בגרות 35571 — חורף 2022

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 035571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון), חורף תשפ״ב, 2022. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. ענה על חמש מן השאלות 1–8 (לכל שאלה – 20 נקודות). פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטריה וטריגונומטריה במישור: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות השאלות של הבחינה, כדי שתוכלו להתאמן בהן; בבחינה עצמה בוחרים חמש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, והפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

תרגילים

שאלה 1 — שאלות קצרות

תרגיל 1

א. לפניך טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . נתון: שטח המשולש $ADC$ הוא $24$ ושטח המשולש $ADB$ הוא $12$ . (1) חשב את היחס בין אורך הבסיס הגדול ובין אורך הבסיס הקטן של הטרפז $ABCD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ADC} &= \frac{DC \cdot h}{2} \\ \quad S_{ADB} &= \frac{AB \cdot h}{2}\end{aligned}

$h$ הוא גובה הטרפז. הוא גם הגובה של המשולש $ADC$ לבסיס $DC$ , וגם הגובה של המשולש $ADB$ לבסיס $AB$ , כי $AB \parallel CD$

\begin{aligned}\frac{DC}{AB} &= \frac{S_{ADC}}{S_{ADB}} \\ &= \frac{24}{12} \\ &= 2\end{aligned}

מחלקים את שני השטחים: $\frac{h}{2}$ מצטמצם

הבסיס הגדול $DC$ ארוך פי $2$ מן הבסיס הקטן $2$ : היחס הוא $2 : 1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

א. לפניך טרפז $ABCD$ $(AB \parallel CD)$ . נתון: שטח המשולש $ADC$ הוא $24$ ושטח המשולש $ADB$ הוא $12$ . (2) חשב את שטח הטרפז $ABCD$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 36

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABC} &= \frac{AB \cdot h}{2} \\ &= S_{ADB} \\ &= 12\end{aligned}

למשולשים $ABC$ ו־ $ADB$ יש אותו בסיס $AB$ ואותו גובה $h$

\begin{aligned}S_{ABCD} &= S_{ADC} + S_{ABC} \\ &= 24 + 12 \\ &= 36\end{aligned}

האלכסון $AC$ מחלק את הטרפז לשני משולשים

שטח הטרפז הוא $36$ . בדיקה: $DC = 2AB$ , ולכן $S_{ABCD} = \frac{(AB + 2AB) \cdot h}{2} = 3 \cdot \frac{AB \cdot h}{2} = 3 \cdot 12 = 36$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

ב (1). בעבור כל $n$ טבעי, הוכח באינדוקציה או בדרך אחרת את הטענה: $\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right) = n + 1$

$n$ מספר טבעי

$n$

להציג את התשובה והפתרון

$1 + \frac{1}{1} = 2 = 1 + 1$ — בדיקה עבור $n = 1$
$\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k}\right) = k + 1$ — הנחת האינדוקציה
$\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1)\left(1 + \frac{1}{k+1}\right)$ — כופלים בגורם ה־ $(k+1)$ ומציבים את הנחת האינדוקציה
$(k + 1)\left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1) + 1 = k + 2$ — פתיחת סוגריים: $(k + 1) \cdot \frac{1}{k+1} = 1$
$\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = k + 2$ — זו הטענה עבור $n = k + 1$ ; עם הבדיקה עבור $n = 1$ , היא נכונה לכל $n$ טבעי

הפתרון:

\begin{aligned}1 + \frac{1}{1} &= 2 \\ &= 1 + 1\end{aligned}

הבדיקה עבור $n = 1$

\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{k}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{k+1}\right) = (k + 1) \cdot \frac{k + 2}{k + 1}

הנחת האינדוקציה, ואז הגורם ה־ $(k+1)$ : $1 + \frac{1}{k+1} = \frac{k + 2}{k + 1}$

\begin{aligned}(k + 1) \cdot \frac{k + 2}{k + 1} &= k + 2 \\ &= (k + 1) + 1\end{aligned}

זו הטענה עבור $n = k + 1$

דרך אחרת: כל גורם הוא $1 + \frac{1}{m} = \frac{m + 1}{m}$ , ולכן המכפלה היא $\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \ldots \cdot \frac{n + 1}{n}$ . כל מונה מצטמצם עם המכנה שאחריו, ונשאר $\frac{n + 1}{1} = n + 1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

ב (2). חשב את המכפלה: $\left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{4}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{5}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{99}\right)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 50

הפתרון:

\begin{aligned}\left(1 + \frac{1}{1}\right) \cdot \left(1 + \frac{1}{2}\right) \cdot \ldots \cdot \left(1 + \frac{1}{99}\right) &= 99 + 1 \\ &= 100\end{aligned}

הטענה של סעיף ב (1) עם $n = 99$

1 + \frac{1}{1} = 2

המכפלה המבוקשת מתחילה בגורם השני, בלי הגורם הזה

\frac{100}{2} = 50

מחלקים את המכפלה המלאה בגורם החסר

המכפלה היא $50$ . המלכודת: לענות $100$ , ולשכוח שהמכפלה מתחילה ב־ $1 + \frac{1}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

ג. בעבור כל אחת מן הטענות (1)–(2) שלפניך, קבע אם היא נכונה לכל $x$ . נמק. (1) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right)$

נכונה רק כאשר $x = 0$ : רק אז הזוויות $\frac{\pi}{2} - x$ ו־ $\frac{\pi}{2} + x$ שוות
נכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $x$
לא נכונה לכל $x$ : אגף שמאל שווה ל־ $\cos x$ , ואגף ימין שווה ל־ $-\cos x$
לא נכונה לכל $x$ : אגף שמאל שווה ל־ $\cos x$ , ואגף ימין שווה ל־ $\sin x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב נכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $x$

הפתרון:

\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x

זהות של זוויות משלימות ל־ $\frac{\pi}{2}$

\begin{aligned}\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) &= \sin\left(\pi - \left(\frac{\pi}{2} + x\right)\right) \\ &= \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= \cos x\end{aligned}

$\sin(\pi - t) = \sin t$

הטענה נכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $\cos x$ . המלכודת: לחשוב שזוויות שונות נותנות סינוס שונה — שתי הזוויות $\frac{\pi}{2} - x$ ו־ $\frac{\pi}{2} + x$ סימטריות סביב $\frac{\pi}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ג. בעבור כל אחת מן הטענות (1)–(2) שלפניך, קבע אם היא נכונה לכל $x$ . נמק. (2) $\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right)$

נכונה לכל $x$ : שני האגפים שווים ל־ $x$
נכונה לכל $x$ : סינוס היא פונקציה זוגית, ולכן $x$
לא נכונה לכל $x$ : אגף ימין שווה ל־ $-\cos x$ , ולמשל ב־ $x = 0$ אגף שמאל הוא $1$ ואגף ימין הוא $-1$
לא נכונה לכל $x$ : אין אף $x$ שבעבורו השוויון מתקיים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג לא נכונה לכל $x$ : אגף ימין שווה ל־ $-\cos x$ , ולמשל ב־ $x = 0$ אגף שמאל הוא $1$ ואגף ימין הוא $-1$

הפתרון:

\begin{aligned}\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) &= -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) \\ &= -\cos x\end{aligned}

סינוס היא פונקציה אי־זוגית: $\sin(-t) = -\sin t$

\begin{aligned}\cos x &= -\cos x \iff \cos x \\ &= 0\end{aligned}

השוויון מתקיים רק כאשר $\cos x = 0$

\begin{aligned}x &= 0: \quad \sin\frac{\pi}{2} \\ &= 1 \\ \quad \sin\left(-\frac{\pi}{2}\right) &= -1\end{aligned}

דוגמה נגדית

הטענה אינה נכונה לכל $x$ : היא מתקיימת רק כאשר $x$ (למשל $x = \frac{\pi}{2}$ ), ו־ $x = 0$ היא דוגמה נגדית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

ד. לפניך הגרף של פונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $x$ אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא $y = 1$ (ראה סרטוט), ו־ $2$ נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום $(0, 3)$ ונקודת מינימום $(-2, -1)$ . נגדיר את הפונקציה $g(x) = f(-x) + 1$ . גם הפונקציה $g(x)$ מוגדרת לכל $x$ . (1) מצא את משוואת האסימפטוטה האופקית של הפונקציה $g(x)$ . נמק.

$y =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 2

הפתרון:

x \to \pm\infty: \quad f(-x) \to 1

כאשר $x \to \infty$ , אז $-x \to -\infty$ , ולהפך; והפונקציה $f$ שואפת ל־ $1$ בשני הכיוונים

\begin{aligned}g(x) &= f(-x) + 1 \to 1 + 1 \\ &= 2\end{aligned}

$y = 2$ . השיקוף $f(-x)$ סביב ציר ה־ $y$ משאיר את האסימפטוטה $y = 1$ במקומה, וההזזה ב־ $1$ למעלה מעבירה אותה ל־ $1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ד. לפניך הגרף של פונקציה $f(x)$ , המוגדרת לכל $x$ . לפונקציה $x$ אסימפטוטה אופקית שמשוואתה היא $y = 1$ (ראה סרטוט), ו־ $2$ נקודות קיצון בדיוק: נקודת מקסימום $(0, 3)$ ונקודת מינימום $(-2, -1)$ . נגדיר את הפונקציה $g(x) = f(-x) + 1$ . גם הפונקציה $g(x)$ מוגדרת לכל $x$ . (2) מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבע את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 0 $,$ 4 $)$ ו־ $($ 2 $,$ 0 $)$ (משמאל לימין)

הפתרון:

f(-x): \quad (0, 3) \to (0, 3), \quad (-2, -1) \to (2, -1)

שיקוף סביב ציר ה־ $y$ : שיעור ה־ $y$ מחליף סימן, ושיעור ה־ $y$ וסוג הקיצון לא משתנים

\begin{aligned}g(x) &= f(-x) + 1: \quad (0, 4) \\ \quad (2, 0)\end{aligned}

הזזה ב־ $1$ למעלה: מוסיפים $1$ לשיעור ה־ $1$ , וסוג הקיצון לא משתנה

נקודת מקסימום $(0, 4)$ ונקודת מינימום $(2, 0)$ . המלכודת: להחליף את הסימן של שיעור ה־ $y$ במקום את הסימן של שיעור ה־ $x$ — זה היה השיקוף $x$ , שהופך מקסימום למינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — סדרות חשבוניות

תרגיל 9

א (1). האם הסדרה $B$ היא סדרה חשבונית? נמק.

לא: $b_n$ הוא הפרש של שני סכומים, ולכן ההפרש $b_{n+1} - b_n$ תלוי ב־ $n$
לא: רק הסדרה $A$ נתונה כסדרה חשבונית
כן: $b_{n+1} - b_n = S_{n+2} - S_n$ , ולכן ההפרש של $B$ הוא $2d$
כן: $b_n = a_{n+1}$ , ולכן $b_{n+1} - b_n = a_{n+2} - a_{n+1} = d$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד כן: $b_n = a_{n+1}$ , ולכן $b_{n+1} - b_n = a_{n+2} - a_{n+1} = d$

הפתרון:

\begin{aligned}b_n &= S_{n+1} - S_n \\ &= a_{n+1}\end{aligned}

בסכום של $n + 1$ איברים יש איבר אחד יותר מבסכום של $n$ איברים: האיבר ה־ $(n+1)$

\begin{aligned}b_{n+1} - b_n &= a_{n+2} - a_{n+1} \\ &= d\end{aligned}

ההפרש קבוע

כן: $B$ היא סדרה חשבונית, והפרשה $B$ , כמו ההפרש של $A$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

א (2). האם הסדרה $B$ זהה לסדרה $B$ ? נמק.

לא: $b_n = a_{n+1} = a_n + d$ , ו־ $d > 0$ כי הסדרה $A$ עולה
לא: ההפרש של הסדרה $B$ הוא $2d$
כן: לשתי הסדרות אותו הפרש $d$
כן: $b_n = S_{n+1} - S_n = a_n$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א לא: $b_n = a_{n+1} = a_n + d$ , ו־ $d > 0$ כי הסדרה $A$ עולה

הפתרון:

\begin{aligned}b_1 &= a_2 \\ \quad b_2 &= a_3 \\ \quad \ldots \\ \quad b_n &= a_{n+1}\end{aligned}

סעיף א (1)

\begin{aligned}b_n - a_n &= a_{n+1} - a_n \\ &= d > 0\end{aligned}

הסדרה $A$ עולה, ולכן $d > 0$

לא: $B$ היא הסדרה $A$ בלי האיבר הראשון שלה, וכל איבר של $B$ גדול ב־ $d$ מן האיבר שבאותו מקום ב־ $d$ . המלכודת: אותו הפרש אינו אומר אותה סדרה — צריך גם אותו איבר ראשון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

מסמנים ב־ $T_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה $n$ , לכל $B$ טבעי. ב. הוכח כי לכל $n$ טבעי זוגי מתקיים: $n$ .

$B$ סדרה חשבונית שהפרשה $d$ (סעיף א (1))
$d$ (הסדרה $A$ עולה)
$A$ מספר טבעי זוגי

$n$

להציג את התשובה והפתרון

$b_1 - b_2 = b_3 - b_4 = \ldots = b_{n-1} - b_n = -d$ — בסדרה חשבונית שהפרשה $d$ , כל איבר קטן ב־ $d$ מן האיבר שאחריו
$d$ — מציבים $-d$ בכל זוג ומוציאים גורם משותף
$(b_1 + b_2) + (b_3 + b_4) + \ldots + (b_{n-1} + b_n) = T_n$ — $n$ זוגי, ולכן $n$ האיברים מתחלקים ל־ $\frac{n}{2}$ זוגות
$(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n) = -d \cdot T_n$ — מציבים את סכום הזוגות
$T_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d}$ — מחלקים ב־ $-d$ , ש־ $d \neq 0$ כי הסדרה $A$ עולה

הפתרון:

b_{k} - b_{k+1} = -d

בכל זוג: $B$ חשבונית שהפרשה $d$

\begin{aligned}(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n) &= -d\left[(b_1 + b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)\right] \\ &= -d \cdot T_n\end{aligned}

$n$ זוגי: הזוגות מכסים את כל $n$ האיברים

T_n = \frac{(b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{n-1} + b_n)(b_{n-1} - b_n)}{-d}

$d \neq 0$

הזוגיות של $n$ חשובה: בלעדיה האיבר האחרון $b_n$ נשאר בלי זוג. ואפשר לחלק ב־ $-d$ רק כי $d \neq 0$ — הסדרה עולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

מסמנים ב־ $T_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה $n$ , לכל $B$ טבעי. נתון: $n$ , $T_5 = -20$ . ג. חשב את $d$ ואת $b_1$ (אפשר להיעזר בסעיף ב).

$d =$ ____ , $b_1 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $d =$ 0.5 , $b_1 =$ -5

הפתרון:

b_1^2 - b_2^2 + \ldots + b_{39}^2 - b_{40}^2 = (b_1 + b_2)(b_1 - b_2) + \ldots + (b_{39} + b_{40})(b_{39} - b_{40})

נוסחת הכפל המקוצר $u^2 - v^2 = (u + v)(u - v)$

\begin{aligned}T_{40} &= \frac{-95}{-d} \\ &= \frac{95}{d}\end{aligned}

סעיף ב עם $n = 40$ , מספר זוגי

\begin{aligned}T_5 &= \frac{5(2b_1 + 4d)}{2} \\ &= -20 \Rightarrow b_1 + 2d \\ &= -4 \Rightarrow b_1 \\ &= -4 - 2d\end{aligned}

סכום של סדרה חשבונית; $5$ אי־זוגי, ולכן כאן לא משתמשים בסעיף ב

\begin{aligned}T_{40} &= \frac{40(2b_1 + 39d)}{2} \\ &= 20(-8 + 35d)\end{aligned}

מציבים $b_1 = -4 - 2d$

\begin{aligned}20d(-8 + 35d) &= 95 \Rightarrow 140d^2 - 32d - 19 \\ &= 0\end{aligned}

משווים ל־ $\frac{95}{d}$ , כופלים ב־ $d$ ומחלקים ב־ $5$

\begin{aligned}d &= \frac{32 \pm 108}{280}: \quad d \\ &= 0.5 \\ \quad d &= -\frac{19}{70}\end{aligned}

$\sqrt{32^2 + 4 \cdot 140 \cdot 19} = \sqrt{11664} = 108$ ; הסדרה עולה, ולכן $d > 0$ ו־ $d = 0.5$

\begin{aligned}b_1 &= -4 - 2 \cdot 0.5 \\ &= -5\end{aligned}

$d = 0.5$ ו־ $b_1 = -5$ . המלכודת: לשכוח לפסול את $d = -\frac{19}{70}$ — הסדרה $A$ עולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

מסמנים ב־ $T_n$ את סכום $n$ האיברים הראשונים בסדרה $n$ , לכל $B$ טבעי. נתון: $n$ , $T_5 = -20$ . מחברים בזה אחר זה את איברי הסדרה $A$ הנמצאים במקומות האי־זוגיים, החל באיבר הראשון. ד. מהו המספר המינימלי של איברים שיש לחבר באופן זה כדי שהסכום שיתקבל יהיה מספר חיובי שלם? נמק.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 14

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 &= a_2 - d \\ &= b_1 - d \\ &= -5 - 0.5 \\ &= -5.5\end{aligned}

$b_1 = a_2$ (סעיף א)

a_1, a_3, a_5, \ldots: \quad -5.5, \ -4.5, \ -3.5, \ \ldots

האיברים במקומות האי־זוגיים: סדרה חשבונית שהפרשה $2d = 1$

\begin{aligned}U_k &= \frac{k\left(2 \cdot (-5.5) + (k - 1) \cdot 1\right)}{2} \\ &= \frac{k(k - 12)}{2}\end{aligned}

$U_k$ — הסכום של $k$ איברים כאלה

U_k > 0 \iff k > 12

$k$ חיובי

\begin{aligned}U_{13} &= \frac{13 \cdot 1}{2} \\ &= 6.5 \\ \quad U_{14} &= \frac{14 \cdot 2}{2} \\ &= 14\end{aligned}

$U_{13}$ חיובי אך אינו שלם

צריך לחבר $14$ איברים לפחות (הסכום אז $14$ ). כל איבר שמחברים הוא מספר שלם ועוד חצי, ולכן הסכום שלם רק כאשר מספר האיברים זוגי. המלכודת: לעצור ב־ $14$ איברים — הסכום חיובי, אבל $6.5$ אינו שלם.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — הסתברות: סוכריות תות ומנטה

תרגיל 14

א. ליאור מוציא מן הקופסה שלוש סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. (1) חשב את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק סוכרייה אחת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.366

הפתרון:

\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{2}{4} = 0.15

תות ואז מנטה פעמיים: אחרי שאכל סוכרייה, בקופסה $2$ סוכריות תות ו־ $2$ מנטה

\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} = 0.12

מנטה, תות, מנטה: המנטה חוזרת לקופסה, ולכן ההוצאה השנייה עדיין מתוך $5$

\frac{2}{5} \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} = 0.096

מנטה, מנטה, תות

0.15 + 0.12 + 0.096 = 0.366

שלושה מסלולים זרים

ההסתברות היא $0.366$ . המלכודת: לחשב כאילו כל סוכרייה שהוצאה נשארת בחוץ — רק סוכריות התות יוצאות מן הקופסה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

א. ליאור מוציא מן הקופסה שלוש סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. (2) חשב את ההסתברות שליאור אכל את הסוכרייה השנייה שהוא הוציא, אם ידוע כי ליאור אכל בדיוק סוכרייה אחת.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3279

הפתרון:

0.366

ההסתברות שאכל בדיוק סוכרייה אחת (סעיף א (1))

0.12

מבין שלושת המסלולים, רק במסלול מנטה, תות, מנטה הוא אוכל את הסוכרייה השנייה

\frac{0.12}{0.366} = \frac{20}{61} \approx 0.328

הסתברות מותנית

ההסתברות היא $\frac{20}{61} \approx 0.328$ . המלכודת: לענות $0.12$ — זו ההסתברות של החיתוך, ועוד לא חילקנו בהסתברות של התנאי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ב. ליאור מוציא מן הקופסה $n$ סוכריות בזו אחר זו באופן המתואר בתחילת השאלה. הבע בעזרת $n$ את ההסתברות שליאור יאכל סוכרייה אחת לפחות.

$n \cdot \frac{3}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$
$\frac{3}{5} \cdot \left(\frac{2}{5}\right)^{n-1}$
$1 - \left(\frac{3}{5}\right)^n$
$1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n$

הפתרון:

\left(\frac{2}{5}\right)^n

הוא לא אוכל אף סוכרייה רק אם הוציא מנטה בכל $n$ ההוצאות; כל מנטה חוזרת לקופסה, ולכן בכל הוצאה ההסתברות היא $\frac{2}{5}$

1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n

המאורע המשלים: סוכרייה אחת לפחות

ההסתברות היא $1 - \left(\frac{2}{5}\right)^n$ . דרך המאורע המשלים אין צורך לעקוב אחרי ההסתברויות שמשתנות אחרי כל סוכריית תות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

ג. ליאור קיבל שתי קופסאות סוכריות, כל אחת מהן זהה לקופסה המתוארת בתחילת השאלה. ליאור מוציא שלוש סוכריות מכל אחת משתי הקופסאות, באופן המתואר בתחילת השאלה. חשב את ההסתברות שליאור יאכל בדיוק שלוש סוכריות, שלושתן מאותה קופסה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.0128

הפתרון:

\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{10}

מקופסה אחת הוא אוכל שלוש סוכריות: תות שלוש פעמים

\left(\frac{2}{5}\right)^3 = \frac{8}{125}

ומן הקופסה השנייה הוא לא אוכל אף סוכרייה: מנטה שלוש פעמים

\begin{aligned}2 \cdot \frac{1}{10} \cdot \frac{8}{125} &= \frac{16}{1250} \\ &= \frac{8}{625} \\ &= 0.0128\end{aligned}

הקופסה שממנה אכל יכולה להיות הראשונה או השנייה

ההסתברות היא $\frac{8}{625} = 0.0128$ . המלכודת: לשכוח את הכפל ב־ $2$ , או לשכוח שמן הקופסה השנייה הוא לא אוכל אף סוכרייה — אחרת הוא אוכל יותר משלוש.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — משולש חסום במעגל, דמיון ומשיק

תרגיל 18

א. הוכח כי הישר $AB$ חוצה את $\angle GBC$ .

$BC$ קוטר במעגל
$G$ על המשך הצלע $CA$
$GA = AC$

$\angle GBA = \angle ABC$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BAC = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
$\angle BAG = 90^\circ$ — זוויות צמודות משלימות ל־ $180^\circ$
$\triangle GAB \cong \triangle CAB$ — משפט החפיפה צ״ז״צ ( $GA = AC$ , הזווית שביניהן ישרה, $AB$ צלע משותפת)
$\angle GBA = \angle ABC$ — במשולשים חופפים, מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BAC &= 90^\circ \Rightarrow \angle BAG \\ &= 90^\circ\end{aligned}

זווית היקפית על הקוטר $BC$ , וזווית צמודה לה

\triangle GAB \cong \triangle CAB

צ״ז״צ: $GA = AC$ , $\angle BAG = \angle BAC$ , $AB$ משותפת

\angle GBA = \angle ABC

זוויות מתאימות במשולשים חופפים

הישר $AB$ חוצה את $\angle GBC$ . מאותה חפיפה גם $BG = BC$ : המשולש $GBC$ שווה שוקיים, ונשתמש בזה בסעיף ג.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

ב. הוכח כי $\triangle GBC \sim \triangle GAD$ .

הנקודות $D$ , $B$ , $C$ , $C$ על המעגל
$A$ על הקטע $D$ , $A$ על הקטע $GC$

$\triangle GBC \sim \triangle GAD$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle BGC = \angle AGD$ — זווית משותפת
$\angle GBC + \angle DAC = 180^\circ$ — במרובע חסום במעגל ( $DBCA$ ) סכום זוויות נגדיות הוא $180^\circ$
$\angle GAD + \angle DAC = 180^\circ$ — זוויות צמודות משלימות ל־ $180^\circ$
$\angle GAD = \angle GBC$ — שתי זוויות המשלימות את אותה זווית ל־ $180^\circ$ שוות זו לזו
$\triangle GBC \sim \triangle GAD$ — משפט הדמיון ז״ז

הפתרון:

\angle G = \angle G

זווית משותפת

\begin{aligned}\angle GAD &= 180^\circ - \angle DAC \\ &= \angle DBC \\ &= \angle GBC\end{aligned}

זווית צמודה, וזוויות נגדיות במרובע החסום $DBCA$

\triangle GBC \sim \triangle GAD

ז״ז. ההתאמה: $G \leftrightarrow G$ , $B \leftrightarrow A$ , $C \leftrightarrow D$

הזווית החיצונית של מרובע חסום שווה לזווית הפנימית שמולה. מההתאמה: $\frac{GB}{GA} = \frac{BC}{AD} = \frac{GC}{GD}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

נתון כי $\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}} = 15$ . ג. הבע באמצעות $R$ את אורך הצלע $R$ .

$AC =$ ____ $\cdot R$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $AC =$ 0.5 $\cdot R$

הפתרון:

\begin{aligned}S_{GBC} &= S_{GAD} + S_{DBCA} \\ &= 16 \, S_{GAD}\end{aligned}

המשולש $GBC$ מורכב מהמשולש $GAD$ ומהמרובע $DBCA$

\begin{aligned}\left(\frac{GB}{GA}\right)^2 &= 16 \Rightarrow \frac{GB}{GA} \\ &= 4\end{aligned}

יחס השטחים של משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון (סעיף ב)

\begin{aligned}GB &= BC \\ &= 2R\end{aligned}

המשולש $GBC$ שווה שוקיים (סעיף א), ו־ $BC$ קוטר

\begin{aligned}AC &= GA \\ &= \frac{2R}{4} \\ &= \frac{R}{2}\end{aligned}

$AC = \frac{R}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

נתון כי $\frac{S_{DBCA}}{S_{GAD}} = 15$ . דרך הנקודה $C$ העבירו משיק למעגל שחותך את המשך הקטע $BA$ בנקודה $E$ . ד. חשב פי כמה גדול שטח המשולש $CBE$ משטח המשולש $ABC$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.0667

הפתרון:

\begin{aligned}\angle BCE &= 90^\circ \\ &= \angle BAC\end{aligned}

המשיק מאונך לקוטר $BC$ בנקודת ההשקה, ו־ $\angle BAC$ היקפית על הקוטר

\triangle CBE \sim \triangle ABC

ז״ז: גם $\angle B$ משותפת. ההתאמה: $C \leftrightarrow A$ , $B \leftrightarrow B$ , $E \leftrightarrow C$

\begin{aligned}AB &= \sqrt{(2R)^2 - \left(\frac{R}{2}\right)^2} \\ &= \frac{\sqrt{15}}{2} R\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש $ABC$ , עם $AC = \frac{R}{2}$ (סעיף ג)

\begin{aligned}\frac{BC}{AB} &= \frac{2R}{\frac{\sqrt{15}}{2} R} \\ &= \frac{4}{\sqrt{15}}\end{aligned}

יחס הדמיון

\begin{aligned}\frac{S_{CBE}}{S_{ABC}} &= \left(\frac{4}{\sqrt{15}}\right)^2 \\ &= \frac{16}{15} \approx 1.067\end{aligned}

שטח המשולש $CBE$ גדול פי $\frac{16}{15}$ משטח המשולש $ABC$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — קוטר, מיתר ומשיק במעגל

תרגיל 22

א. הראה כי $\angle BAD = 90^\circ - \alpha$ .

$AB$ קוטר במעגל
$ED$ משיק למעגל בנקודה $D$
$\angle ADE = \alpha$

$\angle BAD = 90^\circ - \alpha$

להציג את התשובה והפתרון

$\angle ADB = 90^\circ$ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
$\angle ABD = \alpha$ — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על המיתר מצדו השני
$\angle BAD = 90^\circ - \alpha$ — סכום הזוויות במשולש $ABD$ הוא $180^\circ$

הפתרון:

\angle ADB = 90^\circ

זווית היקפית על הקוטר $AB$

\begin{aligned}\angle ABD &= \angle ADE \\ &= \alpha\end{aligned}

זווית בין משיק למיתר $AD$

\begin{aligned}\angle BAD &= 180^\circ - 90^\circ - \alpha \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $ABD$

$\angle BAD = 90^\circ - \alpha$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

נתון כי $ED = FD$ . ב. הבע באמצעות $\alpha$ את גודל $\alpha$ .

$\angle CDA = 90^\circ - 2\alpha$
$\angle CDA = 3\alpha$
$\angle CDA = 2\alpha$
$\angle CDA = 4\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\angle CDA = 3\alpha$

הפתרון:

\begin{aligned}\angle DAE &= 180^\circ - (90^\circ - \alpha) \\ &= 90^\circ + \alpha\end{aligned}

זווית צמודה ל־ $\angle BAD$ (סעיף א)

\begin{aligned}\angle AED &= 180^\circ - \alpha - (90^\circ + \alpha) \\ &= 90^\circ - 2\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $AED$

\begin{aligned}\angle DFE &= \angle DEF \\ &= 90^\circ - 2\alpha\end{aligned}

במשולש $EDF$ , $ED = FD$ : מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

\begin{aligned}\angle EDF &= 180^\circ - 2(90^\circ - 2\alpha) \\ &= 4\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש $EDF$

\begin{aligned}\angle CDA &= \angle EDF - \angle EDA \\ &= 4\alpha - \alpha \\ &= 3\alpha\end{aligned}

$F$ על המיתר $CD$

$\angle CDA = 3\alpha$ . המלכודת: $4\alpha$ היא כל הזווית $EDF$ , שכוללת גם את $\alpha$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

נתון כי $ED = FD$ . ג. הבע באמצעות $R$ ו־ $\alpha$ את שטח המשולש $\alpha$ .

$S_{AFD} = R^2 \sin^2\alpha \tan 2\alpha$
$S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 2\alpha \sin 3\alpha$
$S_{AFD} = R^2 \sin 3\alpha \tan 2\alpha$
$S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha$

הפתרון:

AD = 2R \sin\alpha

במשולש ישר הזווית $ADB$ : $AB = 2R$ ו־ $\angle ABD = \alpha$ (סעיף א)

\begin{aligned}\angle FAD &= 90^\circ - \alpha \\ \quad \angle AFD &= 90^\circ - 2\alpha \\ \quad \angle ADF &= 3\alpha\end{aligned}

הזוויות במשולש $AFD$ (סעיפים א, ב)

\begin{aligned}\frac{DF}{\sin(90^\circ - \alpha)} &= \frac{AD}{\sin(90^\circ - 2\alpha)} \Rightarrow DF \\ &= \frac{2R \sin\alpha \cos\alpha}{\cos 2\alpha} \\ &= R \tan 2\alpha\end{aligned}

משפט הסינוסים במשולש $AFD$ , ו־ $2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha$

\begin{aligned}S_{AFD} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF \cdot \sin 3\alpha \\ &= \frac{1}{2} \cdot 2R\sin\alpha \cdot R\tan 2\alpha \cdot \sin 3\alpha\end{aligned}

שטח משולש לפי שתי צלעות והזווית שביניהן

S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha

$S_{AFD} = R^2 \sin\alpha \sin 3\alpha \tan 2\alpha$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

נתון כי $ED = FD$ . ד (1). הבע באמצעות $\alpha$ את יחס השטחים $\alpha$ .

$\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}$
$\frac{\sin 3\alpha}{\cos\alpha}$
$\frac{\tan 2\alpha}{\tan\alpha}$
$\frac{\sin\alpha}{\sin 3\alpha}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}$

הפתרון:

DF = DE

נתון

\begin{aligned}S_{AFD} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF \cdot \sin 3\alpha \\ \quad S_{AED} &= \frac{1}{2} \cdot AD \cdot DE \cdot \sin\alpha\end{aligned}

$\angle ADF = 3\alpha$ (סעיף ב), $\angle ADE = \alpha$

\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}

$AD$ ו־ $DF = DE$ מצטמצמים

$\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = \frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha}$ (ובצורה אחרת: $1 + 2\cos 2\alpha$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

נתון כי $ED = FD$ . ד (2). נתון כי $\frac{S_{AFD}}{S_{AED}} = 1 + \sqrt{3}$ . מצא את $\alpha$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15

הפתרון:

\begin{aligned}\sin 3\alpha &= \sin(2\alpha + \alpha) \\ &= \sin 2\alpha \cos\alpha + \cos 2\alpha \sin\alpha \\ &= \sin\alpha \, (2\cos^2\alpha + \cos 2\alpha)\end{aligned}

סינוס של סכום, ו־ $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

\begin{aligned}\frac{\sin 3\alpha}{\sin\alpha} &= 2\cos^2\alpha + \cos 2\alpha \\ &= 1 + 2\cos 2\alpha\end{aligned}

$2\cos^2\alpha = 1 + \cos 2\alpha$

\begin{aligned}1 + 2\cos 2\alpha &= 1 + \sqrt{3} \Rightarrow \cos 2\alpha \\ &= \frac{\sqrt{3}}{2}\end{aligned}

לפי סעיף ד (1)

\begin{aligned}2\alpha &= 30^\circ \Rightarrow \alpha \\ &= 15^\circ\end{aligned}

במשולש $AED$ הזווית $90^\circ - 2\alpha$ חיובית, ולכן $0^\circ < 2\alpha < 90^\circ$

$\alpha = 15^\circ$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 6 — פונקציה רציונלית עם פרמטר

תרגיל 27

א. הבע את תשובותיך באמצעות $m$ , אם יש צורך. א (1). מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \neq m$
$x > \sqrt[3]{m}$
$x \neq \sqrt[3]{m}$
$x \neq \pm\sqrt{m}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x \neq \sqrt[3]{m}$

הפתרון:

(x^3 - m)^2 \neq 0

המכנה אינו יכול להיות אפס

x^3 \neq m \Rightarrow x \neq \sqrt[3]{m}

לשורש שלישי יש ערך אחד בלבד

תחום ההגדרה: $x \neq \sqrt[3]{m}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 28

א. הבע את תשובותיך באמצעות $m$ , אם יש צורך. א (2). מצא את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה $f(x)$ המאונכות לצירים.

$x = m$ ו־ $y = 0$
$x = \sqrt[3]{m}$ ו־ $y = 0$
$x = \sqrt[3]{m}$ בלבד
$x = \sqrt[3]{m}$ ו־ $y = 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = \sqrt[3]{m}$ ו־ $y = 0$

הפתרון:

x = \sqrt[3]{m}

המכנה מתאפס, והמונה $x^2$ אינו מתאפס שם (כי $m > 0$ )

x \to \pm\infty: \ \frac{x^2}{(x^3 - m)^2} \to 0

מעלת המונה $2$ קטנה ממעלת המכנה $6$

אסימפטוטה אנכית $x = \sqrt[3]{m}$ , ואסימפטוטה אופקית $y = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 29

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . ב. מצא את הערך של $m$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

f'(x) = \frac{2x(x^3 - m)^2 - x^2 \cdot 2(x^3 - m) \cdot 3x^2}{(x^3 - m)^4}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2x\left[(x^3 - m) - 3x^3\right]}{(x^3 - m)^3} \\ &= \frac{-2x(2x^3 + m)}{(x^3 - m)^3}\end{aligned}

מוציאים את הגורם $2x(x^3 - m)$ ומצמצמים

\begin{aligned}f'(-1) &= 0 \Rightarrow 2 \cdot (-1)^3 + m \\ &= 0\end{aligned}

בנקודת קיצון פנימית הנגזרת מתאפסת

m = 2

$m = 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 30

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ג. מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבע את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -1 $,$ 0.1111 $)$ ו־ $($ 0 $,$ 0 $)$ (משמאל לימין)

הפתרון:

f'(x) = \frac{-4x(x^3 + 1)}{(x^3 - 2)^3}

מציבים $m = 2$ בנגזרת מסעיף ב

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0 \ \text{או} \ x^3 \\ &= -1 \Rightarrow x \\ &= -1\end{aligned}

x < -1: f' > 0; \ -1 < x < 0: f' < 0; \ 0 < x < \sqrt[3]{2}: f' > 0

טבלת סימנים, והמכנה שלילי בתחום $x < \sqrt[3]{2}$

\begin{aligned}f(-1) &= \frac{1}{(-3)^2} \\ &= \frac{1}{9} \\ \quad f(0) &= 0\end{aligned}

מקסימום $\left(-1, \frac{1}{9}\right)$ ומינימום $(0, 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 31

הגרפים I–IV

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ד. סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחר את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

גרף IV
גרף I
גרף III
גרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף II

הפתרון:

f(x) = \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2} \ge 0

המונה והמכנה אינם שליליים: הגרף אינו יורד מתחת לציר ה־ $x$

\begin{aligned}x &= \sqrt[3]{2} \approx 1.26 \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות מסעיף א, מימין לציר ה־ $y$

\nearrow \left(-1, \tfrac{1}{9}\right) \searrow (0, 0) \nearrow +\infty \ \big| \ +\infty \searrow 0

מסעיף ג

גרף II: מקסימום נמוך ב־ $x = -1$ , נגיעה בראשית, עלייה אל האסימפטוטה $x = \sqrt[3]{2}$ , וענף ימני שיורד מ־ $+\infty$ אל $y = 0$ . גרף IV הוא $-f(x)$ , וגרפים I ו־III הם השיקופים שבהם האסימפטוטה משמאל.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 32

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ה. נתונה הפונקציה $g(x) = k \cdot f(x)$ ,‏ $k$ הוא פרמטר שלילי. ה (1). סרטט סקיצה אפשרית של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחר את התיאור שמתאים לסקיצה.

הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : מקסימום ב־ $x$ ומינימום ב־ $(0, 0)$
הגרף מתחת לציר ה־ $x$ , והאסימפטוטה האנכית שלו היא $x$
הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : מינימום ב־ $x = -1$ , מקסימום ב־ $(0, 0)$ , ירידה אל $-\infty$ ליד האסימפטוטה $x = \sqrt[3]{2}$ , וענף ימני שעולה מ־ $-\infty$ אל $y = 0$
הגרף כמו גרף $f(x)$ , מתוח לאורך ציר ה־ $y$ : מקסימום ב־ $y$ ומינימום ב־ $(0, 0)$ , מעל ציר ה־ $x$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג הגרף אינו עולה מעל ציר ה־ $x$ : מינימום ב־ $x = -1$ , מקסימום ב־ $(0, 0)$ , ירידה אל $-\infty$ ליד האסימפטוטה $x = \sqrt[3]{2}$ , וענף ימני שעולה מ־ $-\infty$ אל $y = 0$

הפתרון:

\begin{aligned}g(x) &= k \cdot f(x) \\ \quad k < 0\end{aligned}

כל ערך של $f$ מוכפל במספר שלילי: הגרף משתקף סביב ציר ה־ $x$ (ונמתח או מתכווץ)

g(x) \le 0

כי $f(x) \ge 0$

\begin{aligned}x &= \sqrt[3]{2} \\ \quad y &= 0\end{aligned}

האסימפטוטות אינן משתנות

\left(-1, \tfrac{k}{9}\right), \quad (0, 0)

סוג הקיצון מתהפך: מינימום ב־ $x = -1$ , מקסימום ב־ $(0, 0)$

הגרף של $g$ הוא שיקוף של גרף $f$ סביב ציר ה־ $f$ : מינימום ב־ $x$ ומקסימום בראשית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 33

ידוע כי לפונקציה $f(x)$ יש נקודת קיצון בנקודה שבה $x = (-1)$ . הצב בפונקציה $f(x)$ את הערך של $m$ שמצאת, וענה על הסעיפים ג–ה. ה. נתונה הפונקציה $g(x) = k \cdot f(x)$ ,‏ $k$ הוא פרמטר שלילי. ה (2). דרך נקודת הקיצון השמאלית של $g(x)$ מעבירים אנך לציר ה־ $x$ . נתון כי השטח המוגבל על ידי האנך, על ידי גרף הפונקציה $x$ ועל ידי ציר ה־ $x$ הוא $1$ (השטח שמימין לאנך). מצא את הערך של $1$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -18

הפתרון:

x = -1

האנך עובר בנקודת הקיצון השמאלית

\begin{aligned}S &= \int_{-1}^{0} \left(0 - g(x)\right)dx \\ &= -k\int_{-1}^{0} \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2}\,dx\end{aligned}

בתחום הזה $g(x) \le 0$ , והגרף פוגש את ציר ה־ $x$ ב־ $x = 0$

\int \frac{x^2}{(x^3 - 2)^2}\,dx = -\frac{1}{3(x^3 - 2)} + C

הנגזרת של $x^3 - 2$ היא $3x^2$

\begin{aligned}\left[-\frac{1}{3(x^3 - 2)}\right]_{-1}^{0} &= \frac{1}{6} - \frac{1}{9} \\ &= \frac{1}{18}\end{aligned}

\begin{aligned}-\frac{k}{18} &= 1 \Rightarrow k \\ &= -18\end{aligned}

$k = -18$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 7 — פונקציית שורש

תרגיל 34

א (1). מצא את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x \le$ ____ או $x \ge$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \le$ 0 או $x \ge$ 2

הפתרון:

x^2 - 2x \ge 0

הביטוי שבתוך השורש אינו שלילי

x(x - 2) \ge 0 \Rightarrow x \le 0 \ \text{או} \ x \ge 2

פרבולה ששורשיה $0$ ו־ $0$ , פתוחה כלפי מעלה

תחום ההגדרה: $x \le 0$ או $x \ge 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 35

א (2). מצא את תחום ההגדרה של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .

כל $x$ שונה מ־ $0$ ומ־ $2$
$x < 0$ או $x > 2$
$x \le 0$ או $x \ge 2$
$0 < x < 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x < 0$ או $x > 2$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 3 + 2 \cdot \frac{2x - 2}{2\sqrt{x^2 - 2x}} \\ &= 3 + \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}}\end{aligned}

נגזרת של שורש

x^2 - 2x > 0

השורש נמצא עכשיו במכנה: אי־שוויון חזק

תחום ההגדרה של $f'(x)$ : $x < 0$ או $x > 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 36

א (3). מצא את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ .

אנכיות (משמאל לימין): $x =$ ____ , $x =$ ____ ; אופקיות: $y =$ ____ (כאשר $x \to -\infty$ ) , $y =$ ____ (כאשר $x \to \infty$ )

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: אנכיות (משמאל לימין): $x =$ 0 , $x =$ 2 ; אופקיות: $y =$ 1 (כאשר $x \to -\infty$ ) , $y =$ 5 (כאשר $x \to \infty$ )

הפתרון:

x \to 0^-: \ \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} \to \frac{-2}{0^+} = -\infty

המכנה מתאפס והמונה לא

x \to 2^+: \ \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} \to \frac{2}{0^+} = +\infty

\sqrt{x^2 - 2x} = |x|\sqrt{1 - \tfrac{2}{x}}

מוציאים $x^2$ מן השורש

\begin{aligned}x \to \infty: f'(x) \to 3 + 2 &= 5; \quad x \to -\infty: f'(x) \to 3 - 2 \\ &= 1\end{aligned}

עבור $x < 0$ , $|x| = -x$

אסימפטוטות אנכיות $x = 0$ ו־ $x = 2$ ; אסימפטוטות אופקיות $y = 1$ (משמאל) ו־ $y = 5$ (מימין).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 37

א (4). מצא את שיעורי נקודת החיתוך של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ עם ציר ה־ $x$ . בתשובתך דייק שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -0.34 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}3 + \frac{2x - 2}{\sqrt{x^2 - 2x}} &= 0 \Rightarrow 2x - 2 \\ &= -3\sqrt{x^2 - 2x}\end{aligned}

2x - 2 < 0 \Rightarrow x < 1

אגף ימין אינו חיובי: רק $x < 0$ מן התחום מתאים

\begin{aligned}4(x - 1)^2 &= 9(x^2 - 2x) \Rightarrow 5x^2 - 10x - 4 \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע

\begin{aligned}x &= 1 \pm \frac{3}{\sqrt{5}}: \quad x \approx 2.34 \\ \ x \approx -0.34\end{aligned}

הפתרון $2.34$ נפסל: הוא גדול מ־ $2.34$ , ואינו מקיים את המשוואה לפני ההעלאה בריבוע

נקודת החיתוך: $(-0.34, 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 38

הגרפים I–IV

א (5). סרטט סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ , אם ידוע כי לפונקציית הנגזרת $f'(x)$ אין נקודות קיצון. בחר את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

גרף I
גרף II
גרף IV
גרף III

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף IV

הפתרון:

x < 0: \ y = 1 \searrow (-0.34, 0) \searrow -\infty

אין קיצון, ולכן הענף השמאלי יורד מ־ $y = 1$ דרך נקודת החיתוך אל האסימפטוטה $x = 0$

x > 2: \ +\infty \searrow y = 5

הענף הימני יורד מ־ $+\infty$ ומתקרב ל־ $y = 5$ מלמעלה

גרף IV. בגרף I הענפים עולים, והאסימפטוטה $y = 5$ משמאל; בגרף II הענף השמאלי אינו חותך את ציר ה־ $x$ ; בגרף III הענף הימני יוצא מ־ $-\infty$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 39

ב (1). מצא את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבע את סוגן.

$($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$ ו־ $($ ____ $,$ ____ $)$ (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -0.34 $,$ 0.76 $)$ , $($ 0 $,$ 0 $)$ ו־ $($ 2 $,$ 6 $)$ (משמאל לימין)

הפתרון:

x < -0.34: f' > 0; \quad -0.34 < x < 0: f' < 0; \quad x > 2: f' > 0

מן הסקיצה של $f'(x)$

f(-0.34) = 3 \cdot (-0.34) + 2\sqrt{(-0.34)^2 + 0.68} \approx 0.76

בערך המדויק $x = 1 - \frac{3}{\sqrt{5}}$ מקבלים $f = 3 - \sqrt{5}$

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(2) &= 6\end{aligned}

נקודות הקצה של תחום ההגדרה

מקסימום $(-0.34, 0.76)$ , מינימום קצה $(0, 0)$ (הפונקציה יורדת אליה), ומינימום קצה $(2, 6)$ (הפונקציה עולה ממנה).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 40

ב (2). סרטט סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחר את התיאור שמתאים לסקיצה.

שני ענפים שמתקרבים לאסימפטוטות האנכיות $x = 0$ ו־ $x = 2$
ענף שמאלי שעולה מ־ $-\infty$ עד מקסימום $(-0.34, 0.76)$ ויורד אל $(0, 0)$ , שם הוא נגמר; ענף ימני שמתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה אל $\infty$ ; בין $\infty$ ל־ $x = 2$ אין גרף
ענף שמאלי שיורד מ־ $\infty$ עד מינימום $(-0.34, 0.76)$ ועולה אל $(0, 0)$ ; ענף ימני שמתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה אל $\infty$
גרף רציף: עולה עד $(-0.34, 0.76)$ , יורד אל $(0, 0)$ , ועולה דרך $(2, 6)$ אל $\infty$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב ענף שמאלי שעולה מ־ $-\infty$ עד מקסימום $(-0.34, 0.76)$ ויורד אל $(0, 0)$ , שם הוא נגמר; ענף ימני שמתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה אל $\infty$ ; בין $\infty$ ל־ $x = 2$ אין גרף

הפתרון:

x \to -\infty: \ f(x) = 3x + 2|x|\sqrt{1 - \tfrac{2}{x}} \to -\infty

עבור $x < 0$ מקבלים בערך $3x - 2x = x$

\nearrow (-0.34, 0.76) \searrow (0, 0) \quad \big| \quad (2, 6) \nearrow \infty

מסעיף ב (1); אין גרף ב־ $0 < x < 2$

\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \ f(2) &= 6\end{aligned}

$f$ מוגדרת בנקודות הקצה: אין לה אסימפטוטה אנכית

שני ענפים: השמאלי עולה למקסימום ויורד לראשית, הימני מתחיל ב־ $(2, 6)$ ועולה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 41

ג. האם ייתכן שישר שמשוואתו $y = 4x + c$ ( $c$ פרמטר) ישיק לגרף הפונקציה $c$ ? נמק.

כן: לכל ערך של $c$ הישר חותך את גרף הפונקציה
לא: שיפוע המשיק הוא $f'(x)$ , וערכי $f'(x)$ הם $f'(x) < 1$ או $f'(x) > 5$ ; השיפוע $4$ אינו ביניהם
כן: בענף הימני $f'(x)$ מקבל את הערך $4$
לא: כי הפונקציה $f(x)$ אינה מוגדרת בתחום $0 < x < 2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא: שיפוע המשיק הוא $f'(x)$ , וערכי $f'(x)$ הם $f'(x) < 1$ או $f'(x) > 5$ ; השיפוע $4$ אינו ביניהם

הפתרון:

f'(x_0) = 4

הישר משיק לגרף רק אם יש נקודה $x_0$ שבה שיפוע המשיק, $f'(x_0)$ , שווה ל־ $4$

x < 0: \ f'(x) < 1; \quad x > 2: \ f'(x) > 5

מן הסקיצה של $f'(x)$ : כל ענף יורד בין האסימפטוטות שלו

f'(x) = 4 \ \text{אין פתרון}

לא ייתכן: אין נקודה שבה שיפוע המשיק הוא $4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 8 — בעיית קיצון: סכר בין שתי תעלות

תרגיל 42

א. הבע באמצעות $b$ , $b$ ו־ $x$ את אורך הסכר $x$ .

$AB = \frac{a + b}{\sin x}$
$AB = a\cos x + b\sin x$
$AB = \frac{a}{\sin x} + \frac{b}{\cos x}$
$AB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $AB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}$

הפתרון:

0 < x < \frac{\pi}{2}

$x$ היא זווית חדה

\angle ACE = x

נעביר מ־ $A$ אנך $AE$ לישר $DC$ : הזווית בין $CA$ לבין המשך $DC$ שווה ל־ $x$ (זוויות קודקודיות)

\begin{aligned}\cos x &= \frac{a}{AC} \Rightarrow AC \\ &= \frac{a}{\cos x}\end{aligned}

במשולש $ACE$ ישר הזווית, הניצב $CE$ הוא רוחב התעלה הראשית $a$

\begin{aligned}\sin x &= \frac{b}{BC} \Rightarrow BC \\ &= \frac{b}{\sin x}\end{aligned}

נעביר מ־ $B$ אנך לישר $B$ : אורכו רוחב התעלה המשנית $b$ , והוא מול הזווית $b$

\begin{aligned}AB &= AC + CB \\ &= \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}\end{aligned}

$AB = \frac{a}{\cos x} + \frac{b}{\sin x}$ , בתחום $0 < x < \frac{\pi}{2}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 43

נתון כי $a = 2b$ . ב. מצא את $x$ שבעבורו אורך הסכר $AB$ יהיה מינימלי.

$x \approx$ ____ רדיאנים (בערך ____°)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x \approx$ 0.671 רדיאנים (בערך 38.44°)

הפתרון:

\begin{aligned}L(x) &= \frac{2b}{\cos x} + \frac{b}{\sin x} \\ \quad 0 < x < \frac{\pi}{2}\end{aligned}

מציבים $a = 2b$

L'(x) = \frac{2b\sin x}{\cos^2 x} - \frac{b\cos x}{\sin^2 x}

\begin{aligned}L'(x) &= 0 \iff 2\sin^3 x \\ &= \cos^3 x \iff \tan^3 x \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

$b > 0$ , ומכפילים ב־ $\sin^2 x \cos^2 x > 0$

\tan x = \sqrt[3]{0.5} \approx 0.794 \Rightarrow x \approx 0.671

בתחום יש פתרון אחד

\begin{aligned}x &= 0.5: L' < 0; \quad x \\ &= 1: L' > 0\end{aligned}

$L$ יורדת ואחר כך עולה: מינימום

$L$ רדיאנים, כלומר בערך $38.44°$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 44

נתון כי $a = 2b$ . ג. ידוע כי האורך המינימלי של הסכר הוא $8$ . מצא את $b$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.922

הפתרון:

L(0.671) = b\left(\frac{2}{\cos 0.671} + \frac{1}{\sin 0.671}\right) \approx 4.162\,b

מציבים את $x$ שמצאנו בסעיף ב

4.162\,b = 8 \Rightarrow b \approx 1.922

$b \approx 1.922$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת