מבחן לדוגמא 2 · מבחן לדוגמא 2 · כיתה י״א

מבחן לדוגמא 2 — אמצע השנה. 3 שאלות עם סעיפים, 14 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: הוכחה באינדוקציה של נוסחת סכום, עץ הסתברויות עם הסתברות מותנית ונוסחת ברנולי, וחקירה של פונקציה רציונלית עם פרמטר.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. באינדוקציה כתבו במפורש מה המחובר שנוסף; בהסתברות מותנית שאלו מה ידוע — זה המכנה; ובחקירה בנו טבלת סימנים שכוללת את נקודת האי-הגדרה.

תרגילים

שאלה 1 — אינדוקציה מתמטית

תרגיל 1

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+a)}{6}$ לכל $n$ טבעי, כאשר $a$ מספר קבוע. א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

\begin{aligned}n &= 1:\quad 1 \cdot 3 \\ &= \frac{1 \cdot 2 \cdot (2 + a)}{6}\end{aligned}

מציבים $n = 1$ בשני האגפים

\begin{aligned}18 &= 2(2 + a) \Rightarrow a \\ &= 7\end{aligned}

\begin{aligned}n &= 2:\quad 3 + 8 \\ &= 11 \\ &= \frac{2 \cdot 3 \cdot 11}{6}\end{aligned}

בדיקה ב- $n = 2$

$a = 7$ . המלכודת: להציב $n = 1$ רק באגף ימין ולהשוות ל- $1$ — אגף שמאל עבור $n = 1$ הוא המחובר הראשון, $1 \cdot 3 = 3$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ לכל $n$ טבעי. ב. בשלב המעבר מניחים שהטענה נכונה עבור $n = k$ , ומוכיחים עבור $n = k + 1$ . השלימו.

המחובר שמוסיפים: $(k+1)(k+$ ____ $)$ , ואחרי הוצאת הגורם $\frac{k+1}{6}$ : $2k^2 + 13k + 18 = (k+2)(2k+$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: המחובר שמוסיפים: $(k+1)(k+$ 3 $)$ , ואחרי הוצאת הגורם $\frac{k+1}{6}$ : $2k^2 + 13k + 18 = (k+2)(2k+$ 9 $)$

הפתרון:

\frac{k(k+1)(2k+7)}{6} + (k+1)(k+3)

הנחת האינדוקציה, ועוד המחובר ה- $(k+1)$

= \frac{k+1}{6}\left[k(2k+7) + 6(k+3)\right] = \frac{k+1}{6}\left(2k^2 + 13k + 18\right)

מוציאים גורם משותף

2k^2 + 13k + 18 = (k+2)(2k+9)

מפרקים את הטרינום

\frac{(k+1)(k+2)(2(k+1)+7)}{6}

זו בדיוק הטענה עבור $n = k+1$

המחובר החדש הוא $(k+1)(k+3)$ , והטרינום מתפרק ל- $(k+2)(2k+9)$ . המלכודת: לכתוב את המחובר החדש כ- $(k+1)(k+2)$ — מציבים $k+1$ במקום $n$ ב- $n(n+2)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ לכל $n$ טבעי. הטענה הוכחה באינדוקציה. ג. חשבו את הסכום $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + 20 \cdot 22$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3290

הפתרון:

\begin{aligned}n(n+2) &= 20 \cdot 22 \Rightarrow n \\ &= 20\end{aligned}

מזהים את מספר המחוברים

\frac{20 \cdot 21 \cdot 47}{6} = 3290

מציבים $n = 20$ : $2n + 7 = 47$

$3290$ . המלכודת: להציב $n = 22$ לפי הגורם האחרון — $n$ הוא מספר המחוברים, והמחובר האחרון הוא $n(n+2)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הטענה: $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 5 + \dots + n(n+2) = \frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ לכל $n$ טבעי. הטענה הוכחה באינדוקציה. לפי הטענה, $1 \cdot 3 + 2 \cdot 4 + \dots + 20 \cdot 22 = 3290$ . ד. חשבו את הסכום $11 \cdot 13 + 12 \cdot 14 + \dots + 20 \cdot 22$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2795

הפתרון:

\sum_{k=11}^{20} k(k+2) = S_{20} - S_{10}

מורידים את עשרת המחוברים הראשונים

\begin{aligned}S_{10} &= \frac{10 \cdot 11 \cdot 27}{6} \\ &= 495\end{aligned}

3290 - 495 = 2795

$2795$ . המלכודת: להחסיר $S_{11}$ — אז גם המחובר $11 \cdot 13$ יוצא מהסכום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — עץ הסתברויות ונוסחת ברנולי

תרגיל 5

המסלול ואחר כך הזמן

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.81

הפתרון:

0.7 \cdot 0.9 = 0.63

המסלול: כביש הטבעת, ואז בזמן

0.3 \cdot 0.6 = 0.18

המסלול: מרכז העיר, ואז בזמן

\begin{aligned}P(T) &= 0.63 + 0.18 \\ &= 0.81\end{aligned}

נוסחת ההסתברות השלמה

$0.81$ . המלכודת: לחשב ממוצע פשוט $\frac{0.9 + 0.6}{2} = 0.75$ — כביש הטבעת נבחר יותר, ולכן כל מסלול נשקל בהסתברות שלו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

המסלול ואחר כך הזמן

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . ההסתברות שמשלוח מקרי מגיע בזמן היא $0.81$ . ב. ידוע שמשלוח הגיע באיחור. מה ההסתברות שהשליח נסע דרך מרכז העיר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.63

הפתרון:

\begin{aligned}P(L) &= 1 - 0.81 \\ &= 0.19\end{aligned}

ההסתברות לאיחור

\begin{aligned}P(C \cap L) &= 0.3 \cdot 0.4 \\ &= 0.12\end{aligned}

מרכז העיר וגם איחור

P(C \mid L) = \frac{0.12}{0.19} \approx 0.63

הסתברות מותנית

$\approx 0.63$ . המלכודת: לענות $0.4$ — זו ההסתברות לאיחור בהינתן מרכז העיר; כאן ההתניה הפוכה, ומחלקים ב- $P(L)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

המסלול ואחר כך הזמן

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . ההסתברות שמשלוח מקרי מגיע בזמן היא $0.81$ . בכל יום השליח מבצע משלוח אחד, והמשלוחים בימים שונים בלתי תלויים זה בזה. ג. מה ההסתברות שבחמישה ימים בדיוק ארבעה משלוחים יגיעו בזמן? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.41

הפתרון:

P = \binom{5}{4} \cdot 0.81^4 \cdot 0.19^1

נוסחת ברנולי: $n = 5$ , $k = 4$ , $p = 0.81$

= 5 \cdot 0.4305 \cdot 0.19 \approx 0.41

$\approx 0.41$ . המלכודת: לשכוח את $\binom{5}{4} = 5$ ולקבל $0.08$ — המשלוח המאחר יכול להיות בכל אחד מחמשת הימים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

המסלול ואחר כך הזמן

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . ההסתברות שמשלוח מקרי מגיע בזמן היא $0.81$ . בכל יום השליח מבצע משלוח אחד, והמשלוחים בימים שונים בלתי תלויים זה בזה. ד. מה ההסתברות שבחמישה ימים יהיה לפחות משלוח אחד שיגיע באיחור? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.65

הפתרון:

0.81^5 \approx 0.3487

המאורע המשלים: כל חמשת המשלוחים בזמן

1 - 0.3487 \approx 0.65

$\approx 0.65$ . המלכודת: לכפול $5 \cdot 0.19 = 0.95$ — חיבור ההסתברויות סופר פעמיים ימים עם שני איחורים. דרך המשלים קצרה ובטוחה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שליח בבאר שבע בוחר בכל משלוח אחד משני מסלולים: את כביש הטבעת בהסתברות $0.7$ , ואת הדרך דרך מרכז העיר בהסתברות $0.3$ . בכביש הטבעת המשלוח מגיע בזמן בהסתברות $0.9$ , ודרך מרכז העיר בהסתברות $0.6$ . החברה רוצה שההסתברות שמשלוח יגיע בזמן תהיה $0.84$ . ההסתברויות להגיע בזמן בכל מסלול לא משתנות. ה. באיזו הסתברות $p$ על השליח לבחור בכביש הטבעת?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.8

הפתרון:

0.9p + 0.6(1 - p) = 0.84

ההסתברות השלמה, עם $p$ במקום $0.7$

\begin{aligned}0.3p + 0.6 &= 0.84 \Rightarrow p \\ &= 0.8\end{aligned}

$p = 0.8$ . המלכודת: לכתוב $0.9p + 0.6p = 0.84$ — הענף של מרכז העיר מקבל $1 - p$ , לא $p$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

תרגיל 10

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + a}{x - 2}$ , כאשר $a$ פרמטר. לפונקציה יש נקודת קיצון שבה $x = -1$ . א. מצאו את $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x(x-2) - (x^2 + a)}{(x-2)^2} \\ &= \frac{x^2 - 4x - a}{(x-2)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(-1) &= 0 \Rightarrow 1 + 4 - a \\ &= 0\end{aligned}

בנקודת קיצון הנגזרת מתאפסת

a = 5

$a = 5$ . המלכודת: לגזור רק את המונה, $2x = 0$ — בפונקציה רציונלית גוזרים לפי נוסחת המנה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . ב. מהן נקודות הקיצון של $f$ , ומה סוגן?

מקסימום $(-1, -2)$ בלבד
מקסימום $(-1, 2)$ , מינימום $(5, 10)$
מינימום $(-1, -2)$ , מקסימום $(5, 10)$
מקסימום $(-1, -2)$ , מינימום $(5, 10)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד מקסימום $(-1, -2)$ , מינימום $(5, 10)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{x^2 - 4x - 5}{(x-2)^2} \\ &= \frac{(x-5)(x+1)}{(x-2)^2}\end{aligned}

x<-1:\ +, \quad -1<x<2:\ -, \quad 2<x<5:\ -, \quad x>5:\ +

טבלת סימנים, עם $x = 2$ מחוץ לתחום

\begin{aligned}f(-1) &= \frac{6}{-3} \\ &= -2 \\ \quad f(5) &= \frac{30}{3} \\ &= 10\end{aligned}

מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . המלכודת: להחליף את הסוגים כי $-2 < 10$ — המקסימום מקומי, והוא בענף אחר של הגרף, משמאל לאסימפטוטה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . לפונקציה מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . ג. מהן האסימפטוטות של $f$ המאונכות לצירים?

אנכית $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית
אנכיות $x = 2$ ו- $x = -2$
אנכית $x = 2$ ואופקית $y = 0$
אנכית $x = 2$ ואופקית $y = 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א אנכית $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית

הפתרון:

\begin{aligned}x - 2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2 \\ \quad x^2 + 5 \neq 0\end{aligned}

המכנה מתאפס והמונה לא: אסימפטוטה אנכית

\frac{x^2 + 5}{x - 2} = \frac{x + \frac{5}{x}}{1 - \frac{2}{x}} \xrightarrow{x \to \pm\infty} \pm\infty

מחלקים ב- $x$ : הפונקציה לא שואפת למספר

אסימפטוטה אנכית $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית. המלכודת: לענות $y = 1$ לפי יחס המקדמים — זה נכון רק כשמעלת המונה שווה למעלת המכנה, וכאן היא גדולה יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . לפונקציה מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . האסימפטוטה האנכית היא $x = 2$ , ואין אסימפטוטה אופקית. ד. לכמה ערכים שלמים של $k$ אין למשוואה $f(x) = k$ אף פתרון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11

הפתרון:

x < 2:\quad f \le -2

בענף השמאלי הערך הגדול ביותר הוא המקסימום $-2$

x > 2:\quad f \ge 10

בענף הימני הערך הקטן ביותר הוא המינימום $10$

\begin{aligned}-2 < k < 10 \Rightarrow k &= -1 \\ 0 \\ 1 \\ \dots \\ 9\end{aligned}

הישר $y = k$ עובר בין שני הענפים

9 - (-1) + 1 = 11

$11$ ערכים. המלכודת: לכלול את $k = -2$ ואת $k = 10$ — בהם הישר משיק לגרף בנקודת הקיצון, ויש פתרון אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתונה הפונקציה $f(x) = \dfrac{x^2 + 5}{x - 2}$ . לפונקציה מקסימום ב- $(-1, -2)$ ומינימום ב- $(5, 10)$ . מגדירים $g(x) = f(x) + m$ , כאשר $m > 0$ . ה. מצאו את $m$ שעבורו ציר ה- $x$ משיק לגרף של $g$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

g'(x) = f'(x)

הזזה אנכית לא משנה שיפועים: הקיצונים באותם $x$

\begin{aligned}g(-1) &= -2 + m \\ &= 0 \Rightarrow m \\ &= 2\end{aligned}

המקסימום של $g$ צריך לשבת על ציר ה- $x$

\begin{aligned}g(5) &= 10 + m \\ &= 0 \Rightarrow m \\ &= -10 < 0\end{aligned}

הפתרון השני נפסל: $m > 0$

$m = 2$ . המלכודת: לבחור את המינימום ולקבל $m = -10$ — הוא אכן משיק, אבל התנאי $m > 0$ פוסל אותו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגילים

שאלה 1 — אינדוקציה מתמטית

שאלה 2 — עץ הסתברויות ונוסחת ברנולי

שאלה 3 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

השיעור הבא מחכה ב-elev