רשימה מסודרת ועקרון הכפל · Dénombrement · Bar-Ilan — examen d’entrée en ⁨ו׳⁩ (élèves de ⁨ה׳⁩)

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שאלת ספירה שואלת כמה אפשרויות יש — לא מה הן.

רשימה מסודרת

הדרך הבטוחה להתחיל: רשימה מסודרת. מקבעים את הבחירה הראשונה, ועוברים על כל האפשרויות של השנייה.

רק אחר כך מחליפים את הראשונה. כך לא שוכחים מקרה, ולא סופרים מקרה פעמיים.

בפלאפלייה בוחרים לחם (פיתה או לאפה), רוטב אחד מתוך $4$ ושתייה אחת מתוך $3$ . כמה ארוחות שונות אפשר להרכיב?

Voir la réponse et le corrigé

$24$ . $2 \times 4 \times 3 = 24$ — כל לחם עם כל רוטב, וכל צירוף כזה עם כל שתייה.

כשיש תנאי — מתחילים מהמקום המוגבל

״ספרות שונות״, ״מספר זוגי״, ״גדול מ- $500$ ״ — תנאי מגביל מקום אחד.

קובעים קודם את המקום המוגבל ביותר. ספרת המאות מוגבלת תמיד: היא אינה $0$ .

בונים מספרים תלת-ספרתיים מהספרות $0, 1, 2, 3$ , בלי לחזור על ספרה. מאיזה מקום כדאי להתחיל?

Voir la réponse et le corrigé

מספרת המאות — שם יש תנאי. נסו למטה להתחיל דווקא באחדות, ותראו מה משתבש.

כמה מספרים מכילים את הספרה $7$ ?

$7$ באחדות: $7, 17, \ldots, 97$ — $10$ מספרים.

$7$ בעשרות: $70, 71, \ldots, 79$ — עוד $10$ . אבל $77$ נמצא בשתי הרשימות.

וכמה פעמים נכתבת הספרה $7$ כשכותבים את כל המספרים מ- $1$ עד $100$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$20$ . כאן סופרים ספרות ולא מספרים: ב- $77$ כותבים את $7$ פעמיים, ולכן לא מורידים דבר.

שלוש טעויות ספירה.

10 + 10 = 20

10 + 10 - 1 = 19

מספרים עד $100$ שמכילים את $7$ : המספר $77$ נמצא בשתי הרשימות.

4 \times 3 \times 2 = 24

3 \times 3 \times 2 = 18

מספרים תלת-ספרתיים מ- $0, 1, 2, 3$ : אסור ל- $0$ לעמוד בראש.

3 + 2 = 5

3 \times 2 = 6

$3$ חולצות ו- $2$ מכנסיים: בוחרים גם חולצה וגם מכנסיים — כופלים. מחברים רק כשבוחרים או מזה או מזה.

לפני שכופלים, שאלו: האם כל בחירה בשלב הראשון מתאימה לכל בחירה בשלב השני? אם לא — מחלקים למקרים, סופרים כל מקרה לחוד, ומחברים.

Exercices

Exercice 1

לנועה $4$ חולצות, $3$ חצאיות ו- $2$ זוגות נעליים. היא אף פעם לא לובשת את החולצה האדומה עם החצאית הוורודה. כמה תלבושות שונות (חולצה, חצאית ונעליים) יש לה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 22

Corrigé :

4 \times 3 \times 2 = 24

כל התלבושות, בלי התנאי

1 \times 1 \times 2 = 2

האסורות: האדומה עם הוורודה, ועם כל אחד משני זוגות הנעליים

24 - 2 = 22

התשובה: $22$ . מי שמוריד רק $1$ שוכח שהצירוף האסור מופיע עם שני זוגות נעליים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כמה מספרים תלת-ספרתיים גדולים מ- $500$ אפשר לכתוב בעזרת הספרות $1, 3, 5, 7$ בלבד? (מותר לחזור על ספרה.)

$32$
$16$
$64$
$12$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $32$

Corrigé :

2

ספרת המאות: $5$ או $7$ — וכל מספר כזה גדול מ- $500$

4 \times 4 = 16

לעשרות ולאחדות — כל אחת מארבע הספרות

2 \times 16 = 32

התשובה: $32$ . $64$ הם כל המספרים, בלי התנאי; $12$ מתקבל אם אוסרים לחזור על ספרה; $16$ שוכח שיש למאות שתי אפשרויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כמה מהמספרים $1, 2, 3, \ldots, 100$ מכילים את הספרה $5$ לפחות פעם אחת?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 19

Corrigé :

5, 15, 25, \ldots, 95

$10$ מספרים עם $5$ באחדות

50, 51, \ldots, 59

$10$ מספרים עם $5$ בעשרות

10 + 10 - 1 = 19

$55$ נמצא בשתי הרשימות

התשובה: $19$ . מי שעונה $20$ סופר את $55$ פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

למנעול של ארון בחדר הכושר יש קוד של $3$ ספרות, מ- $000$ עד $999$ . איתי זוכר רק שהספרה הראשונה אי-זוגית ושהספרה האחרונה גדולה מ- $6$ . כמה קודים עליו לנסות לכל היותר?

$1000$
$150$
$135$
$18$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $150$

Corrigé :

5

הראשונה אי-זוגית: $1, 3, 5, 7, 9$

10

האמצעית: כל ספרה, כולל $0$

3

האחרונה: $7, 8$ או $9$

5 \times 10 \times 3 = 150

התשובה: $150$ . $18$ מחבר ( $5 + 10 + 3$ ) במקום לכפול; $135$ שוכח ש- $0$ מותר באמצע קוד; $1000$ מתעלם ממה שאיתי זוכר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמה מספרים אפשר לבנות מהספרות $1, 2, 3, 4$ בלבד? השלימו.

מה בונים	כמה מספרים
דו-ספרתי, מותר לחזור על ספרה	____
דו-ספרתי, ספרות שונות	____
תלת-ספרתי, ספרות שונות	____
תלת-ספרתי, מותר לחזור על ספרה	____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : דו-ספרתי, מותר לחזור על ספרה: 16 · דו-ספרתי, ספרות שונות: 12 · תלת-ספרתי, ספרות שונות: 24 · תלת-ספרתי, מותר לחזור על ספרה: 64

Corrigé :

4 \times 4 = 16

כל ספרה יכולה לחזור

4 \times 3 = 12

הספרה השנייה — כל אחת חוץ מהראשונה

4 \times 3 \times 2 = 24

4 \times 4 \times 4 = 64

אין כאן $0$ , ולכן אין מקום מוגבל: לכל מקום כל הספרות שנשארו. האיסור לחזור הוא מה שמקטין את המספר בכל שלב.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

בכל מקרה: כופלים את מספרי האפשרויות, או מחברים אותם?

כופלים
מחברים

ארוחה: מנה עם בשר מתוך $4$ , או מנה צמחונית מתוך $2$
בוחרים חולצה וגם מכנסיים
בוחרים ספרת עשרות, ואחריה ספרת אחדות
בוחרים שביל לעלות להר ושביל לרדת ממנו
מתנה: ספר אחד מתוך $5$ , או משחק אחד מתוך $3$
נוסעים לעיר באוטובוס או ברכבת

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בוחרים חולצה וגם מכנסיים — כופלים · נוסעים לעיר באוטובוס או ברכבת — מחברים · בוחרים ספרת עשרות, ואחריה ספרת אחדות — כופלים · מתנה: ספר אחד מתוך $5$ , או משחק אחד מתוך $3$ — מחברים · בוחרים שביל לעלות להר ושביל לרדת ממנו — כופלים · ארוחה: מנה עם בשר מתוך $4$ , או מנה צמחונית מתוך $2$ — מחברים

Corrigé :

\times

בוחרים גם את זה וגם את זה — כל בחירה עם כל בחירה

+

בוחרים רק אחד מהשניים — שתי קבוצות נפרדות

המילה ״או״ בין שתי קבוצות אומרת לחבר. ״וגם״, ״ואחריו״, ״הלוך וחזור״ אומרות לכפול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

כמה מספרים תלת-ספרתיים זוגיים אפשר לבנות מהספרות $1, 2, 3, 4, 5$ , בלי לחזור על ספרה? עידו חישב כך. באיזו שורה הטעות?

5 \times 4 \times 3 = 60

60 : 2 = 30

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : $60 : 2 = 30$ → $2 \times 4 \times 3 = 24$

Corrigé :

2

האחדות — המקום המוגבל: $2$ או $4$

4 \times 3

למאות ולעשרות — מה שנשאר

2 \times 4 \times 3 = 24

התשובה: $24$ . עידו הניח שחצי מהמספרים זוגיים. אבל רק $2$ מתוך $5$ הספרות זוגיות — מתחילים מהמקום המוגבל, האחדות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

השלימו.

בשורה $5$ נורות, וכל נורה דולקת או כבויה. יש ____ מצבים שונים לשורה. אם הנורה הראשונה חייבת לדלוק — יש ____ מצבים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : בשורה $5$ נורות, וכל נורה דולקת או כבויה. יש 32 מצבים שונים לשורה. אם הנורה הראשונה חייבת לדלוק — יש 16 מצבים.

Corrigé :

2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32

לכל נורה שתי אפשרויות

1 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16

לנורה הראשונה נשארה אפשרות אחת

הפיתוי הוא $5 \times 2 = 10$ : מחברים $2 + 2 + \ldots$ במקום לכפול. כל נורה מכפילה את מספר המצבים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

כמה מספרים דו-ספרתיים אי-זוגיים יש, שהספרות שלהם שונות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

5

האחדות — המקום המוגבל: $1, 3, 5, 7, 9$

8

העשרות — לא $0$ , ולא ספרת האחדות

5 \times 8 = 40

התשובה: $40$ . מי שמתחיל בעשרות מקבל $9$ אפשרויות, ואז לאחדות לפעמים $4$ ולפעמים $5$ — אי אפשר לכפול.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

כמה מהמספרים $1$ עד $100$ אינם מכילים את הספרה $3$ ?

$19$
$81$
$80$
$90$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $81$

Corrigé :

10 + 10 - 1 = 19

מכילים $3$ : באחדות או בעשרות, ו- $33$ פעם אחת

100 - 19 = 81

כל השאר

התשובה: $81$ . $80$ מוריד את $33$ פעמיים; $90$ שוכח את העשרות $30$ עד $39$ ; $19$ הם דווקא המספרים שכן מכילים $3$ .

Vérifier la réponse sur elev

רשימה מסודרת

כשיש תנאי — מתחילים מהמקום המוגבל

כמה מספרים מכילים את הספרה 777?

Exercices

La suite se pratique sur elev

כמה מספרים מכילים את הספרה $7$ ?