בגרות 35472 — חורף 2026

ב-elev השיעור הזה מגיע עם תרגילים שנבדקים מיד, רמז ברגע שנתקעים, ומעקב אחרי ההתקדמות.

לתרגל ב-elev

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35472 (4 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), חורף תשפ״ו, 2026. משך הבחינה: שעתיים. ענו על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – $33\frac{1}{3}$ נקודות). פרק ראשון – סדרות, גאומטרייה במרחב וגדילה ודעיכה: שאלות 1–3. פרק שני – חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי של פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־4 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־27 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

תרגילים

שאלה 1 — סדרות: יריד ספרים

תרגיל 1

א. מצאו כמה ספרים נמכרו ביום הראשון של היריד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 60

הפתרון:

\begin{aligned}a_1 + 2a_1 + 4a_1 &= 7a_1 \\ &= 420\end{aligned}

סדרה הנדסית שמנתה $2$

a_1 = 60

ביום הראשון נמכרו $60$ ספרים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 2

כל ספר ביריד נמכר ב־ $50$ שקלים. ב. מצאו את סך כל ההכנסות ממכירת הספרים במשך $7$ ימי היריד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 381000

הפתרון:

\begin{aligned}S_7 &= \frac{60\,(2^7 - 1)}{2 - 1} \\ &= 60 \cdot 127 \\ &= 7620\end{aligned}

סכום סדרה הנדסית

7620 \cdot 50 = 381000

ההכנסות: $381{,}000$ שקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 3

כל ספר ביריד נמכר ב־ $50$ שקלים. לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פרס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם $4{,}315$ שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם $315$ שקלים יותר מבחודש שלפניו. ג. מצאו לכמה חודשים פרס מנהל היריד את התרומה.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 24

הפתרון:

\begin{aligned}S_n &= \frac{381000}{2} \\ &= 190500\end{aligned}

מחצית ההכנסות

\frac{n}{2}\left(2 \cdot 4315 + (n - 1) \cdot 315\right) = 190500

סכום סדרה חשבונית

315n^2 + 8315n - 381000 = 0

\begin{aligned}n &= \frac{-8315 + \sqrt{8315^2 + 4 \cdot 315 \cdot 381000}}{2 \cdot 315} \\ &= \frac{-8315 + 23435}{630} \\ &= 24\end{aligned}

$n$ טבעי וחיובי

התרומה נפרסה על $24$ חודשים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 4

כל ספר ביריד נמכר ב־ $50$ שקלים. לאחר שהסתיים יריד הספרים החליט מנהל היריד לתרום מחצית מכל ההכנסות שהתקבלו ביריד. מנהל היריד פרס את התרומה לכמה חודשים. בחודש הראשון הוא תרם $4{,}315$ שקלים, ובכל חודש שלאחר מכן הוא תרם $315$ שקלים יותר מבחודש שלפניו. ד. מצאו מהו סכום הכסף שתרם מנהל היריד סך הכול בשני החודשים האמצעיים.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 15875

הפתרון:

\text{החודשים האמצעיים: } 12 \text{ ו־} 13

מתוך $24$ חודשים

\begin{aligned}b_{12} + b_{13} &= (4315 + 11 \cdot 315) + (4315 + 12 \cdot 315) \\ &= 7780 + 8095\end{aligned}

= 15875

בשני החודשים האמצעיים נתרמו $15{,}875$ שקלים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 2 — מנסרה ישרה, וקטורים

תרגיל 5

א. הביעו באמצעות $\underline{u}$ , $\underline{v}$ ו־ $\underline{w}$ את הווקטורים $\overrightarrow{CM}$ ו־ $\overrightarrow{PM}$ .

$\overrightarrow{CM} = \underline{w} + \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$
$\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{v}$ , $\overrightarrow{PM} = \underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$
$\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{3}{4}\underline{w}$
$\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$

הפתרון:

\begin{aligned}\overrightarrow{CM} &= \overrightarrow{CC'} + \overrightarrow{C'M} \\ &= \underline{w} + \frac{1}{2}\overrightarrow{C'D'} \\ &= \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}\end{aligned}

$\overrightarrow{C'D'} = \overrightarrow{BA} = -\underline{u}$

\begin{aligned}\overrightarrow{PM} &= \overrightarrow{PA'} + \overrightarrow{A'D'} + \overrightarrow{D'M} \\ &= \frac{1}{4}\underline{w} + \underline{v} + \frac{1}{2}\underline{u}\end{aligned}

$\overrightarrow{PA'} = \frac{1}{4}\underline{w}$

$\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$ , $\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 6

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . ב. מצאו את הערך של כל אחת מן המכפלות הסקלריות האלה: $\underline{u} \cdot \underline{w}$ , $\underline{v} \cdot \underline{w}$ , $\underline{u} \cdot \underline{v}$ .

$\underline{u} \cdot \underline{w} =$ ____ , $\underline{v} \cdot \underline{w} =$ ____ , $\underline{u} \cdot \underline{v} =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\underline{u} \cdot \underline{w} =$ 0 , $\underline{v} \cdot \underline{w} =$ 0 , $\underline{u} \cdot \underline{v} =$ 40

הפתרון:

\underline{w} \perp \underline{u}, \quad \underline{w} \perp \underline{v}

מנסרה ישרה: המקצוע הצדדי מאונך לבסיס

\begin{aligned}\underline{u} \cdot \underline{v} &= 8 \cdot 10 \cdot \cos 60^\circ \\ &= 40\end{aligned}

$\underline{u} \cdot \underline{w} = 0$ , $\underline{v} \cdot \underline{w} = 0$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 7

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ג. מצאו את הערך של $|\underline{w}|$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 12

הפתרון:

\begin{aligned}S_{ABCD} &= 8 \cdot 10 \cdot \sin 60^\circ \\ &= 40\sqrt{3}\end{aligned}

שטח מקבילית

\begin{aligned}40\sqrt{3} \cdot |\underline{w}| &= 480\sqrt{3} \Rightarrow |\underline{w}| \\ &= 12\end{aligned}

נפח מנסרה ישרה: שטח הבסיס כפול הגובה

$|\underline{w}| = 12$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 8

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ד. הוכיחו כי $\overrightarrow{PM}$ מאונך ל־ $\overrightarrow{CM}$ .

$\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$ , $\overrightarrow{CM} = \underline{w} - \frac{1}{2}\underline{u}$
$|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{w}| = 12$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ , $\underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$

$\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM}$

להציג את התשובה והפתרון

$\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -\frac{1}{4}|\underline{u}|^2 - \frac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{v} + \frac{1}{4}|\underline{w}|^2$ — פתיחת סוגריים; המכפלות עם $\underline{w}$ של $\underline{u}$ ו־ $\underline{v}$ מתאפסות
$\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -16 - 20 + 36 = 0$ — מציבים $|\underline{u}|^2 = 64$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ , $|\underline{w}|^2 = 144$
$\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM}$ — מכפלה סקלרית אפס של וקטורים שונים מאפס

הפתרון:

\overrightarrow{PM} \cdot \overrightarrow{CM} = -\tfrac{1}{4}\underline{u}^2 + \tfrac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{2}\underline{u} \cdot \underline{v} + \underline{v} \cdot \underline{w} - \tfrac{1}{8}\underline{u} \cdot \underline{w} + \tfrac{1}{4}\underline{w}^2

= -16 + 0 - 20 + 0 - 0 + 36 = 0

המכפלה הסקלרית היא $0$ : $\overrightarrow{PM} \perp \overrightarrow{CM}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 9

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ה (1). הראו כי $\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$ .

$\overrightarrow{PM} = \frac{1}{2}\underline{u} + \underline{v} + \frac{1}{4}\underline{w}$
$|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $|\underline{w}| = 12$ , $\underline{u} \cdot \underline{v} = 40$ , $\underline{u} \cdot \underline{w} = \underline{v} \cdot \underline{w} = 0$

$\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$

להציג את התשובה והפתרון

$\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = \frac{1}{4}|\underline{u}|^2 + |\underline{v}|^2 + \frac{1}{16}|\underline{w}|^2 + \underline{u} \cdot \underline{v}$ — ריבוע של סכום וקטורים; המכפלות עם $\underline{w}$ מתאפסות
$\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = 16 + 100 + 9 + 40 = 165$ — מציבים את הנתונים
$\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$ — אורך הוא מספר חיובי

הפתרון:

\left|\overrightarrow{PM}\right|^2 = \tfrac{1}{4} \cdot 64 + 100 + \tfrac{1}{16} \cdot 144 + 2 \cdot \tfrac{1}{2}\,\underline{u} \cdot \underline{v}

= 16 + 100 + 9 + 40 = 165

$\left|\overrightarrow{PM}\right| = \sqrt{165}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 10

נתון: $|\underline{u}| = 8$ , $|\underline{v}| = 10$ , $\angle DAB = 60^\circ$ . נתון: נפח המנסרה הוא $480\sqrt{3}$ . ה (2). חשבו את שטח המשולש $PMC$ . (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 81.24

הפתרון:

\begin{aligned}\left|\overrightarrow{CM}\right|^2 &= 144 + \tfrac{1}{4} \cdot 64 \\ &= 160 \Rightarrow CM \\ &= 4\sqrt{10}\end{aligned}

$\underline{u} \perp \underline{w}$

\begin{aligned}S &= \frac{PM \cdot CM}{2} \\ &= \frac{\sqrt{165} \cdot 4\sqrt{10}}{2} \\ &= 10\sqrt{66} \approx 81.24\end{aligned}

הזווית $PMC$ ישרה (סעיף ד)

שטח המשולש $PMC$ : $10\sqrt{66} \approx 81.24$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 3 — דעיכה: טמפרטורת ריבות

תרגיל 11

א. האם האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת התות היה גדול מן האחוז שבו ירדה בכל דקה הטמפרטורה של ריבת השזיפים? נמקו את תשובתכם.

כן: ריבת התות התחילה חמה יותר והפכה לקרה יותר
לא: ריבת התות חמה יותר, ולכן היא מתקררת לאט יותר
אי אפשר לדעת בלי לדעת את הטמפרטורות ההתחלתיות
לא: שתי הריבות יורדות באותו מספר מעלות בכל דקה

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א כן: ריבת התות התחילה חמה יותר והפכה לקרה יותר

הפתרון:

\begin{aligned}T_1(t) &= T_1 q_1^t \\ \quad T_2(t) &= T_2 q_2^t \\ \quad T_1 > T_2\end{aligned}

$1$ : תות, $2$ : שזיפים

q_1 \ge q_2 \Rightarrow T_1 q_1^t > T_2 q_2^t \ \text{לכל } t

אחוז ירידה קטן או שווה שומר על הסדר

\Rightarrow q_1 < q_2

בזמן מסוים ריבת השזיפים חמה יותר

כן: אחוז הירידה של ריבת התות גדול יותר.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 12

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה $42$ מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־ $42$ . ב. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת התות $15$ מעלות. (בדקות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 25.22

הפתרון:

42 \cdot 0.96^t = 15

t = \frac{\log(15 / 42)}{\log 0.96} \approx 25.22

כעבור כ־ $25.22$ דקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 13

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה $42$ מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־ $42$ . לאחר $6$ דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים $88\%$ מן הטמפרטורה ההתחלתית שלה. ג. מצאו בכמה אחוזים ירדה הטמפרטורה של ריבת השזיפים בכל דקה. (בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.11

הפתרון:

\begin{aligned}q^6 &= 0.88 \Rightarrow q \\ &= \sqrt[6]{0.88} \approx 0.97892\end{aligned}

(1 - 0.97892) \cdot 100 \approx 2.11

הטמפרטורה של ריבת השזיפים ירדה בכ־ $2.11\%$ בכל דקה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 14

נתון שהטמפרטורה ההתחלתית של ריבת התות הייתה $42$ מעלות, ובכל דקה היא ירדה ב־ $42$ . לאחר $6$ דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים $88\%$ מן הטמפרטורה ההתחלתית שלה. לאחר $10$ דקות מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של ריבת השזיפים $31$ מעלות. ד. מצאו כעבור כמה זמן מרגע ההכנסה של הריבות למקרר, הייתה הטמפרטורה של שתי הריבות זהה. (בדקות, בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4.64

הפתרון:

T_2 \cdot 0.97892^{10} = 31 \Rightarrow T_2 \approx 38.36

הטמפרטורה ההתחלתית של ריבת השזיפים

42 \cdot 0.96^t = 38.36 \cdot 0.97892^t

t = \frac{\log(42 / 38.36)}{\log(0.97892 / 0.96)} \approx 4.64

כעבור כ־ $4.64$ דקות.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 4 — פונקציה מעריכית זוגית

תרגיל 15

א. קבעו איזה מן הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . נמקו את קביעתכם.

גרף I: שני מעברים מחיובי לשלילי ואחד משלילי לחיובי
גרף II: הוא עובר משלילי לחיובי פעמיים
שני הגרפים מתאימים: לשניהם שלוש נקודות חיתוך עם ציר ה־ $x$
גרף II: הוא עובר דרך ראשית הצירים

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א גרף I: שני מעברים מחיובי לשלילי ואחד משלילי לחיובי

הפתרון:

f' : + \to -

מקסימום של $f$

f' : - \to +

מינימום של $f$

+ \to - \to + \to -

שני מקסימומים ומינימום אחד: הסימנים של גרף I משמאל לימין

גרף I. בגרף II הסימנים הפוכים: הוא מתאר שני מינימומים ומקסימום אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 16

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ב. מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$x$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 0 $,$ 0 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}6x^2 &= 0 \Rightarrow x \\ &= 0\end{aligned}

המכנה חיובי תמיד

נקודת החיתוך: $(0, 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 17

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ג. הוכיחו כי הפונקציה $f(x)$ היא זוגית.

$f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ מוגדרת לכל $x$

$f(x)$ זוגית

להציג את התשובה והפתרון

$(-x)^2 = x^2$ — חזקה זוגית של מספר נגדי
$f(-x) = \frac{6(-x)^2}{e^{(-x)^2 + 2}} = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ — הצבה של $-x$
$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ — השוואה לנוסחת הפונקציה
$f(x)$ זוגית — הגדרת פונקציה זוגית, ותחום ההגדרה סימטרי

הפתרון:

\begin{aligned}f(-x) &= \frac{6(-x)^2}{e^{(-x)^2 + 2}} \\ &= \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}} \\ &= f(x)\end{aligned}

$f(-x) = f(x)$ לכל $x$ : הפונקציה זוגית.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 18

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ד. מצאו את שיעורי נקודות הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגן. (מהקטנה ל־ $x$ לגדולה; את $y$ בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$y$ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$ , $($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ -1 $,$ 0.299 $)$ , $($ 0 $,$ 0 $)$ , $($ 1 $,$ 0.299 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{12x - 12x^3}{e^{x^2 + 2}} \\ &= \frac{12x(1 - x)(1 + x)}{e^{x^2 + 2}}\end{aligned}

$\left(e^{x^2 + 2}\right)' = 2x\,e^{x^2 + 2}$

\begin{aligned}f' &= 0 \Rightarrow x \\ &= -1 \\ 0 \\ 1\end{aligned}

(\pm 1, 6e^{-3}) \approx (\pm 1, 0.299): \ \max, \qquad (0, 0): \ \min

הסימנים: $+, -, +, -$

מקסימום ב־ $\left(\pm 1, \frac{6}{e^3}\right)$ , מינימום ב־ $(0, 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 19

הגרפים I–IV

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ה. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

גרף I
גרף III
גרף II
גרף IV

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף III

הפתרון:

\begin{aligned}f \ge 0 \\ \quad f(-x) &= f(x)\end{aligned}

סעיפים ב–ג

\max(\pm 1, 0.299), \ \min(0, 0)

סעיף ד

x \to \pm\infty: f \to 0

האסימפטוטה $y = 0$

גרף III: סימטרי, נוגע בראשית, שתי פסגות ב־ $x = \pm 1$ , ומתקרב לציר ה־ $x$ בשני הצדדים. גרף I הפוך, בגרף II הפסגות רחוקות, וגרף IV אינו סימטרי.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 20

נתון: $f(x) = \frac{6x^2}{e^{x^2 + 2}}$ . ו. חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ ועל ידי ציר ה־ $x$ . (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 0.597

הפתרון:

\begin{aligned}f' &= 0 \ \text{ב־} \ x \\ &= -1 \\ 0 \\ 1\end{aligned}

השטחים הסגורים: בין $-1$ ל־ $0$ ובין $0$ ל־ $1$

\begin{aligned}\int_0^1 f'(x)\,dx &= f(1) - f(0) \\ &= \frac{6}{e^3}\end{aligned}

$f' > 0$ בקטע

\begin{aligned}\int_{-1}^0 |f'(x)|\,dx &= f(-1) - f(0) \\ &= \frac{6}{e^3}\end{aligned}

$f' < 0$ בקטע, והפונקציה זוגית

S = \frac{12}{e^3} \approx 0.597

השטח: $\frac{12}{e^3} \approx 0.597$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

שאלה 5 — פונקציה לוגריתמית עם פרמטר

תרגיל 21

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

$x >$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $x >$ 0

הפתרון:

x > 0

תחום ההגדרה של $\ln x$

תחום ההגדרה: $x > 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 22

א (2). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ . (הנקודה היא $(e^k, 0)$ .)

$k =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $k =$ 2

הפתרון:

ax \neq 0 \ (x > 0, \ a \neq 0)

\begin{aligned}2 - \ln x &= 0 \Rightarrow x \\ &= e^2\end{aligned}

נקודת החיתוך: $(e^2, 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 23

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . ב. מצאו את הערך של $a$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 4

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= a(2 - \ln x) + ax \cdot \left(-\frac{1}{x}\right) \\ &= a(1 - \ln x)\end{aligned}

נגזרת של מכפלה

\begin{aligned}f'(e^3) &= a(1 - 3) \\ &= -2a \\ &= -8 \Rightarrow a \\ &= 4\end{aligned}

$a = 4$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 24

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ג (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 2.718 $,$ 10.873 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) &= 4(1 - \ln x) \\ &= 0 \Rightarrow x \\ &= e\end{aligned}

x < e: f' > 0, \quad x > e: f' < 0

מקסימום

\begin{aligned}f(e) &= 4e(2 - 1) \\ &= 4e \approx 10.873\end{aligned}

מקסימום ב־ $(e, 4e) \approx (2.718, 10.873)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 25

הגרפים I–IV

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. ג (2). קבעו איזה מן הגרפים $I$ – $IV$ שבסוף השאלה מתאר את הפונקציה $f(x)$ . נמקו את קביעתכם.

גרף I: יש לו מקסימום, והוא מתקרב לציר ה־ $x$ מימין
גרף II: מקסימום ב־ $(e, 4e)$ , ויורד אל $-\infty$
גרף IV: יוצא מהראשית ויורד אל נקודת מינימום
גרף III: יש לו מינימום

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף II: מקסימום ב־ $(e, 4e)$ , ויורד אל $-\infty$

הפתרון:

x \to 0^+: \ 4x(2 - \ln x) \to 0

$x\ln x \to 0$

\max(e, 4e), \quad (e^2, 0)

סעיפים א, ג (1)

x > e^2: f < 0, \ f \to -\infty

גרף I נפסל: אינו חוצה את ציר ה־ $x$

גרף II. גרף I אינו חוצה את הציר, וגרפים III ו־IV הם בעלי מינימום (שליליים ליד הראשית).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 26

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. נתונה הפונקציה $g(x) = -2f(x) + 37$ . ד (1). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $g(x)$ , וקבעו את סוגה. (בדיוק של שלוש ספרות אחרי הנקודה.)

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 2.718 $,$ 15.254 $)$

הפתרון:

\begin{aligned}g'(x) &= -2f'(x) \\ &= 0 \iff x \\ &= e\end{aligned}

g(e) = -8e + 37 \approx 15.254

x < e: g' < 0, \quad x > e: g' > 0

הכפל ב־ $-2$ הופך את המקסימום למינימום

מינימום ב־ $(e, 37 - 8e) \approx (2.718, 15.254)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

תרגיל 27

נתון כי בנקודה שבה $x = e^3$ , שיפוע המשיק לגרף הפונקציה $f(x)$ הוא $-8$ . הציבו $a = 4$ בפונקציה $f(x)$ , וענו על הסעיפים ג–ד. נתונה הפונקציה $g(x) = -2f(x) + 37$ . ד (2). האם גרף הפונקציה $f(x)$ חותך את גרף הפונקציה $g(x)$ ? נמקו את תשובתכם.

כן: $f$ מקבלת את כל הערכים, ולכן יש פתרון ל־ $f = g$
כן: בנקודה $x = e$ , שבה לשתי הפונקציות יש קיצון
לא: $g$ חיובית ו־ $f$ שלילית בכל התחום
לא: הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $4e < \frac{37}{3}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד לא: הערך הגדול ביותר של $f$ הוא $4e < \frac{37}{3}$

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) &= -2f(x) + 37 \iff f(x) \\ &= \frac{37}{3} \approx 12.33\end{aligned}

f(x) \le 4e \approx 10.87 < 12.33

המקסימום של $f$ (סעיף ג (1))

לא. הגרפים אינם נחתכים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev

השיעור הבא מחכה ב-elev

סרטונים, תרגול שנבדק מיד, ומסלול שמתקדם בקצב שלך — לכל הפרקים של הכיתה.

לתרגל ב-elev לגלות את elev לכיתה הזאת