בגרות 35471 — קיץ 2026

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35471 (4 יחידות לימוד, שאלון ראשון), קיץ תשפ״ו, 2026. בשאלון המודפס: משך הבחינה שלוש שעות וחצי, ועונים על חמש מן השאלות 1–8, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – 20 נקודות). למועד קיץ תשפ״ו («שאגת הארי») עדכן משרד החינוך את ההנחיות: משך הבחינה ארבע שעות, עונים על חמש שאלות ללא הגבלת פרקים, לכל שאלה 22 נקודות, וסך הכול 100 נקודות לכל היותר. פרק ראשון – סטטיסטיקה והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטרייה: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות שורש: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות.

כאן כתובות כל שמונה השאלות, ב־47 סעיפים, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, והפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

תרגילים

שאלה 1 — התפלגות נורמלית: משתלת «עץ ופרח»

תרגיל 1

א. מצאו את סטיית התקן של אורכי הגבעולים בשנה זו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

P(X<55)=0.326⇒Φ(z)=0.326\begin{aligned}P(X < 55) &= 0.326 \Rightarrow \Phi(z) \\ &= 0.326\end{aligned}

השטח משמאל ל־5555 הוא אחוז הצמחים שנמכרו לחנויות

Φ(−0.45)=1−0.6736=0.3264⇒z=−0.45\begin{aligned}\Phi(-0.45) &= 1 - 0.6736 \\ &= 0.3264 \Rightarrow z \\ &= -0.45\end{aligned}

בטבלה: Φ(0.45)=0.6736\Phi(0.45) = 0.6736; 5555 קטן מן הממוצע, לכן zz שלילי

55−64σ=−0.45⇒σ=90.45=20\begin{aligned}\frac{55 - 64}{\sigma} &= -0.45 \Rightarrow \sigma \\ &= \frac{9}{0.45} \\ &= 20\end{aligned}

ציון התקן

סטיית התקן היא 2020 ס״מ. המלכודת: לקחת z=0.45z = 0.45 חיובי ולקבל σ\sigma שלילית — 5555 נמצא משמאל לממוצע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

צמחים שאורך הגבעול שלהם גדול מ־8080 ס״מ נשלחים לייצוא. בשנה זו, 9,5409{,}540 מן הצמחים במשתלה נשלחו לייצוא. ב (1). מצאו את אחוז הצמחים במשתלה שנשלחו לייצוא.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 21.19

הפתרון:

z=80−6420=0.8\begin{aligned}z &= \frac{80 - 64}{20} \\ &= 0.8\end{aligned}

ציון התקן של 8080, עם σ=20\sigma = 20 מסעיף א

P(X>80)=1−Φ(0.8)=1−0.7881=0.2119\begin{aligned}P(X > 80) &= 1 - \Phi(0.8) \\ &= 1 - 0.7881 \\ &= 0.2119\end{aligned}

הטבלה נותנת את השטח משמאל; הייצוא הוא מימין

21.19%21.19\% מן הצמחים נשלחו לייצוא. המלכודת: לענות 78.81%78.81\%, השטח משמאל ל־8080.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

צמחים שאורך הגבעול שלהם גדול מ־8080 ס״מ נשלחים לייצוא. בשנה זו, 9,5409{,}540 מן הצמחים במשתלה נשלחו לייצוא. ב (2). על פי טבלת ההתפלגות הנורמלית, כמה צמחים לא נשלחו לייצוא ולא נמכרו לחנויות מקומיות?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20786

הפתרון:

N=95400.2119≈45,021N = \frac{9540}{0.2119} \approx 45{,}021

מספר הצמחים במשתלה: 9,5409{,}540 הם 21.19%21.19\% מכולם

P(55<X<80)=Φ(0.8)−Φ(−0.45)=0.7881−0.3264=0.4617\begin{aligned}P(55 < X < 80) &= \Phi(0.8) - \Phi(-0.45) \\ &= 0.7881 - 0.3264 \\ &= 0.4617\end{aligned}

הצמחים שבין שני הגבולות

0.4617⋅45,021≈20,7860.4617 \cdot 45{,}021 \approx 20{,}786

בערך 20,78620{,}786 צמחים (תוצאה קרובה, כמו 20,79020{,}790, מתקבלת כשמקרבים את ערכי הביניים). המלכודת: לחשב את האחוז ולשכוח שהשאלה שואלת כמה צמחים — צריך קודם את מספר הצמחים במשתלה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

בשנה שלאחר מכן, אורכי הגבעולים של הצמחים במשתלה התפלגו נורמלית, וסטיית התקן הייתה 2525 ס״מ. גם בשנה זו צמחים שאורך הגבעול שלהם קטן מ־5555 ס״מ נמכרו לחנויות מקומיות. בשנה זו גידלו במשתלה 40,00040{,}000 צמחים סך הכול. 4,0004{,}000 מן הצמחים נמכרו לחנויות מקומיות. ג. מצאו את האורך הממוצע של גבעולי הצמחים בשנה זו.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 87

הפתרון:

P(X<55)=400040,000=0.1\begin{aligned}P(X < 55) &= \frac{4000}{40{,}000} \\ &= 0.1\end{aligned}

אחוז הצמחים שנמכרו לחנויות

Φ(z)=0.1⇒z≈−1.28\Phi(z) = 0.1 \Rightarrow z \approx -1.28

בטבלה: Φ(1.28)≈0.9\Phi(1.28) \approx 0.9

55−μ25=−1.28⇒μ=55+32=87\begin{aligned}\frac{55 - \mu}{25} &= -1.28 \Rightarrow \mu \\ &= 55 + 32 \\ &= 87\end{aligned}

האורך הממוצע הוא 8787 ס״מ. המלכודת: לפתור 55−μ25=1.28\frac{55 - \mu}{25} = 1.28 ולקבל ממוצע קטן מ־5555 — אבל רק 10%10\% מן הצמחים קצרים מ־5555.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — מתאם ורגרסיה: הוצאות על פרסום והכנסות

תרגיל 5

א (1). חשבו את ממוצע ההוצאות על פרסום של 55 החברות בחודש זה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 20

הפתרון:

xˉ=10+15+20+25+305=1005=20\begin{aligned}\bar{x} &= \frac{10 + 15 + 20 + 25 + 30}{5} \\ &= \frac{100}{5} \\ &= 20\end{aligned}

ממוצע ההוצאות הוא 2020 אלף שקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

א (2). חשבו את סטיית התקן של ההוצאות על פרסום של 55 החברות בחודש זה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.071

הפתרון:

x−xˉ: −10, −5, 0, 5, 10x - \bar{x}: \ -10, \ -5, \ 0, \ 5, \ 10

הסטיות מן הממוצע

Sx=100+25+0+25+1005=50=52≈7.07\begin{aligned}S_x &= \sqrt{\frac{100 + 25 + 0 + 25 + 100}{5}} \\ &= \sqrt{50} \\ &= 5\sqrt{2} \approx 7.07\end{aligned}

מחלקים במספר החברות, 55

סטיית התקן היא 50=52≈7.07\sqrt{50} = 5\sqrt{2} \approx 7.07 אלף שקלים. המלכודת: לחלק ב־44 במקום ב־55.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. ב. מצאו את מקדם המתאם rr.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.873

הפתרון:

y−yˉ: −15, −14, −11, 3, 37y - \bar{y}: \ -15, \ -14, \ -11, \ 3, \ 37

הסטיות של ההכנסות מן הממוצע 3131

∑(x−xˉ)(y−yˉ)=150+70+0+15+370=605\begin{aligned}\sum (x - \bar{x})(y - \bar{y}) &= 150 + 70 + 0 + 15 + 370 \\ &= 605\end{aligned}
r=6055⋅50⋅86=12119200≈0.873\begin{aligned}r &= \frac{605}{5 \cdot \sqrt{50} \cdot 8\sqrt{6}} \\ &= \frac{121}{\sqrt{19200}} \approx 0.873\end{aligned}

r=covSxSyr = \frac{\text{cov}}{S_x S_y}, ו־cov=6055=121\text{cov} = \frac{605}{5} = 121

r≈0.873r \approx 0.873 — מתאם חיובי חזק. המלכודת: לשכוח לחלק את סכום המכפלות ב־55 ולקבל r>1r > 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. ג (1). מצאו את משוואת ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx.

y=y = ____ x+x + ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y = 2.42 x+x + -17.4

הפתרון:

b=covSx2=12150=2.42\begin{aligned}b &= \frac{\text{cov}}{S_x^2} \\ &= \frac{121}{50} \\ &= 2.42\end{aligned}

השיפוע; זה גם r⋅SySxr \cdot \frac{S_y}{S_x}

y−31=2.42(x−20)y - 31 = 2.42(x - 20)

הישר עובר בנקודת הממוצעים (20,31)(20, 31)

y=2.42x−17.4y = 2.42x - 17.4

ישר הרגרסיה: y=2.42x−17.4y = 2.42x - 17.4. המלכודת: לחשב שיפוע SySx\frac{S_y}{S_x} בלי rr.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. ג (2). על פי ישר הרגרסיה, מהו הניבוי להכנסות החודשיות בחברה שההוצאות החודשיות שלה על פרסום הן 2424 אלף שקלים?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 40.68

הפתרון:

y=2.42⋅24−17.4=58.08−17.4=40.68\begin{aligned}y &= 2.42 \cdot 24 - 17.4 \\ &= 58.08 - 17.4 \\ &= 40.68\end{aligned}

הניבוי: 40.6840.68 אלף שקלים, כלומר 40,68040{,}680 שקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־15%15\% (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. I. בחודש שבו גדלו ההכנסות הייתה סטיית התקן של ההכנסות 10610\sqrt{6}.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

y′=1.15y⇒Sy′=1.15⋅86=9.26\begin{aligned}y' &= 1.15y \Rightarrow S_{y'} \\ &= 1.15 \cdot 8\sqrt{6} \\ &= 9.2\sqrt{6}\end{aligned}

כפל כל הנתונים במספר כופל את סטיית התקן באותו מספר

9.26≠1069.2\sqrt{6} \neq 10\sqrt{6}

ההיגד לא נכון: סטיית התקן החדשה היא 9.269.2\sqrt{6}. המלכודת: להוסיף 15%15\% לפי 8+2=108 + 2 = 10 — הגדלה ב־15%15\% היא כפל ב־1.151.15.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־15%15\% (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. II. בחודש שבו גדלו ההכנסות, שיפוע ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx – לא השתנה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: לא נכון

הפתרון:

cov′=1.15⋅cov⇒b′=1.15⋅12150=2.783\begin{aligned}\text{cov}' &= 1.15 \cdot \text{cov} \Rightarrow b' \\ &= \frac{1.15 \cdot 121}{50} \\ &= 2.783\end{aligned}

השונות המשותפת גדלה פי 1.151.15, ו־SxS_x לא השתנתה

ההיגד לא נכון: השיפוע גדל פי 1.151.15, ל־2.7832.783. מקדם המתאם rr הוא שלא השתנה — לא השיפוע.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

בחברת השיווק מצאו כי ממוצע ההכנסות של 55 החברות בחודש זה היה 3131 אלף שקלים, וכי סטיית התקן של ההכנסות שלהן הייתה 868\sqrt{6} אלף שקלים. בחודש שלאחר מכן גדלו ההכנסות של כל אחת מן החברות ב־15%15\% (ההוצאות על פרסום של כל אחת מן החברות לא השתנו). ד. לפניכם שלושה היגדים I–III. קבעו עבור כל היגד אם הוא נכון או לא נכון. נמקו את קביעותיכם. III. הנקודה (20,35.65)(20, 35.65) נמצאת על ישר הרגרסיה לניבוי yy על פי xx בחודש שבו גדלו ההכנסות.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

xˉ′=20yˉ′=1.15⋅31=35.65\begin{aligned}\bar{x}' &= 20 \\ \quad \bar{y}' &= 1.15 \cdot 31 \\ &= 35.65\end{aligned}

הממוצעים בחודש החדש

(xˉ′,yˉ′)=(20,35.65)(\bar{x}', \bar{y}') = (20, 35.65)

ישר הרגרסיה עובר תמיד בנקודת הממוצעים

ההיגד נכון: (20,35.65)(20, 35.65) היא נקודת הממוצעים של החודש החדש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — הסתברות: פלפלים במשק חקלאי

תרגיל 13

א. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל קטן?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.2

הפתרון:

k+4k=5k⇒P(קטן)=k5k=0.2\begin{aligned}k + 4k &= 5k \Rightarrow P(\text{קטן}) \\ &= \frac{k}{5k} \\ &= 0.2\end{aligned}

נסמן ב־kk את מספר הפלפלים הקטנים

ההסתברות היא 0.20.2. המלכודת: 14\frac{1}{4} — היחס בין הקטנים לגדולים, לא החלק של הקטנים מכל הפלפלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ב. מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל גדול צהוב?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.32

הפתרון:

P(גדול)=0.8P(צהוב∣גדול)=1−0.6=0.4\begin{aligned}P(\text{גדול}) &= 0.8 \\ \quad P(\text{צהוב} \mid \text{גדול}) &= 1 - 0.6 \\ &= 0.4\end{aligned}

הגדולים שאינם אדומים הם צהובים

0.8⋅0.4=0.320.8 \cdot 0.4 = 0.32

ההסתברות היא 0.320.32. המלכודת: לענות 0.40.4, ההסתברות לצהוב מבין הגדולים בלבד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ג (1). מהי ההסתברות שהפלפל שנבחר הוא פלפל אדום?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.63

הפתרון:

0.8⋅0.6+0.2⋅0.75=0.48+0.15=0.63\begin{aligned}0.8 \cdot 0.6 + 0.2 \cdot 0.75 &= 0.48 + 0.15 \\ &= 0.63\end{aligned}

אדום גדול או אדום קטן

ההסתברות היא 0.630.63.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. ג (2). ידוע שנבחר פלפל אדום. מהי ההסתברות שפלפל זה הוא פלפל גדול?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.7619

הפתרון:

P(גדול∣אדום)=0.480.63=1621≈0.762\begin{aligned}P(\text{גדול} \mid \text{אדום}) &= \frac{0.48}{0.63} \\ &= \frac{16}{21} \approx 0.762\end{aligned}

הסתברות מותנית

ההסתברות היא 1621≈0.762\frac{16}{21} \approx 0.762. המלכודת: 0.60.6 — זו ההסתברות לאדום בהינתן גדול, ההפך.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

הפלפלים הגדולים במשק החקלאי הם אדומים או צהובים, והפלפלים הקטנים הם אדומים או ירוקים. 0.60.6 מן הפלפלים הגדולים הם אדומים. 0.750.75 מן הפלפלים הקטנים הם אדומים. בוחרים באקראי פלפל אחד מבין כל הפלפלים במשק החקלאי. כל הפלפלים במשק החקלאי נשלחים לשני בתי אריזה א׳ ו־ב׳. לבית אריזה א׳ נשלחים כל הפלפלים האדומים, ולבית אריזה ב׳ נשלחים כל הפלפלים הצהובים וכל הפלפלים הירוקים. ד. האם אחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה א׳ גדול או קטן מאחוז הפלפלים הגדולים בבית אריזה ב׳? נמקו את תשובתכם.

  1. גדול: בבית אריזה א׳ כ־76.2%76.2\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־32%32\%
  2. גדול: בבית אריזה א׳ 60%60\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ 40%40\%
  3. קטן: בבית אריזה א׳ כ־76.2%76.2\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־86.5%86.5\%
  4. האחוזים שווים: בשני בתי האריזה 80%80\% מן הפלפלים גדולים
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג קטן: בבית אריזה א׳ כ־76.2%76.2\% מן הפלפלים גדולים, ובבית אריזה ב׳ כ־86.5%86.5\%

הפתרון:

א׳: 0.480.63=1621≈0.762\text{א׳}: \ \frac{0.48}{0.63} = \frac{16}{21} \approx 0.762

בבית אריזה א׳ כל האדומים; החלק הגדול מהם — סעיף ג (2)

ב׳: P(צהוב)+P(ירוק)=0.32+0.2⋅0.25=0.37\begin{aligned}\text{ב׳}: \ P(\text{צהוב}) + P(\text{ירוק}) &= 0.32 + 0.2 \cdot 0.25 \\ &= 0.37\end{aligned}

הצהובים כולם גדולים, הירוקים כולם קטנים

0.320.37=3237≈0.865>0.762\frac{0.32}{0.37} = \frac{32}{37} \approx 0.865 > 0.762

אחוז הגדולים בבית אריזה א׳ קטן מאחוזם בבית אריזה ב׳. המלכודת: להשוות 0.320.32 — ההסתברות לגדול צהוב מכל הפלפלים — במקום החלק של הגדולים בתוך בית האריזה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — משולש שווה שוקיים במערכת צירים

תרגיל 18

א (1). מצאו את משוואת הישר ACAC.

y=y = ____ x+x + ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y = 0.5 x+x + 13

הפתרון:

mCD=−2⇒mAC=12\begin{aligned}m_{CD} &= -2 \Rightarrow m_{AC} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

ישרים מאונכים: מכפלת השיפועים −1-1

y−15=12(x−4)⇒y=12x+13\begin{aligned}y - 15 &= \frac{1}{2}(x - 4) \Rightarrow y \\ &= \frac{1}{2}x + 13\end{aligned}

הישר עובר ב־EE, אמצע ACAC

הישר ACAC: y=12x+13y = \frac{1}{2}x + 13. המלכודת: שיפוע 22 — ההופכי בלי החלפת הסימן.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

א (2). מצאו את שיעורי הקודקוד CC.

C(C( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: C(C( 10 ,, 18 ))

הפתרון:

12x+13=−2x+38⇒52x=25⇒x=10\begin{aligned}\frac{1}{2}x + 13 &= -2x + 38 \Rightarrow \frac{5}{2}x \\ &= 25 \Rightarrow x \\ &= 10\end{aligned}

CC הוא נקודת החיתוך של ACAC ו־CDCD

y=−2⋅10+38=18\begin{aligned}y &= -2 \cdot 10 + 38 \\ &= 18\end{aligned}

C(10,18)C(10, 18).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

ב (1). מצאו את אורך הצלע ABAB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 13.416

הפתרון:

A=(2⋅4−10, 2⋅15−18)=(−2,12)\begin{aligned}A &= (2 \cdot 4 - 10, \ 2 \cdot 15 - 18) \\ &= (-2, 12)\end{aligned}

EE אמצע ACAC

AC=122+62=180=65\begin{aligned}AC &= \sqrt{12^2 + 6^2} \\ &= \sqrt{180} \\ &= 6\sqrt{5}\end{aligned}

מרחק בין שתי נקודות

AB=AC=65≈13.42\begin{aligned}AB &= AC \\ &= 6\sqrt{5} \approx 13.42\end{aligned}

המשולש שווה שוקיים

AB=180=65≈13.42AB = \sqrt{180} = 6\sqrt{5} \approx 13.42.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

ב (2). מצאו את שיעורי הקודקוד BB.

B(B( ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: B(B( -8 ,, 0 ))

הפתרון:

B(x,0): (x+2)2+122=180B(x, 0): \ (x + 2)^2 + 12^2 = 180

BB על ציר ה־xx ו־AB2=180AB^2 = 180

(x+2)2=36⇒x=4 או x=−8\begin{aligned}(x + 2)^2 &= 36 \Rightarrow x \\ &= 4 \ \text{או} \ x \\ &= -8\end{aligned}
x=−8x = -8

BB על החלק השלילי של ציר ה־xx

B(−8,0)B(-8, 0). המלכודת: לקחת x=4x = 4, הפתרון שעל החלק החיובי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

ג. מצאו את גודל הזווית ABDABD ואת גודל הזווית CBDCBD.

∠ABD=\angle ABD = ____ ∘^\circ , ∠CBD=\angle CBD = ____ ∘^\circ

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ∠ABD=\angle ABD = 63.43 ∘^\circ , ∠CBD=\angle CBD = 45 ∘^\circ

הפתרון:

mAB=12−0−2+8=2⇒tan⁡∠ABD=2⇒∠ABD≈63.43∘\begin{aligned}m_{AB} &= \frac{12 - 0}{-2 + 8} \\ &= 2 \Rightarrow \tan \angle ABD \\ &= 2 \Rightarrow \angle ABD \approx 63.43^\circ\end{aligned}

הזווית בין הישר לכיוון החיובי של ציר ה־xx

mBC=18−010+8=1⇒∠CBD=45∘\begin{aligned}m_{BC} &= \frac{18 - 0}{10 + 8} \\ &= 1 \Rightarrow \angle CBD \\ &= 45^\circ\end{aligned}

∠ABD≈63.43∘\angle ABD \approx 63.43^\circ ו־∠CBD=45∘\angle CBD = 45^\circ. בדיקה: ∠ABC=63.43∘−45∘=18.43∘\angle ABC = 63.43^\circ - 45^\circ = 18.43^\circ, וזו זווית בסיס של משולש שווה שוקיים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

ד. חשבו את שטח המשולש ABCABC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 54

הפתרון:

M=(−8+102,0+182)=(1,9)\begin{aligned}M &= \left(\frac{-8 + 10}{2}, \frac{0 + 18}{2}\right) \\ &= (1, 9)\end{aligned}

השוקיים הן ABAB ו־ACAC, הבסיס BCBC; MM אמצע הבסיס

AM=32+32=32BC=182+182=182\begin{aligned}AM &= \sqrt{3^2 + 3^2} \\ &= 3\sqrt{2} \\ \quad BC &= \sqrt{18^2 + 18^2} \\ &= 18\sqrt{2}\end{aligned}

במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם הגובה

S=BC⋅AM2=182⋅322=54\begin{aligned}S &= \frac{BC \cdot AM}{2} \\ &= \frac{18\sqrt{2} \cdot 3\sqrt{2}}{2} \\ &= 54\end{aligned}

שטח המשולש הוא 5454. המלכודת: לקחת את ACAC כבסיס ואת BEBE כגובה — EE הוא אמצע שוק, ו־BEBE אינו מאונך ל־ACAC.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — משולש חסום במעגל ומשיק

תרגיל 24

א (1). הסבירו מדוע הצלע ACAC מקבילה לציר ה־xx.

  • CBCB קוטר במעגל
  • ABAB מקבילה לציר ה־yy

ACAC מקבילה לציר ה־xx

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠CAB=90∘\angle CAB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. AC⊥ABAC \perp AB — הזווית בין הצלעות היא 90∘90^\circ
  3. ACAC מקבילה לציר ה־xx — ישר המאונך לישר המקביל לציר ה־yy מקביל לציר ה־xx

הפתרון:

∠CAB=90∘\angle CAB = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר CBCB

AC⊥AB, AB∥ציר yAC \perp AB, \ AB \parallel \text{ציר } y
AC∥ציר xAC \parallel \text{ציר } x

הזווית ההיקפית ∠CAB\angle CAB נשענת על הקוטר, ולכן AC⊥ABAC \perp AB; ו־ABAB אנכית, לכן ACAC אופקית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

א (2). הוכיחו כי △ABC∼△CFD\triangle ABC \sim \triangle CFD.

  • CBCB קוטר, CFCF משיק למעגל בנקודה CC
  • DD על המשך CBCB, ו־FF, DD על ציר ה־xx
  • ACAC מקבילה לציר ה־xx (סעיף א (1))

△ABC∼△CFD\triangle ABC \sim \triangle CFD

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠CAB=90∘\angle CAB = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  2. ∠FCD=90∘\angle FCD = 90^\circ — משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה, ו־CDCD מונח על הקוטר
  3. ∠ACB=∠CDF\angle ACB = \angle CDF — זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים (ACAC וציר ה־xx)
  4. △ABC∼△CFD\triangle ABC \sim \triangle CFD — משפט הדמיון ז״ז

הפתרון:

∠CAB=∠FCD=90∘\begin{aligned}\angle CAB &= \angle FCD \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על קוטר; משיק מאונך לרדיוס

∠ACB=∠CDF\angle ACB = \angle CDF

מתחלפות, AC∥FDAC \parallel FD

△ABC∼△CFD (ז״ז)\triangle ABC \sim \triangle CFD \ (\text{ז״ז})

ההתאמה: A↔CA \leftrightarrow C, B↔FB \leftrightarrow F, C↔DC \leftrightarrow D

שתי זוויות שוות: הזווית הישרה, והזווית המתחלפת. המלכודת: התאמת הקודקודים — AA מתאים ל־CC, כי שם הזוויות הישרות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. ב. מצאו את אורך הצלע FDFD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 31.25

הפתרון:

0=43x+31⇒x=−934=−23.25\begin{aligned}0 &= \frac{4}{3}x + 31 \Rightarrow x \\ &= -\frac{93}{4} \\ &= -23.25\end{aligned}

FF על ציר ה־xx

FD=8−(−23.25)=31.25\begin{aligned}FD &= 8 - (-23.25) \\ &= 31.25\end{aligned}

שתי הנקודות על ציר ה־xx

FD=31.25FD = 31.25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. ג (1). מצאו את משוואת הצלע CDCD.

y=y = ____ x+x + ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y = -0.75 x+x + 6

הפתרון:

mCF=43⇒mCD=−34\begin{aligned}m_{CF} &= \frac{4}{3} \Rightarrow m_{CD} \\ &= -\frac{3}{4}\end{aligned}

CD⊥CFCD \perp CF: הקוטר מאונך למשיק

y−0=−34(x−8)⇒y=−34x+6\begin{aligned}y - 0 &= -\frac{3}{4}(x - 8) \Rightarrow y \\ &= -\frac{3}{4}x + 6\end{aligned}

הישר עובר ב־D(8,0)D(8, 0)

CDCD: y=−34x+6y = -\frac{3}{4}x + 6.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. ג (2). מצאו את אורך הצלע CDCD.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25

הפתרון:

43x+31=−34x+6⇒2512x=−25⇒x=−12\begin{aligned}\frac{4}{3}x + 31 &= -\frac{3}{4}x + 6 \Rightarrow \frac{25}{12}x \\ &= -25 \Rightarrow x \\ &= -12\end{aligned}

CC: חיתוך המשיק והישר CDCD

C(−12,15)C(-12, 15)
CD=202+152=25\begin{aligned}CD &= \sqrt{20^2 + 15^2} \\ &= 25\end{aligned}

CD=25CD = 25.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

נתון כי D(8,0)D(8, 0), וכי משוואת המשיק CFCF היא y=43x+31y = \frac{4}{3}x + 31. נתון כי יחס הדמיון בין המשולש ABCABC ובין המשולש CFDCFD הוא 825\frac{8}{25}. ד. חשבו את היקף המשולש ABCABC.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

CF=(−12+23.25)2+152=351.5625=18.75\begin{aligned}CF &= \sqrt{(-12 + 23.25)^2 + 15^2} \\ &= \sqrt{351.5625} \\ &= 18.75\end{aligned}
PCFD=18.75+31.25+25=75\begin{aligned}P_{CFD} &= 18.75 + 31.25 + 25 \\ &= 75\end{aligned}
PABC=825⋅75=24\begin{aligned}P_{ABC} &= \frac{8}{25} \cdot 75 \\ &= 24\end{aligned}

יחס ההיקפים שווה ליחס הדמיון

היקף המשולש ABCABC הוא 2424 (הצלעות 66, 88, 1010). המלכודת: להכפיל ב־(825)2\left(\frac{8}{25}\right)^2 — זה יחס השטחים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — חקירת פונקציה רציונלית

תרגיל 30

א. מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־xx של הפונקציה f(x)f(x).

y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y = -1

הפתרון:

x→±∞: 72−18xx2+9→0x \to \pm\infty: \ \frac{72 - 18x}{x^2 + 9} \to 0

מעלת המונה קטנה ממעלת המכנה

f(x)→−1f(x) \to -1

האסימפטוטה: y=−1y = -1. המלכודת: y=0y = 0 — שוכחים את ה־−1-1 שמחוץ לשבר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים. (את נקודות החיתוך עם ציר ה־xx כתבו משמאל לימין.)

עם ציר ה־yy: (0,(0, ____ )) ; עם ציר ה־xx: (( ____ ,0), 0) ו־(( ____ ,0), 0)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: עם ציר ה־yy: (0,(0, 7 )) ; עם ציר ה־xx: (( -21 ,0), 0) ו־(( 3 ,0), 0)

הפתרון:

f(0)=729−1=7\begin{aligned}f(0) &= \frac{72}{9} - 1 \\ &= 7\end{aligned}
72−18xx2+9=1⇒x2+18x−63=0\begin{aligned}\frac{72 - 18x}{x^2 + 9} &= 1 \Rightarrow x^2 + 18x - 63 \\ &= 0\end{aligned}
(x+21)(x−3)=0⇒x=−21 x=3\begin{aligned}(x + 21)(x - 3) &= 0 \Rightarrow x \\ &= -21 \\ \ x &= 3\end{aligned}

(0,7)(0, 7), (−21,0)(-21, 0) ו־(3,0)(3, 0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

ג (1). מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( -1 ,, 8 )) ו־(( 9 ,, -2 )) (משמאל לימין)

הפתרון:

f′(x)=−18(x2+9)−2x(72−18x)(x2+9)2=18(x2−8x−9)(x2+9)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{-18(x^2 + 9) - 2x(72 - 18x)}{(x^2 + 9)^2} \\ &= \frac{18(x^2 - 8x - 9)}{(x^2 + 9)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

x2−8x−9=(x−9)(x+1)=0⇒x=−1 x=9\begin{aligned}x^2 - 8x - 9 &= (x - 9)(x + 1) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ \ x &= 9\end{aligned}
x<−1:f′>0; −1<x<9:f′<0; x>9:f′>0x < -1: f' > 0; \ -1 < x < 9: f' < 0; \ x > 9: f' > 0

טבלת סימנים

f(−1)=9010−1=8f(9)=−9090−1=−2\begin{aligned}f(-1) &= \frac{90}{10} - 1 \\ &= 8 \\ \quad f(9) &= \frac{-90}{90} - 1 \\ &= -2\end{aligned}

מקסימום (−1,8)(-1, 8) ומינימום (9,−2)(9, -2). המלכודת: סימן במונה — −18x⋅2x-18x \cdot 2x עם המינוס שלפני המכפלה נותן +36x2+36x^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

ג (2). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. עלייה: −1<x<9-1 < x < 9 ; ירידה: x<−1x < -1 או x>9x > 9
  2. עלייה: x<−1x < -1 או x>9x > 9 ; ירידה: −1<x<9-1 < x < 9
  3. עלייה: x>−1x > -1 ; ירידה: x<−1x < -1
  4. עלייה: x<−21x < -21 או x>3x > 3 ; ירידה: −21<x<3-21 < x < 3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב עלייה: x<−1x < -1 או x>9x > 9 ; ירידה: −1<x<9-1 < x < 9

הפתרון:

f′(x)=18(x−9)(x+1)(x2+9)2f'(x) = \frac{18(x - 9)(x + 1)}{(x^2 + 9)^2}

המכנה חיובי תמיד

f′>0⇔x<−1 או x>9f' > 0 \Leftrightarrow x < -1 \ \text{או} \ x > 9

עלייה ב־x<−1x < -1 וב־x>9x > 9, ירידה ב־−1<x<9-1 < x < 9. המלכודת: לקחת את נקודות החיתוך עם ציר ה־xx (−21-21 ו־33) כגבולות התחומים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 34

ד. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. משמאל הגרף קרוב לישר y=−1y = -1 מעליו, חותך את ציר ה־xx ב־−21-21, עולה עד (−1,8)(-1, 8), יורד דרך (0,7)(0, 7) ו־(3,0)(3, 0) עד (9,−2)(9, -2), ואז עולה ומתקרב ל־y=−1y = -1 מתחתיו
  2. הגרף עולה עד (−1,8)(-1, 8), יורד עד (9,−2)(9, -2), ואחר כך ממשיך לרדת בלי אסימפטוטה
  3. הגרף כולו מעל ציר ה־xx, עם מקסימום (−1,8)(-1, 8) ומינימום (9,−2)(9, -2)
  4. משמאל הגרף קרוב לישר y=−1y = -1 מתחתיו, יורד עד (−1,8)(-1, 8), עולה עד (9,−2)(9, -2), ואז יורד ומתקרב ל־y=−1y = -1
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א משמאל הגרף קרוב לישר y=−1y = -1 מעליו, חותך את ציר ה־xx ב־−21-21, עולה עד (−1,8)(-1, 8), יורד דרך (0,7)(0, 7) ו־(3,0)(3, 0) עד (9,−2)(9, -2), ואז עולה ומתקרב ל־y=−1y = -1 מתחתיו

הפתרון:

x<−21: −1<f(x)<0x < -21: \ -1 < f(x) < 0

כש־x<4x < 4 המונה 72−18x72 - 18x חיובי, ולכן f(x)>−1f(x) > -1

x>4: f(x)<−1x > 4: \ f(x) < -1

המונה שלילי: אחרי המינימום הגרף מתקרב לאסימפטוטה מלמטה

(−21,0)↗(−1,8)↘(0,7),(3,0),(9,−2)↗y→−1(-21, 0) \nearrow (-1, 8) \searrow (0, 7), (3, 0), (9, -2) \nearrow y \to -1

סדר הנקודות על הגרף

הסקיצה: אסימפטוטה y=−1y = -1 בשני הצדדים — מעליה משמאל, מתחתיה מימין; מקסימום (−1,8)(-1, 8), מינימום (9,−2)(9, -2), חיתוכים (−21,0)(-21, 0), (0,7)(0, 7), (3,0)(3, 0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

נתונה הפונקציה g(x)=∣f(x)∣g(x) = |f(x)|, המוגדרת לכל xx. ה (1). מצאו את משוואת האסימפטוטה המקבילה לציר ה־xx של הפונקציה g(x)g(x).

y=y = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: y=y = 1

הפתרון:

f(x)→−1⇒∣f(x)∣→1f(x) \to -1 \Rightarrow |f(x)| \to 1

הערך המוחלט הופך את הגבול לחיובי

האסימפטוטה של gg: y=1y = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 36

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

נתונה הפונקציה g(x)=∣f(x)∣g(x) = |f(x)|, המוגדרת לכל xx. ה (2). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x)g(x). נמקו את קביעתכם.

  1. גרף III
  2. גרף I
  3. גרף II
  4. גרף IV
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף IV

הפתרון:

y→1y \to 1

האסימפטוטה y=1y = 1 (הקו המקווקו): נשארים גרפים III ו־IV

g(−21)=g(3)=0\begin{aligned}g(-21) &= g(3) \\ &= 0\end{aligned}

ל־gg שתי נקודות על ציר ה־xx, אחת משמאל ואחת מימין לציר ה־yy

max⁡:(−1,8) g(0)=7<8\begin{aligned}\max: (-1, 8) \\ \ g(0) &= 7 < 8\end{aligned}

המקסימום משמאל לציר ה־yy: זה גרף IV

גרף IV. המלכודות: גרפים I ו־II מתקרבים לציר ה־xx ולא ל־y=1y = 1; בגרף III המקסימום מימין לציר ה־yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — פונקציית שורש עם פרמטר

תרגיל 37

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

x≥x \ge ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: x≥x \ge 2

הפתרון:

3x−6≥0⇒x≥23x - 6 \ge 0 \Rightarrow x \ge 2

מתחת לשורש ריבועי — ביטוי אי־שלילי

תחום ההגדרה: x≥2x \ge 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 38

נתון כי הנקודה (5,9)(5, 9) נמצאת על גרף הפונקציה f(x)f(x). ב. מצאו את הערך של aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

f(5)=(a−5)9=3(a−5)=9\begin{aligned}f(5) &= (a - 5)\sqrt{9} \\ &= 3(a - 5) \\ &= 9\end{aligned}
a−5=3⇒a=8\begin{aligned}a - 5 &= 3 \Rightarrow a \\ &= 8\end{aligned}

a=8a = 8.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 39

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ג. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם ציר ה־xx. (כתבו משמאל לימין.)

(( ____ ,0), 0) ו־(( ____ ,0), 0)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 2 ,0), 0) ו־(( 8 ,0), 0)

הפתרון:

f(x)=(8−x)3x−6=0\begin{aligned}f(x) &= (8 - x)\sqrt{3x - 6} \\ &= 0\end{aligned}
8−x=0 או 3x−6=0⇒x=8 x=2\begin{aligned}8 - x &= 0 \ \text{או} \ 3x - 6 \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 8 \\ \ x &= 2\end{aligned}

שני הפתרונות בתחום ההגדרה

(2,0)(2, 0) ו־(8,0)(8, 0). המלכודת: לשכוח את x=2x = 2, שבו השורש מתאפס.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 40

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ד. מצאו את שיעורי כל נקודות הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגן.

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 4 ,, 9.798 )) ו־(( 2 ,, 0 )) (קודם הנקודה הפנימית, אחר כך נקודת הקצה)

הפתרון:

f′(x)=−3x−6+(8−x)⋅323x−6=−2(3x−6)+3(8−x)23x−6=36−9x23x−6\begin{aligned}f'(x) &= -\sqrt{3x - 6} + (8 - x) \cdot \frac{3}{2\sqrt{3x - 6}} \\ &= \frac{-2(3x - 6) + 3(8 - x)}{2\sqrt{3x - 6}} \\ &= \frac{36 - 9x}{2\sqrt{3x - 6}}\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(x)=0⇒x=4;f′(3)>0 f′(5)<0\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4; \quad f'(3) > 0 \\ \ f'(5) < 0\end{aligned}

עלייה ואז ירידה: מקסימום

f(4)=46≈9.80f(4) = 4\sqrt{6} \approx 9.80
f(2)=0 f↗ אחרי 2\begin{aligned}f(2) &= 0 \\ \ f \nearrow \text{ אחרי } 2\end{aligned}

בקצה התחום הפונקציה עולה: מינימום קצה

מקסימום (4,46)(4, 4\sqrt{6}), בערך (4,9.80)(4, 9.80), ומינימום קצה (2,0)(2, 0). המלכודת: לשכוח את נקודת הקצה, ש"כל נקודות הקיצון" כוללות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 41

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את התיאור שמתאים לסקיצה.

  1. הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), יורד עד מינימום ב־x=4x = 4, ועולה דרך (8,0)(8, 0)
  2. הגרף מוגדר לכל xx, עם מקסימום ב־(4,46)(4, 4\sqrt{6}) ושתי נקודות חיתוך עם ציר ה־xx
  3. הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), עולה עד (4,46)(4, 4\sqrt{6}), יורד וחותך את ציר ה־xx ב־(8,0)(8, 0), וממשיך לרדת
  4. הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), עולה עד (4,46)(4, 4\sqrt{6}), ויורד ומתקרב לציר ה־xx בלי לחתוך אותו
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הגרף מתחיל ב־(2,0)(2, 0), עולה עד (4,46)(4, 4\sqrt{6}), יורד וחותך את ציר ה־xx ב־(8,0)(8, 0), וממשיך לרדת

הפתרון:

x≥2: (2,0)↗(4,46)↘(8,0)↘x \ge 2: \ (2, 0) \nearrow (4, 4\sqrt{6}) \searrow (8, 0) \searrow

תחום, קיצון וחיתוכים

x>8: f(x)<0, f(x)→−∞x > 8: \ f(x) < 0, \ f(x) \to -\infty

הגורם 8−x8 - x שלילי והשורש גדל

הסקיצה: חצי "כיפה" מ־(2,0)(2, 0) דרך המקסימום (4,46)(4, 4\sqrt{6}) אל (8,0)(8, 0), ומשם ירידה בלי גבול.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 42

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x>2x > 2. ו (1). קבעו איזה מן הגרפים I–IV שלפניכם מתאר את פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). נמקו את קביעתכם.

  1. גרף I
  2. גרף II
  3. גרף IV
  4. גרף III
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף I

הפתרון:

x→2+: f′(x)=36−9x23x−6→+∞x \to 2^+: \ f'(x) = \frac{36 - 9x}{2\sqrt{3x - 6}} \to +\infty

המונה חיובי והמכנה שואף ל־00

2<x<4:f′>0; x>4:f′<02 < x < 4: f' > 0; \ x > 4: f' < 0

ff עולה ואז יורדת: הנגזרת חיובית ואז שלילית, ומתאפסת פעם אחת בלבד

גרף I: מתחיל גבוה ליד x=2x = 2, חותך את ציר ה־xx פעם אחת (ב־x=4x = 4) ונשאר שלילי. המלכודות: גרף II הוא −f′-f'; גרפים III ו־IV מתאפסים פעמיים, ול־ff יש קיצון פנימי אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 43

הציבו a=8a = 8 בפונקציה f(x)f(x), וענו על הסעיפים ג–ו. פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרת בתחום x>2x > 2. ו (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישר x=20x = 20.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 97.98

הפתרון:

f′(x)=0⇔x=4\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

השטח בין x=4x = 4 ל־x=20x = 20, והנגזרת שלילית שם

S=−∫420f′(x) dx=f(4)−f(20)\begin{aligned}S &= -\int_4^{20} f'(x)\,dx \\ &= f(4) - f(20)\end{aligned}

הפונקציה ff היא פונקציה קדומה של f′f'

f(20)=(8−20)54=−12⋅36=−366\begin{aligned}f(20) &= (8 - 20)\sqrt{54} \\ &= -12 \cdot 3\sqrt{6} \\ &= -36\sqrt{6}\end{aligned}
S=46+366=406≈97.98\begin{aligned}S &= 4\sqrt{6} + 36\sqrt{6} \\ &= 40\sqrt{6} \approx 97.98\end{aligned}

השטח הוא 406≈97.9840\sqrt{6} \approx 97.98. המלכודת: לחשב ∫220\int_2^{20} — בין 22 ל־44 הנגזרת חיובית, וחלק זה אינו מוגבל על ידי הישר x=20x = 20.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 8 — בעיית קיצון: גינה ציבורית

תרגיל 44

א (1). הביעו באמצעות xx את אורך הצלע ADAD.

  1. AD=32−2xAD = 32 - 2x
  2. AD=32−xAD = 32 - x
  3. AD=16−2xAD = 16 - 2x
  4. AD=16−xAD = 16 - x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד AD=16−xAD = 16 - x

הפתרון:

2x+2⋅AD=32⇒AD=16−x\begin{aligned}2x + 2 \cdot AD &= 32 \Rightarrow AD \\ &= 16 - x\end{aligned}

היקף המלבן ABCDABCD הוא אורך הגדר

AD=16−xAD = 16 - x. המלכודת: 32−x32 - x — שוכחים שכל צלע מופיעה פעמיים בהיקף.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 45

א (2). הביעו באמצעות xx את שטח המתחם ABCDABCD.

  1. x(16−x)+7(x+2)x(16 - x) + 7(x + 2)
  2. x(16−x)=16x−x2x(16 - x) = 16x - x^2
  3. 7(x+2)7(x + 2)
  4. x(32−x)=32x−x2x(32 - x) = 32x - x^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x(16−x)=16x−x2x(16 - x) = 16x - x^2

הפתרון:

SABCD=AB⋅AD=x(16−x)\begin{aligned}S_{ABCD} &= AB \cdot AD \\ &= x(16 - x)\end{aligned}

השטח: 16x−x216x - x^2 מ״ר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 46

ב. הביעו באמצעות xx את היחס בין שטח המתחם ABCDABCD ובין שטח המתחם BFGHBFGH.

  1. x(16−x)7x\frac{x(16 - x)}{7x}
  2. x(16−x)7(x+2)\frac{x(16 - x)}{7(x + 2)}
  3. x(16−x)2(x+2)+14\frac{x(16 - x)}{2(x + 2) + 14}
  4. 7(x+2)x(16−x)\frac{7(x + 2)}{x(16 - x)}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב x(16−x)7(x+2)\frac{x(16 - x)}{7(x + 2)}

הפתרון:

SBFGH=BF⋅GF=7(x+2)\begin{aligned}S_{BFGH} &= BF \cdot GF \\ &= 7(x + 2)\end{aligned}

BF=x+2BF = x + 2

SABCDSBFGH=16x−x27x+14\frac{S_{ABCD}}{S_{BFGH}} = \frac{16x - x^2}{7x + 14}

היחס: 16x−x27(x+2)\frac{16x - x^2}{7(x + 2)}. המלכודת: להפוך את סדר היחס — "בין ABCDABCD ובין BFGHBFGH" שם את ABCDABCD במונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 47

ג. מצאו את הערך של xx שבעבורו היחס בין שטח המתחם ABCDABCD ובין שטח המתחם BFGHBFGH הוא מקסימלי.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

R(x)=16x−x27x+140<x<16\begin{aligned}R(x) &= \frac{16x - x^2}{7x + 14} \\ \quad 0 < x < 16\end{aligned}

אורכים חיוביים

R′(x)=(16−2x)(7x+14)−7(16x−x2)(7x+14)2=−7(x2+4x−32)(7x+14)2\begin{aligned}R'(x) &= \frac{(16 - 2x)(7x + 14) - 7(16x - x^2)}{(7x + 14)^2} \\ &= \frac{-7(x^2 + 4x - 32)}{(7x + 14)^2}\end{aligned}
x2+4x−32=(x+8)(x−4)=0⇒x=4\begin{aligned}x^2 + 4x - 32 &= (x + 8)(x - 4) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= 4\end{aligned}

הפתרון −8-8 מחוץ לתחום

x<4:R′>0; x>4:R′<0x < 4: R' > 0; \ x > 4: R' < 0

עלייה ואז ירידה: מקסימום

x=4x = 4 מטרים (היחס אז 4842=87\frac{48}{42} = \frac{8}{7}). המלכודת: לגזור את המונה ואת המכנה בנפרד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת