La moyenne

לפני כל נוסחה — סיפור. בקבוצה ארבעה חברים, ולכל אחד מספר שונה של סוכריות. הם החליטו שלא יפה שלאחד יש הרבה ולאחר מעט, ושכדאי שלכולם יהיה אותו מספר.

איך עושים את זה? פשוט מאוד: מי שיש לו הכי הרבה נותן סוכרייה אחת למי שיש לו הכי מעט. ואז שוב. ושוב — עד שלכולם יהיה שווה.

המספר שכולם הגיעו אליו בסוף — זה בדיוק הממוצע. ממוצע הוא כמה היה לכל אחד אילו חילקנו שווה בשווה, ולא «איזה מספר באמצע».

ממוצע עונה על שאלה אחת: אילו היינו מאחדים הכול ומחלקים שווה בשווה — כמה היה מקבל כל אחד?

כלומר: מחברים את כל המספרים, ואז מחלקים בכמה מספרים היו. שתי פעולות, בסדר הזה.

כשערך חוזר כמה פעמים, לא כותבים אותו שוב ושוב — כופלים בשכיחות שלו.

שימו לב למכנה: הוא 5, לא 2. מחלקים בכמות הנתונים הכוללת, ולא בכמה ערכים שונים יש. זו הטעות הנפוצה ביותר בפרק.

הממוצע רגיש מאוד לערך יחיד חריג. אם בחבורה של חמישה אנשים אחד מרוויח פי מאה מכולם — הממוצע יקפוץ ולא יתאר אף אחד מהם.

אפשר לענות על שאלות כאלה בלי לחשב כלום — רק להשוות את הערך החדש לממוצע הקיים.

זה המקרה שהכי מבלבל, ולכן שווה לעצור עליו. לשלושה חברים יש כסף: לראשון 100 ₪, לשני 50 ₪, ולשלישי אין כלום — אפס. מה הממוצע?

הרבה תלמידים אומרים: «יש רק שניים עם כסף, אז נחלק בשניים». וזו טעות. האפס הוא מקרה כמו כל מקרה אחר — הוא משתתף בחלוקה, ולכן גם נספר במכנה.

אליאור הצליח יפה בשני המבחנים הראשונים: 100 ו-80. במבחן השלישי הוא לא הגיע, וקיבל 0. מה הממוצע שלו?

זה מסביר משהו שכדאי לדעת: ציון אחד של אפס מוריד את הממוצע הרבה יותר מציון נמוך. אם במקום 0 אליאור היה מקבל 30, הממוצע היה $210 : 3 = 70$ — עשר נקודות יותר, מציון אחד.