מחפשים פונקציה קדומה של f: פונקציה F שהנגזרת שלה היא f. מכיוון ש-(ex)′=ex, הפונקציה ex היא פונקציה קדומה של עצמה. בעזרת פונקציה קדומה מחשבים אינטגרל מסוים: ∫abf(x)dx=F(b)−F(a), כאשר a ו-b הם גבולות האינטגרציה. כאשר f חיובית בין הגבולות, האינטגרל שווה לשטח שבין הגרף לבין ציר ה-x.
∫ekx+mdx=k1ekx+m+C
השטח בין y=ex לבין y=1, כאשר 0≤x≤1
קובעים איזה גרף נמצא למעלה, ואז מחשבים את האינטגרל של הפונקציה העליונה פחות התחתונה.
- 0≤x≤1⇒ex≥e0=1ex עולה, ולכן בתחום הזה הגרף שלה נמצא מעל הישר y=1
- S=∫01(ex−1)dxהשטח הוא האינטגרל של ההפרש
- S=[ex−x]01=(e−1)−(1−0)פונקציה קדומה של ex−1 היא ex−x. מציבים את הגבול העליון ומחסרים את הגבול התחתון
- S=e−2≈0.718
שאלההאם ∫02exdx גדול מ-2? נסו לענות לפני שאתם מחשבים.
כן. כאשר 0≤x≤2 מתקיים ex≥1, ולכן השטח מתחת לגרף גדול מהשטח של מלבן שרוחבו 2 וגובהו 1. החישוב מאשר: e2−1≈6.389.
הטעות של המקדם במקום הלא נכון.
✗∫e3xdx=3e3x+C
✓∫e3xdx=31e3x+C
המקדם 3 יוצא בגזירה, ולכן בפונקציה הקדומה מחלקים בו. בודקים בגזירה: (3e3x)′=9e3x, ואילו (31e3x)′=e3x.
תרגיל 1 מתוך 3
חשבו את ∫01exdx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
תרגיל 2 מתוך 3
חשבו את ∫0ln2exdx.
תרגיל 3 מתוך 3
חשבו את ∫01e2xdx. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
עוד אין תרגיל פתור בשלב הזה.
- נקודות
- 0
- תשובות נכונות
- 0
- לחזרה היומית
- 0
עוד 7 תרגיליםלא חובה
הפונקציה F היא פונקציה קדומה של f(x)=e3x, ומתקיים F(0)=1. אפשר לכתוב F(x)=31e3x+C. מצאו את C. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
חשבו את השטח הכלוא בין הגרף של y=ex לבין הישר y=1, בתחום 0≤x≤ln3. עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
חשבו את השטח המוגבל על ידי הגרף של y=e−x, ציר ה-x, ציר ה-y והישר x=ln4.
טענהבלי לחשב את האינטגרל: ∫01ex2dx>1.
טענהבלי לחשב את האינטגרל: ∫−10exdx>1.
חשבו את ∫ln2ln5exdx.
איזו מהפונקציות הבאות היא פונקציה קדומה של f(x)=e5x−1?
בשלב הבא הנגזרת של ln, מדף הנוסחאות