האסימפטוטות של הנגזרת

מוצאים אותן כמו בכל פונקציה. אסימפטוטה אנכית: ל- $f'$ יש בדרך כלל קיר באותו מקום כמו ל- $f$ . אסימפטוטה אופקית: מחשבים את הגבול של $f'(x)$ כאשר $x \to -\infty$ וכאשר $x \to +\infty$ . כאשר ל- $f$ יש אסימפטוטה אופקית בצד אחד, הגרף שלה נהיה כמעט ישר אופקי, ולכן בדרך כלל $f' \to 0$ באותו צד.

שאלהלפונקציה

f(x) = x + e^{-x}

יש אסימפטוטה אופקית? ולנגזרת שלה?

תרגיל 1 מתוך 6

בסרטוט הגרף של פונקציית הנגזרת

f'(x) = (x-1)^2e^x

. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה

f(x)

?

תרגיל 2 מתוך 6

נתונה הפונקציה

f(x) = xe^{-x}

. איזה מבין הגרפים מתאר את פונקציית הנגזרת

f'(x)

?

גרף IIגרף IIIגרף IVגרף I

תרגיל 3 מתוך 6

נתונה הפונקציה

f(x) = x + e^{-x}

. לפונקציית הנגזרת

f'(x)

יש אסימפטוטה אופקית

y = c

כאשר

x \to +\infty

. מצאו את

c

.

שאלה אהובה בבחינה: נתונה $g(x) = f(x) + ax$ , ושואלים בעבור אילו ערכים של $a$ יש ל- $g$ שתי נקודות קיצון. גוזרים: $g'(x) = f'(x) + a$ . נקודת קיצון של $g$ היא מקום שבו $g'(x) = 0$ , כלומר $f'(x) = -a$ . לכן סופרים כמה פעמים הישר האופקי $y = -a$ חותך את הגרף של $f'$ .

שתי טעויות של קריאת הגרף.

f' \downarrow \;\Rightarrow\; f \downarrow

f' < 0 \;\Rightarrow\; f \downarrow

$f$ יורדת כאשר הנגזרת שלילית, לא כאשר הנגזרת יורדת. נגזרת חיובית ויורדת אומרת ש- $f$ עדיין עולה, רק לאט יותר.

f'(1) = 0 \;\Rightarrow\; \max / \min

f'(1) = 0 ,\; f'(1^-) \cdot f'(1^+) < 0

אם הגרף של $f'$ רק נוגע בציר ה- $x$ וחוזר לאותו צד, הסימן לא מתחלף, ואין ל- $f$ קיצון.

תרגיל 4 מתוך 6

בסרטוט הגרף של

f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}

, הנגזרת של

f(x) = x^2e^{-x}

. נתונה הפונקציה

g(x) = f(x) + 0.1x

. כמה נקודות קיצון יש לפונקציה

g

?

תרגיל 5 מתוך 6

בסרטוט הגרף של

f'(x) = (2x - x^2)e^{-x}

. כמה נקודות פיתול יש לפונקציה

f

?

תרגיל 6 מתוך 6

טענהנתונה הפונקציה

f(x) = \frac{1}{e^x - 2}

. גם לפונקציית הנגזרת

f'(x)

יש אסימפטוטה אנכית

x = \ln 2

.

נכוןלא נכון

סיכום השלב

עוד אין תרגיל פתור בשלב הזה.

נקודות: 0
תשובות נכונות: 0
לחזרה היומית: 0

עוד 2 תרגיליםלא חובה

נתונה הפונקציה

f(x) = \frac{e^x}{e^x + 3}

. הנגזרת שלה היא

f'(x) = \frac{3e^x}{(e^x + 3)^2}

, ולגרף של

f'

יש נקודת מקסימום אחת. מהו שיעור ה-

x

שלה? עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

טענהאם בתחום מסוים

f'(x) > 0

והגרף של

f'

יורד, אז בתחום הזה

f

עולה וקעורה כלפי מטה.

נכוןלא נכון

בשלב הבא אינטגרל ושטח

להשתמש בגרף של הנגזרת

עוד אין תרגיל פתור בשלב הזה.