בגרות 35472 — קיץ 2025, מועד ב׳

ב-elev השיעור הזה מגיע עם:

  • כל תרגיל נבדק ברגע שעונים
  • רמז בדיוק כשנתקעים
  • מעקב אחרי ההתקדמות, פרק אחרי פרק
לתרגל ב-elev

השיעור הזה פתוח למנויים. פרק שלם בחינם: הפונקציה המעריכית

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35472 (4 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ה, 2025, מועד ב׳. משך הבחינה: שעתיים ורבע. ענו על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – 331333\frac{1}{3} נקודות). פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה: שאלות 1–3. פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־4 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־29 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר או לנמק הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

תרגילים

שאלה 1 — סדרות: פיקדונות לחיסכון

תרגיל 1

א. מצאו את גובה הפיקדון שהעבירה מיכל בחודש הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 840

הפתרון:

a1+a2=2a1+d=2100\begin{aligned}a_1 + a_2 &= 2a_1 + d \\ &= 2100\end{aligned}

סדרה חשבונית: הפרש קבוע dd

a5=a1+4d=3a1⇒d=a12\begin{aligned}a_5 &= a_1 + 4d \\ &= 3a_1 \Rightarrow d \\ &= \frac{a_1}{2}\end{aligned}
2a1+a12=2100⇒a1=840d=420\begin{aligned}2a_1 + \frac{a_1}{2} &= 2100 \Rightarrow a_1 \\ &= 840 \\ \quad d &= 420\end{aligned}

הפיקדון בחודש הראשון: 840840 שקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 1

תרגיל 2

ב. מצאו לאחר כמה חודשים היה סכום הפיקדונות שהעבירה מיכל 22,68022{,}680 שקלים סך הכול.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

Sn=n2(2⋅840+(n−1)⋅420)=22680\begin{aligned}S_n &= \frac{n}{2}\left(2 \cdot 840 + (n - 1) \cdot 420\right) \\ &= 22680\end{aligned}

סכום של סדרה חשבונית

210n2+630n=22680⇒n2+3n−108=0\begin{aligned}210n^2 + 630n &= 22680 \Rightarrow n^2 + 3n - 108 \\ &= 0\end{aligned}
(n+12)(n−9)=0⇒n=9\begin{aligned}(n + 12)(n - 9) &= 0 \Rightarrow n \\ &= 9\end{aligned}

nn חיובי

לאחר 99 חודשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 2

תרגיל 3

בחודש ה־1212, במקום להפקיד כסף לחיסכון, החליטה מיכל לקנות מקרר שמחירו שווה לגובה הפיקדון שהייתה אמורה להעביר בחודש זה. מיכל שילמה בעבור המקרר בארבעה תשלומים. כל תשלום גדול פי 33 מן התשלום שלפניו. ג. מצאו את התשלום הראשון.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 136.5

הפתרון:

a12=840+11⋅420=5460\begin{aligned}a_{12} &= 840 + 11 \cdot 420 \\ &= 5460\end{aligned}

מחיר המקרר

b1+3b1+9b1+27b1=40b1=5460\begin{aligned}b_1 + 3b_1 + 9b_1 + 27b_1 &= 40b_1 \\ &= 5460\end{aligned}

התשלומים: סדרה הנדסית שמנתה 33

b1=136.5b_1 = 136.5

התשלום הראשון: 136.5136.5 שקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 3

רוצה לדעת אם הבנת?

ב-elev כל תרגיל נבדק ברגע שעונים, ורמז מגיע בדיוק כשנתקעים.

לתרגל ב-elev

שאלה 2 — פירמידה משולשת, וקטורים

תרגיל 4

א. הביעו באמצעות u‾\underline{u}, v‾\underline{v} ו־w‾\underline{w} את הווקטורים SF→\overrightarrow{SF}, BC→\overrightarrow{BC} ו־SE→\overrightarrow{SE}.

  1. אSF→=34v‾+34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} + \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾+34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{w}
  2. בSF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}
  3. גSF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=u‾−v‾\overrightarrow{BC} = \underline{u} - \underline{v} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}
  4. דSF→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב SF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}

הפתרון:

SC→=SA→+AC→=−w‾+v‾\begin{aligned}\overrightarrow{SC} &= \overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC} \\ &= -\underline{w} + \underline{v}\end{aligned}

מסלול דרך AA

SF→=34SC→=34v‾−34w‾\begin{aligned}\overrightarrow{SF} &= \frac{3}{4}\overrightarrow{SC} \\ &= \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}\end{aligned}
BC→=BA→+AC→=−u‾+v‾\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} \\ &= -\underline{u} + \underline{v}\end{aligned}
SE→=34(SA→+AB→)=34u‾−34w‾\begin{aligned}\overrightarrow{SE} &= \frac{3}{4}(\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AB}) \\ &= \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}\end{aligned}

SF→=34v‾−34w‾\overrightarrow{SF} = \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w} , BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u} , SE→=34u‾−34w‾\overrightarrow{SE} = \frac{3}{4}\underline{u} - \frac{3}{4}\underline{w}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 4

תרגיל 5

ב (1). הביעו באמצעות u‾\underline{u} ו־v‾\underline{v} את הווקטור EF→\overrightarrow{EF}.

EF→=\overrightarrow{EF} = ____ u‾+\underline{u} + ____ v‾\underline{v}

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: EF→=\overrightarrow{EF} = -0.75 u‾+\underline{u} + 0.75 v‾\underline{v}

הפתרון:

EF→=ES→+SF→=−SE→+SF→\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \overrightarrow{ES} + \overrightarrow{SF} \\ &= -\overrightarrow{SE} + \overrightarrow{SF}\end{aligned}
=−34u‾+34w‾+34v‾−34w‾= -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{w} + \frac{3}{4}\underline{v} - \frac{3}{4}\underline{w}

סעיף א

=−34u‾+34v‾= -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}

EF→=−34u‾+34v‾\overrightarrow{EF} = -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 5

תרגיל 6

ב (2). הסבירו מדוע EFEF מקביל ל־BCBC.

  • EF→=−34u‾+34v‾\overrightarrow{EF} = -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{3}{4}\underline{v}
  • BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  • EE על SBSB ו־FF על SCSC, ושתיהן שונות מ־BB ומ־CC

EF∥BCEF \parallel BC

להציג את התשובה והפתרון
  1. EF→=34(v‾−u‾)\overrightarrow{EF} = \frac{3}{4}(\underline{v} - \underline{u}) — הוצאת גורם משותף
  2. EF→=34BC→\overrightarrow{EF} = \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} — סעיף א: BC→=v‾−u‾\overrightarrow{BC} = \underline{v} - \underline{u}
  3. EF∥BCEF \parallel BC — וקטור שהוא כפולה של וקטור אחר מקביל לו, ו־EE אינה על הישר BCBC

הפתרון:

EF→=34(v‾−u‾)=34BC→\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \frac{3}{4}(\underline{v} - \underline{u}) \\ &= \frac{3}{4}\overrightarrow{BC}\end{aligned}

הווקטור EF→\overrightarrow{EF} הוא כפולה של BC→\overrightarrow{BC}, ולכן EF∥BCEF \parallel BC (הנקודה EE אינה על BCBC, כך שהישרים אינם מתלכדים).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 6

תרגיל 7

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). ג. מצאו את ההצגה האלגברית של הווקטור BC→\overrightarrow{BC} ושל הווקטור EF→\overrightarrow{EF}.

BC→=(\overrightarrow{BC} = ( ____ ,, ____ ,, ____ )) , EF→=(\overrightarrow{EF} = ( ____ ,, ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: BC→=(\overrightarrow{BC} = ( 12 ,, 16 ,, 0 )) , EF→=(\overrightarrow{EF} = ( 9 ,, 12 ,, 0 ))

הפתרון:

BC→=C−B=(13−1,15+1,3−3)=(12,16,0)\begin{aligned}\overrightarrow{BC} &= C - B \\ &= (13 - 1, 15 + 1, 3 - 3) \\ &= (12, 16, 0)\end{aligned}
EF→=34BC→=(9,12,0)\begin{aligned}\overrightarrow{EF} &= \frac{3}{4}\overrightarrow{BC} \\ &= (9, 12, 0)\end{aligned}

סעיף ב

BC→=(12,16,0)\overrightarrow{BC} = (12, 16, 0) , EF→=(9,12,0)\overrightarrow{EF} = (9, 12, 0).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 7

תרגיל 8

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). נתון: E(5,1,6)E(5, 1, 6). ד. מצאו את שיעורי הנקודה FF.

F(F( ____ ,, ____ ,, ____ ))

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: F(F( 14 ,, 13 ,, 6 ))

הפתרון:

F=E+EF→=(5+9,1+12,6+0)\begin{aligned}F &= E + \overrightarrow{EF} \\ &= (5 + 9, 1 + 12, 6 + 0)\end{aligned}
F=(14,13,6)F = (14, 13, 6)

F(14,13,6)F(14, 13, 6).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 8

תרגיל 9

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). נתון: E(5,1,6)E(5, 1, 6). נתון: A(4,12,3)A(4, 12, 3). ה (1). מצאו את גודל הזווית EAFEAF. (במעלות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 86.18

הפתרון:

AE→=(1,−11,3)AF→=(10,1,3)\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= (1, -11, 3) \\ \quad \overrightarrow{AF} &= (10, 1, 3)\end{aligned}
AE→⋅AF→=10−11+9=8\begin{aligned}\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{AF} &= 10 - 11 + 9 \\ &= 8\end{aligned}

מכפלה סקלרית

∣AE→∣=131∣AF→∣=110\begin{aligned}|\overrightarrow{AE}| &= \sqrt{131} \\ \quad |\overrightarrow{AF}| &= \sqrt{110}\end{aligned}
cos⁡∠EAF=8131⋅110≈0.0666⇒∠EAF≈86.18∘\cos\angle EAF = \frac{8}{\sqrt{131} \cdot \sqrt{110}} \approx 0.0666 \Rightarrow \angle EAF \approx 86.18^\circ

∠EAF≈86.18∘\angle EAF \approx 86.18^\circ.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 9

תרגיל 10

נתון: C(13,15,3)C(13, 15, 3) , B(1,−1,3)B(1, -1, 3). נתון: E(5,1,6)E(5, 1, 6). נתון: A(4,12,3)A(4, 12, 3). ה (2). חשבו את שטח המשולש EAFEAF. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 59.89

הפתרון:

S=12⋅131⋅110⋅sin⁡86.18∘S = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{131} \cdot \sqrt{110} \cdot \sin 86.18^\circ

שטח משולש: חצי מכפלת שתי צלעות בסינוס הזווית שביניהן

=12131⋅110−82=1214346≈59.89= \frac{1}{2}\sqrt{131 \cdot 110 - 8^2} = \frac{1}{2}\sqrt{14346} \approx 59.89

שטח המשולש EAFEAF: 315942≈59.89\frac{3\sqrt{1594}}{2} \approx 59.89.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 10

שאלה 3 — גדילה ודעיכה: האזנות לשני שירים

תרגיל 11

א. מבין הגרפים II–IIII קבעו איזה גרף מתאים לשיר AA. נמקו את קביעתכם.

  1. אגרף I: האחוז של BB גדול יותר, וגרף II משיג את גרף I
  2. בגרף II: הוא מתחיל נמוך יותר, כי האחוז של AA קטן יותר
  3. גאי אפשר לדעת בלי לדעת את מספר ההאזנות ההתחלתי
  4. דגרף I: הוא מתחיל גבוה יותר, ולכן הוא תמיד יהיה מעל
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף I: האחוז של BB גדול יותר, וגרף II משיג את גרף I

הפתרון:

NA(t)=NA(0)⋅qAtNB(t)=NB(0)⋅qBtqB>qA\begin{aligned}N_A(t) &= N_A(0) \cdot q_A^t \\ \quad N_B(t) &= N_B(0) \cdot q_B^t \\ \quad q_B > q_A\end{aligned}

האחוז של BB גדול פי 22

NB(t)NA(t)=NB(0)NA(0)⋅(qBqA)t\frac{N_B(t)}{N_A(t)} = \frac{N_B(0)}{N_A(0)} \cdot \left(\frac{q_B}{q_A}\right)^t

היחס גדל עם הזמן

גרף I מתאר את שיר AA: גרף II מתחיל נמוך יותר, אבל עולה מהר יותר ומשיג את גרף I, ולכן הוא מתאר את שיר BB, שאחוז הגדילה שלו גדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 11

תרגיל 12

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. ב. מצאו בכמה אחוזים גדל מספר ההאזנות לשיר AA בכל יום.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 8

הפתרון:

5000⋅q5=73505000 \cdot q^5 = 7350

גרף I מתחיל ב־5,0005{,}000 (סעיף א)

q5=1.47⇒q=1.475≈1.08\begin{aligned}q^5 &= 1.47 \Rightarrow q \\ &= \sqrt[5]{1.47} \approx 1.08\end{aligned}
1.08−1=0.081.08 - 1 = 0.08

מספר ההאזנות לשיר AA גדל ב־8%8\% בכל יום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 12

תרגיל 13

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. ג. מצאו בכמה היה גדול מספר ההאזנות לשיר AA ממספר ההאזנות לשיר BB, לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 981.76

הפתרון:

qB=1+2⋅0.08=1.16\begin{aligned}q_B &= 1 + 2 \cdot 0.08 \\ &= 1.16\end{aligned}

האחוז של BB: 16%16\%

NB(5)=3032⋅1.165≈6368.24N_B(5) = 3032 \cdot 1.16^5 \approx 6368.24

גרף II מתחיל ב־3,0323{,}032

7350−6368.24≈981.767350 - 6368.24 \approx 981.76

מספר ההאזנות לשיר AA היה גדול בכ־982982 (התשובה תלויה מעט בעיגול של האחוז).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 13

תרגיל 14

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. ד. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, היה מספר ההאזנות לשיר AA שווה למספר ההאזנות לשיר BB.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 7

הפתרון:

5000⋅1.08t=3032⋅1.16t5000 \cdot 1.08^t = 3032 \cdot 1.16^t
(1.161.08)t=50003032\left(\frac{1.16}{1.08}\right)^t = \frac{5000}{3032}
t=log⁡50003032log⁡1.161.08≈7t = \frac{\log \frac{5000}{3032}}{\log \frac{1.16}{1.08}} \approx 7

לאחר 77 ימים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 14

תרגיל 15

נתון כי לאחר 55 ימים מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 7,3507{,}350. כאשר מספר ההאזנות לשיר AA היה שווה למספר ההאזנות לשיר BB, החלה ירידה במספר ההאזנות לשיר AA. בכל יום קטן מספר ההאזנות לשיר AA באותו האחוז שבו הוא גדל לפני כן. ה. מצאו לאחר כמה זמן מיום העלאת השירים, מספר ההאזנות לשיר AA היה 2,4502{,}450. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 22.02

הפתרון:

NA(7)=5000⋅1.087≈8569.15N_A(7) = 5000 \cdot 1.08^7 \approx 8569.15

השיא, אחרי 77 ימים (סעיף ד)

8569.15⋅0.92s=24508569.15 \cdot 0.92^s = 2450

ירידה של 8%8\% בכל יום

s=log⁡24508569.15log⁡0.92≈15.02s = \frac{\log \frac{2450}{8569.15}}{\log 0.92} \approx 15.02
7+15.02=22.027 + 15.02 = 22.02

לאחר כ־22.0222.02 ימים מיום העלאת השירים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 15

שאלה 4 — פונקציה מעריכית ושבר

תרגיל 16

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x). (התחום הוא x≠ln⁡kx \neq \ln k.)

k=k = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: k=k = 4

הפתרון:

ex−4≠0e^x - 4 \neq 0

המכנה שונה מאפס

ex≠4⇒x≠ln⁡4e^x \neq 4 \Rightarrow x \neq \ln 4

תחום ההגדרה: x≠ln⁡4x \neq \ln 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 16

תרגיל 17

א (2). מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־xx של הפונקציה f(x)f(x).

  1. אx=ln⁡8x = \ln 8
  2. בx=4x = 4
  3. גx=e4x = e^4
  4. דx=ln⁡4x = \ln 4
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד x=ln⁡4x = \ln 4

הפתרון:

x→ln⁡4: ex−4→0,e2x→16x \to \ln 4: \ e^x - 4 \to 0, \quad e^{2x} \to 16

המונה אינו מתאפס

האסימפטוטה המאונכת: x=ln⁡4x = \ln 4.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 17

תרגיל 18

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה).

  1. א(0,−14)\left(0, -\frac{1}{4}\right) בלבד
  2. ב(0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) ו־(ln⁡4,0)(\ln 4, 0)
  3. ג(0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) בלבד
  4. ד(0,13)\left(0, \frac{1}{3}\right) בלבד
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג (0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) בלבד

הפתרון:

f(0)=e0e0−4=11−4=−13\begin{aligned}f(0) &= \frac{e^0}{e^0 - 4} \\ &= \frac{1}{1 - 4} \\ &= -\frac{1}{3}\end{aligned}

חיתוך עם ציר ה־yy

e2x>0⇒f(x)≠0e^{2x} > 0 \Rightarrow f(x) \neq 0

אין חיתוך עם ציר ה־xx

נקודת חיתוך אחת בלבד: (0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 18

תרגיל 19

xf'(x)B

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ג. מצאו את שיעור ה־xx של הנקודה BB. (השיעור הוא x=ln⁡kx = \ln k.)

k=k = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: k=k = 8

הפתרון:

f′(x)=2e2x(ex−4)−e2x⋅ex(ex−4)2=e2x(ex−8)(ex−4)2\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2e^{2x}(e^x - 4) - e^{2x} \cdot e^x}{(e^x - 4)^2} \\ &= \frac{e^{2x}(e^x - 8)}{(e^x - 4)^2}\end{aligned}

נגזרת של מנה

f′(x)=0⇒ex=8⇒x=ln⁡8\begin{aligned}f'(x) &= 0 \Rightarrow e^x \\ &= 8 \Rightarrow x \\ &= \ln 8\end{aligned}

xB=ln⁡8≈2.08x_B = \ln 8 \approx 2.08.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 19

תרגיל 20

xf'(x)B

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ד (1). מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. איורדת ב־x<ln⁡8x < \ln 8, כולל ב־x=ln⁡4x = \ln 4; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8
  2. ביורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־x>ln⁡8x > \ln 8; עולה ב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8
  3. געולה ב־x<ln⁡4x < \ln 4; יורדת ב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8
  4. דיורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד יורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8; עולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8

הפתרון:

x<ln⁡4: f′(x)<0x < \ln 4: \ f'(x) < 0

הגרף של f′f' מתחת לציר

ln⁡4<x<ln⁡8: f′(x)<0,x>ln⁡8: f′(x)>0\ln 4 < x < \ln 8: \ f'(x) < 0, \quad x > \ln 8: \ f'(x) > 0

BB היא נקודת החיתוך היחידה

f(ln⁡8)=648−4=16\begin{aligned}f(\ln 8) &= \frac{64}{8 - 4} \\ &= 16\end{aligned}

מינימום

ff יורדת ב־x<ln⁡4x < \ln 4 וב־ln⁡4<x<ln⁡8\ln 4 < x < \ln 8, ועולה ב־x>ln⁡8x > \ln 8; מינימום ב־(ln⁡8,16)(\ln 8, 16).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 20

תרגיל 21

הגרפים I–IV
xyIxyIIxyIIIxyIV

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ד (2). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה f(x)f(x). בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

  1. אגרף III
  2. בגרף I
  3. גגרף II
  4. דגרף IV
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג גרף II

הפתרון:

x→−∞:f→0−,x→ln⁡4−:f→−∞x \to -\infty: f \to 0^-, \quad x \to \ln 4^-: f \to -\infty

משמאל לאסימפטוטה המכנה שלילי

x→ln⁡4+:f→∞,min⁡(ln⁡8,16)x \to \ln 4^+: f \to \infty, \quad \min(\ln 8, 16)

סעיף ד (1)

(0,−13)(0, -\tfrac{1}{3})

סעיף ב

גרף II: משמאל לאסימפטוטה x=ln⁡4x = \ln 4 הגרף שלילי, עובר ב־(0,−13)\left(0, -\frac{1}{3}\right) ויורד; מימין לה הוא יורד למינימום (ln⁡8,16)(\ln 8, 16) ועולה. גרף I הוא −f-f, גרף III הוא ∣f∣|f|, וגרף IV הוא השיקוף של ff ביחס לציר ה־yy.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 21

תרגיל 22

xf'(x)B

בסרטוט שלפניכם מתואר גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x). הפונקציה f(x)f(x) ופונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) מוגדרות באותו התחום. גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x) חותך את ציר ה־xx בנקודה אחת בלבד – הנקודה BB. ה. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת f′(x)f'(x), על ידי ציר ה־xx ועל ידי הישר x=ln⁡12x = \ln 12.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

ln⁡8<x<ln⁡12: f′(x)>0\ln 8 < x < \ln 12: \ f'(x) > 0

השטח בין BB לישר

S=∫ln⁡8ln⁡12f′(x) dx=f(ln⁡12)−f(ln⁡8)\begin{aligned}S &= \int_{\ln 8}^{\ln 12} f'(x)\,dx \\ &= f(\ln 12) - f(\ln 8)\end{aligned}

ff קדומה ל־f′f'

14412−4−648−4=18−16=2\begin{aligned}\frac{144}{12 - 4} - \frac{64}{8 - 4} &= 18 - 16 \\ &= 2\end{aligned}

השטח: 22.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 22

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

תרגיל 23

א. מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה f(x)f(x).

  1. אx>e2x > e^2
  2. בכל xx
  3. גx>0x > 0
  4. דx≠0x \neq 0
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג x>0x > 0

הפתרון:

ln⁡x: x>0\ln x: \ x > 0

תחום ההגדרה של הלוגריתם

תחום ההגדרה: x>0x > 0.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 23

תרגיל 24

ב. מצאו את שיעורי נקודות החיתוך של גרף הפונקציה f(x)f(x) עם הצירים (אם יש כאלה). (הנקודה היא (ek,0)(e^k, 0).)

k=k = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: k=k = 2

הפתרון:

x=0x = 0

מחוץ לתחום: אין חיתוך עם ציר ה־yy

x2(−2+ln⁡x)=0 x>0⇒ln⁡x=2⇒x=e2\begin{aligned}x^2(-2 + \ln x) &= 0 \\ \ x > 0 \Rightarrow \ln x &= 2 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

נקודת חיתוך אחת: (e2,0)(e^2, 0), עם ציר ה־xx.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 24

תרגיל 25

ג. מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה f(x)f(x), וקבעו את סוגה. (הנקודה היא (ek,y0)(e^k, y_0); כתבו את y0y_0 בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

k=k = ____ , y0=y_0 = ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: k=k = 1.5 , y0=y_0 = -10.04

הפתרון:

f′(x)=2x(−2+ln⁡x)+x2⋅1x=x(2ln⁡x−3)\begin{aligned}f'(x) &= 2x(-2 + \ln x) + x^2 \cdot \frac{1}{x} \\ &= x(2\ln x - 3)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

f′(x)=0 x>0⇒ln⁡x=1.5⇒x=e1.5\begin{aligned}f'(x) &= 0 \\ \ x > 0 \Rightarrow \ln x &= 1.5 \Rightarrow x \\ &= e^{1.5}\end{aligned}
0<x<e1.5:f′<0,x>e1.5:f′>00 < x < e^{1.5}: f' < 0, \quad x > e^{1.5}: f' > 0

מינימום

f(e1.5)=e3(−2+1.5)=−e32≈−10.04\begin{aligned}f(e^{1.5}) &= e^3(-2 + 1.5) \\ &= -\frac{e^3}{2} \approx -10.04\end{aligned}

מינימום ב־(e1.5,−e32)≈(4.48,−10.04)\left(e^{1.5}, -\frac{e^3}{2}\right) \approx (4.48, -10.04).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 25

תרגיל 26

ד. קבעו איזה מן הגרפים II–IVIV שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה f(x)f(x). נמקו את קביעתכם.

  1. אגרף III
  2. בגרף IV
  3. גגרף II
  4. דגרף I
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף I

הפתרון:

x→0+: f(x)→0x \to 0^+: \ f(x) \to 0

הנקודה (0,0)(0, 0) אינה בתחום: עיגול ריק

min⁡(e1.5,−10.04),(e2,0)\min\left(e^{1.5}, -10.04\right), \quad (e^2, 0)

סעיפים ב–ג

גרף I: יוצא מעיגול ריק בראשית, יורד למינימום מתחת לציר ה־xx, וחותך את הציר ב־e2e^2. בגרף II ובגרף III הגרף אינו מתקרב לראשית, ובגרף IV יש מקסימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 26

תרגיל 27

נתונה הפונקציה g(x)=a⋅f(x)g(x) = a \cdot f(x). aa הוא פרמטר שונה מ־00. הפונקציות g(x)g(x) ו־f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־yy של נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x) הוא 0.6⋅e30.6 \cdot e^3. ה (1). מצאו את הערך של aa.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: -1.2

הפתרון:

g′(x)=a⋅f′(x)=0⇒x=e1.5\begin{aligned}g'(x) &= a \cdot f'(x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^{1.5}\end{aligned}

הקיצון של gg באותו xx

g(e1.5)=a⋅(−e32)=0.6e3\begin{aligned}g(e^{1.5}) &= a \cdot \left(-\frac{e^3}{2}\right) \\ &= 0.6e^3\end{aligned}
a=−1.2a = -1.2

a=−1.2a = -1.2.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 27

תרגיל 28

נתונה הפונקציה g(x)=a⋅f(x)g(x) = a \cdot f(x). aa הוא פרמטר שונה מ־00. הפונקציות g(x)g(x) ו־f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־yy של נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x) הוא 0.6⋅e30.6 \cdot e^3. ה (2). מהו סוג נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x)? נמקו את תשובתכם.

  1. אמינימום: שיעור ה־yy של הקיצון חיובי
  2. במקסימום: a<0a < 0 הופך את המינימום של ff
  3. גמקסימום: a>0a > 0 מגדיל את ערכי ff
  4. דמינימום: ל־gg ול־ff יש קיצון באותו xx
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב מקסימום: a<0a < 0 הופך את המינימום של ff

הפתרון:

g′(x)=−1.2⋅f′(x)g'(x) = -1.2 \cdot f'(x)

סימן הנגזרת מתהפך

0<x<e1.5:g′>0,x>e1.5:g′<00 < x < e^{1.5}: g' > 0, \quad x > e^{1.5}: g' < 0

מקסימום: a=−1.2<0a = -1.2 < 0, ולכן gg עולה לפני e1.5e^{1.5} ויורדת אחריו.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 28

תרגיל 29

נתונה הפונקציה g(x)=a⋅f(x)g(x) = a \cdot f(x). aa הוא פרמטר שונה מ־00. הפונקציות g(x)g(x) ו־f(x)f(x) מוגדרות באותו התחום. נתון כי שיעור ה־yy של נקודת הקיצון של הפונקציה g(x)g(x) הוא 0.6⋅e30.6 \cdot e^3. ה (3). קבעו איזה מן הגרפים II–IVIV שלפניכם מתאר את הפונקציה g(x)g(x). נמקו את קביעתכם.

  1. אגרף III
  2. בגרף IV
  3. גגרף II
  4. דגרף I
להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף IV

הפתרון:

g(x)=−1.2⋅f(x)g(x) = -1.2 \cdot f(x)

שיקוף של ff ביחס לציר ה־xx ומתיחה

max⁡(e1.5,0.6e3)≈(4.48,12.05),(e2,0)\max\left(e^{1.5}, 0.6e^3\right) \approx (4.48, 12.05), \quad (e^2, 0)

גרף IV: יוצא מעיגול ריק בראשית, עולה למקסימום וחותך את ציר ה־xx ב־e2e^2. גרף II מתחיל רחוק מהראשית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 29

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elevלגלות את elev לכיתה הזאת

השיעור הזה פתוח למנויים. פרק שלם בחינם: הפונקציה המעריכית