מבחן לדוגמא 4

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

מבחן לדוגמא 4 — סוף מחצית. 3 שאלות עם סעיפים, 16 סעיפים בסך הכול, 90 דקות. החומר: חקירה של פונקציה טריגונומטרית עם שטח, פונקציה עם שורש שיש לה שתי אסימפטוטות אופקיות שונות, והאינטגרל כפונקציית צבירה בבעיית זרימה.

כמו בבגרות, כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. בפונקציה מורכבת אל תשכחו את הנגזרת הפנימית; כש-x→−∞x \to -\infty זכרו ש-x2=−x\sqrt{x^2} = -x; ובצבירה הבחינו בין השינוי בנפח לבין הנפח עצמו.

תרגילים

שאלה 1 — חקירת פונקציה טריגונומטרית

תרגיל 1

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. א. מצאו את f′(x)f'(x).

f′(x)=f'(x) = ____ cos⁡2x−\cos 2x - ____ sin⁡x\sin x

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f′(x)=f'(x) = 2 cos⁡2x−\cos 2x - 2 sin⁡x\sin x

הפתרון:

(sin⁡2x)′=2cos⁡2x(\sin 2x)' = 2\cos 2x

נגזרת של פונקציה מורכבת: כופלים בנגזרת הפנימית 22

(2cos⁡x)′=−2sin⁡x(2\cos x)' = -2\sin x
f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x

f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x. המלכודת: לכתוב (sin⁡2x)′=cos⁡2x(\sin 2x)' = \cos 2x ולשכוח את הנגזרת הפנימית 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x. ב. מהן נקודות הקיצון של ff בתוך התחום, 0<x<2π0 < x < 2\pi?

  1. מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6}, מינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}
  2. מינימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6}, מקסימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}
  3. מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6}, מינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}, מקסימום ב-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}
  4. מקסימום ב-x=π2x = \frac{\pi}{2}, מינימום ב-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6}, מינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}

הפתרון:

2(1−2sin⁡2x)−2sin⁡x=−2(2sin⁡2x+sin⁡x−1)2(1 - 2\sin^2 x) - 2\sin x = -2(2\sin^2 x + \sin x - 1)

cos⁡2x=1−2sin⁡2x\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x

f′(x)=−2(2sin⁡x−1)(sin⁡x+1)=0\begin{aligned}f'(x) &= -2(2\sin x - 1)(\sin x + 1) \\ &= 0\end{aligned}

משוואה ריבועית ב-sin⁡x\sin x

sin⁡x=12⇒x=π65π6;sin⁡x=−1⇒x=3π2\begin{aligned}\sin x &= \frac{1}{2} \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{6} \\ \frac{5\pi}{6}; \quad \sin x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \frac{3\pi}{2}\end{aligned}
π6: +→−,5π6: −→+,3π2: +→+\frac{\pi}{6}:\ + \to -, \quad \frac{5\pi}{6}:\ - \to +, \quad \frac{3\pi}{2}:\ + \to +

טבלת סימנים של f′f'

מקסימום ב-π6\frac{\pi}{6} ומינימום ב-5π6\frac{5\pi}{6}. המלכודת: להכריז על קיצון ב-3π2\frac{3\pi}{2} — שם f′=0f' = 0, אבל sin⁡x+1≥0\sin x + 1 \ge 0 משני הצדדים, ו-f′f' לא מחליפה סימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x. לפונקציה מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6} ומינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}. ג. מהו ערך הפונקציה בנקודת המקסימום? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.6

הפתרון:

f(π6)=sin⁡π3+2cos⁡π6f\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{3} + 2\cos\frac{\pi}{6}

מציבים ב-ff, לא ב-f′f'

=32+3=332≈2.60= \frac{\sqrt{3}}{2} + \sqrt{3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.60

332≈2.60\frac{3\sqrt{3}}{2} \approx 2.60. המלכודת: להציב x=π6x = \frac{\pi}{6} ב-sin⁡x\sin x במקום ב-sin⁡2x\sin 2x — הזווית בסינוס היא 2⋅π6=π32 \cdot \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x. לפונקציה מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6} ומינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}. ד. כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-xx יש לגרף של ff בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

sin⁡2x+2cos⁡x=2sin⁡xcos⁡x+2cos⁡x=2cos⁡x(sin⁡x+1)\begin{aligned}\sin 2x + 2\cos x &= 2\sin x\cos x + 2\cos x \\ &= 2\cos x(\sin x + 1)\end{aligned}

סינוס של זווית כפולה, ואחר כך גורם משותף

cos⁡x=0⇒x=π23π2\begin{aligned}\cos x &= 0 \Rightarrow x \\ &= \frac{\pi}{2} \\ \frac{3\pi}{2}\end{aligned}
sin⁡x=−1⇒x=3π2\begin{aligned}\sin x &= -1 \Rightarrow x \\ &= \frac{3\pi}{2}\end{aligned}

אותה נקודה שכבר נמצאה

22 נקודות: x=π2x = \frac{\pi}{2} ו-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}. המלכודת: לספור 33 — הנקודה 3π2\frac{3\pi}{2} מתקבלת משני הגורמים, אבל היא נקודה אחת.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתונה הפונקציה f(x)=sin⁡2x+2cos⁡xf(x) = \sin 2x + 2\cos x בתחום 0≤x≤2π0 \le x \le 2\pi. הנגזרת היא f′(x)=2cos⁡2x−2sin⁡xf'(x) = 2\cos 2x - 2\sin x. לפונקציה מקסימום ב-x=π6x = \frac{\pi}{6} ומינימום ב-x=5π6x = \frac{5\pi}{6}. הגרף חותך את ציר ה-xx ב-x=π2x = \frac{\pi}{2} וב-x=3π2x = \frac{3\pi}{2}. ה. חשבו את השטח המוגבל בין הגרף של ff לבין ציר ה-xx בתחום π2≤x≤3π2\frac{\pi}{2} \le x \le \frac{3\pi}{2}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

π2<x<3π2: cos⁡x<0, sin⁡x+1>0⇒f(x)<0\frac{\pi}{2} < x < \frac{3\pi}{2}:\ \cos x < 0,\ \sin x + 1 > 0 \Rightarrow f(x) < 0

הגרף מתחת לציר

F(x)=−cos⁡2x2+2sin⁡xF(x) = -\frac{\cos 2x}{2} + 2\sin x

פונקציה קדומה: ∫sin⁡2x dx=−cos⁡2x2\int \sin 2x\,dx = -\frac{\cos 2x}{2}

F(3π2)−F(π2)=(12−2)−(12+2)=−4\begin{aligned}F\left(\frac{3\pi}{2}\right) - F\left(\frac{\pi}{2}\right) &= \left(\frac{1}{2} - 2\right) - \left(\frac{1}{2} + 2\right) \\ &= -4\end{aligned}
S=∣−4∣=4\begin{aligned}S &= |-4| \\ &= 4\end{aligned}

שטח הוא תמיד חיובי

S=4S = 4. המלכודת: לענות −4-4 — האינטגרל שלילי כי הגרף מתחת לציר, והשטח הוא ערכו המוחלט. ועוד: ∫sin⁡2x dx=−cos⁡2x2\int \sin 2x\,dx = -\frac{\cos 2x}{2}, עם חלוקה ב-22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — פונקציה עם שורש

תרגיל 6

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+4f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}. א. מהו תחום ההגדרה של ff?

  1. כל xx
  2. x≥−2x \ge -2
  3. x>−2x > -2
  4. x≠2x \neq 2 ו-x≠−2x \neq -2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כל xx

הפתרון:

x2+4≥4>0x^2 + 4 \ge 4 > 0

הביטוי שבתוך השורש חיובי תמיד

x2+4≠0\sqrt{x^2 + 4} \neq 0

גם המכנה לא מתאפס

כל xx. המלכודת: לפסול x=±2x = \pm 2 כאילו השורש הוא x2−4\sqrt{x^2 - 4}, או לדרוש x+2≥0x + 2 \ge 0 — המונה אינו בתוך שורש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+4f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}. תחום ההגדרה הוא כל xx. ב. מהן האסימפטוטות האופקיות של ff?

  1. לפונקציה אין אסימפטוטות אופקיות
  2. y=1y = 1 בשני הכיוונים
  3. y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty, ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty
  4. y=0y = 0 בשני הכיוונים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty, ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty

הפתרון:

x>0: x2+4=x1+4x2⇒f(x)=1+2x1+4x2→1\begin{aligned}x > 0:\ \sqrt{x^2 + 4} &= x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} \Rightarrow f(x) \\ &= \frac{1 + \frac{2}{x}}{\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}}} \to 1\end{aligned}

כש-x→∞x \to \infty, x2=x\sqrt{x^2} = x

x<0: x2+4=−x1+4x2⇒f(x)→−1x < 0:\ \sqrt{x^2 + 4} = -x\sqrt{1 + \frac{4}{x^2}} \Rightarrow f(x) \to -1

כש-x→−∞x \to -\infty, x2=∣x∣=−x\sqrt{x^2} = |x| = -x

y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty. המלכודת: לכתוב x2=x\sqrt{x^2} = x גם עבור xx שלילי ולקבל y=1y = 1 בשני הכיוונים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+4f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}. תחום ההגדרה הוא כל xx. האסימפטוטות האופקיות: y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty. ג. לפונקציה נקודת קיצון אחת, והיא מקסימום. מצאו את שיעוריה. (עגלו את שיעור ה-yy לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

x=x = ____ , y≈y \approx ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x=x = 2 , y≈y \approx 1.41

הפתרון:

f′(x)=x2+4−(x+2)⋅xx2+4x2+4=4−2x(x2+4)x2+4\begin{aligned}f'(x) &= \frac{\sqrt{x^2+4} - (x+2) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+4}}}{x^2 + 4} \\ &= \frac{4 - 2x}{(x^2+4)\sqrt{x^2+4}}\end{aligned}

נגזרת של מנה, עם נגזרת השורש xx2+4\frac{x}{\sqrt{x^2+4}}

4−2x=0⇒x=2\begin{aligned}4 - 2x &= 0 \Rightarrow x \\ &= 2\end{aligned}

המכנה חיובי, ולכן הסימן נקבע במונה: ++ לפני 22, −- אחריו

f(2)=48=2≈1.41\begin{aligned}f(2) &= \frac{4}{\sqrt{8}} \\ &= \sqrt{2} \approx 1.41\end{aligned}

(2,2)≈(2,1.41)(2, \sqrt{2}) \approx (2, 1.41). המלכודת: לגזור את השורש כ-12x2+4\frac{1}{2\sqrt{x^2+4}} בלי הנגזרת הפנימית 2x2x.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+4f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}. תחום ההגדרה הוא כל xx. האסימפטוטות האופקיות: y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty. נקודת המקסימום היא (2,2)≈(2,1.41)(2, \sqrt{2}) \approx (2, 1.41). ד. כמה פתרונות יש למשוואה f(x)=1.2f(x) = 1.2?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

x<2:  −1<f(x)≤2x < 2:\ \ -1 < f(x) \le \sqrt{2}

משמאל למקסימום הפונקציה עולה מהאסימפטוטה y=−1y = -1 עד 2\sqrt{2}

x>2:  1<f(x)<2x > 2:\ \ 1 < f(x) < \sqrt{2}

מימין למקסימום היא יורדת אל y=1y = 1 בלי להגיע אליו

1<1.2<21 < 1.2 < \sqrt{2}

הישר y=1.2y = 1.2 חותך כל ענף פעם אחת

22 פתרונות. המלכודת: לענות 11 כי הפונקציה שואפת ל-11 — מימין למקסימום היא יורדת מ-1.411.41 אל 11, ובדרך עוברת דרך 1.21.2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה הפונקציה f(x)=x+2x2+4f(x) = \dfrac{x + 2}{\sqrt{x^2 + 4}}. תחום ההגדרה הוא כל xx. האסימפטוטות האופקיות: y=1y = 1 כש-x→∞x \to \infty ו-y=−1y = -1 כש-x→−∞x \to -\infty. נקודת המקסימום היא (2,2)≈(2,1.41)(2, \sqrt{2}) \approx (2, 1.41). ה. פתרו את המשוואה f(x)=0.2f(x) = 0.2.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.5

הפתרון:

x+2=0.2x2+4x + 2 = 0.2\sqrt{x^2 + 4}

כופלים במכנה החיובי

(x+2)2=0.04(x2+4)⇒0.96x2+4x+3.84=0\begin{aligned}(x + 2)^2 &= 0.04(x^2 + 4) \Rightarrow 0.96x^2 + 4x + 3.84 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

x=−1.5אוx=−83\begin{aligned}x &= -1.5 \quad \text{או} \quad x \\ &= -\frac{8}{3}\end{aligned}
x=−83: x+2=−23<0\begin{aligned}x &= -\frac{8}{3}:\ x + 2 \\ &= -\frac{2}{3} < 0\end{aligned}

בדיקה: אגף ימין חיובי, ולכן הפתרון נפסל — הוא פותר f(x)=−0.2f(x) = -0.2

x=−1.5x = -1.5 בלבד. המלכודת: להשאיר את −83-\frac{8}{3} — העלאה בריבוע מוסיפה פתרונות, ולכן מציבים כל פתרון במשוואה המקורית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — האינטגרל כפונקציית צבירה

תרגיל 11

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. א. באילו תחומי זמן נפח המים בבריכה גדל?

  1. 0<t<10 < t < 1 ו-3<t<53 < t < 5
  2. 1<t<31 < t < 3
  3. 0<t<20 < t < 2
  4. 2<t<52 < t < 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א 0<t<10 < t < 1 ו-3<t<53 < t < 5

הפתרון:

V′(x)=r(x)V'(x) = r(x)

המשפט היסודי: הנגזרת של פונקציית הצבירה היא הפונקציה שמצטברת

r(t)=(t−1)(t−3)r(t) = (t - 1)(t - 3)
0<t<1,  3<t<5:  r>00 < t < 1,\ \ 3 < t < 5:\ \ r > 0

שם הנפח גדל

0<t<10 < t < 1 ו-3<t<53 < t < 5. המלכודת: לענות לפי העלייה של הגרף של rr (2<t<52 < t < 5) — הנפח גדל כש-rr חיובי, לא כש-rr עולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. הנפח גדל כש-0<t<10 < t < 1 וכש-3<t<53 < t < 5, וקטן כש-1<t<31 < t < 3. ב. כמה מים יש בבריכה בזמן t=1t = 1? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 11.33

הפתרון:

∫01(t2−4t+3) dt=[t33−2t2+3t]01=13−2+3=43\begin{aligned}\int_0^1 (t^2 - 4t + 3)\,dt &= \left[\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_0^1 \\ &= \frac{1}{3} - 2 + 3 \\ &= \frac{4}{3}\end{aligned}

הכמות שנכנסה בשעה הראשונה

V(1)=10+43=343≈11.33\begin{aligned}V(1) &= 10 + \frac{4}{3} \\ &= \frac{34}{3} \approx 11.33\end{aligned}

מוסיפים את הנפח ההתחלתי

≈11.33\approx 11.33 מ״ק. המלכודת: לענות 43\frac{4}{3} — האינטגרל נותן את השינוי בנפח, ויש להוסיף את 1010 המ״ק שהיו בהתחלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. הנפח גדל כש-0<t<10 < t < 1 וכש-3<t<53 < t < 5, וקטן כש-1<t<31 < t < 3. בזמן t=1t = 1 יש בבריכה 343≈11.33\frac{34}{3} \approx 11.33 מ״ק. ג. כמה מים יצאו מהבריכה בין t=1t = 1 ל-t=3t = 3? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.33

הפתרון:

∫13(t2−4t+3) dt=(9−18+9)−43=−43\begin{aligned}\int_1^3 (t^2 - 4t + 3)\,dt &= \left(9 - 18 + 9\right) - \frac{4}{3} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

האינטגרל שלילי: הגרף מתחת לציר

43≈1.33\frac{4}{3} \approx 1.33

הכמות שיצאה היא השטח שבין הגרף לציר

≈1.33\approx 1.33 מ״ק. המלכודת: לענות −1.33-1.33 — הסימן אומר שהמים יצאו; הכמות עצמה חיובית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. הנפח גדל כש-0<t<10 < t < 1 וכש-3<t<53 < t < 5, וקטן כש-1<t<31 < t < 3. בזמן t=1t = 1 יש בבריכה 343≈11.33\frac{34}{3} \approx 11.33 מ״ק. בין t=1t = 1 ל-t=3t = 3 יצאו מהבריכה 43\frac{4}{3} מ״ק. ד. הוכיחו או הפריכו: בזמן t=3t = 3 יש בבריכה בדיוק 1010 מ״ק, כמו בהתחלה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

V(3)=10+∫03r(t) dt=10+43−43\begin{aligned}V(3) &= 10 + \int_0^3 r(t)\,dt \\ &= 10 + \frac{4}{3} - \frac{4}{3}\end{aligned}

מה שנכנס בשעה הראשונה יצא בשעתיים הבאות

V(3)=10V(3) = 10

נכון. המלכודת: להסיק שהבריכה לא השתנתה כל הזמן — הנפח עלה ל-11.3311.33 וירד בחזרה; שווה רק התוצאה הסופית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. הנפח גדל כש-0<t<10 < t < 1 וכש-3<t<53 < t < 5, וקטן כש-1<t<31 < t < 3. בזמן t=1t = 1 יש בבריכה 343≈11.33\frac{34}{3} \approx 11.33 מ״ק. בין t=1t = 1 ל-t=3t = 3 יצאו מהבריכה 43\frac{4}{3} מ״ק. בזמן t=3t = 3 יש בבריכה שוב 1010 מ״ק. ה. כמה מים יש בבריכה בזמן t=5t = 5? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 16.67

הפתרון:

∫35(t2−4t+3) dt=[t33−2t2+3t]35=203−0\begin{aligned}\int_3^5 (t^2 - 4t + 3)\,dt &= \left[\frac{t^3}{3} - 2t^2 + 3t\right]_3^5 \\ &= \frac{20}{3} - 0\end{aligned}
V(5)=10+203=503≈16.67\begin{aligned}V(5) &= 10 + \frac{20}{3} \\ &= \frac{50}{3} \approx 16.67\end{aligned}

ממשיכים מהנפח בזמן t=3t = 3

≈16.67\approx 16.67 מ״ק. המלכודת: לחבר את השטחים בערך מוחלט (43+43+203\frac{4}{3} + \frac{4}{3} + \frac{20}{3}) — הנפח סופר את המים שיצאו במינוס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

הגרף של r(t)r(t)
012345-2-10123456789tr

מים זורמים אל בריכה ויוצאים ממנה. קצב השינוי של נפח המים בבריכה (במ״ק לשעה) הוא r(t)=t2−4t+3r(t) = t^2 - 4t + 3, כאשר tt הזמן בשעות, 0≤t≤50 \le t \le 5. קצב חיובי פירושו זרימה פנימה, וקצב שלילי — זרימה החוצה. בזמן t=0t = 0 היו בבריכה 1010 מ״ק מים, ולכן הנפח בזמן xx הוא V(x)=10+∫0xr(t) dtV(x) = 10 + \int_0^x r(t)\,dt. הנפח גדל כש-0<t<10 < t < 1 וכש-3<t<53 < t < 5, וקטן כש-1<t<31 < t < 3. בזמן t=1t = 1 יש בבריכה 343≈11.33\frac{34}{3} \approx 11.33 מ״ק. בין t=1t = 1 ל-t=3t = 3 יצאו מהבריכה 43\frac{4}{3} מ״ק. בזמן t=3t = 3 יש בבריכה שוב 1010 מ״ק. ו. מהו הקצב הממוצע של הגדלת הנפח בין t=3t = 3 ל-t=5t = 5 (במ״ק לשעה)? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.33

הפתרון:

rˉ=15−3∫35r(t) dt\bar{r} = \frac{1}{5 - 3}\int_3^5 r(t)\,dt

ערך ממוצע של פונקציה בקטע

=12⋅203=103≈3.33= \frac{1}{2} \cdot \frac{20}{3} = \frac{10}{3} \approx 3.33

≈3.33\approx 3.33 מ״ק לשעה. המלכודת: לחשב את ממוצע הקצבים בקצוות, r(3)+r(5)2=4\frac{r(3) + r(5)}{2} = 4 — זה נכון רק לקצב קווי, ו-rr אינו קווי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת