Le pavage par polygones réguliers

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

הסתכלו על רצפה של מרפסת, על מדרכה, או על קיר של אמבטיה. הן מכוסות בלי חורים ובלי חפיפות — זה נקרא ריצוף. השאלה של השיעור פשוטה: איזו צורה מתאימה לזה, ואיזו לא?

שתי מילים שצריך להכיר קודם

11

צורות חופפות — אפשר להניח אחת על השנייה כך שתכסה אותה בדיוק. לא דומה, לא מעט יותר גדולה: בדיוק.

22

מצולע משוכלל — כל הצלעות שלו שוות זו לזו, וגם כל הזוויות שוות זו לזו.

שני התנאים של «משוכלל» נחוצים יחד. למעוין יש ארבע צלעות שוות והוא אינו משוכלל, כי הזוויות שלו אינן שוות. הריבוע הוא המרובע המשוכלל היחיד.

האם כל שני ריבועים הם חופפים?

Voir la réponse et le corrigé

לא. ריבוע שצלעו 2 ס״מ וריבוע שצלעו 5 ס״מ הם שניהם ריבועים, אבל אחד לא יכסה את השני. חפיפה דורשת גם אותה צורה וגם אותו גודל.

הסוד נמצא סביב נקודה אחת

כשמרצפים, נפגשות כמה אריחים סביב אותה נקודה. אם הזוויות שלהם משאירות חור — הרצפה לא שלמה. אם הן עוברות את הסיבוב — האריחים עולים זה על זה. לכן צריך בדיוק סיבוב שלם:

סכום הזוויות סביב הנקודה = 360 מעלות, לא פחות ולא יותר

עכשיו אפשר לנסח את הכלל בלי לנסות בכלל: צורה מרצפת אם 360 מתחלק בזווית שלה בלי שארית.

למה המחומש לא מרצף

הזווית של מחומש משוכלל היא 108 מעלות. נבדוק כמה מהן נכנסות בסיבוב.

108×3=324108 \times 3 = 324

שלושה מחומשים — ועדיין לא הגענו

360−324=36360 - 324 = 36

נשאר חור של 36 מעלות

108>36108 > 36

ומחומש רביעי גדול מדי בשביל החור. אין דרך לסגור — המחומש אינו מרצף

60×6=36060 \times 6 = 360

משולש שווה צלעות — שישה סביב נקודה

90×4=36090 \times 4 = 360

ריבוע — ארבעה, כמו רצפה של בית

120×3=360120 \times 3 = 360

משושה משוכלל — שלושה, כמו חלת דבש

אלה השלושה היחידים. אין מצולע משוכלל רביעי שמרצף לבדו — לא מחומש, לא משובע, ולא מתומן. ככל שהמצולע גדול יותר, הזווית שלו גדולה יותר, ו-360 מפסיק להתחלק בה.

שתי הטעויות של הפרק.

מצולע משוכלל→מרצף\text{מצולע משוכלל} \rightarrow \text{מרצף}
רק אם 360:זווית שלם\text{רק אם } 360 : \text{זווית} \ \text{שלם}

«משוכלל» לא מבטיח כלום. המחומש משוכלל לגמרי, ובכל זאת נשאר לו חור.

חופפות=דומות\text{חופפות} = \text{דומות}
חופפות=אותה צורה ואותו גודל\text{חופפות} = \text{אותה צורה ואותו גודל}

שתי צורות דומות הן אותה צורה בגודל אחר. חופפות הן אותה צורה ואותו גודל — ורק הן מכסות זו את זו.

ומה שכן אפשר בכל זאת

הכלל הקפדני הזה חל על צורה אחת בלבד, משוכללת. ברגע שמרשים יותר, נפתחות אפשרויות: אפשר לרצף בשתי צורות יחד — ריבועים ומשולשים שווי צלעות, למשל, כי 90+90+60+60+60=36090 + 90 + 60 + 60 + 60 = 360.

ועוד דבר מפתיע: כל משולש מרצף, וגם כל מרובע — גם העקומים ביותר, שאינם משוכללים בכלל. מסובבים עותק חופף חצי סיבוב, מצמידים, וממשיכים.

כמה משושים משוכללים נפגשים סביב נקודה בחלת דבש?

Voir la réponse et le corrigé

שלושה. 120×3=360120 \times 3 = 360. זו הסיבה שחלת דבש נראית כמו שהיא נראית — ולא מקרה.

Exercices

Découvrir

Exercice 1

כמה ריבועים נפגשים סביב נקודה בריצוף?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

360:90=4360 : 90 = 4

הסיבוב חלקי הזווית

ארבעה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כמה משולשים שווי צלעות נפגשים סביב נקודה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 6

Corrigé :

360:60=6360 : 60 = 6

זווית של 60 מעלות

שישה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מה הפירוש של «שתי צורות חופפות»?

  1. יש להן אותו שטח
  2. אפשר להניח אחת על השנייה כך שתכסה אותה בדיוק
  3. יש להן אותה צורה בגודל אחר
  4. יש להן אותו מספר צלעות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B אפשר להניח אחת על השנייה כך שתכסה אותה בדיוק

Corrigé :

חופפות=אותה צורה+אותו גודל\text{חופפות} = \text{אותה צורה} + \text{אותו גודל}

שני תנאים יחד

אותה צורה ואותו גודל. שטח שווה לבדו אינו מספיק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

הזווית של משושה משוכלל היא 120 מעלות. כמה משושים נכנסים בסיבוב שלם?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

360:120=3360 : 120 = 3

שלוש פעמים בדיוק

שלושה — חלת דבש.

Vérifier la réponse sur elev

להתאמן

Exercice 5

שלושה מחומשים משוכללים סביב נקודה. כמה מעלות נשארות עד סיבוב שלם?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

108×3=324108 \times 3 = 324

שלוש זוויות של מחומש

360−324=36360 - 324 = 36

והחור שנשאר

36 מעלות — ואין מחומש שמתאים להן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

כל מצולע משוכלל מרצף את המישור

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

360:108=3 שארית 36360 : 108 = 3 \ \text{שארית} \ 36

המחומש משוכלל — ואינו מרצף

המחומש המשוכלל הוא הנגד-דוגמה: 360 אינו מתחלק ב-108.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

כל משולש — גם שאינו שווה צלעות — מרצף את המישור

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

180∘180^\circ

מסובבים עותק חופף חצי סיבוב

מקבילית\text{מקבילית}

שני המשולשים יוצרים מקבילית, והיא מרצפת תמיד

מסובבים עותק חופף חצי סיבוב ומצמידים: שני המשולשים יוצרים מקבילית, ובמקביליות אפשר לרצף תמיד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מיינו: מי מרצף לבדו ומי לא?

  • מרצף
  • אינו מרצף
  • מחומש משוכלל
  • משולש שווה צלעות
  • משושה משוכלל
  • מתומן משוכלל
  • ריבוע
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ריבוע — מרצף · מחומש משוכלל — אינו מרצף · משושה משוכלל — מרצף · מתומן משוכלל — אינו מרצף · משולש שווה צלעות — מרצף

Corrigé :

60×6=90×4=120×3=360\begin{aligned}60 \times 6 &= 90 \times 4 \\ &= 120 \times 3 \\ &= 360\end{aligned}

שלושת המרצפים

108, 135108, \ 135

ואלה שאינם מחלקים את 360

שלושה בדיוק מרצפים לבדם: משולש שווה צלעות, ריבוע ומשושה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

הזווית של מתומן משוכלל היא 135 מעלות. כמה מעלות נשארות אחרי שני מתומנים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 90

Corrigé :

135×2=270135 \times 2 = 270

שתי זוויות

360−270=90360 - 270 = 90

והחור

חור בגודל זווית ישרה שלמה — ובדיוק לשם מכניסים ריבוע, וכך נראה ריצוף מפורסם של מדרכות.

Vérifier la réponse sur elev

לשחק ולבדוק

Exercice 10

ריצוף מעורב של ריבועים ומשולשים שווי צלעות סביב נקודה

שני ריבועים נותנים ____ מעלות, ונשארות ____ מעלות — בדיוק שלושה משולשים

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שני ריבועים נותנים 180 מעלות, ונשארות 180 מעלות — בדיוק שלושה משולשים

Corrigé :

90×2=18090 \times 2 = 180

שני ריבועים

360−180=180360 - 180 = 180

והשאר

60×3=18060 \times 3 = 180

שלושה משולשים ממלאים אותו בדיוק

ריצוף בשתי צורות — מותר, ויפה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

360:120=3360 : 120 = 3
360:108=3360 : 108 = 3
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 360:108=3360 : 108 = 3 → 360:108=3 שארית 36360 : 108 = 3 \ \text{שארית} \ 36

Corrigé :

360:108=3 שארית 36360 : 108 = 3 \ \text{שארית} \ 36

והשארית היא החור

108 אינו מחלק את 360. השארית היא בדיוק החור שרואים בציור.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מצולע משוכלל שזוויתו 150 מעלות — האם הוא מרצף?

  1. לא, כי 360 אינו מתחלק ב-150
  2. אי אפשר לדעת בלי לדעת כמה צלעות יש לו
  3. כן, ארבעה סביב נקודה
  4. כן, שלושה סביב נקודה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא, כי 360 אינו מתחלק ב-150

Corrigé :

150×2=300150 \times 2 = 300

שניים משאירים 60

150>60150 > 60

והשלישי גדול מדי

לא מרצף. הכלל עונה בלי לספור צלעות ובלי לצייר.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe