בגרות 35571 — קיץ 2022

ב-elev השיעור הזה מגיע עם סרטון, תרגילים שנבדקים מיד ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev
לצפות בסרטון השיעור

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 035571 (5 יחידות לימוד, שאלון ראשון), קיץ תשפ״ב, 2022. משך הבחינה: שלוש שעות וחצי. ענו על חמש מן השאלות 1–8 (לכל שאלה – 20 נקודות). פרק ראשון – "שאלות קצרות", סדרות והסתברות: שאלות 1–3. פרק שני – גאומטרייה וטריגונומטרייה במישור: שאלות 4–5. פרק שלישי – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פולינומים, של פונקציות שורש, של פונקציות רציונליות ושל פונקציות טריגונומטריות: שאלות 6–8. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות שאלות 2, 4 ו־8 של הבחינה, כדי שתוכלו להתאמן בהן. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש להוכיח הפך כאן לבניית הוכחה, סעיף שמבקש להביע או לנמק הפך לבחירה בין תשובות, והפתרון המלא מופיע בסוף.

תרגילים

שאלה 2 — סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

תרגיל 1

א (1). הביעו את qq באמצעות rr.

q=q = ____ ⋅r\cdot r

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: q=q = 3 ⋅r\cdot r

הפתרון:

b1=a1b2b3=a2\begin{aligned}b_1 &= a_1 \\ \quad b_2 \\ \quad b_3 &= a_2\end{aligned}

האיבר הנוסף נכנס בין a1a_1 ל־a2a_2

b3=b1⋅q2b_3 = b_1 \cdot q^2

נוסחת האיבר הכללי בסדרה IIII

a2=a1⋅9r2a_2 = a_1 \cdot 9r^2

נוסחת האיבר הכללי בסדרה II

q2=9r2q^2 = 9r^2

משווים: b3=a2b_3 = a_2 ו־b1=a1b_1 = a_1

q=3rאוq=−3r\begin{aligned}q &= 3r \quad \text{או} \quad q \\ &= -3r\end{aligned}

מוציאים שורש

q=3rq = 3r

סדרה IIII יורדת, ולכן q>0q > 0

q=3rq = 3r.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

א (2). הסבירו מדוע שתי הסדרות II ו־IIII מתכנסות.

  1. כי 9r2>3r9r^2 > 3r, ולכן סדרה II יורדת מהר יותר.
  2. כי האיבר הראשון של שתי הסדרות שווה.
  3. כי 0<r<130 < r < \frac{1}{3}, ולכן 0<9r2<10 < 9r^2 < 1 וגם 0<3r<10 < 3r < 1: המנה של כל סדרה בין −1-1 ל־11, ושונה מ־00.
  4. כי שתי הסדרות יורדות, וכל סדרה הנדסית יורדת מתכנסת.
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג כי 0<r<130 < r < \frac{1}{3}, ולכן 0<9r2<10 < 9r^2 < 1 וגם 0<3r<10 < 3r < 1: המנה של כל סדרה בין −1-1 ל־11, ושונה מ־00.

הפתרון:

0<r<130 < r < \frac{1}{3}

נתון

0<3r<10 < 3r < 1

כופלים ב־33

0<9r2<10 < 9r^2 < 1

מעלים בריבוע: שני האגפים חיוביים

∣q∣<1, q≠0ו־∣9r2∣<1, 9r2≠0|q| < 1, \ q \neq 0 \quad \text{ו־} \quad |9r^2| < 1, \ 9r^2 \neq 0

תנאי ההתכנסות של סדרה הנדסית אין־סופית

המנה של כל אחת מהסדרות נמצאת בין 00 ל־11, ולכן שתיהן מתכנסות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון כי סכום סדרה IIII גדול פי 43\frac{4}{3} מסכום סדרה II. ב. חשבו את qq.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3333

הפתרון:

SII=b11−qS_{II} = \frac{b_1}{1 - q}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

SI=a11−9r2=b11−q2\begin{aligned}S_{I} &= \frac{a_1}{1 - 9r^2} \\ &= \frac{b_1}{1 - q^2}\end{aligned}

a1=b1a_1 = b_1 ו־9r2=q29r^2 = q^2

b11−q=43⋅b11−q2\frac{b_1}{1 - q} = \frac{4}{3} \cdot \frac{b_1}{1 - q^2}

נתון: SII=43SIS_{II} = \frac{4}{3} S_{I}

11−q=43⋅1(1−q)(1+q)\frac{1}{1 - q} = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{(1 - q)(1 + q)}

מחלקים ב־b1≠0b_1 \neq 0 ומפרקים 1−q21 - q^2

1=43⋅11+q1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{1 + q}

כופלים ב־1−q≠01 - q \neq 0

1+q=431 + q = \frac{4}{3}

כופלים ב־1+q1 + q

q=13q = \frac{1}{3}

מחסירים 11

q=13q = \frac{1}{3} (ולכן r=19r = \frac{1}{9}).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון כי סכום סדרה IIII גדול פי 43\frac{4}{3} מסכום סדרה II. נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה IIII הוא 1212. ג. מצאו את סכום כל האיברים של סדרה IIII במקומות שמתחלקים ב־55 (b5,b10,b15,… )(b_5, b_{10}, b_{15}, \dots).

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.3967

הפתרון:

b2,b4,b6,…b_2, b_4, b_6, \dots

האיברים במקומות הזוגיים: סדרה הנדסית

איבר ראשון b1q,מנה q2\text{איבר ראשון } b_1 q, \quad \text{מנה } q^2

b2=b1qb_2 = b_1 q, ובין שני איברים זוגיים יש שני צעדים

b1q1−q2=12\frac{b_1 q}{1 - q^2} = 12

נתון

b1⋅1389=12\frac{b_1 \cdot \frac{1}{3}}{\frac{8}{9}} = 12

מציבים q=13q = \frac{1}{3}

38b1=12\frac{3}{8} b_1 = 12

מפשטים

b1=32b_1 = 32

כופלים ב־83\frac{8}{3}

b5=b1q4=32⋅181=3281\begin{aligned}b_5 &= b_1 q^4 \\ &= 32 \cdot \frac{1}{81} \\ &= \frac{32}{81}\end{aligned}

האיבר הראשון של הסדרה החדשה

מנה q5=1243\text{מנה } q^5 = \frac{1}{243}

בין b5b_5 ל־b10b_{10} יש חמישה צעדים

32811−1243=3281⋅243242\frac{\frac{32}{81}}{1 - \frac{1}{243}} = \frac{32}{81} \cdot \frac{243}{242}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

=96242=48121≈0.397= \frac{96}{242} = \frac{48}{121} \approx 0.397

מצמצמים

הסכום הוא 48121≈0.397\frac{48}{121} \approx 0.397.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון כי סכום סדרה IIII גדול פי 43\frac{4}{3} מסכום סדרה II. נתון כי סכום האיברים במקומות הזוגיים בסדרה IIII הוא 1212. ד. מצאו בסדרה IIII את היחס בין האיבר החמישי לבין סכום כל האיברים שאחרי איבר זה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

b6+b7+b8+…b_6 + b_7 + b_8 + \dots

האיברים שאחרי b5b_5: סדרה הנדסית שמנתה qq

=b61−q=b5q1−q= \frac{b_6}{1 - q} = \frac{b_5 q}{1 - q}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית, b6=b5qb_6 = b_5 q

b5b5q1−q=1−qq\frac{b_5}{\frac{b_5 q}{1 - q}} = \frac{1 - q}{q}

מחלקים ומצמצמים ב־b5≠0b_5 \neq 0

=2313=2= \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{3}} = 2

מציבים q=13q = \frac{1}{3}

היחס הוא 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

ה. הוכיחו כי בכל סדרה הנדסית מתכנסת היחס בין איבר כלשהו לבין סכום כל האיברים שאחריו אינו תלוי במיקום של האיבר בסדרה.

  • c1,c2,c3,…c_1, c_2, c_3, \dots סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת שמנתה qq
  • 0<∣q∣<10 < |q| < 1 , c1≠0c_1 \neq 0
  • cnc_n איבר כלשהו בסדרה

היחס cncn+1+cn+2+…\frac{c_n}{c_{n+1} + c_{n+2} + \dots} אינו תלוי ב־nn

להציג את התשובה והפתרון
  1. cn+1=cn⋅qc_{n+1} = c_n \cdot q — הגדרת סדרה הנדסית
  2. cn+1+cn+2+⋯=cnq1−qc_{n+1} + c_{n+2} + \dots = \frac{c_n q}{1 - q} — סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת שאיברה הראשון cn+1c_{n+1} ומנתה qq
  3. cncn+1+cn+2+…=1−qq\frac{c_n}{c_{n+1} + c_{n+2} + \dots} = \frac{1 - q}{q} — מחלקים ומצמצמים ב־cn≠0c_n \neq 0
  4. היחס cncn+1+cn+2+…\frac{c_n}{c_{n+1} + c_{n+2} + \dots} אינו תלוי ב־nn — הביטוי 1−qq\frac{1 - q}{q} תלוי במנה qq בלבד

הפתרון:

cn+1=cnqc_{n+1} = c_n q

הגדרת סדרה הנדסית

cn+1+cn+2+⋯=cnq1−qc_{n+1} + c_{n+2} + \dots = \frac{c_n q}{1 - q}

סכום סדרה הנדסית אין־סופית מתכנסת

cncnq1−q=1−qq\frac{c_n}{\frac{c_n q}{1 - q}} = \frac{1 - q}{q}

מצמצמים ב־cn≠0c_n \neq 0

1−qq\frac{1 - q}{q}

אין בו nn: היחס אינו תלוי במיקום

היחס שווה ל־1−qq\frac{1 - q}{q} לכל nn, ולכן אינו תלוי במיקום האיבר. בסדרה IIII זה היחס 22 של סעיף ד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — מעגל, משיק ומשולשים דומים

תרגיל 7

א. הביעו את כל זוויות המשולש ABGABG באמצעות α\alpha.

  1. ∠ABG=α\angle ABG = \alpha , ∠AGB=90∘−α\angle AGB = 90^\circ - \alpha , ∠BAG=90∘\angle BAG = 90^\circ
  2. ∠ABG=90∘−α\angle ABG = 90^\circ - \alpha , ∠AGB=α\angle AGB = \alpha , ∠BAG=90∘\angle BAG = 90^\circ
  3. ∠ABG=90∘+α\angle ABG = 90^\circ + \alpha , ∠AGB=90∘−α\angle AGB = 90^\circ - \alpha , ∠BAG=0∘\angle BAG = 0^\circ
  4. ∠ABG=90∘−α\angle ABG = 90^\circ - \alpha , ∠AGB=90∘−α\angle AGB = 90^\circ - \alpha , ∠BAG=2α\angle BAG = 2\alpha
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד ∠ABG=90∘−α\angle ABG = 90^\circ - \alpha , ∠AGB=90∘−α\angle AGB = 90^\circ - \alpha , ∠BAG=2α\angle BAG = 2\alpha

הפתרון:

∠DBC=90∘\angle DBC = 90^\circ

זווית היקפית הנשענת על הקוטר DCDC

∠ABC=∠BDC=α\begin{aligned}\angle ABC &= \angle BDC \\ &= \alpha\end{aligned}

הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר

∠ABD=∠ABC+∠CBD=α+90∘\begin{aligned}\angle ABD &= \angle ABC + \angle CBD \\ &= \alpha + 90^\circ\end{aligned}

חיבור זוויות

∠ABG=180∘−(90∘+α)=90∘−α\begin{aligned}\angle ABG &= 180^\circ - (90^\circ + \alpha) \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

זוויות צמודות: DD, BB, GG על ישר אחד

∠DAG=90∘\angle DAG = 90^\circ

נתון: AG⊥ADAG \perp AD

∠AGB=180∘−90∘−α=90∘−α\begin{aligned}\angle AGB &= 180^\circ - 90^\circ - \alpha \\ &= 90^\circ - \alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ADGADG

∠BAG=180∘−2(90∘−α)=2α\begin{aligned}\angle BAG &= 180^\circ - 2(90^\circ - \alpha) \\ &= 2\alpha\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABGABG

∠ABG=∠AGB=90∘−α\angle ABG = \angle AGB = 90^\circ - \alpha, ו־∠BAG=2α\angle BAG = 2\alpha. המשולש ABGABG שווה שוקיים: AB=AGAB = AG.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

ב. הוכיחו: ABAC=DBBC\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}.

  • ABAB משיק למעגל בנקודה BB
  • ADAD עובר דרך המרכז OO: DCDC קוטר
  • AG⊥ADAG \perp AD
  • DD, BB, GG על ישר אחד
  • ∠ADB=α\angle ADB = \alpha

ABAC=DBBC\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠BAC=∠DAB\angle BAC = \angle DAB — זווית משותפת
  2. ∠ABC=∠ADB=α\angle ABC = \angle ADB = \alpha — הזווית בין משיק למיתר שווה לזווית ההיקפית הנשענת על אותו מיתר
  3. △ABC∼△ADB\triangle ABC \sim \triangle ADB — משפט דמיון ז.ז.
  4. ACAB=BCDB\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{DB} — במשולשים דומים יחס הצלעות המתאימות שווה
  5. ABAC=DBBC\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC} — היפוך שני האגפים של שוויון

הפתרון:

∠BAC=∠DAB\angle BAC = \angle DAB

זווית משותפת

∠ABC=∠ADB=α\begin{aligned}\angle ABC &= \angle ADB \\ &= \alpha\end{aligned}

זווית בין משיק למיתר

△ABC∼△ADB\triangle ABC \sim \triangle ADB

ז.ז.

ACAB=BCDB\frac{AC}{AB} = \frac{BC}{DB}

יחס צלעות מתאימות

ABAC=DBBC\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}

היפוך שני האגפים

מהדמיון △ABC∼△ADB\triangle ABC \sim \triangle ADB נובע ABAC=DBBC\frac{AB}{AC} = \frac{DB}{BC}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון: AC=12DCAC = \frac{1}{2}DC , AG=8AG = 8. ג. חשבו את RR.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.6188

הפתרון:

AB=AG=8\begin{aligned}AB &= AG \\ &= 8\end{aligned}

המשולש ABGABG שווה שוקיים (סעיף א)

DC=2RDC = 2R

DCDC קוטר

AC=12⋅2R=R\begin{aligned}AC &= \frac{1}{2} \cdot 2R \\ &= R\end{aligned}

נתון AC=12DCAC = \frac{1}{2}DC

AD=AC+CD=R+2R=3R\begin{aligned}AD &= AC + CD \\ &= R + 2R \\ &= 3R\end{aligned}

חיבור קטעים

ABAD=ACAB\frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AB}

מהדמיון △ABC∼△ADB\triangle ABC \sim \triangle ADB (סעיף ב)

AB2=AC⋅ADAB^2 = AC \cdot AD

כפל בהצלבה

82=R⋅3R8^2 = R \cdot 3R

מציבים

3R2=643R^2 = 64
R2=643R^2 = \frac{64}{3}

מחלקים ב־33

R=83≈4.619R = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.619

מוציאים שורש, R>0R > 0

R=83≈4.619R = \frac{8}{\sqrt{3}} \approx 4.619.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון: AC=12DCAC = \frac{1}{2}DC , AG=8AG = 8. נסמן ב־SS את שטח המשולש BDCBDC. ד (1). הוכיחו: △ADG∼△BDC\triangle ADG \sim \triangle BDC.

  • ABAB משיק למעגל בנקודה BB
  • ADAD עובר דרך המרכז OO: DCDC קוטר
  • AG⊥ADAG \perp AD
  • DD, BB, GG על ישר אחד
  • ∠ADB=α\angle ADB = \alpha

△ADG∼△BDC\triangle ADG \sim \triangle BDC

להציג את התשובה והפתרון
  1. ∠ADG=∠BDC\angle ADG = \angle BDC — זווית משותפת
  2. ∠DAG=90∘\angle DAG = 90^\circ — נתון: AG⊥ADAG \perp AD
  3. ∠DBC=90∘\angle DBC = 90^\circ — זווית היקפית הנשענת על קוטר היא זווית ישרה
  4. △ADG∼△BDC\triangle ADG \sim \triangle BDC — משפט דמיון ז.ז.

הפתרון:

∠ADG=∠BDC\angle ADG = \angle BDC

זווית משותפת

∠DAG=∠DBC=90∘\begin{aligned}\angle DAG &= \angle DBC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

נתון, וזווית היקפית על קוטר

△ADG∼△BDC\triangle ADG \sim \triangle BDC

ז.ז.

שתי זוויות שוות: △ADG∼△BDC\triangle ADG \sim \triangle BDC, כאשר A↔BA \leftrightarrow B, D↔DD \leftrightarrow D, G↔CG \leftrightarrow C.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתון: AC=12DCAC = \frac{1}{2}DC , AG=8AG = 8. נסמן ב־SS את שטח המשולש BDCBDC. ד (2). הביעו את שטח המשולש ADGADG באמצעות SS.

  1. SADG=3 SS_{ADG} = \sqrt{3}\,S
  2. SADG=2SS_{ADG} = 2S
  3. SADG=9SS_{ADG} = 9S
  4. SADG=3SS_{ADG} = 3S
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד SADG=3SS_{ADG} = 3S

הפתרון:

AD=3R=243=83\begin{aligned}AD &= 3R \\ &= \frac{24}{\sqrt{3}} \\ &= 8\sqrt{3}\end{aligned}

מסעיף ג

DBBC=ABAC=8R=3\begin{aligned}\frac{DB}{BC} &= \frac{AB}{AC} \\ &= \frac{8}{R} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

מסעיף ב

DB=3 BCDB = \sqrt{3}\,BC
DB2+BC2=DC2=4R2\begin{aligned}DB^2 + BC^2 &= DC^2 \\ &= 4R^2\end{aligned}

משפט פיתגורס במשולש BDCBDC

3BC2+BC2=25633BC^2 + BC^2 = \frac{256}{3}

מציבים

BC2=643BC^2 = \frac{64}{3}

מחלקים ב־44

DB2=3⋅643=64⇒DB=8\begin{aligned}DB^2 &= 3 \cdot \frac{64}{3} \\ &= 64 \Rightarrow DB \\ &= 8\end{aligned}
k=ADBD=838=3\begin{aligned}k &= \frac{AD}{BD} \\ &= \frac{8\sqrt{3}}{8} \\ &= \sqrt{3}\end{aligned}

יחס הדמיון (סעיף ד (1))

SADGS=k2=3\begin{aligned}\frac{S_{ADG}}{S} &= k^2 \\ &= 3\end{aligned}

יחס השטחים שווה לריבוע יחס הדמיון

SADG=3SS_{ADG} = 3S

SADG=3SS_{ADG} = 3S. המלכודת: 3S\sqrt{3}S — יחס השטחים הוא ריבוע יחס הדמיון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 8 — בעיית קיצון: משולש בין שני גרפים

תרגיל 12

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקצייה f(x)f(x) ואת תחום ההגדרה של הפונקצייה g(x)g(x).

f(x)f(x): כל xx ; g(x)g(x): x≥x \geq ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: f(x)f(x): כל xx ; g(x)g(x): x≥x \geq 0

הפתרון:

f(x)=x3f(x) = x^3

פולינום: מוגדר לכל xx

g(x)=x3⇒x3≥0g(x) = \sqrt{x^3} \Rightarrow x^3 \geq 0

ביטוי שבתוך שורש ריבועי אינו שלילי

x3≥0  ⟺  x≥0x^3 \geq 0 \iff x \geq 0

לחזקה שלישית יש אותו סימן כמו לבסיס

f(x)f(x) מוגדרת לכל xx, ו־g(x)g(x) מוגדרת עבור x≥0x \geq 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

א (2). מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקצייה f(x)f(x) עם גרף הפונקצייה g(x)g(x).

(( ____ ,, ____ )) ו־(( ____ ,, ____ )) (משמאל לימין)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: (( 0 ,, 0 )) ו־(( 1 ,, 1 )) (משמאל לימין)

הפתרון:

x3=x3x≥0\begin{aligned}x^3 &= \sqrt{x^3} \\ \quad x \geq 0\end{aligned}

משווים את שתי הפונקציות בתחום ההגדרה של gg

(x3)2=x3⇒x3(x3−1)=0\begin{aligned}(x^3)^2 &= x^3 \Rightarrow x^3(x^3 - 1) \\ &= 0\end{aligned}

מעלים בריבוע: שני האגפים אינם שליליים

x=0 או x=1\begin{aligned}x &= 0 \ \text{או} \ x \\ &= 1\end{aligned}
f(0)=0f(1)=1\begin{aligned}f(0) &= 0 \\ \quad f(1) &= 1\end{aligned}

מציבים כדי לקבל את שיעור ה־yy

נקודות החיתוך: (0,0)(0, 0) ו־(1,1)(1, 1).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקצייה f(x)f(x), והנקודה BB נמצאת על גרף הפונקצייה g(x)g(x) כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה־xx. נתון כי שיעור ה־xx של הנקודה AA נמצא בין שיעורי ה־xx של נקודות החיתוך של הפונקצייה f(x)f(x) עם הפונקצייה g(x)g(x). נסמן ב־tt את שיעור ה־xx של הנקודה AA. tt הוא פרמטר. ב. הביעו באמצעות tt את אורך הקטע ABAB.

  1. AB=t2−t3AB = t^2 - t^3
  2. AB=t3−t2AB = t^3 - t^2
  3. AB=t−t2AB = t - t^2
  4. AB=t3−t3AB = \sqrt{t^3} - t^3
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א AB=t2−t3AB = t^2 - t^3

הפתרון:

0<t<10 < t < 1

tt נמצא בין שיעורי ה־xx של נקודות החיתוך

A(t,t3)A(t, t^3)

AA על גרף ff

x3=t3⇒x3=t6⇒x=t2\begin{aligned}\sqrt{x^3} &= t^3 \Rightarrow x^3 \\ &= t^6 \Rightarrow x \\ &= t^2\end{aligned}

ל־BB אותו שיעור yy כמו ל־AA, כי ABAB מקביל לציר ה־xx

B(t2,t3)B(t^2, t^3)
t2>t3 כי 0<t<1t^2 > t^3 \ \text{כי} \ 0 < t < 1

BB מימין ל־AA

AB=t2−t3AB = t^2 - t^3

הפרש שיעורי ה־xx

AB=t2−t3AB = t^2 - t^3, בתחום 0<t<10 < t < 1. המלכודת: t3−t3\sqrt{t^3} - t^3 הוא הפרש שיעורי ה־yy של שני הגרפים, לא אורך קטע אופקי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקצייה f(x)f(x), והנקודה BB נמצאת על גרף הפונקצייה g(x)g(x) כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה־xx. נתון כי שיעור ה־xx של הנקודה AA נמצא בין שיעורי ה־xx של נקודות החיתוך של הפונקצייה f(x)f(x) עם הפונקצייה g(x)g(x). נסמן ב־tt את שיעור ה־xx של הנקודה AA. tt הוא פרמטר. ג. הנקודה OO היא ראשית הצירים. מצאו את השטח המקסימלי של המשולש OABOAB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.03349

הפתרון:

h=t3h = t^3

הגובה מ־OO אל הקטע ABAB הוא המרחק של ABAB מציר ה־xx

S(t)=AB⋅h2=(t2−t3) t32=t5−t62\begin{aligned}S(t) &= \frac{AB \cdot h}{2} \\ &= \frac{(t^2 - t^3)\, t^3}{2} \\ &= \frac{t^5 - t^6}{2}\end{aligned}
S′(t)=5t4−6t52=t4(5−6t)2\begin{aligned}S'(t) &= \frac{5t^4 - 6t^5}{2} \\ &= \frac{t^4(5 - 6t)}{2}\end{aligned}

גוזרים

S′(t)=0⇒t=56\begin{aligned}S'(t) &= 0 \Rightarrow t \\ &= \frac{5}{6}\end{aligned}

t=0t = 0 מחוץ לתחום 0<t<10 < t < 1

0<t<56:S′>0;56<t<1:S′<00 < t < \frac{5}{6}: S' > 0; \quad \frac{5}{6} < t < 1: S' < 0

עלייה ואחר כך ירידה: מקסימום

S(56)=12(56)5⋅16=312593312≈0.0335\begin{aligned}S\left(\frac{5}{6}\right) &= \frac{1}{2}\left(\frac{5}{6}\right)^5 \cdot \frac{1}{6} \\ &= \frac{3125}{93312} \approx 0.0335\end{aligned}

מציבים

השטח המקסימלי הוא 312593312≈0.0335\frac{3125}{93312} \approx 0.0335, ב־t=56t = \frac{5}{6}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

הנקודה AA נמצאת על גרף הפונקצייה f(x)f(x), והנקודה BB נמצאת על גרף הפונקצייה g(x)g(x) כך שהקטע ABAB מקביל לציר ה־xx. נתון כי שיעור ה־xx של הנקודה AA נמצא בין שיעורי ה־xx של נקודות החיתוך של הפונקצייה f(x)f(x) עם הפונקצייה g(x)g(x). נסמן ב־tt את שיעור ה־xx של הנקודה AA. tt הוא פרמטר. ד. האם השטח המקסימלי של המשולש OABOAB מתקבל כאשר אורך הקטע ABAB הוא מקסימלי? נמקו את התשובה.

  1. לא: ABAB מקסימלי ב־t=1t = 1
  2. לא: ABAB מקסימלי ב־t=23t = \frac{2}{3}, והשטח מקסימלי ב־t=56t = \frac{5}{6}
  3. כן: שטח משולש תלוי רק באורך הבסיס
  4. כן: שניהם מקסימליים ב־t=56t = \frac{5}{6}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב לא: ABAB מקסימלי ב־t=23t = \frac{2}{3}, והשטח מקסימלי ב־t=56t = \frac{5}{6}

הפתרון:

AB(t)=t2−t3AB′(t)=2t−3t2=t(2−3t)\begin{aligned}AB(t) &= t^2 - t^3 \\ \quad AB'(t) &= 2t - 3t^2 \\ &= t(2 - 3t)\end{aligned}

גוזרים את אורך הקטע

AB′(t)=0⇒t=23\begin{aligned}AB'(t) &= 0 \Rightarrow t \\ &= \frac{2}{3}\end{aligned}

עלייה ואחר כך ירידה: מקסימום

23≠56\frac{2}{3} \neq \frac{5}{6}

השטח מקסימלי ב־t=56t = \frac{5}{6} (סעיף ג)

לא. ABAB מקסימלי ב־t=23t = \frac{2}{3}, אבל השטח מקסימלי ב־t=56t = \frac{5}{6}: גם הגובה t3t^3 משתנה עם tt, ולכן הבסיס הגדול ביותר אינו נותן את השטח הגדול ביותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת