בגרות 35572 — קיץ 2025, מועד ב׳ · שאלון 35572 — קיץ 2025, מועד ב׳, כיתה י״ב — שיעור ותרגילים עם פתרונות

בחינת הבגרות במתמטיקה, שאלון 35572 (5 יחידות לימוד, שאלון שני, תוכנית חדשה), קיץ תשפ״ה, 2025, מועד ב׳. משך הבחינה: שעתיים וארבעים וחמש דקות. ענו על שלוש מן השאלות 1–5, על שאלה אחת לפחות מכל פרק (לכל שאלה – $33\frac{1}{3}$ נקודות). פרק ראשון – גאומטרייה אנליטית, וקטורים, טריגונומטרייה במרחב, מספרים מרוכבים: שאלות 1–3. פרק שני – גדילה ודעיכה, פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות: שאלות 4–5. חומר עזר מותר בשימוש: מחשבון לא גרפי ודפי נוסחאות ל־5 יחידות לימוד.

כאן כתובות כל חמש השאלות, ב־37 סעיפים, כדי שאפשר יהיה להתאמן בכולן; בבחינה עצמה בוחרים שלוש. נוסח השאלות הוא נוסח הבחינה; סעיף שמבקש לסרטט, להסביר, להראות או להוכיח הפך כאן לבחירה בין תיאורים או לבניית הוכחה, וסעיף שמבקש ביטוי הפך להשלמת מקדמים. הפתרון המלא מופיע בסוף הבחינה.

תרגילים

שאלה 1 — אליפסה, מעגל ומשיק

תרגיל 1

א. הביעו באמצעות $k$ את משוואת המעגל.

$(x -$ ____ $k)^2 + y^2 =$ ____ $k^2$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(x -$ 3 $k)^2 + y^2 =$ 4 $k^2$

הפתרון:

\begin{aligned}a &= 5k \\ \quad b &= 4k\end{aligned}

קריאת הצירים מן המשוואה

\begin{aligned}c &= \sqrt{a^2 - b^2} \\ &= \sqrt{25k^2 - 16k^2} \\ &= 3k \Rightarrow F(3k, 0)\end{aligned}

המוקד הימני

(5k, 0)

נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־ $x$

\begin{aligned}R &= 5k - 3k \\ &= 2k\end{aligned}

הרדיוס הוא המרחק מן המרכז $F$ אל הנקודה $(5k, 0)$

(x - 3k)^2 + y^2 = 4k^2

משוואת המעגל: $(x - 3k)^2 + y^2 = 4k^2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 1

תרגיל 2

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־ $y$ . הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של הקטע $BF$ עם המעגל. ב (1). מצאו את היחס בין הקטע $BD$ ובין הקטע $DF$ . (יש לכתוב את היחס כמספר עשרוני.)

$\frac{BD}{DF} =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\frac{BD}{DF} =$ 1.5

הפתרון:

B(0, 4k)

החיתוך עם החלק החיובי של ציר ה־ $y$

\begin{aligned}BF &= \sqrt{(3k)^2 + (4k)^2} \\ &= 5k\end{aligned}

אורך הקטע $BF$

\begin{aligned}DF &= R \\ &= 2k\end{aligned}

$D$ על המעגל, ו־ $F$ מרכזו

\begin{aligned}BD &= BF - DF \\ &= 5k - 2k \\ &= 3k\end{aligned}

$D$ על הקטע $BF$

\begin{aligned}\frac{BD}{DF} &= \frac{3k}{2k} \\ &= \frac{3}{2}\end{aligned}

היחס הוא $BD : DF = 3 : 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 2

תרגיל 3

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־ $y$ . הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של הקטע $BF$ עם המעגל. ב (2). הביעו באמצעות $k$ את שיעורי הנקודה $D$ .

$D($ ____ $k ,$ ____ $k)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $D($ 1.8 $k ,$ 1.6 $k)$

הפתרון:

\overrightarrow{FD} = \frac{2}{5}\overrightarrow{FB}

$FD = 2k$ ו־ $FB = 5k$

\overrightarrow{FB} = (-3k, 4k)

\begin{aligned}D &= (3k, 0) + \frac{2}{5}(-3k, 4k) \\ &= \left(3k - \frac{6k}{5}, \frac{8k}{5}\right)\end{aligned}

D(1.8k, 1.6k)

$D(1.8k, 1.6k)$ , כלומר $D\left(\frac{9k}{5}, \frac{8k}{5}\right)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 3

תרגיל 4

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־ $y$ . הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של הקטע $BF$ עם המעגל. ג. הביעו באמצעות $k$ את משוואת המשיק למעגל בנקודה $D$ .

$y =$ ____ $x +$ ____ $k$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 0.75 $x +$ 0.25 $k$

הפתרון:

\begin{aligned}m_{FD} &= m_{BF} \\ &= \frac{4k - 0}{0 - 3k} \\ &= -\frac{4}{3}\end{aligned}

$D$ על הקטע $BF$

m = \frac{3}{4}

המשיק מאונך לרדיוס $FD$ בנקודת ההשקה

y - 1.6k = \frac{3}{4}(x - 1.8k)

ישר דרך $D(1.8k, 1.6k)$

y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}k

$1.6k - 1.35k = 0.25k$

המשיק: $y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}k$ , כלומר $3x - 4y + k = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 4

תרגיל 5

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־ $y$ . הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של הקטע $BF$ עם המעגל. בונים ריבוע שאורך הצלע שלו הוא $15$ . אחת מצלעות הריבוע נמצאת על המשיק שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג. הנקודה $B$ נמצאת בתוך הריבוע. ד. הביעו באמצעות $k$ את משוואת הישר שעליו נמצאת צלע הריבוע המקבילה למשיק.

$y =$ ____ $x +$ ____ $k +$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $y =$ 0.75 $x +$ 0.25 $k +$ 18.75

הפתרון:

3x - 4y + k = 0

המשיק מסעיף ג

\begin{aligned}3x - 4y + c &= 0 \\ \quad \frac{|c - k|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} &= 15\end{aligned}

הצלע המקבילה נמצאת במרחק $15$ מן המשיק

\begin{aligned}c &= k + 75 \\ \quad c &= k - 75\end{aligned}

3 \cdot 0 - 4 \cdot 4k + k = -15k < 0

הנקודה $B(0, 4k)$ מעל המשיק

c = k + 75

הצלע המקבילה בצד של $B$ , מעל המשיק, כדי ש־ $B$ תהיה בין שתי הצלעות

y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}k + 18.75

הצלע המקבילה למשיק: $3x - 4y + k + 75 = 0$ , כלומר $y = \frac{3}{4}x + \frac{1}{4}k + 18.75$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 5

תרגיל 6

הנקודה $B$ היא נקודת החיתוך של האליפסה עם החלק החיובי של ציר ה־ $y$ . הנקודה $D$ היא נקודת החיתוך של הקטע $BF$ עם המעגל. בונים ריבוע שאורך הצלע שלו הוא $15$ . אחת מצלעות הריבוע נמצאת על המשיק שאת משוואתו מצאתם בסעיף ג. הנקודה $B$ נמצאת בתוך הריבוע. נתון כי הנקודה $B$ היא נקודת המפגש של אלכסוני הריבוע. ה. מצאו את הערך של $k$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2.5

הפתרון:

d(B, \ell) = \frac{15}{2}

מפגש האלכסונים נמצא באמצע בין שתי הצלעות המקבילות

\begin{aligned}d(B, \ell) &= \frac{|3 \cdot 0 - 4 \cdot 4k + k|}{5} \\ &= \frac{15k}{5} \\ &= 3k\end{aligned}

מרחק נקודה מישר

\begin{aligned}3k &= 7.5 \Rightarrow k \\ &= 2.5\end{aligned}

$k = 2.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 6

רוצה לדעת אם הבנת?

ב-elev כל תרגיל נבדק ברגע שעונים, ורמז מגיע בדיוק כשנתקעים.

לתרגל ב-elev

שאלה 2 — מנסרה ישרה ווקטורים

תרגיל 7

א (1). הביעו באמצעות $\underline{w}$ , $\underline{v}$ , $\underline{u}$ את $\overrightarrow{O'N}$ .

$\overrightarrow{O'N} =$ ____ $\underline{u} +$ ____ $\underline{v} +$ ( ____ ) $\underline{w}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $\overrightarrow{O'N} =$ 0.25 $\underline{u} +$ 0.25 $\underline{v} +$ ( -0.5 ) $\underline{w}$

הפתרון:

\overrightarrow{O'B} = -\underline{w} + \underline{v}

\overrightarrow{O'E} = \frac{1}{3}\underline{v} - \frac{1}{3}\underline{w}

\begin{aligned}\overrightarrow{AE} &= \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'E} \\ &= -\underline{u} + \frac{1}{3}\underline{v} + \frac{2}{3}\underline{w}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{AN} &= \frac{3}{4}\overrightarrow{AE} \\ &= -\frac{3}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} + \frac{1}{2}\underline{w}\end{aligned}

\begin{aligned}\overrightarrow{O'N} &= \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AN} \\ &= -\underline{w} + \underline{u} + \overrightarrow{AN}\end{aligned}

\overrightarrow{O'N} = \frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}

מכנסים איברים

$\overrightarrow{O'N} = \frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 7

תרגיל 8

א (2). הוכיחו כי הנקודות $K , N , O'$ נמצאות על ישר אחד, ומצאו את היחס בין $O'K$ ובין $O'N$ . בנו את ההוכחה שהנקודות על ישר אחד.

$\overrightarrow{O'N} = \frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}$
הנקודה $K$ היא אמצע המקצוע $AB$

הנקודות $K , N , O'$ נמצאות על ישר אחד

להציג את התשובה והפתרון

$\overrightarrow{OK} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}$ — וקטור לאמצע קטע: $\overrightarrow{OK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB})$
$\overrightarrow{O'K} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}$ — $\overrightarrow{O'K} = \overrightarrow{O'O} + \overrightarrow{OK}$ , $\overrightarrow{O'O} = -\underline{w}$
$\overrightarrow{O'K} = 2 \cdot \overrightarrow{O'N}$ — כל מקדם ב־ $\overrightarrow{O'K}$ כפול מן המקדם המתאים ב־ $\overrightarrow{O'N}$
הנקודות $K , N , O'$ נמצאות על ישר אחד — שני וקטורים מקבילים שיש להם נקודת מוצא משותפת $O'$

הפתרון:

\overrightarrow{OK} = \frac{1}{2}(\underline{u} + \underline{v})

$K$ אמצע $AB$

\overrightarrow{O'K} = -\underline{w} + \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v}

\begin{aligned}\overrightarrow{O'K} &= 2\left(\frac{1}{4}\underline{u} + \frac{1}{4}\underline{v} - \frac{1}{2}\underline{w}\right) \\ &= 2 \cdot \overrightarrow{O'N}\end{aligned}

סעיף א (1)

הווקטורים $\overrightarrow{O'K}$ ו־ $\overrightarrow{O'N}$ מקבילים ויוצאים מאותה נקודה $O'$ , ולכן $K$ , $N$ , $O'$ על ישר אחד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 8

תרגיל 9

א (2). הוכיחו כי הנקודות $K , N , O'$ נמצאות על ישר אחד, ומצאו את היחס בין $O'K$ ובין $O'N$ . מצאו את היחס $\frac{O'K}{O'N}$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 2

הפתרון:

\overrightarrow{O'K} = \frac{1}{2}\underline{u} + \frac{1}{2}\underline{v} - \underline{w}

\overrightarrow{O'K} = 2 \cdot \overrightarrow{O'N}

משווים לתוצאה של סעיף א (1)

\frac{O'K}{O'N} = 2

היחס הוא $O'K : O'N = 2 : 1$ : הנקודה $N$ היא אמצע הקטע $O'K$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 9

תרגיל 10

נתון: $O(0, 0, 0)$ , $A(4, 0, 0)$ , $E(0, 1, 6)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $O'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ב. מצאו את שיעורי הנקודות $N$ ו־ $B$ .

$N($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$ , $B($ ____ $,$ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $N($ 1 $,$ 0.75 $,$ 4.5 $)$ , $B($ 0 $,$ 3 $,$ 0 $)$

הפתרון:

B(0, b, 0), \quad O'(0, 0, h)

נתוני המיקום

\begin{aligned}E &= O' + \frac{1}{3}(B - O') \\ &= \left(0, \frac{b}{3}, \frac{2h}{3}\right) \\ &= (0, 1, 6)\end{aligned}

\begin{aligned}b &= 3 \\ \quad h &= 9 \Rightarrow B(0, 3, 0) \\ \ O'(0, 0, 9)\end{aligned}

\begin{aligned}N &= A + \frac{3}{4}(E - A) \\ &= (4, 0, 0) + \frac{3}{4}(-4, 1, 6)\end{aligned}

N(1, 0.75, 4.5)

$N(1, 0.75, 4.5)$ , $B(0, 3, 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 10

תרגיל 11

נתון: $O(0, 0, 0)$ , $A(4, 0, 0)$ , $E(0, 1, 6)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $O'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ג. מצאו את משוואת המישור $A'KB'$ .

$3x +$ ____ $y +$ ____ $z =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $3x +$ 4 $y +$ 0 $z =$ 12

הפתרון:

A'(4, 0, 9), \quad B'(0, 3, 9), \quad K(2, 1.5, 0)

$\overrightarrow{AA'} = \overrightarrow{BB'} = \overrightarrow{OO'}$ ו־ $K$ אמצע $AB$

\begin{aligned}\overrightarrow{A'B'} &= (-4, 3, 0) \\ \quad \overrightarrow{A'K} &= (-2, 1.5, -9)\end{aligned}

שני וקטורים במישור

\begin{aligned}\underline{n} &= \overrightarrow{A'B'} \times \overrightarrow{A'K} \\ &= (-27, -36, 0) \parallel (3, 4, 0)\end{aligned}

וקטור נורמל

\begin{aligned}3x + 4y &= d \\ \quad A'(4, 0, 9): \ d &= 12\end{aligned}

מציבים נקודה

\begin{aligned}K: 6 + 6 &= 12 \\ \quad B': 0 + 12 &= 12\end{aligned}

בדיקה

המישור $A'KB'$ : $3x + 4y = 12$ . זה המישור של הפאה $ABB'A'$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 11

תרגיל 12

נתון: $O(0, 0, 0)$ , $A(4, 0, 0)$ , $E(0, 1, 6)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $O'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ד (1). מצאו את המרחק בין הנקודה $N$ ובין המישור $A'KB'$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 1.2

הפתרון:

\begin{aligned}N(1, 0.75, 4.5) \\ \quad 3x + 4y - 12 &= 0\end{aligned}

סעיפים ב–ג

\begin{aligned}d &= \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 0.75 - 12|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \\ &= \frac{|-6|}{5}\end{aligned}

מרחק נקודה ממישור

d = 1.2

המרחק הוא $\frac{6}{5} = 1.2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 12

תרגיל 13

נתון: $O(0, 0, 0)$ , $A(4, 0, 0)$ , $E(0, 1, 6)$ . הקודקוד $B$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $y$ , והקודקוד $O'$ נמצא על החלק החיובי של ציר ה־ $z$ . ד (2). מצאו את נפח הפירמידה $NA'KB'$ .

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

\begin{aligned}A'B' &= \sqrt{16 + 9} \\ &= 5\end{aligned}

בסיס המשולש $A'KB'$

h_K = 9

המרחק מ־ $K$ (בגובה $z = 0$ ) אל הישר $A'B'$ (בגובה $z = 9$ ) בתוך הפאה המלבנית $ABB'A'$

\begin{aligned}S_{A'KB'} &= \frac{5 \cdot 9}{2} \\ &= 22.5\end{aligned}

V = \frac{1}{3} \cdot 22.5 \cdot 1.2

הגובה לפירמידה הוא המרחק מסעיף ד (1)

V = 9

נפח הפירמידה הוא $9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 13

שאלה 3 — מספרים מרוכבים

תרגיל 14

א. מצאו את המספר $z_2$ .

$z_2 =$ ____ $+$ ____ $i$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $z_2 =$ -2 $+$ 5 $i$

הפתרון:

z_2 = \frac{-19 + 4i}{2 + 3i}

= \frac{(-19 + 4i)(2 - 3i)}{(2 + 3i)(2 - 3i)} = \frac{-38 + 57i + 8i + 12}{13}

כופלים בצמוד

= \frac{-26 + 65i}{13} = -2 + 5i

$z_2 = -2 + 5i$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 14

תרגיל 15

נתונה המשוואה $w^3 = z_1 + z_2$ , $w$ הוא משתנה מרוכב. ב. מצאו את פתרונות המשוואה.

א $1 + \sqrt{3}i$ , $-2$ , $1 - \sqrt{3}i$
ב $\sqrt{3} + i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2i$
ג $2i$ , $\sqrt{3} - i$ , $-\sqrt{3} - i$
ד $\sqrt{3} + i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2i$ , $2i$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $\sqrt{3} + i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2i$

הפתרון:

\begin{aligned}z_1 + z_2 &= (2 + 3i) + (-2 + 5i) \\ &= 8i \\ &= 8\,\text{cis}\,90^\circ\end{aligned}

סעיף א

\begin{aligned}w &= \sqrt[3]{8}\,\text{cis}\frac{90^\circ + 360^\circ k}{3} \\ &= 2\,\text{cis}(30^\circ + 120^\circ k)\end{aligned}

משפט דה מואבר, $k = 0, 1, 2$

\begin{aligned}w_1 &= 2\,\text{cis}\,30^\circ \\ &= \sqrt{3} + i\end{aligned}

\begin{aligned}w_2 &= 2\,\text{cis}\,150^\circ \\ &= -\sqrt{3} + i\end{aligned}

\begin{aligned}w_3 &= 2\,\text{cis}\,270^\circ \\ &= -2i\end{aligned}

הפתרונות: $\sqrt{3} + i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2i$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 15

תרגיל 16

נתון מספר מרוכב $z = 2(\cos\theta + i \cdot \sin\theta)$ , $0^\circ \le \theta < 360^\circ$ . נתון כי המספרים $z$ ו־ $z^3$ נמצאים על ישר אחד שעובר בראשית הצירים. ג. מצאו את ארבע האפשרויות של המספר $z$ .

א $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$ , $-\sqrt{2} + \sqrt{2}i$ , $-\sqrt{2} - \sqrt{2}i$ , $\sqrt{2} - \sqrt{2}i$
ב $2$ , $-1 + \sqrt{3}i$ , $-1 - \sqrt{3}i$ , $-2$
ג $2$ , $1 + \sqrt{3}i$ , $-1 + \sqrt{3}i$ , $-2$
ד $2$ , $2i$ , $-2$ , $-2i$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $2$ , $2i$ , $-2$ , $-2i$

הפתרון:

z^3 = 8\,\text{cis}\,3\theta

משפט דה מואבר

3\theta = \theta + 180^\circ m

על ישר אחד דרך הראשית: הזוויות שוות או נבדלות ב־ $180^\circ$

\begin{aligned}2\theta &= 180^\circ m \Rightarrow \theta \\ &= 0^\circ \\ 90^\circ \\ 180^\circ \\ 270^\circ\end{aligned}

בתחום $0^\circ \le \theta < 360^\circ$

\begin{aligned}z &= 2 \\ \ 2i \\ \ -2 \\ \ -2i\end{aligned}

ארבע האפשרויות: $z = 2$ , $2i$ , $-2$ , $-2i$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 16

תרגיל 17

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב וארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס. ד (1). סרטטו את המצולע במערכת צירים. בחרו את התיאור שמתאים לסרטוט.

אמעוין שקודקודיו $2$ , $2i$ , $-2$ , $-2i$
במשושה שקודקודיו $2$ , $2i$ , $-\sqrt{3} - i$ , $-2$ , $-2i$ , $\sqrt{3} - i$
גמשובע שקודקודיו $2$ , $\sqrt{3} + i$ , $2i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2$ , $-2i$ , $-2i$
דמשושה שקודקודיו $2$ , $\sqrt{3} + i$ , $2i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2$ , $-2i$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד משושה שקודקודיו $2$ , $\sqrt{3} + i$ , $2i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2$ , $-2i$

הפתרון:

\sqrt{3} + i, \ -\sqrt{3} + i, \ -2i

הפתרונות של סעיף ב

2, \ 2i, \ -2, \ -2i

המספרים של סעיף ג

-2i

מופיע בשתי הרשימות: קודקוד אחד

|z| = 2

כל הנקודות על מעגל שמרכזו בראשית ורדיוסו $2$ , ולכן המצולע קמור

0^\circ, 30^\circ, 90^\circ, 150^\circ, 180^\circ, 270^\circ

הזוויות של הקודקודים, לפי הסדר

משושה שקודקודיו, לפי הסדר: $2$ , $\sqrt{3} + i$ , $2i$ , $-\sqrt{3} + i$ , $-2$ , $-2i$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 17

תרגיל 18

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב וארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס. ד (2). חשבו את השטח של המצולע. (בבחינה אפשר להשאיר שורש בתשובה; כאן יש לכתוב מספר עשרוני בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9.4641

הפתרון:

0^\circ, 30^\circ, 90^\circ, 150^\circ, 180^\circ, 270^\circ

הזוויות של הקודקודים, ורדיוס $2$

30^\circ, 60^\circ, 60^\circ, 30^\circ, 90^\circ, 90^\circ

הזוויות המרכזיות בין קודקודים סמוכים

\begin{aligned}S &= \sum \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 \cdot \sin\varphi \\ &= 2(\sin 30^\circ + \sin 60^\circ + \sin 60^\circ + \sin 30^\circ + \sin 90^\circ + \sin 90^\circ)\end{aligned}

מחלקים לשישה משולשים שקודקודם בראשית

\begin{aligned}S &= 2\left(0.5 + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + 0.5 + 1 + 1\right) \\ &= 6 + 2\sqrt{3}\end{aligned}

S \approx 9.46

שטח המצולע: $6 + 2\sqrt{3} \approx 9.46$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 18

תרגיל 19

פתרונות המשוואה שמצאתם בסעיף ב וארבעת המספרים שמצאתם בסעיף ג, מייצגים את כל הקודקודים של מצולע קמור במישור גאוס. נתון מספר מרוכב $3(\cos\alpha + i\sin\alpha)$ , $0^\circ \le \alpha < 360^\circ$ . מכפילים כל אחד מן המספרים המייצגים את קודקודי המצולע במספר מרוכב זה, כך שנוצר מצולע חדש. ה. מצאו פי כמה גדול שטח המצולע החדש משטח המצולע שמצאתם בסעיף ד.

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 9

הפתרון:

3\,\text{cis}\,\alpha \cdot z

הכפלה מסובבת ב־ $\alpha$ ומגדילה פי $3$ את המרחק מן הראשית

\frac{S_2}{S_1} = 3^2

כל אורך גדל פי $3$ , והשטח פי $3^2$

9

שטח המצולע החדש גדול פי $9$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 19

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

תרגיל 20

ענו על התת־סעיפים (1)–(3). הביעו את תשובותיכם באמצעות $b$ , אם יש צורך. א (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות של הפונקציה $f(x)$ המאונכות לצירים.

א $y = b + 1$ , $y = b - 1$ , $x = 0$
ב $y = b + 1$ , $y = b - 1$
ג $y = 1$ , $y = -1$
ד $y = b + 1$ בלבד

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $y = b + 1$ , $y = b - 1$

הפתרון:

e^x - x > 0

הפונקציה מוגדרת לכל $x$ : אין אסימפטוטה אנכית

x \to \infty: \ \frac{e^x + x}{e^x - x} = \frac{1 + x e^{-x}}{1 - x e^{-x}} \to 1

$x e^{-x} \to 0$

x \to -\infty: \ \frac{e^x + x}{e^x - x} \to \frac{x}{-x} = -1

$e^x \to 0$

\begin{aligned}y &= b + 1 \\ \quad y &= b - 1\end{aligned}

האסימפטוטות: $y = b + 1$ (כאשר $x \to \infty$ ) ו־ $y = b - 1$ (כאשר $x \to -\infty$ ).

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 20

תרגיל 21

ענו על התת־סעיפים (1)–(3). הביעו את תשובותיכם באמצעות $b$ , אם יש צורך. א (2). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ .

$(0 ,\ b +$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $(0 ,\ b +$ 1 $)$

הפתרון:

f(0) = \frac{1 + 0}{1 - 0} + b

f(0) = 1 + b

נקודת החיתוך עם ציר ה־ $y$ : $(0, 1 + b)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 21

תרגיל 22

ענו על התת־סעיפים (1)–(3). הביעו את תשובותיכם באמצעות $b$ , אם יש צורך. א (3). מצאו את שיעורי נקודת הקיצון של הפונקציה $f(x)$ , וקבעו את סוגה.

אנקודת מינימום $\left(1 ,\ \frac{e + 1}{e - 1} + b\right)$
בנקודת מינימום $\left(-1 ,\ \frac{1 - e}{1 + e} + b\right)$
גנקודת מקסימום $\left(1 ,\ \frac{e + 1}{e - 1} + b\right)$
דנקודת מקסימום $(0 ,\ 1 + b)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג נקודת מקסימום $\left(1 ,\ \frac{e + 1}{e - 1} + b\right)$

הפתרון:

f'(x) = \frac{(e^x + 1)(e^x - x) - (e^x + x)(e^x - 1)}{(e^x - x)^2}

נגזרת של מנה

\begin{aligned}f'(x) &= \frac{2e^x - 2xe^x}{(e^x - x)^2} \\ &= \frac{2e^x(1 - x)}{(e^x - x)^2}\end{aligned}

פותחים סוגריים

\begin{aligned}f'(x) &= 0 \iff x \\ &= 1\end{aligned}

x < 1: \ f' > 0, \quad x > 1: \ f' < 0

הסימן נקבע על ידי $1 - x$

f(1) = \frac{e + 1}{e - 1} + b

נקודת מקסימום $\left(1, \frac{e + 1}{e - 1} + b\right)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 22

תרגיל 23

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה $y = 1.5$ . ב. מצאו את הערך של $b$ (מצאו את שתי האפשרויות). ( $b_1 < b_2$ )

$b_1 =$ ____ , $b_2 =$ ____

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $b_1 =$ 0.5 , $b_2 =$ 2.5

הפתרון:

\begin{aligned}y &= b + 1 \\ \quad y &= b - 1\end{aligned}

האסימפטוטות האופקיות מסעיף א (1)

\begin{aligned}b + 1 &= 1.5 \Rightarrow b \\ &= 0.5\end{aligned}

\begin{aligned}b - 1 &= 1.5 \Rightarrow b \\ &= 2.5\end{aligned}

$b = 0.5$ או $b = 2.5$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 23

תרגיל 24

הגרפים I–IV

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה $y = 1.5$ . הציבו בפונקציה $f(x)$ את הערך של $b$ הקטן ביותר שמצאתם, וענו על הסעיפים ג–ה. ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף IV
בגרף III
גגרף II
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף III

הפתרון:

\begin{aligned}y &= -0.5 \ (x \to -\infty) \\ \quad y &= 1.5 \ (x \to \infty)\end{aligned}

האסימפטוטות, $b = 0.5$

(0, 1.5)

החיתוך עם ציר ה־ $y$

\left(1, \frac{e + 1}{e - 1} + 0.5\right) \approx (1, 2.66)

נקודת המקסימום

x \approx -1.05

חיתוך יחיד עם ציר ה־ $x$ : הפונקציה עולה ב־ $x < 1$ מ־ $-0.5$ עד $2.66$

x > 1: \ f(x) > 1.5

הפונקציה יורדת אל האסימפטוטה מלמעלה

גרף III: משמאל קרוב ל־ $y = -0.5$ , עולה דרך $(0, 1.5)$ עד המקסימום $(1, 2.66)$ , ומימין יורד אל $y = 1.5$ . גרף I הוא השיקוף $f(-x)$ , בגרף II $b = 2.5$ , וגרף IV הוא $1 - f(x)$ , עם מינימום.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 24

תרגיל 25

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה $y = 1.5$ . הציבו בפונקציה $f(x)$ את הערך של $b$ הקטן ביותר שמצאתם, וענו על הסעיפים ג–ה. ידוע כי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ היא אחת משתי נקודות הפיתול של הפונקציה $f(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת לכל $x$ . ד (1). מצאו את משוואות האסימפטוטות של פונקציית הנגזרת $f'(x)$ המאונכות לצירים (אם יש כאלה).

אאין אסימפטוטות
ב $y = 1.5$ , $y = -0.5$
ג $y = 0$ , $x = 1$
ד $y = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד $y = 0$

הפתרון:

f'(x) = \frac{2e^x(1 - x)}{(e^x - x)^2}

סעיף א (3)

e^x - x > 0

אין אסימפטוטה אנכית

x \to \infty: \ f'(x) \approx \frac{2(1 - x)e^x}{e^{2x}} = \frac{2(1 - x)}{e^x} \to 0

x \to -\infty: \ f'(x) \approx \frac{2e^x(1 - x)}{x^2} \to 0

$e^x \to 0$

לפונקציית הנגזרת אסימפטוטה אחת: $y = 0$ , משני הצדדים.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 25

תרגיל 26

הגרפים I–IV

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה $y = 1.5$ . הציבו בפונקציה $f(x)$ את הערך של $b$ הקטן ביותר שמצאתם, וענו על הסעיפים ג–ה. ידוע כי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $y$ היא אחת משתי נקודות הפיתול של הפונקציה $f(x)$ . פונקציית הנגזרת $f'(x)$ מוגדרת לכל $x$ . ד (2). סרטטו סקיצה של גרף פונקציית הנגזרת $f'(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף IV
בגרף III
גגרף II
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף I

הפתרון:

\begin{aligned}f'(x) > 0 \ (x < 1) \\ \quad f'(1) &= 0 \\ \quad f'(x) < 0 \ (x > 1)\end{aligned}

סעיף א (3)

y = 0

אסימפטוטה משני הצדדים, סעיף ד (1)

f'(0) = 2

$x = 0$ נקודת פיתול של $f$ : נקודת קיצון של $f'$ , כאן מקסימום

x \approx 1.73: \ f' \approx -0.54

נקודת הפיתול השנייה של $f$ : מינימום של $f'$

גרף I: הנגזרת עולה מ־ $0$ עד המקסימום $(0, 2)$ , יורדת וחותכת את ציר ה־ $x$ ב־ $x = 1$ , מגיעה למינימום ושואפת ל־ $0$ . גרף II הוא $-f'$ , גרף III הוא $f'(-x)$ , וגרף IV הוא $|f'|$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 26

תרגיל 27

נתון כי לפונקציה $f(x)$ יש אסימפטוטה אופקית שמשוואתה $y = 1.5$ . הציבו בפונקציה $f(x)$ את הערך של $b$ הקטן ביותר שמצאתם, וענו על הסעיפים ג–ה. ה. לפניכם טענה: $\int_0^1 (f(x) - 1.5)\,dx > \frac{1}{e - 1}$ . האם הטענה נכונה? נמקו את תשובתכם.

אאינה נכונה: האינטגרל שווה בדיוק ל־ $\frac{1}{e - 1}$
בנכונה: ב־ $0 < x < 1$ מתקיים $f(x) - 1.5 > \frac{2x}{e - 1}$
גאינה נכונה: ב־ $0 < x < 1$ מתקיים $f(x) - 1.5 < \frac{2x}{e - 1}$
דנכונה: $f(x) - 1.5 > \frac{1}{e - 1}$ לכל $0 < x < 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב נכונה: ב־ $0 < x < 1$ מתקיים $f(x) - 1.5 > \frac{2x}{e - 1}$

הפתרון:

\begin{aligned}f(x) - 1.5 &= \frac{e^x + x}{e^x - x} - 1 \\ &= \frac{2x}{e^x - x}\end{aligned}

$b = 0.5$

(e^x - x)' = e^x - 1 > 0 \ (x > 0)

המכנה עולה בקטע $[0, 1]$

0 < e^x - x < e - 1 \ (0 < x < 1)

הערך הגדול ביותר של המכנה הוא ב־ $x = 1$

\frac{2x}{e^x - x} > \frac{2x}{e - 1} \ (0 < x < 1)

\int_0^1 \frac{2x}{e - 1}\,dx = \frac{1}{e - 1}

\int_0^1 (f(x) - 1.5)\,dx > \frac{1}{e - 1}

הטענה נכונה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 27

שאלה 5 — פונקציות לוגריתמיות

תרגיל 28

א (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $f(x)$ .

א $x > 0$
ב $x > 0$ , $x \neq e$
ג $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$
ד $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ , $x \neq 1$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ג $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$

הפתרון:

x > 0

תחום ההגדרה של $\ln(x)$

1 + \ln(x) \neq 0 \Rightarrow \ln(x) \neq -1 \Rightarrow x \neq \frac{1}{e}

המכנה שונה מ־ $0$

תחום ההגדרה: $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 28

תרגיל 29

א (2). מצאו את משוואת האסימפטוטה המאונכת לציר ה־ $x$ של הפונקציה $f(x)$ .

א $x = e$
ב $x = \frac{1}{e}$
ג $x = 0$
ד $x = -\frac{1}{e}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = \frac{1}{e}$

הפתרון:

x \to \frac{1}{e}: \ x\ln(x) \to -\frac{1}{e}, \quad 1 + \ln(x) \to 0

המונה אינו מתאפס

x \to 0^+: \ \frac{x\ln(x)}{1 + \ln(x)} \to \frac{0}{-\infty} = 0

אין אסימפטוטה ב־ $x = 0$

האסימפטוטה האנכית: $x = \frac{1}{e}$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 29

תרגיל 30

א (3). מצאו את שיעורי נקודת החיתוך של גרף הפונקציה $f(x)$ עם ציר ה־ $x$ .

$($ ____ $,$ ____ $)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: $($ 1 $,$ 0 $)$

הפתרון:

x \cdot \ln(x) = 0

מונה מתאפס

\begin{aligned}x > 0 \Rightarrow \ln(x) &= 0 \Rightarrow x \\ &= 1\end{aligned}

(1, 0)

נקודת החיתוך עם ציר ה־ $x$ : $(1, 0)$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 30

תרגיל 31

ב. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה $f(x)$ (אם יש כאלה).

אעולה ב־ $0 < x < 1$ ויורדת ב־ $x > 1$
בעולה ב־ $0 < x < \frac{1}{e}$ וב־ $x > \frac{1}{e}$ ; אין תחום ירידה
גיורדת ב־ $0 < x < \frac{1}{e}$ וב־ $x > \frac{1}{e}$ ; אין תחום עלייה
דיורדת ב־ $0 < x < \frac{1}{e}$ ועולה ב־ $x > \frac{1}{e}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב עולה ב־ $0 < x < \frac{1}{e}$ וב־ $x > \frac{1}{e}$ ; אין תחום ירידה

הפתרון:

f'(x) = \frac{(\ln(x) + 1)(1 + \ln(x)) - x\ln(x) \cdot \frac{1}{x}}{(1 + \ln(x))^2}

נגזרת של מנה

f'(x) = \frac{\ln^2(x) + \ln(x) + 1}{(1 + \ln(x))^2}

\begin{aligned}t^2 + t + 1 > 0 \\ \quad \Delta &= 1 - 4 < 0\end{aligned}

מציבים $t = \ln(x)$

f'(x) > 0

בכל תחום ההגדרה

הפונקציה עולה ב־ $0 < x < \frac{1}{e}$ וב־ $x > \frac{1}{e}$ , ואין לה תחום ירידה.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 31

תרגיל 32

הגרפים I–IV

ג. סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $f(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף II
בגרף IV
גגרף III
דגרף I

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב גרף IV

הפתרון:

x \to 0^+: \ f \to 0

x \to \frac{1}{e}^-: \ f \to \infty, \quad x \to \frac{1}{e}^+: \ f \to -\infty

מונה שלילי, מכנה שואף ל־ $0$

(1, 0)

חיתוך עם ציר ה־ $x$

f'(x) > 0

עולה בשני הקטעים, סעיף ב

x \to \infty: \ f \to \infty

גרף IV: בקטע $0 < x < \frac{1}{e}$ הגרף עולה מ־ $0$ אל $+\infty$ , ובקטע $x > \frac{1}{e}$ הוא עולה מ־ $-\infty$ דרך $(1, 0)$ . גרף I הוא $-f$ , בגרף II האסימפטוטה ב־ $x = e$ , ובגרף III הענף השמאלי יורד.

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 32

תרגיל 33

נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x \cdot \ln(x)}$ . ד (1). מצאו את תחום ההגדרה של הפונקציה $g(x)$ .

א $x > 0$ , $x \neq 1$
ב $x > 0$ , $x \neq \frac{1}{e}$
ג $x \neq 0$ , $x \neq 1$
ד $x > 0$ , $x \neq 1$ , $x \neq \frac{1}{e}$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א $x > 0$ , $x \neq 1$

הפתרון:

x > 0

תחום ההגדרה של $\ln(x)$

x \cdot \ln(x) \neq 0 \Rightarrow \ln(x) \neq 0 \Rightarrow x \neq 1

המכנה שונה מ־ $0$

\begin{aligned}g\left(\frac{1}{e}\right) &= \frac{0}{-\frac{1}{e}} \\ &= 0\end{aligned}

ב־ $x = \frac{1}{e}$ הפונקציה מוגדרת

תחום ההגדרה: $x > 0$ , $x \neq 1$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 33

תרגיל 34

נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x \cdot \ln(x)}$ . ד (2). מצאו את משוואות האסימפטוטות המאונכות לצירים של הפונקציה $g(x)$ .

א $x = 0$ , $x = \frac{1}{e}$ , $y = 0$
ב $x = 0$ , $x = 1$ , $y = 0$
ג $x = 0$ , $x = 1$ , $y = 1$
ד $x = 1$ , $y = 0$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ב $x = 0$ , $x = 1$ , $y = 0$

הפתרון:

g(x) = \frac{1}{x\ln(x)} + \frac{1}{x}

מפרקים את השבר

x \to 1: \ x\ln(x) \to 0, \ 1 + \ln(x) \to 1

אסימפטוטה $x = 1$

x \to 0^+: \ g(x) = \frac{1}{x} \cdot \frac{1 + \ln(x)}{\ln(x)} \to \infty

$\frac{1 + \ln(x)}{\ln(x)} \to 1$ : אסימפטוטה $x = 0$

x \to \infty: \ g(x) \to 0

אסימפטוטה $y = 0$

האסימפטוטות: $x = 0$ , $x = 1$ , $y = 0$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 34

תרגיל 35

הגרפים I–IV

נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x \cdot \ln(x)}$ . ד (3). סרטטו סקיצה של גרף הפונקציה $g(x)$ . בחרו את הגרף (I–IV) שמתאים לסקיצה.

אגרף IV
בגרף I
גגרף III
דגרף II

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: ד גרף II

הפתרון:

g(x) = \frac{1}{f(x)}

g'(x) = -\frac{f'(x)}{f^2(x)} < 0

יורדת בכל קטע של תחום ההגדרה

\left(\frac{1}{e}, 0\right)

חיתוך עם ציר ה־ $x$

x \to 0^+: \ g \to \infty, \quad x \to 1^-: \ g \to -\infty, \quad x \to 1^+: \ g \to \infty, \quad x \to \infty: \ g \to 0

גרף II: בקטע $0 < x < 1$ הגרף יורד מ־ $+\infty$ דרך $\left(\frac{1}{e}, 0\right)$ אל $-\infty$ , ובקטע $x > 1$ הוא יורד מ־ $+\infty$ אל $y = 0$ . גרף I הוא $-g$ , גרף III שלילי בכל הקטע $0 < x < 1$ ואינו עובר דרך $\left(\frac{1}{e}, 0\right)$ , וגרף IV הוא $|g|$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 35

תרגיל 36

נתון הביטוי $\int_{e^k}^{e^{2k}} \left(\frac{1}{x \cdot \ln(x)} + \frac{1}{x}\right)dx$ , $k$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . ה (1). קבעו איזה מן הביטויים I–II שווה לערך של הביטוי הנתון. נמקו את קביעתכם. I. $k + \ln(k)$ II. $k + \ln 2$

אביטוי II: $k + \ln 2$
בביטוי I: $k + \ln(k)$

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: א ביטוי II: $k + \ln 2$

הפתרון:

\left(\ln(\ln(x))\right)' = \frac{1}{x\ln(x)}

נגזרת של פונקציה מורכבת; $\ln(x) > 0$ בקטע

\int \left(\frac{1}{x\ln(x)} + \frac{1}{x}\right)dx = \ln(\ln(x)) + \ln(x) + C

\left[\ln(\ln(x)) + \ln(x)\right]_{e^k}^{e^{2k}} = \ln(2k) + 2k - \ln(k) - k

= k + \ln\frac{2k}{k} = k + \ln 2

הביטוי II: ערך הביטוי הנתון הוא $k + \ln 2$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 36

תרגיל 37

נתונה הפונקציה $g(x) = \frac{1 + \ln(x)}{x \cdot \ln(x)}$ . נתון הביטוי $\int_{e^k}^{e^{2k}} \left(\frac{1}{x \cdot \ln(x)} + \frac{1}{x}\right)dx$ , $k$ הוא פרמטר גדול מ־ $1$ . ה (2). חשבו את השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה $g(x)$ , על ידי ציר ה־ $x$ ועל ידי הישרים $x = e^3$ ו־ $x = e^6$ . (יש לכתוב מספר עשרוני בדיוק של שתי ספרות אחרי הנקודה.)

להציג את התשובה והפתרון

התשובה: 3.6931

הפתרון:

g(x) = \frac{1}{x\ln(x)} + \frac{1}{x} > 0 \ (x > 1)

הגרף מעל ציר ה־ $x$ בקטע

\begin{aligned}e^3 &= e^k \\ \ e^6 &= e^{2k} \Rightarrow k \\ &= 3\end{aligned}

זה הביטוי של סעיף ה (1)

\begin{aligned}S &= k + \ln 2 \\ &= 3 + \ln 2\end{aligned}

S \approx 3.69

השטח: $3 + \ln 2 \approx 3.69$ .

לבדוק את התשובה שלי ב-elev — תרגיל 37

תרגילים

שאלה 1 — אליפסה, מעגל ומשיק

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 5

תרגיל 6

שאלה 2 — מנסרה ישרה ווקטורים

תרגיל 7

תרגיל 8

תרגיל 9

תרגיל 10

תרגיל 11

תרגיל 12

תרגיל 13

שאלה 3 — מספרים מרוכבים

תרגיל 14

תרגיל 15

תרגיל 16

תרגיל 17

תרגיל 18

תרגיל 19

שאלה 4 — פונקציה מעריכית עם פרמטר

תרגיל 20

תרגיל 21

תרגיל 22

תרגיל 23

תרגיל 24

תרגיל 25

תרגיל 26

תרגיל 27

שאלה 5 — פונקציות לוגריתמיות

תרגיל 28

תרגיל 29

תרגיל 30

תרגיל 31

תרגיל 32

תרגיל 33

תרגיל 34

תרגיל 35

תרגיל 36

תרגיל 37

השיעור הבא מחכה ב-elev