סימולציית בגרות 1

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

סימולציית בגרות 1 — שאלון 35572, 5 יח״ל. שני פרקים, 5 שאלות, שעתיים וחצי. עונים על 3 שאלות, לפחות שאלה אחת מכל פרק. לכל שאלה 331333\tfrac{1}{3} נקודות. פרק ראשון — גאומטריה אנליטית, וקטורים ומספרים מרוכבים: שאלות 1, 2 ו-3. פרק שני — גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4 ו-5. מותר להשתמש בנוסחאון ל-5 יח״ל ובמחשבון שאינו גרפי. שאלה 1: מעגל, משיק ומקום גאומטרי. שאלה 2: וקטורים בתיבה. שאלה 3: מספרים מרוכבים. שאלה 4: פונקציה מעריכית עם פרמטר. שאלה 5: פונקציה לוגריתמית.

כאן כתובות כל חמש השאלות, כדי שתוכלו להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. כל סעיף מזכיר את מה שנמצא לפניו, כך שאפשר להמשיך גם אם נתקעתם. לפני שמתחילים, הקדישו חמש דקות לבחירה: שאלה אחת לפחות מהפרק הראשון, ואחת לפחות מהשני.

תרגילים

שאלה 1 — מעגל, משיק ומקום גאומטרי

תרגיל 1

נתון המעגל (x−3)2+(y−2)2=25(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25, והנקודה A(6,6)A(6, 6) עליו. א. מהם המרכז CC והרדיוס של המעגל?

  1. C(3, 2)C(3,\ 2), R=25R = 25
  2. C(2, 3)C(2,\ 3), R=5R = 5
  3. C(−3, −2)C(-3,\ -2), R=5R = 5
  4. C(3, 2)C(3,\ 2), R=5R = 5
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד C(3, 2)C(3,\ 2), R=5R = 5

הפתרון:

(x−a)2+(y−b)2=R2(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2

C(3,2)C(3, 2), R=5R = 5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

נתון המעגל (x−3)2+(y−2)2=25(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25, והנקודה A(6,6)A(6, 6) עליו. ב. מהי משוואת המשיק למעגל בנקודה AA?

  1. 4x−3y=64x - 3y = 6
  2. 3x+4y=423x + 4y = 42
  3. 3x−4y=−63x - 4y = -6
  4. 4x+3y=424x + 3y = 42
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 3x+4y=423x + 4y = 42

הפתרון:

mCA=6−26−3=43\begin{aligned}m_{CA} &= \tfrac{6 - 2}{6 - 3} \\ &= \tfrac{4}{3}\end{aligned}
m=−34 ; y−6=−34(x−6)\begin{aligned}m &= -\tfrac{3}{4} \ ; \ y - 6 \\ &= -\tfrac{3}{4}(x - 6)\end{aligned}

3x+4y=423x + 4y = 42.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

נתון המעגל (x−3)2+(y−2)2=25(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25, והנקודה A(6,6)A(6, 6) עליו. המשיק בנקודה AA הוא 3x+4y=423x + 4y = 42. ג. המשיק חותך את ציר ה-xx בנקודה TT. חשבו את ATAT.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 10

הפתרון:

T(14, 0)T(14,\ 0)
82+62\sqrt{8^2 + 6^2}

1010.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

נתון המעגל (x−3)2+(y−2)2=25(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25, והנקודה A(6,6)A(6, 6) עליו. T(14,0)T(14, 0). הנקודה PP נעה על המעגל, ו-MM אמצע PTPT. ד (1). המקום הגאומטרי של MM הוא מעגל. מהו הרדיוס שלו?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

P=(2x−14, 2y)P = (2x - 14,\ 2y)
(2x−17)2+(2y−2)2=25(2x - 17)^2 + (2y - 2)^2 = 25
(x−8.5)2+(y−1)2=6.25\left(x - 8.5\right)^2 + (y - 1)^2 = 6.25

2.52.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 5

נתון המעגל (x−3)2+(y−2)2=25(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25, והנקודה A(6,6)A(6, 6) עליו. T(14,0)T(14, 0). הנקודה PP נעה על המעגל, ו-MM אמצע PTPT. ד (2). מהו שיעור ה-xx של מרכז המקום הגאומטרי?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8.5

הפתרון:

3+142\tfrac{3 + 14}{2}

אמצע CTCT

8.58.5.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון המעגל (x−3)2+(y−2)2=25(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25, והנקודה A(6,6)A(6, 6) עליו. המקום הגאומטרי של MM הוא (x−8.5)2+(y−1)2=6.25(x - 8.5)^2 + (y - 1)^2 = 6.25. ה. כמה נקודות משותפות יש לו ולמעגל הנתון?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

d=5.52+12≈5.59d = \sqrt{5.5^2 + 1^2} \approx 5.59
5−2.5<5.59<5+2.55 - 2.5 < 5.59 < 5 + 2.5

22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — וקטורים בתיבה

תרגיל 7

נתונה התיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', ו-u‾=AB→\underline{u} = \overrightarrow{AB}, v‾=AD→\underline{v} = \overrightarrow{AD}, w‾=AA′→\underline{w} = \overrightarrow{AA'}, כש-∣u‾∣=4|\underline{u}| = 4, ∣v‾∣=2|\underline{v}| = 2, ∣w‾∣=3|\underline{w}| = 3. MM אמצע B′C′B'C'. א. הביעו את AM→\overrightarrow{AM} בעזרת u‾,v‾,w‾\underline{u}, \underline{v}, \underline{w}.

  1. 12(u‾+v‾+w‾)\tfrac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w})
  2. u‾+12v‾+w‾\underline{u} + \tfrac{1}{2}\underline{v} + \underline{w}
  3. u‾+v‾+12w‾\underline{u} + \underline{v} + \tfrac{1}{2}\underline{w}
  4. 12u‾+v‾+w‾\tfrac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב u‾+12v‾+w‾\underline{u} + \tfrac{1}{2}\underline{v} + \underline{w}

הפתרון:

AB→+BB′→+12B′C′→\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BB'} + \tfrac{1}{2}\overrightarrow{B'C'}

u‾+12v‾+w‾\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \underline{w}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתונה התיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', ו-u‾=AB→\underline{u} = \overrightarrow{AB}, v‾=AD→\underline{v} = \overrightarrow{AD}, w‾=AA′→\underline{w} = \overrightarrow{AA'}, כש-∣u‾∣=4|\underline{u}| = 4, ∣v‾∣=2|\underline{v}| = 2, ∣w‾∣=3|\underline{w}| = 3. KK על האלכסון AC′AC', ו-AK→=t⋅AC′→\overrightarrow{AK} = t \cdot \overrightarrow{AC'}. ב. מצאו את tt שבעבורו BK⊥AC′BK \perp AC'. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.552

הפתרון:

BK→=t(u‾+v‾+w‾)−u‾\overrightarrow{BK} = t(\underline{u} + \underline{v} + \underline{w}) - \underline{u}
BK→⋅AC′→=29t−16=0\begin{aligned}\overrightarrow{BK} \cdot \overrightarrow{AC'} &= 29t - 16 \\ &= 0\end{aligned}

u‾,v‾,w‾\underline{u}, \underline{v}, \underline{w} מאונכים זה לזה

t=1629≈0.552t = \frac{16}{29} \approx 0.552.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתונה התיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', ו-u‾=AB→\underline{u} = \overrightarrow{AB}, v‾=AD→\underline{v} = \overrightarrow{AD}, w‾=AA′→\underline{w} = \overrightarrow{AA'}, כש-∣u‾∣=4|\underline{u}| = 4, ∣v‾∣=2|\underline{v}| = 2, ∣w‾∣=3|\underline{w}| = 3. ג. חשבו את הזווית בין האלכסון AC′AC' לבסיס ABCDABCD, במעלות. עגלו לעשירית.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 33.9

הפתרון:

tan⁡α=CC′AC=320\begin{aligned}\tan\alpha &= \frac{CC'}{AC} \\ &= \frac{3}{\sqrt{20}}\end{aligned}

≈33.9∘\approx 33.9^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתונה התיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', ו-u‾=AB→\underline{u} = \overrightarrow{AB}, v‾=AD→\underline{v} = \overrightarrow{AD}, w‾=AA′→\underline{w} = \overrightarrow{AA'}, כש-∣u‾∣=4|\underline{u}| = 4, ∣v‾∣=2|\underline{v}| = 2, ∣w‾∣=3|\underline{w}| = 3. מציבים מערכת צירים: A(0,0,0)A(0, 0, 0), B(4,0,0)B(4, 0, 0), D(0,2,0)D(0, 2, 0), A′(0,0,3)A'(0, 0, 3). ד. מהי משוואת המישור A′BDA'BD?

  1. x+y+z=4x + y + z = 4
  2. 3x+6y+4z=123x + 6y + 4z = 12
  3. 6x+3y+4z=126x + 3y + 4z = 12
  4. 4x+2y+3z=124x + 2y + 3z = 12
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב 3x+6y+4z=123x + 6y + 4z = 12

הפתרון:

x4+y2+z3=1\frac{x}{4} + \frac{y}{2} + \frac{z}{3} = 1

שלוש הנקודות על הצירים

3x+6y+4z=123x + 6y + 4z = 12.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 11

נתונה התיבה ABCDA′B′C′D′ABCDA'B'C'D', ו-u‾=AB→\underline{u} = \overrightarrow{AB}, v‾=AD→\underline{v} = \overrightarrow{AD}, w‾=AA′→\underline{w} = \overrightarrow{AA'}, כש-∣u‾∣=4|\underline{u}| = 4, ∣v‾∣=2|\underline{v}| = 2, ∣w‾∣=3|\underline{w}| = 3. המישור A′BDA'BD הוא 3x+6y+4z=123x + 6y + 4z = 12. ה. חשבו את המרחק מ-C′(4,2,3)C'(4, 2, 3) למישור. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.073

הפתרון:

∣12+12+12−12∣9+36+16\frac{|12 + 12 + 12 - 12|}{\sqrt{9 + 36 + 16}}

2461≈3.073\frac{24}{\sqrt{61}} \approx 3.073.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — מספרים מרוכבים

תרגיל 12

נתון המספר z=1+3 iz = 1 + \sqrt 3\, i. א. מהו הארגומנט של zz, במעלות (בין 0∘0^\circ ל-360∘360^\circ)?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

∣z∣=2 ; tan⁡θ=3\begin{aligned}|z| &= 2 \ ; \ \tan\theta \\ &= \sqrt 3\end{aligned}

60∘60^\circ; z=2 cis 60∘z = 2\,\text{cis}\,60^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתון המספר z=1+3 iz = 1 + \sqrt 3\, i. ב. חשבו את z6z^6.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 64

הפתרון:

26 cis 360∘2^6\,\text{cis}\,360^\circ

דה מואבר

6464.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

ג. פתרו את המשוואה w3=8iw^3 = 8i. מהו הארגומנט, במעלות, של הפתרון שברביע השני?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 150

הפתרון:

8i=8 cis 90∘8i = 8\,\text{cis}\,90^\circ
w=2 cis(30∘+120∘k)w = 2\,\text{cis}(30^\circ + 120^\circ k)
30∘, 150∘, 270∘30^\circ,\ 150^\circ,\ 270^\circ

150∘150^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 15

שלושת הפתרונות של w3=8iw^3 = 8i הם קודקודי משולש. ד. חשבו את שטחו. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 5.196

הפתרון:

משולש שווה צלעות חסום במעגל R=2\text{משולש שווה צלעות חסום במעגל } R = 2
S=334R2S = \tfrac{3\sqrt 3}{4} R^2

33≈5.1963\sqrt 3 \approx 5.196.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

ה. המקום הגאומטרי של המספרים ww שמקיימים ∣w−2i∣=∣w+2∣|w - 2i| = |w + 2| הוא ישר. לפניכם טענה: אף אחד משלושת הפתרונות של w3=8iw^3 = 8i אינו על הישר הזה. האם הטענה נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

∣w−2i∣=∣w+2∣⇒y=−x\begin{aligned}|w - 2i| &= |w + 2| \Rightarrow y \\ &= -x\end{aligned}

האנך האמצעי בין (0,2)(0, 2) ל-(−2,0)(-2, 0)

(3,1), (−3,1), (0,−2)(\sqrt 3, 1),\ (-\sqrt 3, 1),\ (0, -2)

אף אחת לא מקיימת y=−xy = -x

נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

תרגיל 17

נתונה הפונקציה f(x)=(x+a)e−xf(x) = (x + a)e^{-x}, ו-aa פרמטר. א. לפונקציה נקודת קיצון ב-x=2x = 2. מצאו את aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f′(x)=e−x(1−x−a)f'(x) = e^{-x}(1 - x - a)
1−2−a=01 - 2 - a = 0

a=−1a = -1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

נתונה הפונקציה f(x)=(x+a)e−xf(x) = (x + a)e^{-x}, ו-aa פרמטר. הציבו a=−1a = -1. ב. מה סוג הקיצון ב-x=2x = 2, ומה ערכו?

  1. מקסימום, e−2e^{-2}
  2. מינימום, 00
  3. מקסימום, e2e^{2}
  4. מינימום, e−2e^{-2}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א מקסימום, e−2e^{-2}

הפתרון:

f′(x)=e−x(2−x)f'(x) = e^{-x}(2 - x)

חיובית משמאל, שלילית מימין

f(2)=1⋅e−2f(2) = 1 \cdot e^{-2}

מקסימום, e−2≈0.135e^{-2} \approx 0.135.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

נתונה הפונקציה f(x)=(x+a)e−xf(x) = (x + a)e^{-x}, ו-aa פרמטר. הציבו a=−1a = -1. ג. לפניכם טענה: הישר y=0y = 0 הוא אסימפטוטה אופקית של ff כש-x→∞x \to \infty. האם הטענה נכונה?

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: נכון

הפתרון:

x−1ex→0\frac{x - 1}{e^{x}} \to 0

נכון.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

נתונה הפונקציה f(x)=(x+a)e−xf(x) = (x + a)e^{-x}, ו-aa פרמטר. הציבו a=−1a = -1. נתון ש-(−xe−x)′=(x−1)e−x\left(-x e^{-x}\right)' = (x - 1)e^{-x}. ד. חשבו את השטח בין הגרף של ff, ציר ה-xx והישר x=3x = 3. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.219

הפתרון:

f(x)=0⇔x=1\begin{aligned}f(x) &= 0 \Leftrightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

f≥0f \geq 0 ב-[1,3][1, 3]

[−xe−x]13=e−1−3e−3\left[-x e^{-x}\right]_1^3 = e^{-1} - 3e^{-3}

≈0.219\approx 0.219.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 21

נתונה הפונקציה f(x)=(x+a)e−xf(x) = (x + a)e^{-x}, ו-aa פרמטר. הציבו a=−1a = -1, ו-g(x)=1f(x)g(x) = \frac{1}{f(x)}. ה. מהי האסימפטוטה האנכית של gg? כתבו את שיעור ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1

הפתרון:

f(1)=0f(1) = 0

x=1x = 1.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית

תרגיל 22

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡2x−2ln⁡xf(x) = \ln^2 x - 2\ln x. א. הגרף חותך את ציר ה-xx בשתי נקודות. מהו שיעור ה-xx הגדול? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7.389

הפתרון:

ln⁡x(ln⁡x−2)=0\ln x(\ln x - 2) = 0
x=1 ; x=e2\begin{aligned}x &= 1 \ ; \ x \\ &= e^2\end{aligned}

e2≈7.389e^2 \approx 7.389.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡2x−2ln⁡xf(x) = \ln^2 x - 2\ln x. ב. מצאו את הערך המינימלי של ff.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1

הפתרון:

f′(x)=2ln⁡x−2x=0⇒x=e\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2\ln x - 2}{x} \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}
f(e)=1−2f(e) = 1 - 2

−1-1, ב-x=ex = e.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡2x−2ln⁡xf(x) = \ln^2 x - 2\ln x. ג. מהי משוואת המשיק לגרף בנקודה x=1x = 1?

  1. y=2x−2y = 2x - 2
  2. y=−2x+2y = -2x + 2
  3. y=−x+1y = -x + 1
  4. y=−2xy = -2x
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב y=−2x+2y = -2x + 2

הפתרון:

f(1)=0 ; f′(1)=−2\begin{aligned}f(1) &= 0 \ ; \ f'(1) \\ &= -2\end{aligned}

y=−2x+2y = -2x + 2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡2x−2ln⁡xf(x) = \ln^2 x - 2\ln x. נתון ש-F(x)=xln⁡2x−4xln⁡x+4xF(x) = x\ln^2 x - 4x\ln x + 4x היא פונקציה קדומה של ff. ד. חשבו את השטח בין הגרף של ff לציר ה-xx.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

∫1e2f dx=F(e2)−F(1)=0−4\begin{aligned}\int_1^{e^2} f\, dx &= F(e^2) - F(1) \\ &= 0 - 4\end{aligned}

f≤0f \leq 0 בין 11 ל-e2e^2

44.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

נתונה הפונקציה f(x)=ln⁡2x−2ln⁡xf(x) = \ln^2 x - 2\ln x. ה. מהו תחום ההגדרה של g(x)=ln⁡f(x)g(x) = \ln f(x)?

  1. 1<x<e21 < x < e^2
  2. x>0x > 0
  3. x>e2x > e^2
  4. 0<x<10 < x < 1 או x>e2x > e^2
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד 0<x<10 < x < 1 או x>e2x > e^2

הפתרון:

f(x)>0⇔ln⁡x<0 או ln⁡x>2f(x) > 0 \Leftrightarrow \ln x < 0 \ \text{או} \ \ln x > 2

0<x<10 < x < 1 או x>e2x > e^2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת