קוראים את הנגזרת הפוך

כל נגזרת שאנחנו מכירים נותנת לנו פונקציה קדומה. אם $\left(\ln|g(x)|\right)' = \frac{g'(x)}{g(x)}$ , אז $\ln|g(x)|$ היא פונקציה קדומה של $\frac{g'(x)}{g(x)}$ . באותה דרך, לפי כלל השרשרת $\left(e^{g(x)}\right)' = e^{g(x)} \cdot g'(x)$ . מזה מקבלים שתי נוסחאות:

שבר שהמונה שלו הוא הנגזרת של המכנה

\begin{aligned}f(x) &= \frac{2e^{2x} + e^x}{e^{2x} + e^x + 4} \quad \\ \quad 0 \le x \le \ln 2\end{aligned}

לחצו «להתחיל». נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של

f

, ציר ה-

x

והישרים

x = 0

ו-

x = \ln 2

. קודם בודקים את המכנה.

5 שלבים

הדרך תמיד אותה דרך: גוזרים את המכנה, משווים למונה, בודקים את הסימן של המכנה, ורק אז כותבים

\ln

.

שאלהמהי

\int \frac{e^x}{3e^x + 1}\,dx

? בדקו קודם את הנגזרת של המכנה.

חזקה של e כפול הנגזרת של המעריך

\begin{aligned}f(x) &= (2x + 1)\,e^{x^2 + x} \quad \\ \quad 0 \le x \le 1\end{aligned}

לחצו «להתחיל». נחשב את השטח המוגבל על ידי הגרף של

f

, ציר ה-

x

והישרים

x = 0

ו-

x = 1

. הפעם יש מכפלה, ולא שבר. מסתכלים על המעריך.

5 שלבים

אותה דרך מתאימה לכל ביטוי מהצורה

e^{g(x)} \cdot g'(x)

. למשל,

\int -\frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx = e^{1/x} + C

, כי

\left(\frac{1}{x}\right)' = -\frac{1}{x^2}

.

כשהמונה הוא לא הנגזרת: $\int_0^{\ln 3} \frac{1}{1 + e^{-x}}\,dx$

הנגזרת של $1 + e^{-x}$ היא $-e^{-x}$ , והמונה הוא $1$ . הנוסחה לא מתאימה. אבל אפשר לכפול את המונה ואת המכנה ב- $e^x$ , ואז הכול משתנה.

$\frac{1}{1 + e^{-x}} = \frac{1 \cdot e^x}{\left(1 + e^{-x}\right) e^x} = \frac{e^x}{e^x + 1}$ כופלים את המונה ואת המכנה ב- $e^x$ . הערך של השבר לא משתנה
$\left(e^x + 1\right)' = e^x$ עכשיו המונה הוא בדיוק הנגזרת של המכנה
$\int \frac{e^x}{e^x + 1}\,dx = \ln\left(e^x + 1\right) + C$ המכנה חיובי, ולכן אין צורך בערך מוחלט
$\left[\ln\left(e^x + 1\right)\right]_0^{\ln 3} = \ln 4 - \ln 2 = \ln 2 \approx 0.693$ $e^{\ln 3} = 3$ ו- $e^0 = 1$

תרגיל 1 מתוך 3

הגרף של

f(x) = \frac{e^x}{e^x - 5}

כאשר

x < 1.5

. הנקודות

A

ו-

B

נמצאות על הישרים

x = 0

ו-

x = \ln 2

.

נתונה הפונקציה

f(x) = \frac{e^x}{e^x - 5}

(ראו בסרטוט). חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של

f

, ציר ה-

x

והישרים

x = 0

ו-

x = \ln 2

. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

תרגיל 2 מתוך 3

חשבו את

\int_0^1 x\,e^{x^2}\,dx

. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

תרגיל 3 מתוך 3

חשבו את

\int_1^2 \frac{e^{1/x}}{x^2}\,dx

. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

סיכום השלב

עוד אין תרגיל פתור בשלב הזה.

נקודות: 0
תשובות נכונות: 0
לחזרה היומית: 0

עוד 2 תרגיליםלא חובה

איזו מהפונקציות הבאות היא פונקציה קדומה של

f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}}

?

\ln\left(1 + e^{-x}\right) + C

x + \ln\left(1 + e^x\right) + C

\ln\left(e^x + 1\right) + C

\frac{1}{x - e^{-x}} + C

טענה

\int \frac{1}{e^x + 2}\,dx = \ln\left(e^x + 2\right) + C

נכוןלא נכון

בשלב הבא שלוש טעויות שחוזרות בבחינה

כשהמונה הוא לא הנגזרת: ∫0ln⁡311+e−x dx\int_0^{\ln 3} \frac{1}{1 + e^{-x}}\,dx∫0ln3​1+e−x1​dx

עוד אין תרגיל פתור בשלב הזה.

כשהמונה הוא לא הנגזרת: $\int_0^{\ln 3} \frac{1}{1 + e^{-x}}\,dx$