להראות שהנגזרת שווה לביטוי נתון

בבחינה כמעט כל שאלה על $e^x$ מבקשת מכם לבדוק משהו שכבר כתוב בשאלה: «הראו כי $f'(x) = \dots$», או «הוכיחו כי $f'(x) < 0$ בכל תחום ההגדרה». התשובה כבר נתונה. מה שבודקים הוא הדרך: איך מגיעים מ-$f$ אל הביטוי הנתון, שלב אחרי שלב, בלי לדלג ובלי לרמות.

הכלל הראשון: מתחילים מ-$f$, ולא מהתשובה. גוזרים את $f$ (כלל המכפלה, כלל המנה, כלל השרשרת), ואחר כך מסדרים: מוציאים גורם משותף, מביאים למכנה משותף, מפרקים לגורמים. ממשיכים עד שמקבלים בדיוק את הביטוי שבשאלה. השורה האחרונה בפתרון היא הביטוי הנתון.

שתי כתיבות של אותה פונקציה

לפעמים מבקשים להראות ששני ביטויים שווים: שתי כתיבות שונות של אותה פונקציה. גם כאן מתחילים מאגף אחד בלבד, ומשנים אותו עד שמקבלים את האגף השני. שני כלים חוזרים כל הזמן: מכנה משותף, וכפל המונה והמכנה באותו ביטוי, למשל ב-$e^{x}$ או ב-$e^{-x}$.