תבניות חוזרות · Suites et motifs · Bar-Ilan — examen d’entrée en ⁨ח׳⁩ (élèves de ⁨ז׳⁩)

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

יש סדרות שחוזרות על עצמן: אותה קבוצת איברים שוב ושוב. בסדרה כזו לא צריך לכתוב מאה איברים כדי לדעת מה במקום ה- $100$ — מספיק לדעת את אורך המחזור ואת השארית.

אורך המחזור והשארית

כדורים בשורה בצבעים אדום, כחול, ירוק, צהוב, ושוב אדום, כחול… מה צבע הכדור ה- $50$ ?

המחזור באורך $4$ . מחזורים שלמים אינם משנים דבר.

50 = 4 \times 12 + 2

$12$ מחזורים שלמים, ושארית $2$

r = 2

המקום השני במחזור: כחול

Activité interactive

$50$ כדורים, במחזורים של $4$

$50$ כדורים בשורה: אדום, כחול, ירוק, צהוב — ושוב מההתחלה. מקבצים אותם במחזורים של $4$ .

50 כדורים

$12$ מחזורים שלמים, ובסוף נשארים רק $2$ כדורים — מחזור שלא נגמר.

50 = 4 \times 12 + 2

50 כדורים

בכל מחזור, שני הכדורים הראשונים הם אדום וכחול. במחזור האחרון יש רק שניים — והכדור ה- $50$ הוא השני: כחול.

r = 2

שני הראשונים בכל מחזור

ואילו היו $48$ כדורים? שארית $0$ : המחזור האחרון מלא, והכדור ה- $48$ הוא האחרון בו — צהוב, לא אדום.

48 = 4 \times 12 + 0

48 כדורים

מחזורים שלמים אינם משנים דבר. רק השארית אומרת איפה נעצרים.

Faire l'activité sur elev

המחזור בשורה, והמקומות מתחתיו

מקום במחזור	$1$	$2$	$3$	$4$
צבע	אדום	כחול	ירוק	צהוב
מקומות בשורה	$1, 5, 9, \ldots$	$2, 6, \ldots, 50$	$3, 7, 11, \ldots$	$4, 8, \ldots, 48$
שארית בחלוקה ב- $4$	$1$	$2$	$3$	$0$

שארית

0

נופלת בעמודה האחרונה של המחזור.

שארית $0$ היא המקרה שבו טועים הכי הרבה. היא אומרת שהאיבר סוגר מחזור שלם — כלומר הוא האחרון במחזור, לא הראשון.

האותיות א, ב, ג, ד, ה נכתבות שוב ושוב. איזו אות במקום ה- $100$ ?

Voir la réponse et le corrigé

ה. $100 = 5 \times 20$ והשארית $0$ : המקום ה- $100$ סוגר את המחזור ה- $20$ , ולכן זו האות האחרונה.

ימי השבוע

היום יום שלישי. איזה יום יהיה בעוד $30$ ימים?

מחזור של $7$ ימים.

30 = 7 \times 4 + 2

$4$ שבועות, ועוד יומיים

3 + 2 = 5

שלישי הוא היום השלישי — מגיעים לחמישי

ה- $1$ בחודש יחול ביום ראשון. איזה יום יהיה ה- $29$ בחודש?

Voir la réponse et le corrigé

יום ראשון. מה- $1$ ל- $29$ עוברים $28$ ימים — ארבעה שבועות בדיוק. הטעות הנפוצה היא לחשב עם $29$ ימים ולא עם ההפרש.

ספרת האחדות של חזקות

ספרת האחדות של מכפלה תלויה רק בספרות האחדות של הגורמים. לכן ספרות האחדות של $2^{1}, 2^{2}, 2^{3}, \ldots$ חוזרות במחזור — ומחזור של $4$ מספיק לכל הספרות שחשובות במבחן.

2 \to 4 \to 8 \to 6

ספרת האחדות של $2^{n}$

3 \to 9 \to 7 \to 1

של $3^{n}$

7 \to 9 \to 3 \to 1

של $7^{n}$

4 \to 6

של $4^{n}$ — מחזור של $2$

Activité interactive

מהי ספרת האחדות של $3^{50}$ ?

3^{50} = \ ?

לחצו «להתחיל». לא מחשבים את $3^{50}$ — עוקבים רק אחרי הספרה האחרונה.

\begin{aligned}3^{1} &= 3 \\ \quad 3^{2} &= 9\end{aligned}

שתי החזקות הראשונות.

\begin{aligned}3^{3} &= 27 \to 7 \\ \quad 3^{4} &= 81 \to 1\end{aligned}

כופלים רק את ספרת האחדות: $9 \times 3 = 27$ , ו- $7 \times 3 = 21$ .

1 \times 3 = 3

חזרנו ל- $3$ : המחזור $3, 9, 7, 1$ , באורך $4$ .

שארית

50 = 4 \times 12 + 2

$12$ מחזורים שלמים, ושארית $2$ .

תשובה

3, \ \mathbf{9}, \ 7, \ 1 \ \Rightarrow \ 9

המקום השני במחזור: ספרת האחדות היא $9$ .

ספרת האחדות של מכפלה תלויה רק בספרות האחדות — ולכן היא חוזרת במחזור.

Faire l'activité sur elev

אותו מחזור משמש לכל מספר שמסתיים באותה ספרה: $13^{n}$ ו- $23^{n}$ מתנהגים כמו $3^{n}$ .

סכום של מחזורים

הסדרה $2, 5, 1, 2, 5, 1, \ldots$ — מהו סכום $20$ האיברים הראשונים?

סוכמים מחזור אחד, ואז מוסיפים את מה שנשאר.

2 + 5 + 1 = 8

סכום מחזור

20 = 3 \times 6 + 2

$6$ מחזורים שלמים ושני איברים

6 \times 8 + 2 + 5 = 55

שתי טעויות שמסיחים בנויים עליהן.

r = 0 \Rightarrow 1

r = 0 \Rightarrow 4

במחזור באורך $4$ , שארית $0$ היא המקום הרביעי.

7^{2}: \ 7 \times 2 = 14 \Rightarrow 4

7^{2} = 49 \Rightarrow 9

חזקה היא כפל חוזר של המספר בעצמו, לא כפל במעריך.

כתבו את המחזור בשורה ומתחתיו את המקומות $1, 2, \ldots, k$ . כך השארית מצביעה ישר על האיבר, ושארית $0$ נופלת על $k$ בלי לחשוב.

מהי ספרת האחדות של $7^{2026}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$9$ . $2026 = 4 \times 506 + 2$ , והמקום השני במחזור $7, 9, 3, 1$ הוא $9$ .

Exercices

Exercice 1

כדורים בשורה: אדום, אדום, כחול, אדום, אדום, כחול, … כמה כדורים כחולים יש בין $40$ הכדורים הראשונים?

$27$
$13$
$12$
$14$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $13$

Corrigé :

40 = 3 \times 13 + 1

$13$ מחזורים שלמים ועוד כדור

r = 1

הכדור הנוסף הוא אדום

התשובה היא $13$ . בכל מחזור כחול אחד, והכדור ה- $40$ פותח מחזור חדש — אדום. $27$ הוא מספר האדומים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

היום יום רביעי. איזה יום יהיה בעוד $100$ ימים?

שבת
רביעי
חמישי
שישי

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D שישי

Corrigé :

100 = 7 \times 14 + 2

שארית $2$

4 + 2 = 6

יומיים אחרי רביעי

התשובה היא שישי. אחרי $14$ שבועות שוב רביעי, ועוד יומיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהי ספרת האחדות של $2^{30}$ ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C $4$

Corrigé :

2, 4, 8, 6

המחזור

30 = 4 \times 7 + 2

שארית $2$

התשובה היא $4$ . המקום השני במחזור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הסדרה $1, 3, 5, 1, 3, 5, \ldots$ — מהו סכום $25$ האיברים הראשונים?

$73$
$81$
$72$
$75$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $73$

Corrigé :

1 + 3 + 5 = 9

סכום מחזור

25 = 3 \times 8 + 1

8 \times 9 + 1 = 73

התשובה היא $73$ . $72$ שוכח את האיבר הבודד שנשאר אחרי שמונת המחזורים.

Vérifier la réponse sur elev

אורך המחזור והשארית

ימי השבוע

ספרת האחדות של חזקות

סכום של מחזורים

Exercices

La suite se pratique sur elev