«הוכיחו כי f′(x)<0 בכל תחום ההגדרה» היא טענה על כל x, ולכן אי אפשר להוכיח אותה בהצבה של מספרים. הדרך: כותבים את f′ כמכפלה או מנה של גורמים, שהסימן של כל אחד מהם ידוע. ואז קובעים את הסימן של כולו.
הוכחת סימן של הנגזרת
f(x)=ex−2ex+1f′(x)<0
לחצו «להתחיל». צריך להוכיח כי f′(x)<0 בכל תחום ההגדרה של f. קודם כול, מהו התחום?
5 שלבים
שאלהנתונה f(x)=(x2+1)e−x, ומתקבל f′(x)=−(x−1)2e−x. האם נכון לכתוב f′(x)<0 לכל x?
לא. (x−1)2≥0, והוא מתאפס ב-x=1. לכן f′(1)=0, והטענה הנכונה היא f′(x)≤0. ובכל זאת f יורדת בכל הישר: הנגזרת מתאפסת בנקודה אחת בלבד, ולא מחליפה שם סימן.
תרגיל 1 מתוך 3
נתונה f(x)=ex−1ex+2, וידוע כי f′(x)=(ex−1)2−3ex. חשבו את f′(ln2).
תרגיל 2 מתוך 3
נתונה פונקציה g המוגדרת לכל x, ו-g′(x)=(ex−2)2e−x. מה נכון?
תרגיל 3 מתוך 3
סדרו את שורות ההוכחה: ex+11+e−x+11=1 לכל x.
לחצו על השלבים לפי הסדר הנכון
עוד אין תרגיל פתור בשלב הזה.
- נקודות
- 0
- תשובות נכונות
- 0
- לחזרה היומית
- 0
עוד 3 תרגיליםלא חובה
נתונה f(x)=ex+4ex, וידוע כי f′(x)=(ex+4)24ex. חשבו את f′(1). עגלו לשלוש ספרות אחרי הנקודה העשרונית.
טענהבסעיף א התבקשתם להראות כי f′(x)=(ex−2)2−3ex, ולא הצלחתם. נכון או לא נכון: בסעיף ב, שבו מבקשים את תחומי העלייה והירידה, מותר להשתמש בביטוי הזה.
נתונה k(x)=ex+1ex−1. הראו כי k′(x)=(ex+1)22ex, וחשבו את k′(0).
בשלב הבא חקירת פונקציה מעריכית