שלוש טעויות שחוזרות בבחינה · הפונקציה המעריכית · כיתה י״ב

הטעויות של הנוסחה עם ln.

\int \frac{1}{e^x + 2}\,dx = \ln\left(e^x + 2\right) + C

\int \frac{e^x}{e^x + 2}\,dx = \ln\left(e^x + 2\right) + C

הנוסחה דורשת שהמונה יהיה הנגזרת של המכנה. בגזירה: $\left(\ln\left(e^x + 2\right)\right)' = \frac{e^x}{e^x + 2}$ , ולא $\frac{1}{e^x + 2}$ .

\int \frac{e^x}{e^x - 5}\,dx = \ln\left(e^x - 5\right) + C

\int \frac{e^x}{e^x - 5}\,dx = \ln\left|e^x - 5\right| + C

כאשר $x < \ln 5$ המכנה שלילי, ו- $\ln$ של מספר שלילי לא מוגדר. הערך המוחלט שומר על הנוסחה נכונה בשני הצדדים.

\int \frac{e^x}{2e^x + 1}\,dx = \ln\left(2e^x + 1\right) + C

\int \frac{e^x}{2e^x + 1}\,dx = \frac{1}{2}\ln\left(2e^x + 1\right) + C

הנגזרת של המכנה היא $2e^x$ , והמונה הוא רק חצי ממנה. שוכחים את המקדם $\frac{1}{2}$ .

תרגיל 1 מתוך 3

טענה

\int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}\,dx = \ln\left(e^x + e^{-x}\right) + C

נכוןלא נכון

תרגיל 2 מתוך 3

התאימו לכל פונקציה את הפונקציה הקדומה שלה (בלי

+C

).

לחצו על פריט מימין, ואז על בן-הזוג שלו משמאל

תרגיל 3 מתוך 3

נתונה הפונקציה

f(x) = e^x \cdot e^{e^x}

. חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של

f

, ציר ה-

x

והישרים

x = 0

ו-

x = \ln 2

. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.

סיכום השלב

עוד אין תרגיל פתור בשלב הזה.

עוד 2 תרגיליםלא חובה

נתון

a > 1

, ומתקיים

\int_0^{\ln a} \frac{e^x}{e^x + 1}\,dx = \ln 3

. מצאו את

a

.

מהי

\int \frac{e^{2x}}{e^{2x} + 1}\,dx

?

\frac{1}{2}\ln\left(e^{2x} + 1\right) + C

\frac{1}{2}e^{2x}\ln\left(e^{2x} + 1\right) + C

\ln\left(e^{2x} + 1\right) + C

2\ln\left(e^{2x} + 1\right) + C

בשלב הבא ארבעה צעדים