מבחן לדוגמא 3

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא 3 — אמצע השנה. 3 שאלות עם סעיפים, 16 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: זהויות טריגונומטריות ומשוואה, משפט הסינוסים במשולש שצלעותיו נתונות באמצעות פרמטרים, והוכחה בגאומטריה של המעגל — משיק וחותך — עם חישוב שנשען עליה.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. לפני שמציבים זווית ברביע השני, קבעו את הסימן של הקוסינוס; בהוכחה כתבו משפט לכל שורה; ובדמיון כתבו את ההתאמה בין הקודקודים לפני כל יחס.

תרגילים

שאלה 1 — זהויות טריגונומטריות ומשוואה

תרגיל 1

נתונה זווית α\alpha שבה 90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ ו-sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5}. א. חשבו את sin⁡2α\sin 2\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -0.96

הפתרון:

cos⁡α=−1−925=−45\begin{aligned}\cos\alpha &= -\sqrt{1 - \frac{9}{25}} \\ &= -\frac{4}{5}\end{aligned}

ברביע השני הקוסינוס שלילי

sin⁡2α=2sin⁡αcos⁡α=2⋅35⋅(−45)=−0.96\begin{aligned}\sin 2\alpha &= 2\sin\alpha\cos\alpha \\ &= 2 \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) \\ &= -0.96\end{aligned}

סינוס של זווית כפולה

sin⁡2α=−0.96\sin 2\alpha = -0.96. המלכודת: לקחת cos⁡α=+45\cos\alpha = +\frac{4}{5} ולקבל 0.960.96 — הזווית בין 90∘90^\circ ל-180∘180^\circ, ושם הקוסינוס שלילי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה זווית α\alpha שבה 90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ ו-sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5}. לכן cos⁡α=−45\cos\alpha = -\frac{4}{5} ו-sin⁡2α=−0.96\sin 2\alpha = -0.96. ב. חשבו את cos⁡2α\cos 2\alpha.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.28

הפתרון:

cos⁡2α=1−2sin⁡2α=1−2⋅925=725=0.28\begin{aligned}\cos 2\alpha &= 1 - 2\sin^2\alpha \\ &= 1 - 2 \cdot \frac{9}{25} \\ &= \frac{7}{25} \\ &= 0.28\end{aligned}

קוסינוס של זווית כפולה

cos⁡2α−sin⁡2α=1625−925=0.28\begin{aligned}\cos^2\alpha - \sin^2\alpha &= \frac{16}{25} - \frac{9}{25} \\ &= 0.28\end{aligned}

בדיקה בנוסחה השנייה

cos⁡2α=0.28\cos 2\alpha = 0.28. המלכודת: לכתוב cos⁡2α=2cos⁡α=−1.6\cos 2\alpha = 2\cos\alpha = -1.6 — ערך מחוץ לתחום [−1,1][-1, 1] הוא סימן בטוח לטעות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה זווית α\alpha שבה 90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ ו-sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5}. לכן cos⁡α=−45\cos\alpha = -\frac{4}{5} ו-sin⁡2α=−0.96\sin 2\alpha = -0.96. ג. חשבו את cos⁡(α−60∘)\cos(\alpha - 60^\circ). (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.12

הפתרון:

cos⁡(α−60∘)=cos⁡αcos⁡60∘+sin⁡αsin⁡60∘\cos(\alpha - 60^\circ) = \cos\alpha\cos 60^\circ + \sin\alpha\sin 60^\circ

קוסינוס של הפרש זוויות

=−45⋅12+35⋅32=33−410≈0.12= -\frac{4}{5} \cdot \frac{1}{2} + \frac{3}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{3} - 4}{10} \approx 0.12

≈0.12\approx 0.12. המלכודת: לכתוב מינוס בין שני המחוברים — בקוסינוס של הפרש הסימן הוא פלוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה זווית α\alpha שבה 90∘<α<180∘90^\circ < \alpha < 180^\circ ו-sin⁡α=35\sin\alpha = \frac{3}{5}. לכן cos⁡α=−45\cos\alpha = -\frac{4}{5} ו-sin⁡2α=−0.96\sin 2\alpha = -0.96. וגם cos⁡2α=0.28\cos 2\alpha = 0.28. ד. הוכיחו או הפריכו: לכל xx שבו הביטוי מוגדר, sin⁡2x1+cos⁡2x=tan⁡x\dfrac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \tan x, ולכן tan⁡α=−0.75\tan\alpha = -0.75.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

sin⁡2x1+cos⁡2x=2sin⁡xcos⁡x1+(2cos⁡2x−1)=2sin⁡xcos⁡x2cos⁡2x\begin{aligned}\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} &= \frac{2\sin x\cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)} \\ &= \frac{2\sin x\cos x}{2\cos^2 x}\end{aligned}

זהויות הזווית הכפולה

=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x= \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x

מצמצמים ב-2cos⁡x2\cos x, שאינו אפס כשהביטוי מוגדר

tan⁡α=−0.961+0.28=−0.75\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{-0.96}{1 + 0.28} \\ &= -0.75\end{aligned}

בדיקה: 3/5−4/5=−0.75\frac{3/5}{-4/5} = -0.75

נכון, שני החלקים. המלכודת: לבחור ב-cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x — הזהות נכונה, אבל אז ה-11 לא מתבטל, והמכנה לא מצטמצם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

בסעיפים הבאים עוסקים בביטוי sin⁡5x+sin⁡x\sin 5x + \sin x. ה. כתבו את הביטוי כמכפלה, לפי נוסחת סכום סינוסים.

sin⁡5x+sin⁡x=2sin⁡(\sin 5x + \sin x = 2\sin( ____ x)⋅cos⁡(x) \cdot \cos( ____ x)x)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: sin⁡5x+sin⁡x=2sin⁡(\sin 5x + \sin x = 2\sin( 3 x)⋅cos⁡(x) \cdot \cos( 2 x)x)

הפתרון:

sin⁡p+sin⁡q=2sin⁡p+q2cos⁡p−q2\sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}

הנוסחה מהנוסחון

5x+x2=3x5x−x2=2x\begin{aligned}\frac{5x + x}{2} &= 3x \\ \quad \frac{5x - x}{2} &= 2x\end{aligned}
sin⁡5x+sin⁡x=2sin⁡3xcos⁡2x\sin 5x + \sin x = 2\sin 3x\cos 2x

2sin⁡3xcos⁡2x2\sin 3x\cos 2x. המלכודת: לכתוב sin⁡6x\sin 6x — אין זהות sin⁡p+sin⁡q=sin⁡(p+q)\sin p + \sin q = \sin(p + q).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

בסעיפים הבאים עוסקים בביטוי sin⁡5x+sin⁡x\sin 5x + \sin x. לפי נוסחת סכום סינוסים, sin⁡5x+sin⁡x=2sin⁡3xcos⁡2x\sin 5x + \sin x = 2\sin 3x\cos 2x. ו. כמה פתרונות יש למשוואה sin⁡5x+sin⁡x=0\sin 5x + \sin x = 0 בתחום 0∘≤x≤180∘0^\circ \le x \le 180^\circ?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

2sin⁡3xcos⁡2x=02\sin 3x\cos 2x = 0

מכפלה מתאפסת כשאחד הגורמים מתאפס

sin⁡3x=0⇒3x=180∘k⇒x=0∘60∘120∘180∘\begin{aligned}\sin 3x &= 0 \Rightarrow 3x \\ &= 180^\circ k \Rightarrow x \\ &= 0^\circ \\ 60^\circ \\ 120^\circ \\ 180^\circ\end{aligned}
cos⁡2x=0⇒2x=90∘+180∘k⇒x=45∘135∘\begin{aligned}\cos 2x &= 0 \Rightarrow 2x \\ &= 90^\circ + 180^\circ k \Rightarrow x \\ &= 45^\circ \\ 135^\circ\end{aligned}
4+2=64 + 2 = 6

אין פתרון משותף לשתי המשפחות

66 פתרונות. המלכודת: לפתור רק 3x=0∘3x = 0^\circ ו-3x=180∘3x = 180^\circ — בתחום של xx עד 180∘180^\circ הזווית 3x3x מגיעה עד 540∘540^\circ, וכל הכפולות של 180∘180^\circ עד שם נותנות פתרון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — משפט הסינוסים עם פרמטרים

תרגיל 7

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון: ∠ACB=α\angle ACB = \alpha ו-∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha. א. הביעו את אורך הצלע ABAB באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. Rsin⁡αR\sin\alpha
  2. 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha
  3. 2Rsin⁡α2R\sin\alpha
  4. 2Rsin⁡2α2R\sin 2\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג 2Rsin⁡α2R\sin\alpha

הפתרון:

ABsin⁡∠ACB=2R\frac{AB}{\sin\angle ACB} = 2R

משפט הסינוסים: הצלע מול הזווית

AB=2Rsin⁡αAB = 2R\sin\alpha

ABAB מול הזווית CC

AB=2Rsin⁡αAB = 2R\sin\alpha. המלכודת: לכתוב 2Rsin⁡2α2R\sin 2\alpha — הזווית 2α2\alpha נמצאת ליד ABAB, בקודקוד BB, ולא מולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון: ∠ACB=α\angle ACB = \alpha ו-∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha. לפי משפט הסינוסים, AB=2Rsin⁡αAB = 2R\sin\alpha. ב. הביעו את אורך הצלע BCBC באמצעות RR ו-α\alpha.

  1. 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha
  2. 2Rsin⁡(180∘−α)2R\sin(180^\circ - \alpha)
  3. 2Rcos⁡3α2R\cos 3\alpha
  4. −2Rsin⁡3α-2R\sin 3\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 2Rsin⁡3α2R\sin 3\alpha

הפתרון:

∠BAC=180∘−α−2α=180∘−3α\begin{aligned}\angle BAC &= 180^\circ - \alpha - 2\alpha \\ &= 180^\circ - 3\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש

BC=2Rsin⁡(180∘−3α)=2Rsin⁡3α\begin{aligned}BC &= 2R\sin(180^\circ - 3\alpha) \\ &= 2R\sin 3\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים, ו-sin⁡(180∘−β)=sin⁡β\sin(180^\circ - \beta) = \sin\beta

BC=2Rsin⁡3αBC = 2R\sin 3\alpha. המלכודת: לענות 2Rsin⁡(180∘−α)2R\sin(180^\circ - \alpha) — חיסרו רק זווית אחת; הזווית מול BCBC היא 180∘−3α180^\circ - 3\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון: ∠ACB=α\angle ACB = \alpha ו-∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha. לפי משפט הסינוסים, AB=2Rsin⁡αAB = 2R\sin\alpha, AC=2Rsin⁡2αAC = 2R\sin 2\alpha ו-BC=2Rsin⁡3αBC = 2R\sin 3\alpha. נתון גם AC=1.5⋅ABAC = 1.5 \cdot AB. ג. מצאו את α\alpha במעלות. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 41.41

הפתרון:

ACAB=2Rsin⁡2α2Rsin⁡α=2sin⁡αcos⁡αsin⁡α=2cos⁡α\begin{aligned}\frac{AC}{AB} &= \frac{2R\sin 2\alpha}{2R\sin\alpha} \\ &= \frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{\sin\alpha} \\ &= 2\cos\alpha\end{aligned}

סינוס של זווית כפולה; RR מצטמצם

2cos⁡α=1.5⇒cos⁡α=0.75\begin{aligned}2\cos\alpha &= 1.5 \Rightarrow \cos\alpha \\ &= 0.75\end{aligned}
α≈41.41∘\alpha \approx 41.41^\circ

בדיקה: 3α<180∘3\alpha < 180^\circ, והמשולש קיים

α≈41.41∘\alpha \approx 41.41^\circ. המלכודת: לכתוב sin⁡2αsin⁡α=2\frac{\sin 2\alpha}{\sin\alpha} = 2 ולמחוק את ה-sin⁡\sin כאילו היה גורם — sin⁡2α\sin 2\alpha אינו 2⋅sin⁡α2 \cdot \sin\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון: ∠ACB=α\angle ACB = \alpha ו-∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha. לפי משפט הסינוסים, AB=2Rsin⁡αAB = 2R\sin\alpha, AC=2Rsin⁡2αAC = 2R\sin 2\alpha ו-BC=2Rsin⁡3αBC = 2R\sin 3\alpha. נתון AC=1.5⋅ABAC = 1.5 \cdot AB, ולכן cos⁡α=0.75\cos\alpha = 0.75 ו-α≈41.41∘\alpha \approx 41.41^\circ. נתון גם R=8R = 8. ד. חשבו את שטח המשולש ABCABC. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 69.45

הפתרון:

AB=16sin⁡α≈10.58BC=16sin⁡3α≈13.23\begin{aligned}AB &= 16\sin\alpha \approx 10.58 \\ \quad BC &= 16\sin 3\alpha \approx 13.23\end{aligned}

מציבים R=8R = 8 בביטויים מסעיפים א ו-ב

S=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡∠ABC=12⋅10.58⋅13.23⋅sin⁡82.82∘\begin{aligned}S &= \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin\angle ABC \\ &= \frac{1}{2} \cdot 10.58 \cdot 13.23 \cdot \sin 82.82^\circ\end{aligned}

שטח משולש: שתי צלעות והזווית שביניהן

S≈69.45S \approx 69.45

S≈69.45S \approx 69.45. המלכודת: לקחת את הזווית α\alpha בין ABAB ל-BCBC — הזווית שבין שתי הצלעות האלה היא ∠B=2α\angle B = 2\alpha.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

שרטוט לשאלה 2
ABCD0

המשולש ABCABC חסום במעגל שרדיוסו RR. נתון: ∠ACB=α\angle ACB = \alpha ו-∠ABC=2α\angle ABC = 2\alpha. לפי משפט הסינוסים, AB=2Rsin⁡αAB = 2R\sin\alpha, AC=2Rsin⁡2αAC = 2R\sin 2\alpha ו-BC=2Rsin⁡3αBC = 2R\sin 3\alpha. נתון AC=1.5⋅ABAC = 1.5 \cdot AB, ולכן cos⁡α=0.75\cos\alpha = 0.75 ו-α≈41.41∘\alpha \approx 41.41^\circ. נתון R=8R = 8, ולכן BC=16sin⁡3α≈13.23BC = 16\sin 3\alpha \approx 13.23. הקטע BDBD חוצה את הזווית ABCABC, והנקודה DD על הצלע ACAC. ה. חשבו את אורך BDBD. (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.82

הפתרון:

∠DBC=2α2=α=∠DCB\begin{aligned}\angle DBC &= \frac{2\alpha}{2} \\ &= \alpha \\ &= \angle DCB\end{aligned}

הגדרת חוצה זווית

∠BDC=180∘−2α\angle BDC = 180^\circ - 2\alpha

סכום הזוויות במשולש BDCBDC

BDsin⁡α=BCsin⁡(180∘−2α)⇒BD=BCsin⁡αsin⁡2α=BC2cos⁡α\begin{aligned}\frac{BD}{\sin\alpha} &= \frac{BC}{\sin(180^\circ - 2\alpha)} \Rightarrow BD \\ &= \frac{BC\sin\alpha}{\sin 2\alpha} \\ &= \frac{BC}{2\cos\alpha}\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש BDCBDC

BD=13.231.5≈8.82BD = \frac{13.23}{1.5} \approx 8.82

BD≈8.82BD \approx 8.82 (ובמשולש BDCBDC גם DC=BDDC = BD, כי הזוויות ליד BCBC שוות). המלכודת: להשתמש במשפט הסינוסים במשולש ABCABC עם הרדיוס R=8R = 8 — BDBD אינה צלע שלו, ומשולש BDCBDC חסום במעגל אחר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — משיק וחותך: הוכחה וחישוב

תרגיל 12

שרטוט לשאלה 3
PABC0

מהנקודה PP שמחוץ למעגל יוצאים המשיק PAPA (הנקודה AA היא נקודת ההשקה) והחותך PCPC, שחותך את המעגל בנקודות BB ו-CC, כאשר BB בין PP ל-CC. א. הוכיחו כי △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA.

  • PAPA משיק למעגל בנקודה AA
  • PCPC חותך את המעגל ב-BB וב-CC

△PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠APB=∠CPA\angle APB = \angle CPA — זווית משותפת
  2. ∠PAB=∠PCA\angle PAB = \angle PCA — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת
  3. △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA — משפט דמיון ז.ז

הפתרון:

∠APB=∠CPA\angle APB = \angle CPA

זווית משותפת

∠PAB=∠PCA\angle PAB = \angle PCA

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותה קשת

△PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA

משפט דמיון ז.ז

הדמיון לפי ז.ז בהתאמה P→PP \to P, A→CA \to C, B→AB \to A. המלכודת: להתאים BB ל-CC כי שתיהן על החותך — הזווית שבין המשיק PAPA למיתר ABAB שווה לזווית ∠ACB\angle ACB, ולכן AA מתאימה ל-CC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

שרטוט לשאלה 3
PABC0

מהנקודה PP שמחוץ למעגל יוצאים המשיק PAPA (הנקודה AA היא נקודת ההשקה) והחותך PCPC, שחותך את המעגל בנקודות BB ו-CC, כאשר BB בין PP ל-CC. הוכח כי △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA. נתון PB=4PB = 4 ו-BC=5BC = 5. ב. חשבו את אורך המשיק PAPA.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

PAPC=PBPA\frac{PA}{PC} = \frac{PB}{PA}

במשולשים דומים צלעות מתאימות פרופורציוניות

PA2=PB⋅PCPA^2 = PB \cdot PC

כפל בהצלבה

PC=4+5=9PA2=4⋅9=36⇒PA=6\begin{aligned}PC &= 4 + 5 \\ &= 9 \\ \quad PA^2 &= 4 \cdot 9 \\ &= 36 \Rightarrow PA \\ &= 6\end{aligned}

PA=6PA = 6. המלכודת: להציב PB⋅BC=20PB \cdot BC = 20 — ביחס משתתף החותך כולו, PC=9PC = 9, ולא רק החלק שבתוך המעגל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

שרטוט לשאלה 3
PABC0

מהנקודה PP שמחוץ למעגל יוצאים המשיק PAPA (הנקודה AA היא נקודת ההשקה) והחותך PCPC, שחותך את המעגל בנקודות BB ו-CC, כאשר BB בין PP ל-CC. הוכח כי △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA. נתון PB=4PB = 4 ו-BC=5BC = 5, ולכן PA=6PA = 6. נתון גם AB=4AB = 4. ג. חשבו את אורך המיתר ACAC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 6

הפתרון:

ABCA=PAPC\frac{AB}{CA} = \frac{PA}{PC}

צלעות מתאימות: AB↔CAAB \leftrightarrow CA, PA↔PCPA \leftrightarrow PC

4CA=69⇒CA=6\begin{aligned}\frac{4}{CA} &= \frac{6}{9} \Rightarrow CA \\ &= 6\end{aligned}

כפל בהצלבה

AC=6AC = 6. המלכודת: לכתוב ABAC=PBPC\frac{AB}{AC} = \frac{PB}{PC} ולקבל 99 — PBPB ו-PCPC אינן צלעות מתאימות; לפי ההתאמה P→PP \to P, A→CA \to C, B→AB \to A.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

שרטוט לשאלה 3
PABC0

מהנקודה PP שמחוץ למעגל יוצאים המשיק PAPA (הנקודה AA היא נקודת ההשקה) והחותך PCPC, שחותך את המעגל בנקודות BB ו-CC, כאשר BB בין PP ל-CC. הוכח כי △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA. נתון PB=4PB = 4 ו-BC=5BC = 5, ולכן PA=6PA = 6. נתון AB=4AB = 4, ולכן AC=6AC = 6. ד. חשבו את היחס S△PCAS△PAB\dfrac{S_{\triangle PCA}}{S_{\triangle PAB}}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.25

הפתרון:

k=PCPA=96=1.5\begin{aligned}k &= \frac{PC}{PA} \\ &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון

S△PCAS△PAB=k2=2.25\begin{aligned}\frac{S_{\triangle PCA}}{S_{\triangle PAB}} &= k^2 \\ &= 2.25\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון

2.252.25. המלכודת: לענות 1.51.5 — זה יחס הצלעות; יחס השטחים הוא ריבועו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

שרטוט לשאלה 3
PABC0

מהנקודה PP שמחוץ למעגל יוצאים המשיק PAPA (הנקודה AA היא נקודת ההשקה) והחותך PCPC, שחותך את המעגל בנקודות BB ו-CC, כאשר BB בין PP ל-CC. הוכח כי △PAB∼△PCA\triangle PAB \sim \triangle PCA. נתון PB=4PB = 4 ו-BC=5BC = 5, ולכן PA=6PA = 6. נתון AB=4AB = 4, ולכן AC=6AC = 6. יחס השטחים הוא S△PCAS△PAB=2.25\dfrac{S_{\triangle PCA}}{S_{\triangle PAB}} = 2.25. ה. חשבו את היחס S△ABCS△PAB\dfrac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle PAB}}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.25

הפתרון:

S△PCA=S△PAB+S△ABCS_{\triangle PCA} = S_{\triangle PAB} + S_{\triangle ABC}

BB על הצלע PCPC, והקטע ABAB מחלק את המשולש PCAPCA לשניים

S△ABCS△PAB=2.25−1=1.25\begin{aligned}\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle PAB}} &= 2.25 - 1 \\ &= 1.25\end{aligned}
S△ABCS△PAB=BCPB=54\begin{aligned}\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle PAB}} &= \frac{BC}{PB} \\ &= \frac{5}{4}\end{aligned}

בדיקה: לשני המשולשים אותו גובה מ-AA

1.251.25. המלכודת: לחפש דמיון בין ABCABC ל-PABPAB — אין כזה; משולשים עם אותו גובה מתייחסים בשטחם כמו הבסיסים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת