הפרשים והפרשי הפרשים · Suites et motifs · Bar-Ilan — examen d’entrée en ⁨ח׳⁩ (élèves de ⁨ז׳⁩)

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

סדרה היא רשימת מספרים שנבנית לפי כלל. הצעד הראשון תמיד זהה: כותבים מתחת לסדרה את ההפרשים בין כל שני איברים סמוכים. ההפרשים מספרים איך הסדרה גדלה — ומשם מגיעים לכלל.

הפרש קבוע

ההפרש קבוע:

+4

. עד האיבר ה-

50

יש

49

קפיצות כאלה.

בסדרה $7, 11, 15, 19, \ldots$ — מהו האיבר ה- $50$ ?

לא כותבים חמישים איברים. מוצאים כלל שתלוי במקום $n$ .

+4

ההפרש קבוע

4n + 3

ארבע פעמים המקום, ועוד תיקון: $4 \times 1 + 3 = 7$

4 \times 50 + 3 = 203

האיבר ה- $50$

בסדרה $9, 16, 23, 30, \ldots$ — האם המספר $100$ מופיע?

Voir la réponse et le corrigé

כן, במקום ה- $14$ . מהאיבר הראשון ל- $100$ צריך לעלות $91$ , ו- $91 = 7 \times 13$ — בדיוק $13$ קפיצות של $7$ .

כשההפרש משתנה: הפרשי ההפרשים

ההפרשים גדלים:

3, 6, 9, 12

ההפרשים, כסדרה: הם גדלים תמיד ב-

3

Activité interactive

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 5, 11, 20, 32, \ldots$ ?

2, \ 5, \ 11, \ 20, \ 32, \ ?

לחצו «להתחיל». ההפרשים אינם קבועים — אז יורדים שורה נוספת.

הפרשים

3, \ 6, \ 9, \ 12

מה נוסף בכל צעד.

הפרשי הפרשים

+3, \ +3, \ +3

בשורה השנייה ההפרש קבוע. כאן עוצרים.

ההפרש הבא

12 + 3 = 15

ממשיכים את שורת ההפרשים — לא חוזרים על $12$ .

האיבר הבא

32 + 15 = 47

ועולים בחזרה לסדרה.

המסיח הקבוע הוא $44 = 32 + 12$ : מי שחוזר על ההפרש האחרון במקום להמשיך את סדרת ההפרשים.

Faire l'activité sur elev

שתי סדרות מוכרות מסתתרות לעתים קרובות מאחורי הפרשים שגדלים ב- $1$ או ב- $2$ : הריבועים, שההפרשים שלהם $3, 5, 7, \ldots$ , והמספרים המשולשיים — מספר הנקודות במשולש של שורות $1, 2, 3, \ldots$ — שההפרשים שלהם $2, 3, 4, \ldots$ . כדאי להכיר אותם בעל פה, וגם אותם עם תוספת קבועה.

1, 4, 9, 16, 25

ריבועים: $n^{2}$

1, 3, 6, 10, 15

משולשיים: $\frac{n(n+1)}{2}$

2, 5, 10, 17, 26

$n^{2} + 1$

2, 6, 12, 20, 30

$n(n+1)$

סדרה שכופלת

כשההפרשים גדלים מהר מדי, מחלקים במקום לחסר: בסדרה $3, 6, 12, 24$ כל איבר הוא פי $2$ מהקודם. ויש כלל מעורב: כופלים ואז מוסיפים או מחסרים. סימן ההיכר שלו — ההפרשים עצמם מוכפלים.

סדרה שכופלת: מעל כל חץ — פי כמה.

ההפרשים

3, 6, 12, 24

מוכפלים ב-

2

— סימן לכלל של כפל.

מהו האיבר הבא בסדרה $5, 8, 14, 26, 50, \ldots$ ?

ההפרשים $3, 6, 12, 24$ מוכפלים ב- $2$ — סימן לכלל כפל.

5 \times 2 - 2 = 8

ננסה: פעמיים הקודם פחות $2$

\begin{aligned}8 \times 2 - 2 &= 14 \\ \quad 14 \times 2 - 2 &= 26\end{aligned}

הכלל מתאים לכל האיברים

50 \times 2 - 2 = 98

האיבר הבא

איבר שנבנה משני הקודמים

בסדרה $2, 3, 5, 8, 13, 21$ כל איבר הוא סכום שני האיברים שלפניו. ההפרשים שלה הם הסדרה עצמה, מוזזת — וזה סימן ההיכר. בודקים בחיבור של כל זוג סמוך.

מהו האיבר הבא בסדרה $2, 5, 7, 12, 19, \ldots$ ?

Voir la réponse et le corrigé

$31$ . כל איבר הוא סכום שני הקודמים: $2 + 5 = 7$ , $5 + 7 = 12$ , $7 + 12 = 19$ , ולכן $12 + 19 = 31$ .

איבר חסר באמצע

החץ הראשון והאחרון ידועים:

+5

ו-

+11

. שני החצים שבאמצע עוברים דרך התא החסר.

מהו המספר החסר: $6, 11, \_\_, 27, 38$ ?

ההפרשים בקצוות ידועים — $5$ בהתחלה ו- $11$ בסוף. ממלאים את האמצע כך שהכלל יתקיים.

5, \ ?, \ ?, \ 11

ההפרשים הידועים

5, 7, 9, 11

הפרשים שגדלים ב- $2$

11 + 7 = 18

המספר החסר

18 + 9 = 27

בדיקה מול האיבר הבא

שלוש טעויות שחוזרות.

4 \times 50 = 200

4 \times 50 + 3 = 203

ההפרש הוא רק חלק מהכלל. בודקים את הכלל על האיבר הראשון.

2, 5, 11, 20, 32 \Rightarrow 32 + 12

32 + 15

ההפרש הבא אינו חוזר על האחרון — הוא ממשיך את סדרת ההפרשים.

\frac{11 + 27}{2} = 19

18

איבר חסר אינו הממוצע של שכניו, אלא אם ההפרש קבוע.

אחרי שמצאתם כלל, בדקו אותו על כל האיברים הנתונים, לא רק על שניים. מסיחים נבנים בדיוק מכלל שמתאים לשלושת האיברים הראשונים ונשבר ברביעי.

Exercices

Exercice 1

בסדרה $8, 13, 18, 23, \ldots$ — מהו האיבר ה- $20$ ?

$103$
$108$
$98$
$100$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $103$

Corrigé :

+5

ההפרש קבוע

8 + 19 \times 5 = 103

מהאיבר הראשון לעשרים יש $19$ קפיצות

התשובה היא $103$ . $108$ מתקבל כשסופרים $20$ קפיצות במקום $19$ , ו- $100$ כששוכחים את נקודת ההתחלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו האיבר הבא בסדרה $1, 3, 7, 13, 21, \ldots$ ?

$31$
$33$
$34$
$29$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $31$

Corrigé :

2, 4, 6, 8

ההפרשים

8 + 2 = 10

ההפרש הבא

21 + 10 = 31

התשובה היא $31$ . $29$ מתקבל כשחוזרים על ההפרש האחרון, $8$ , במקום להמשיך את סדרת ההפרשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו האיבר הבא בסדרה $3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ ?

$29$
$34$
$42$
$31$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B $34$

Corrigé :

13 + 21 = 34

כל איבר הוא סכום שני הקודמים

התשובה היא $34$ . $29$ מתקבל מהפרש חוזר של $8$ , ו- $42$ מכפל ב- $2$ — שני כללים שלא מתאימים לכל האיברים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו האיבר הבא בסדרה $4, 10, 22, 46, \ldots$ ?

$94$
$92$
$96$
$70$

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A $94$

Corrigé :

6, 12, 24

ההפרשים מוכפלים

46 \times 2 + 2 = 94

כל איבר: פעמיים הקודם ועוד $2$

התשובה היא $94$ . $92$ הוא רק כפל ב- $2$ ושוכח את התוספת, ו- $70$ חוזר על ההפרש $24$ .

Vérifier la réponse sur elev

הפרש קבוע

כשההפרש משתנה: הפרשי ההפרשים

סדרה שכופלת

איבר שנבנה משני הקודמים

איבר חסר באמצע

Exercices

La suite se pratique sur elev