מבחן לדוגמא 1

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא 1 — תחילת השנה. 3 שאלות עם סעיפים, 15 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: סדרה הנדסית אינסופית, סדרה המוגדרת בכלל נסיגה, ונגזרת שנייה עם נקודות פיתול — הנושאים הראשונים של יא, על בסיס החקירה של י.

כמו בבגרות, הסעיפים של שאלה אחת נשענים זה על זה — אבל כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בסדרה אינסופית בדקו ש-∣q∣<1|q| < 1 לפני שמשתמשים בנוסחת הסכום, ובנקודת פיתול בדקו ש-f′′f'' מחליפה סימן.

תרגילים

שאלה 1 — סדרה הנדסית אינסופית

תרגיל 1

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שכל איבריה חיוביים. האיבר הראשון הוא a1=24a_1 = 24, וסכום כל איברי הסדרה הוא 3232. א. מצאו את מנת הסדרה qq.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.25

הפתרון:

S=a11−q⇒32=241−q\begin{aligned}S &= \frac{a_1}{1-q} \Rightarrow 32 \\ &= \frac{24}{1-q}\end{aligned}

נוסחת הסכום של סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

1−q=2432=0.75⇒q=0.25\begin{aligned}1 - q &= \frac{24}{32} \\ &= 0.75 \Rightarrow q \\ &= 0.25\end{aligned}
∣q∣<1|q| < 1

הסדרה מתכנסת, ולכן הסכום קיים

q=14q = \frac{1}{4}. המלכודת: לקרוא את 2432=0.75\frac{24}{32} = 0.75 כמנה — זה 1−q1 - q, לא qq.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שכל איבריה חיוביים. האיבר הראשון הוא a1=24a_1 = 24, וסכום כל איברי הסדרה הוא 3232. מנת הסדרה היא q=14q = \frac{1}{4}. מגדירים סדרה חדשה: bn=an+an+1b_n = a_n + a_{n+1}. ב. הוכיחו או הפריכו: הסדרה bnb_n היא סדרה הנדסית שמנתה 14\frac{1}{4}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

bn=an+anq=an(1+q)\begin{aligned}b_n &= a_n + a_n q \\ &= a_n(1+q)\end{aligned}

an+1=an⋅qa_{n+1} = a_n \cdot q

bn+1bn=an+1(1+q)an(1+q)=q=14\begin{aligned}\frac{b_{n+1}}{b_n} &= \frac{a_{n+1}(1+q)}{a_n(1+q)} \\ &= q \\ &= \frac{1}{4}\end{aligned}

המנה בין איברים עוקבים קבועה

נכון: bnb_n הנדסית עם אותה מנה 14\frac{1}{4}, ו-b1=30b_1 = 30. המלכודת: לחשוב שהמנה מוכפלת, 2q2q, כי מחברים שני איברים — כל איבר של bnb_n הוא ana_n כפול קבוע, והקבוע מצטמצם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שכל איבריה חיוביים. האיבר הראשון הוא a1=24a_1 = 24, וסכום כל איברי הסדרה הוא 3232. מנת הסדרה היא q=14q = \frac{1}{4}. הסדרה bn=an+an+1b_n = a_n + a_{n+1} הנדסית, b1=30b_1 = 30 ומנתה 14\frac{1}{4}. ג. חשבו את סכום כל איברי הסדרה bnb_n.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40

הפתרון:

b1=a1+a2=24+6=30\begin{aligned}b_1 &= a_1 + a_2 \\ &= 24 + 6 \\ &= 30\end{aligned}
Sb=301−14=40\begin{aligned}S_b &= \frac{30}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= 40\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית אינסופית

Sb=Sa+(Sa−a1)=32+8=40\begin{aligned}S_b &= S_a + (S_a - a_1) \\ &= 32 + 8 \\ &= 40\end{aligned}

בדיקה: an+1a_{n+1} עובר על כל האיברים מלבד a1a_1

4040. המלכודת: לענות 64=32+3264 = 32 + 32 — הסכום a2+a3+…a_2 + a_3 + \dots חסר את a1a_1, ולכן הוא 88 ולא 3232.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שכל איבריה חיוביים. האיבר הראשון הוא a1=24a_1 = 24, וסכום כל איברי הסדרה הוא 3232. מנת הסדרה היא q=14q = \frac{1}{4}. ד. חשבו את סכום האיברים שבמקומות האי-זוגיים: a1+a3+a5+…a_1 + a_3 + a_5 + \dots

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25.6

הפתרון:

a1, a3, a5, …a_1,\ a_3,\ a_5,\ \dots

סדרה הנדסית חדשה: כל איבר רחוק שני צעדים מקודמו

q′=q2=116\begin{aligned}q' &= q^2 \\ &= \frac{1}{16}\end{aligned}

המנה של תת-הסדרה

241−116=24⋅1615=25.6\begin{aligned}\frac{24}{1 - \frac{1}{16}} &= \frac{24 \cdot 16}{15} \\ &= 25.6\end{aligned}

25.625.6. המלכודת: להשאיר את המנה 14\frac{1}{4} ולקבל שוב 3232 — בין a1a_1 ל-a3a_3 יש שתי הכפלות ב-qq.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה סדרה הנדסית אינסופית ana_n שכל איבריה חיוביים. האיבר הראשון הוא a1=24a_1 = 24, וסכום כל איברי הסדרה הוא 3232. מנת הסדרה היא q=14q = \frac{1}{4}. ה. מהו המקום nn הראשון שבו an<0.01a_n < 0.01?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

an=24⋅(14)n−1<0.01a_n = 24 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n-1} < 0.01

האיבר הכללי

4n−1>24004^{n-1} > 2400

מכפילים ומחלקים

45=1024<240046=4096>2400\begin{aligned}4^5 &= 1024 < 2400 \\ \quad 4^6 &= 4096 > 2400\end{aligned}

מנסים חזקות של 44

n−1=6⇒n=7\begin{aligned}n - 1 &= 6 \Rightarrow n \\ &= 7\end{aligned}

n=7n = 7 (a7≈0.0059a_7 \approx 0.0059, ו-a6≈0.023a_6 \approx 0.023). המלכודת: לענות n=6n = 6 — המעריך הוא n−1n - 1, ולכן אחרי שמוצאים 66 מוסיפים 11.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סדרה המוגדרת בכלל נסיגה

תרגיל 6

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה an+1=3an−4a_{n+1} = 3a_n - 4 לכל nn טבעי, והאיבר הראשון שלה הוא a1=5a_1 = 5. א. חשבו את a4a_4.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 83

הפתרון:

a2=3⋅5−4=11\begin{aligned}a_2 &= 3 \cdot 5 - 4 \\ &= 11\end{aligned}

מציבים n=1n = 1

a3=3⋅11−4=29\begin{aligned}a_3 &= 3 \cdot 11 - 4 \\ &= 29\end{aligned}
a4=3⋅29−4=83\begin{aligned}a_4 &= 3 \cdot 29 - 4 \\ &= 83\end{aligned}

a4=83a_4 = 83. המלכודת: לחשב 5⋅33=1355 \cdot 3^3 = 135 כאילו הסדרה הנדסית — ה-−4-4 שבכלל מקטין כל איבר, והמנה an+1an\frac{a_{n+1}}{a_n} אינה קבועה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה an+1=3an−4a_{n+1} = 3a_n - 4 לכל nn טבעי, והאיבר הראשון שלה הוא a1=5a_1 = 5. מגדירים bn=an−2b_n = a_n - 2. ב. השלימו את ההוכחה שהסדרה bnb_n הנדסית, ואת האיבר הראשון שלה.

bn+1=an+1−2=3an−6=b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = 3a_n - 6 = ____ ⋅ bn\cdot\, b_n , והאיבר הראשון: b1=b_1 = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: bn+1=an+1−2=3an−6=b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = 3a_n - 6 = 3 ⋅ bn\cdot\, b_n , והאיבר הראשון: b1=b_1 = 3

הפתרון:

bn+1=an+1−2=(3an−4)−2=3an−6\begin{aligned}b_{n+1} &= a_{n+1} - 2 \\ &= (3a_n - 4) - 2 \\ &= 3a_n - 6\end{aligned}

מציבים את כלל הנסיגה

3an−6=3(an−2)=3bn\begin{aligned}3a_n - 6 &= 3(a_n - 2) \\ &= 3b_n\end{aligned}

מוציאים גורם משותף

b1=a1−2=3\begin{aligned}b_1 &= a_1 - 2 \\ &= 3\end{aligned}

bnb_n הנדסית עם מנה 33 ואיבר ראשון 33. המלכודת: לכתוב b1=5b_1 = 5 — האיבר הראשון של bnb_n הוא a1−2a_1 - 2, לא a1a_1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה an+1=3an−4a_{n+1} = 3a_n - 4 לכל nn טבעי, והאיבר הראשון שלה הוא a1=5a_1 = 5. הסדרה bn=an−2b_n = a_n - 2 הנדסית, b1=3b_1 = 3 ומנתה 33, ולכן an=3n+2a_n = 3^n + 2. ג. חשבו את הסכום a1+a2+⋯+a6a_1 + a_2 + \dots + a_6.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1104

הפתרון:

∑n=16an=∑n=163n+6⋅2\sum_{n=1}^{6} a_n = \sum_{n=1}^{6} 3^n + 6 \cdot 2

מפרקים את הסכום לשני חלקים

∑n=163n=3(36−1)3−1=1092\begin{aligned}\sum_{n=1}^{6} 3^n &= \frac{3(3^6 - 1)}{3 - 1} \\ &= 1092\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית

1092+12=11041092 + 12 = 1104

11041104. המלכודת: לשכוח את 6⋅2=126 \cdot 2 = 12 — ה-22 נוסף לכל אחד משישת האיברים, לא פעם אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

סדרה מוגדרת על ידי כלל הנסיגה an+1=3an−4a_{n+1} = 3a_n - 4 לכל nn טבעי, והאיבר הראשון שלה הוא a1=5a_1 = 5. הסדרה bn=an−2b_n = a_n - 2 הנדסית, b1=3b_1 = 3 ומנתה 33, ולכן an=3n+2a_n = 3^n + 2. ד. מהו המקום nn הראשון שבו an>10000a_n > 10000?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

3n+2>10000⇒3n>99983^n + 2 > 10000 \Rightarrow 3^n > 9998
38=656139=19683\begin{aligned}3^8 &= 6561 \\ \quad 3^9 &= 19683\end{aligned}

מנסים חזקות של 33

n=9n = 9

a8=6563a_8 = 6563, a9=19685a_9 = 19685

n=9n = 9. המלכודת: לעבוד עם bn=3⋅3n−1b_n = 3 \cdot 3^{n-1} ולשכוח שזה בדיוק 3n3^n — מי שכותב 3n−13^{n-1} מקבל n=10n = 10.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — נגזרת שנייה ונקודות פיתול

תרגיל 10

נתונה הפונקציה f(x)=x4−4x3f(x) = x^4 - 4x^3. א. מצאו את הנגזרת השנייה f′′(x)f''(x).

f′′(x)=f''(x) = ____ x2−x^2 - ____ xx

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′′(x)=f''(x) = 12 x2−x^2 - 24 xx

הפתרון:

f′(x)=4x3−12x2f'(x) = 4x^3 - 12x^2

גוזרים פעם אחת

f′′(x)=12x2−24xf''(x) = 12x^2 - 24x

גוזרים את f′f'

f′′(x)=12x2−24xf''(x) = 12x^2 - 24x. המלכודת: לגזור את ff ולהתחיל ממנה שוב — הנגזרת השנייה היא הנגזרת של f′f', ולכן חייבים לכתוב קודם את f′f'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה הפונקציה f(x)=x4−4x3f(x) = x^4 - 4x^3. הנגזרת השנייה היא f′′(x)=12x2−24xf''(x) = 12x^2 - 24x. ב. מהם שיעורי ה-xx של נקודות הפיתול של ff?

  1. x=2x = 2 בלבד
  2. x=0x = 0 ו-x=2x = 2
  3. x=3x = 3 בלבד
  4. x=0x = 0 ו-x=3x = 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x=0x = 0 ו-x=2x = 2

הפתרון:

f′′(x)=12x(x−2)=0⇒x=0 x=2\begin{aligned}f''(x) &= 12x(x - 2) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \\ \ x &= 2\end{aligned}

מאפסים את הנגזרת השנייה

x<0: f′′>0,0<x<2: f′′<0,x>2: f′′>0x<0:\ f''>0, \quad 0<x<2:\ f''<0, \quad x>2:\ f''>0

טבלת סימנים: f′′f'' מחליפה סימן בשתי הנקודות

פיתול ב-x=0x = 0 וב-x=2x = 2. המלכודת: לבחור x=3x = 3 — שם מתאפסת f′f', וזו נקודת קיצון, לא נקודת פיתול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה הפונקציה f(x)=x4−4x3f(x) = x^4 - 4x^3. הנגזרת השנייה היא f′′(x)=12x2−24xf''(x) = 12x^2 - 24x. נקודות הפיתול של ff הן ב-x=0x = 0 וב-x=2x = 2. ג. מה נכון לגבי הנקודה של ff שבה x=0x = 0?

  1. נקודת מינימום, כי f′′(0)=0f''(0) = 0
  2. נקודת מקסימום, כי f′(0)=0f'(0) = 0
  3. נקודת פיתול משופעת, כי f′(0)≠0f'(0) \neq 0
  4. נקודת פיתול אופקית: f′(0)=0f'(0) = 0, והמשיק בה הוא y=0y = 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד נקודת פיתול אופקית: f′(0)=0f'(0) = 0, והמשיק בה הוא y=0y = 0

הפתרון:

f′(x)=4x2(x−3)f′(0)=0\begin{aligned}f'(x) &= 4x^2(x - 3) \\ \quad f'(0) &= 0\end{aligned}

השיפוע בנקודה הוא אפס: המשיק אופקי

x=±0.1: 4x2>0 x−3<0⇒f′<0\begin{aligned}x &= \pm 0.1:\ 4x^2 > 0 \\ \ x - 3 < 0 \Rightarrow f' < 0\end{aligned}

f′f' שלילית משני הצדדים: הפונקציה יורדת ואין קיצון

f′′(−0.1)>0,f′′(0.1)<0f''(-0.1) > 0, \quad f''(0.1) < 0

ובכל זאת f′′f'' מחליפה סימן — זו נקודת פיתול

נקודת פיתול אופקית, והמשיק בה הוא y=0y = 0. המלכודת: להסיק מ-f′(0)=0f'(0) = 0 שיש קיצון — צריך ש-f′f' תחליף סימן, וכאן היא שלילית משני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונה הפונקציה f(x)=x4−4x3f(x) = x^4 - 4x^3. הנגזרת השנייה היא f′′(x)=12x2−24xf''(x) = 12x^2 - 24x. נקודות הפיתול של ff הן ב-x=0x = 0 וב-x=2x = 2. ד. מצאו את משוואת המשיק לגרף של ff בנקודת הפיתול שבה x=2x = 2.

y=y = ____ x+x + ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y = -16 x+x + 16

הפתרון:

f(2)=16−32=−16\begin{aligned}f(2) &= 16 - 32 \\ &= -16\end{aligned}

שיעור ה-yy של נקודת ההשקה

f′(2)=4⋅8−12⋅4=−16\begin{aligned}f'(2) &= 4 \cdot 8 - 12 \cdot 4 \\ &= -16\end{aligned}

השיפוע: מציבים ב-f′f', לא ב-f′′f''

y+16=−16(x−2)⇒y=−16x+16\begin{aligned}y + 16 &= -16(x - 2) \Rightarrow y \\ &= -16x + 16\end{aligned}

y=−16x+16y = -16x + 16. המלכודת: לקחת את השיפוע מ-f′′(2)=0f''(2) = 0 ולקבל ישר אופקי — שיפוע המשיק הוא תמיד f′f'.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתונה הפונקציה f(x)=x4−4x3f(x) = x^4 - 4x^3. הנגזרת השנייה היא f′′(x)=12x2−24xf''(x) = 12x^2 - 24x. נקודות הפיתול של ff הן ב-x=0x = 0 וב-x=2x = 2. ה. באילו תחומים הגרף של ff קמור (∪\cup), ובאילו הוא קעור (∩\cap)?

  1. קעור ב-x<0x < 0 וב-x>2x > 2, קמור ב-0<x<20 < x < 2
  2. קמור ב-x>3x > 3 בלבד, קעור ב-x<3x < 3
  3. קמור בכל התחום
  4. קמור ב-x<0x < 0 וב-x>2x > 2, קעור ב-0<x<20 < x < 2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד קמור ב-x<0x < 0 וב-x>2x > 2, קעור ב-0<x<20 < x < 2

הפתרון:

f′′(x)=12x(x−2)f''(x) = 12x(x-2)
x<0,  x>2:  f′′>0x<0,\ \ x>2:\ \ f''>0

שם הגרף קמור

0<x<2: f′′<00<x<2:\ f''<0

שם הגרף קעור

קמור ב-x<0x < 0 וב-x>2x > 2, קעור ב-0<x<20 < x < 2. המלכודת: לקבוע קמירות לפי הסימן של f′f' — עלייה וירידה אינן קמירות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

נתונה הפונקציה f(x)=x4−4x3f(x) = x^4 - 4x^3. הנגזרת השנייה היא f′′(x)=12x2−24xf''(x) = 12x^2 - 24x. נקודות הפיתול של ff הן ב-x=0x = 0 וב-x=2x = 2. ו. הוכיחו או הפריכו: לפונקציה הנגזרת f′f' יש מינימום מקומי בנקודה שבה x=2x = 2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

(f′)′=f′′(f')' = f''

הנגזרת של f′f' היא f′′f''

x=1.9: f′′<0x=2.1: f′′>0\begin{aligned}x &= 1.9:\ f'' < 0 \\ \quad x &= 2.1:\ f'' > 0\end{aligned}

f′′f'' עוברת משלילי לחיובי

f′(2)=−16f'(2) = -16

זה הערך הקטן ביותר של f′f' בסביבה

נכון: נקודת פיתול של ff היא נקודת קיצון של f′f'. המלכודת: לחפש את התשובה ב-f′(2)≠0f'(2) \neq 0 — את הקיצון של f′f' בודקים לפי f′′f'', לא לפי f′f' עצמה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת