שלב 4 מתוך 19

הפונקציה הצוברת והמשפט היסודי

F(x)=∫axf(t) dt⟹F ′(x)=f(x)F(a)=0\begin{aligned}F(x) &= \int_a^x f(t)\,dt \qquad \Longrightarrow \qquad F\,'(x) \\ &= f(x) \\ \qquad F(a) &= 0\end{aligned}

למה F ′=fF\,'=f? מגדילים את xx בקצת, hh. לשטח נוסף פס צר ברוחב hh ובגובה בערך f(x)f(x), ולכן F(x+h)−F(x)≈f(x)⋅hF(x+h)-F(x) \approx f(x) \cdot h. מחלקים ב-hh ומקבלים את קצב השינוי של FF: הוא f(x)f(x). כלומר FF היא פונקציה קדומה של ff, זו שמתאפסת ב-aa. מכאן גם הדרך לחשב כל אינטגרל מסוים: ∫abf(x) dx=G(b)−G(a)\int_a^b f(x)\,dx=G(b)-G(a), לכל קדומה GG.