Quand les trois se confondent

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שלושתם יוצאים מאותה נקודה — ובדרך כלל נופלים בשלושה מקומות שונים על הבסיס.

יש מקרה אחד שבו שלושתם מתלכדים לקטע אחד: במשולש שווה שוקיים, מקודקוד הראש אל הבסיס.

שווה שוקיים⟶תיכון=גובה=חוצה זווית\begin{aligned}\text{שווה שוקיים} \quad \longrightarrow\quad \text{תיכון} &= \text{גובה} \\ &= \text{חוצה זווית}\end{aligned}

במשולש כלשהו, חוצה הזווית מקודקוד AA פוגע בבסיס. האם הוא בהכרח באמצע?

Voir la réponse et le corrigé

לא. רק אם המשולש שווה שוקיים ו-AA הוא קודקוד הראש. בכל מקרה אחר — הוא נופל במקום אחר מהאמצע.

הכיוון שאסור להפוך.

בכל משולש: תיכון=גובה\text{בכל משולש: תיכון} = \text{גובה}
רק בשווה שוקיים, ורק לבסיס\text{רק בשווה שוקיים, ורק לבסיס}

זהו מקרה מיוחד, לא כלל כללי. במשולש רגיל הם קטעים שונים — וגם בשווה שוקיים ההתלכדות נכונה רק לגבי הבסיס, לא לגבי השוקיים.

שני קטעים שמתלכדים

וזה עובד גם בכיוון ההפוך: אם שניים מהקטעים מאותו קודקוד מתלכדים, המשולש בהכרח שווה שוקיים.

נתון משולש שבו הגובה מקודקוד AA הוא גם תיכון. מה אפשר להסיק?

Voir la réponse et le corrigé

שהמשולש שווה שוקיים, ו-AA הוא קודקוד הראש. שני קטעים שמתלכדים — זה מספיק כדי להסיק.

ובמשולש שווה צלעות זה קורה מכל שלושת הקודקודים, כי הוא שווה שוקיים משלוש דרכים בבת אחת.

בגלל זה שווה השוקיים כל כך שימושי בהוכחות: מספיק לדעת אחד מהשלושה, ושני האחרים באים במתנה.

זו אחת הטעויות הידועות ביותר בגאומטריה: להניח שחוצה זווית הוא גם תיכון. הוא לא — אלא אם כן נתון שהמשולש שווה שוקיים, ואת זה צריך להוכיח, לא להסתכל בציור.

ומדוע אסור להסיק את זה מהציור בלבד?

Voir la réponse et le corrigé

כי ציור אינו הוכחה. שתי נקודות שנראות באותו מקום יכולות להיות במרחק קטן זו מזו — ובגאומטריה מסיקים מהנתונים, לא מהעין.

שלוש הטעויות של הקטעים המיוחדים.

חוצה זווית=תיכון\text{חוצה זווית} = \text{תיכון}
רק בשווה שוקיים, מקודקוד הראש\text{רק בשווה שוקיים, מקודקוד הראש}

ההנחה הזאת שוברת הוכחות שלמות. תמיד לבדוק מה נתון.

הגובה תמיד בתוך המשולש\text{הגובה תמיד בתוך המשולש}
במשולש קהה זווית הוא בחוץ\text{במשולש קהה זווית הוא בחוץ}

הגובה יוצא אל המשך הבסיס. זה עדיין גובה.

נראה שווה בציור⇒שווה\text{נראה שווה בציור} \Rightarrow \text{שווה}
צריך נתון או הוכחה\text{צריך נתון או הוכחה}

הציור עוזר לחשוב, ואינו קובע דבר.

שלושה קווים, נקודה אחת

עד עכשיו הסתכלנו על קודקוד אחד. עכשיו נשרטט את אותו סוג קטע מכל שלושת הקודקודים.

שרטטתם שני תיכונים, והם נחתכים ב-GG. צריך את השלישי כדי למצוא את GG?

Voir la réponse et le corrigé

לא. השלישי עובר תמיד באותה נקודה, ולכן שניים מספיקים.

GG

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת, שמחלקת כל תיכון ביחס 2:12 : 1 מהקודקוד.

II

שלושת חוצי הזווית נפגשים בנקודה אחת: מרכז המעגל החסום במשולש.

HH

שלושת הגבהים, או ההמשכים שלהם, נפגשים בנקודה אחת. במשולש קהה-זווית היא מחוץ למשולש.

AG=2⋅GMAG = 2 \cdot GM

התיכון AMAM ארוך 1212. כמה מ-AA עד נקודת המפגש GG?

Voir la réponse et le corrigé

8. שני שלישים מ-12. ומ-GG עד MM נשארים 4.

איזה חלק ארוך יותר?

AG=13 AMAG = \frac{1}{3} \, AM
AG=23 AMAG = \frac{2}{3} \, AM

החלק הארוך הוא זה שליד הקודקוד. GG קרוב יותר לאמצע הצלע.

Exercices

Exercice 1

במשולש כלשהו — האם חוצה הזווית הוא בהכרח גם תיכון?

  1. לא
  2. כן, תמיד
  3. רק אם הוא גדול
  4. רק במשולש ישר זווית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא

Corrigé :

שלוש נקודות שונות\text{שלוש נקודות שונות}

במקרה הכללי

זו אחת הטעויות הידועות ביותר בגאומטריה. רק בשווה שוקיים, מקודקוד הראש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש, הגובה מקודקוד AA הוא גם תיכון. מה נובע?

  1. לא נובע דבר
  2. המשולש שווה צלעות
  3. המשולש ישר זווית
  4. המשולש שווה שוקיים ו-AA קודקוד הראש
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D המשולש שווה שוקיים ו-AA קודקוד הראש

Corrigé :

שני קטעים מתלכדים\text{שני קטעים מתלכדים}

זה מספיק — וזה עובד בשני הכיוונים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

בכמה מקרים מתוך שלושת קודקודי משולש שווה צלעות מתלכדים שלושת הקטעים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

33

מכל קודקוד

הוא שווה שוקיים משלוש דרכים בבת אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

איפה נמצא הגובה במשולש קהה זווית?

  1. תמיד בתוך המשולש
  2. לפעמים מחוץ למשולש, אל המשך הבסיס
  3. תמיד על הצלע
  4. אין לו גובה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לפעמים מחוץ למשולש, אל המשך הבסיס

Corrigé :

⊥\perp

אל המשך הבסיס

זה עדיין גובה — ההגדרה היא מאונך, לא «בפנים».

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שתי נקודות נראות באותו מקום בציור. מה מותר להסיק?

  1. שהמשולש שווה שוקיים
  2. שהציור שגוי
  3. כלום
  4. שהן שוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כלום

Corrigé :

ציור אינו הוכחה\text{ציור אינו הוכחה}

הציור עוזר לחשוב, ואינו קובע. צריך נתון או הוכחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש כלשהו, חוצה הזווית הוא גם תיכון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

שלוש נקודות שונות\text{שלוש נקודות שונות}

במקרה הכללי

זו אחת הטעויות הידועות ביותר בגאומטריה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

סכום הזוויות בכל משולש שווה ל-180 מעלות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

180°180°

זה נכון לכל משולש: חד, ישר או קהה זווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

הגובה במשולש נמצא תמיד בתוך המשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

⊥\perp

ההגדרה היא מאונך, לא «בפנים»

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שלושת התיכונים נפגשים בנקודה אחת. התיכון 12 — כמה מהקודקוד עד המפגש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

12×23=812 \times \frac{2}{3} = 8

נקודת המפגש מחלקת 2:1

AG=8AG = 8: החלק הארוך, שני שלישים מהתיכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

שלושת התיכונים נפגשים ב-GG, והתיכון AMAM ארוך 1212. מה המרחק מ-GG עד אמצע הצלע, MM?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

12:3=412 : 3 = 4

השליש הקצר

GM=4GM = 4: השליש הקצר. יחד עם AG=8AG = 8 מקבלים 1212.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCM
MM הוא אמצע הבסיס — זו הגדרת התיכון.

במשולש שווה-שוקיים ABCABC (AB=ACAB = AC) מעבירים את התיכון AMAM אל הבסיס. הוכיחו: AM⊥BCAM \perp BC — התיכון הוא גם גובה.

  • AB=ACAB = AC
  • AMAM תיכון: BM=MCBM = MC

AM⊥BCAM \perp BC

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. BM=MCBM = MC — נתון — AMAM תיכון
  3. AM=AMAM = AM — צלע משותפת
  4. △ABM≅△ACM\triangle ABM \cong \triangle ACM — צ.צ.צ — שלוש צלעות שוות בהתאמה
  5. ∠AMB=∠AMC\angle AMB = \angle AMC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים
  6. ∠AMB+∠AMC=180°\angle AMB + \angle AMC = 180° — זוויות צמודות על הישר BCBC
  7. ∠AMB=90°\angle AMB = 90° — שתי זוויות שוות שסכומן 180°180°
  8. AM⊥BCAM \perp BC — זווית ישרה היא בדיוק מאונכות
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

GG היא נקודת המפגש של התיכונים במשולש ABCABC, ו-AG=14AG = 14. מה אורך התיכון AMAM?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21

Corrigé :

AG:GM=2:1AG : GM = 2 : 1
GM=14:2=7\begin{aligned}GM &= 14 : 2 \\ &= 7\end{aligned}
AM=14+7=21\begin{aligned}AM &= 14 + 7 \\ &= 21\end{aligned}

AM=21AM = 21. AGAG הוא שני שלישים מהתיכון, לא כולו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

התאימו כל שלישייה לנקודת המפגש שלה.

  • שלושת התיכונים
  • שלושת חוצי הזווית
  • שלושת הגבהים
  • יכולה להיות מחוץ למשולש
  • מחלקת כל אחד ביחס 2 : 1
  • מרכז המעגל החסום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שלושת התיכונים — מחלקת כל אחד ביחס 2 : 1 · שלושת חוצי הזווית — מרכז המעגל החסום · שלושת הגבהים — יכולה להיות מחוץ למשולש

Corrigé :

GIHG \quad I \quad H

לכל משפחה נקודת מפגש משלה, ולכל נקודה תכונה משלה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

במשולש ישר-זווית ABCABC (∠B=90°\angle B = 90°), היכן נפגשים שלושת הגבהים?

  1. במרכז המשולש
  2. בקודקוד BB
  3. מחוץ למשולש
  4. באמצע היתר ACAC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B בקודקוד BB

Corrigé :

AB⊥BCAB \perp BC

הניצב ABAB הוא הגובה מ-AA, והניצב CBCB הוא הגובה מ-CC

H=BH = B

שם הם נפגשים

בקודקוד BB. כל ניצב הוא גם גובה, והם נפגשים בזווית הישרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

במשולש קהה-זווית שלושת הגבהים נפגשים בתוך המשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∠B>90°\angle B > 90°

הגבהים מ-AA ומ-CC בחוץ

בקהה-זווית שני גבהים יוצאים החוצה, אל המשכי הצלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

GG היא נקודת המפגש של התיכונים, והתיכון AMAM ארוך 2727. מה אורך GMGM?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

GM=13⋅27=9\begin{aligned}GM &= \frac{1}{3} \cdot 27 \\ &= 9\end{aligned}

GM=9GM = 9: השליש הקצר, ליד אמצע הצלע. AG=18AG = 18.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נקודת המפגש של שלושת חוצי הזווית נמצאת תמיד בתוך המשולש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

II

מרכז המעגל החסום

לעומת הגבהים, שיכולים להיפגש בחוץ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

GG נקודת המפגש של התיכונים, ו-AM=18AM = 18. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

AM=18AM = 18
AG:GM=1:2AG : GM = 1 : 2
AG=6AG = 6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AG:GM=1:2AG : GM = 1 : 2 → AG:GM=2:1AG : GM = 2 : 1

Corrigé :

AG=23⋅18=12\begin{aligned}AG &= \frac{2}{3} \cdot 18 \\ &= 12\end{aligned}

החלק הארוך ליד הקודקוד: AG=12AG = 12 ו-GM=6GM = 6.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe