2} \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

זוויות הבסיס במשולש שווה-שוקיים שוות

ACsin⁡∠ABC=2R⇒kcos⁡α=2R\begin{aligned}\frac{AC}{\sin \angle ABC} &= 2R \Rightarrow \frac{k}{\cos\alpha} \\ &= 2R\end{aligned}

משפט הסינוסים; sin⁡(90∘−α)=cos⁡α\sin(90^\circ - \alpha) = \cos\alpha

R=k2cos⁡αR = \frac{k}{2\cos\alpha}

התשובה הנכונה: k2cos⁡α\frac{k}{2\cos\alpha}. המלכודות: k2sin⁡2α\frac{k}{2\sin 2\alpha} — הזווית 2α2\alpha נמצאת מול הבסיס BCBC, לא מול השוק; ו-kcos⁡α\frac{k}{\cos\alpha} — היחס במשפט הסינוסים הוא הקוטר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

2αABC

במשולש שווה-השוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=2α\angle BAC = 2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ. RR הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש. נמצא R=k2cos⁡αR = \frac{k}{2\cos\alpha}. ב. נתון R=0.625kR = 0.625k. מצאו את α\alpha במעלות. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36.87

הפתרון:

k2cos⁡α=0.625k⇒cos⁡α=11.25=0.8\begin{aligned}\frac{k}{2\cos\alpha} &= 0.625k \Rightarrow \cos\alpha \\ &= \frac{1}{1.25} \\ &= 0.8\end{aligned}

מצמצמים ב-kk

α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ

בתחום 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ יש פתרון אחד

α≈36.87∘\alpha \approx 36.87^\circ. המלכודת: לענות 73.74∘73.74^\circ — זו זווית הראש 2α2\alpha, לא α\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

2αABC

במשולש שווה-השוקיים ABCABC נתון AB=AC=kAB = AC = k ו-∠BAC=2α\angle BAC = 2\alpha, כאשר 0∘<α<90∘0^\circ < \alpha < 90^\circ. RR הוא רדיוס המעגל החוסם את המשולש. נמצא cos⁡α=0.8\cos\alpha = 0.8 (כלומר sin⁡α=0.6\sin\alpha = 0.6). ג. נתון ששטח המשולש הוא 4848. חשבו את רדיוס המעגל החסום במשולש.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

S=12k2sin⁡2α=12k2⋅0.96=0.48k2=48⇒k=10\begin{aligned}S &= \frac{1}{2}k^2 \sin 2\alpha \\ &= \frac{1}{2}k^2 \cdot 0.96 \\ &= 0.48k^2 \\ &= 48 \Rightarrow k \\ &= 10\end{aligned}

שטח: חצי מכפלת השוקיים בסינוס הזווית שביניהן

BC=2ksin⁡α=12\begin{aligned}BC &= 2k\sin\alpha \\ &= 12\end{aligned}

הגובה לבסיס חוצה את זווית הראש ואת הבסיס

r=2SP=9610+10+12=3\begin{aligned}r &= \frac{2S}{P} \\ &= \frac{96}{10 + 10 + 12} \\ &= 3\end{aligned}

רדיוס המעגל החסום: S=r⋅P2S = r \cdot \frac{P}{2}

r=3r = 3. המלכודת: לחלק את השטח בהיקף כולו ולקבל 1.51.5 — בנוסחה S=r⋅pS = r \cdot p המספר pp הוא חצי ההיקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

תרגיל 23

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2f(x) = \frac{x^3 + a}{x^2}, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2x = 2. א. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

f(x)=x+ax2=x+ax−2\begin{aligned}f(x) &= x + \frac{a}{x^2} \\ &= x + a x^{-2}\end{aligned}

מפרקים את השבר לפני הגזירה

f′(x)=1−2ax3f'(x) = 1 - \frac{2a}{x^3}
f′(2)=1−2a8=0⇒a=4\begin{aligned}f'(2) &= 1 - \frac{2a}{8} \\ &= 0 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת

a=4a = 4. המלכודת: להציב x=2x = 2 ב-ff עצמה ולהשוות לאפס — הנתון הוא על הנגזרת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2f(x) = \frac{x^3 + a}{x^2}, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2x = 2. נמצא a=4a = 4, כלומר f(x)=x+4x2f(x) = x + \frac{4}{x^2}. ב. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון.

( ____ , ____ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ( 2 , 3 )

הפתרון:

f′(x)=1−8x3f'(x) = 1 - \frac{8}{x^3}
1<x<2:f′<0,x>2:f′>01 < x < 2: f' < 0, \quad x > 2: f' > 0

טבלת סימנים: ירידה ואז עלייה — מינימום

f(2)=2+44=3\begin{aligned}f(2) &= 2 + \frac{4}{4} \\ &= 3\end{aligned}

נקודת מינימום (2,3)(2, 3). המלכודת: לחשב f(2)=2+42=4f(2) = 2 + \frac{4}{2} = 4 — במכנה x2=4x^2 = 4, לא xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2f(x) = \frac{x^3 + a}{x^2}, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2x = 2. נמצא a=4a = 4, כלומר f(x)=x+4x2f(x) = x + \frac{4}{x^2}. ג. מצאו את נקודת החיתוך של הגרף עם ציר ה-xx. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.59

הפתרון:

x3+4x2=0  ⟺  x3=−4\begin{aligned}\frac{x^3 + 4}{x^2} &= 0 \iff x^3 \\ &= -4\end{aligned}

שבר מתאפס כשהמונה מתאפס (ו-x≠0x \neq 0)

x=−43≈−1.59x = -\sqrt[3]{4} \approx -1.59

x≈−1.59x \approx -1.59. המלכודת: לשכוח את המינוס — שורש שלישי של מספר שלילי קיים, והוא שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

נתונה הפונקציה f(x)=x3+ax2f(x) = \frac{x^3 + a}{x^2}, כאשר aa פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה x=2x = 2. נמצא a=4a = 4, כלומר f(x)=x+4x2f(x) = x + \frac{4}{x^2}. ד. חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של ff, הישר y=xy = x והישרים x=1x = 1 ו-x=4x = 4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3

הפתרון:

f(x)−x=4x2>0f(x) - x = \frac{4}{x^2} > 0

הגרף מעל הישר בכל התחום

∫144x2 dx=[−4x]14=−1+4=3\begin{aligned}\int_1^4 \frac{4}{x^2}\,dx &= \left[-\frac{4}{x}\right]_1^4 \\ &= -1 + 4 \\ &= 3\end{aligned}

פונקציה קדומה של x−2x^{-2} היא −x−1-x^{-1}

השטח 33. המלכודת: לכתוב ∫4x2 dx=43x3\int \frac{4}{x^2}\,dx = \frac{4}{3x^3} — מעלים את המעריך באחד: −2+1=−1-2 + 1 = -1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — חקירת פונקציה טריגונומטרית

תרגיל 27

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x) = \cos 2x + 2\sin x בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. א. מצאו את נקודות המקסימום של הפונקציה בתחום.

  1. (π3,1.5)\left(\frac{\pi}{3}, 1.5\right) ו-(2π3,1.5)\left(\frac{2\pi}{3}, 1.5\right)
  2. (π2,1)\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)
  3. (π6,1.5)\left(\frac{\pi}{6}, 1.5\right) ו-(5π6,1.5)\left(\frac{5\pi}{6}, 1.5\right)
  4. (π6,1.5)\left(\frac{\pi}{6}, 1.5\right) בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (π6,1.5)\left(\frac{\pi}{6}, 1.5\right) ו-(5π6,1.5)\left(\frac{5\pi}{6}, 1.5\right)

הפתרון:

f′(x)=−2sin⁡2x+2cos⁡x=2cos⁡x(1−2sin⁡x)\begin{aligned}f'(x) &= -2\sin 2x + 2\cos x \\ &= 2\cos x(1 - 2\sin x)\end{aligned}

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x\sin 2x = 2\sin x\cos x, ואז גורם משותף

cos⁡x=0⇒x=π2;sin⁡x=12⇒x=π65π6\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{2}; \quad \sin x \\ &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{6} \\ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

נקודות חשודות

0<x<π6:f′>0;π6<x<π2:f′<00 < x < \frac{\pi}{6}: f' > 0; \quad \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}: f' < 0

טבלת סימנים, וכך גם בצד השני

f(π6)=12+1=1.5f(π2)=−1+2=1\begin{aligned}f\left(\frac{\pi}{6}\right) &= \frac{1}{2} + 1 \\ &= 1.5 \\ \quad f\left(\frac{\pi}{2}\right) &= -1 + 2 \\ &= 1\end{aligned}

התשובה הנכונה: שתי נקודות מקסימום, (π6,1.5)\left(\frac{\pi}{6}, 1.5\right) ו-(5π6,1.5)\left(\frac{5\pi}{6}, 1.5\right); ב-π2\frac{\pi}{2} יש מינימום. המלכודת: לעצור בפתרון הראשון של sin⁡x=12\sin x = \frac{1}{2} — בתחום [0,π][0, \pi] יש לו שני פתרונות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x) = \cos 2x + 2\sin x בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. ב. הוכיחו או הפריכו: f(π−x)=f(x)f(\pi - x) = f(x) לכל xx בתחום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

cos⁡(2π−2x)=cos⁡2x\cos(2\pi - 2x) = \cos 2x

הקוסינוס זוגי ומחזורי ב-2π2\pi

sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(\pi - x) = \sin x

זהות מהנוסחאון

f(π−x)=cos⁡2x+2sin⁡x=f(x)\begin{aligned}f(\pi - x) &= \cos 2x + 2\sin x \\ &= f(x)\end{aligned}

הגרף סימטרי סביב הישר x=π2x = \frac{\pi}{2}

הטענה נכונה. המלכודת: לפתוח cos⁡(2(π−x))\cos(2(\pi - x)) כ-cos⁡(π−2x)=−cos⁡2x\cos(\pi - 2x) = -\cos 2x — הזווית היא 2π−2x2\pi - 2x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x) = \cos 2x + 2\sin x בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. לפונקציה מקסימום 1.51.5 ב-x=π6x = \frac{\pi}{6} וב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}, ומינימום 11 ב-x=π2x = \frac{\pi}{2}. ג. לאיזה ערך של kk יש למשוואה f(x)=kf(x) = k בדיוק שני פתרונות בתחום?

  1. k=2k = 2
  2. k=1.5k = 1.5
  3. k=1k = 1
  4. 1<k<1.51 < k < 1.5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב k=1.5k = 1.5

הפתרון:

f(0)=f(π)=1\begin{aligned}f(0) &= f(\pi) \\ &= 1\end{aligned}

ערכי הקצוות

k=1.5: x=π65π6\begin{aligned}k &= 1.5: \ x \\ &= \frac{\pi}{6} \\ \frac{5\pi}{6}\end{aligned}

שני פתרונות — בשתי נקודות המקסימום

k=1: x=0π2π;1<k<1.5: 4\begin{aligned}k &= 1: \ x \\ &= 0 \\ \frac{\pi}{2} \\ \pi; \quad 1 < k < 1.5: \ 4\end{aligned}

שלושה פתרונות, וארבעה פתרונות

התשובה הנכונה: k=1.5k = 1.5. המלכודת: k=1k = 1 — לשכוח שגם הקצוות x=0x = 0 ו-x=πx = \pi בתחום, ושם f=1f = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

נתונה הפונקציה f(x)=cos⁡2x+2sin⁡xf(x) = \cos 2x + 2\sin x בתחום 0≤x≤π0 \le x \le \pi. ד. חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של ff לבין הישר y=1y = 1 בתחום. עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.86

הפתרון:

f(x)−1=2sin⁡x−2sin⁡2x=2sin⁡x(1−sin⁡x)≥0\begin{aligned}f(x) - 1 &= 2\sin x - 2\sin^2 x \\ &= 2\sin x(1 - \sin x) \ge 0\end{aligned}

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x: הגרף לא יורד מתחת לישר

∫0π(cos⁡2x+2sin⁡x−1) dx=[sin⁡2x2−2cos⁡x−x]0π\int_0^{\pi} (\cos 2x + 2\sin x - 1)\,dx = \left[\frac{\sin 2x}{2} - 2\cos x - x\right]_0^{\pi}
=(2−π)−(−2)=4−π≈0.86= (2 - \pi) - (-2) = 4 - \pi \approx 0.86

השטח 4−π≈0.864 - \pi \approx 0.86. המלכודת: לשכוח את ה-−1-1 ולחשב את השטח מתחת לגרף עד ציר ה-xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 8 — בעיית קיצון בין שני גרפים

תרגיל 31

נתונות הפונקציות f(x)=2xf(x) = 2\sqrt{x} ו-g(x)=x−4g(x) = x - 4 בתחום 0≤x≤90 \le x \le 9. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את הגרף של ff בנקודה AA ואת הגרף של gg בנקודה BB. בכל התחום הגרף של ff מעל הגרף של gg. א. מצאו את שיעור ה-xx של הישר שבעבורו אורך הקטע ABAB מקסימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

AB=L(x)=2x−(x−4)=2x−x+4\begin{aligned}AB &= L(x) \\ &= 2\sqrt{x} - (x - 4) \\ &= 2\sqrt{x} - x + 4\end{aligned}

אורך קטע אנכי: העליונה פחות התחתונה

L′(x)=1x−1=0⇒x=1\begin{aligned}L'(x) &= \frac{1}{\sqrt{x}} - 1 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

נגזרת של 2x2\sqrt{x} היא 1x\frac{1}{\sqrt{x}}

0<x<1:L′>0,x>1:L′<00 < x < 1: L' > 0, \quad x > 1: L' < 0

עלייה ואז ירידה — מקסימום

x=1x = 1. המלכודת: לחסר 2x−x−42\sqrt{x} - x - 4 בלי סוגריים — מחסרים את כל g(x)g(x).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

נתונות הפונקציות f(x)=2xf(x) = 2\sqrt{x} ו-g(x)=x−4g(x) = x - 4 בתחום 0≤x≤90 \le x \le 9. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את הגרף של ff בנקודה AA ואת הגרף של gg בנקודה BB. בכל התחום הגרף של ff מעל הגרף של gg. אורך הקטע הוא L(x)=2x−x+4L(x) = 2\sqrt{x} - x + 4, והוא מקסימלי ב-x=1x = 1. ב. מהו האורך המקסימלי של ABAB?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

L(1)=2⋅1−1+4=5\begin{aligned}L(1) &= 2 \cdot 1 - 1 + 4 \\ &= 5\end{aligned}

האורך המקסימלי 55. המלכודת: לענות f(1)=2f(1) = 2 — זה רק שיעור ה-yy של AA; גם B(1,−3)B(1, -3) נכנס לאורך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

נתונות הפונקציות f(x)=2xf(x) = 2\sqrt{x} ו-g(x)=x−4g(x) = x - 4 בתחום 0≤x≤90 \le x \le 9. ישר המקביל לציר ה-yy חותך את הגרף של ff בנקודה AA ואת הגרף של gg בנקודה BB. בכל התחום הגרף של ff מעל הגרף של gg. אורך הקטע הוא L(x)=2x−x+4L(x) = 2\sqrt{x} - x + 4, עם מקסימום 55 ב-x=1x = 1. ג. מהו האורך המינימלי של ABAB בתחום 0≤x≤90 \le x \le 9?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

L(0)=4L(9)=6−9+4=1\begin{aligned}L(0) &= 4 \\ \quad L(9) &= 6 - 9 + 4 \\ &= 1\end{aligned}

ערכי הקצוות: בקטע סגור בודקים גם אותם

min⁡=min⁡{4,1}=1(x=9)\begin{aligned}\min &= \min\{4, 1\} \\ &= 1 \quad (x = 9)\end{aligned}

אין נקודה חשודה נוספת, ולכן המינימום באחד הקצוות

האורך המינימלי 11, ב-x=9x = 9. המלכודות: לענות «אין מינימום» כי הנגזרת מתאפסת רק במקסימום; או לבדוק רק את x=0x = 0 — בקטע סגור בודקים את שני הקצוות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת