Propriétés du triangle isocèle

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

משולש שווה שוקיים הוא משולש שבו שתי צלעות שוות. שתי הצלעות השוות נקראות שוקיים, והשלישית — בסיס. הקדקוד שביניהן נקרא קדקוד הראש.

מקפלים לאורך הציר

שתי השוקיים שוות. לכן אפשר לקפל את המשולש לאורך הקו שיורד מקדקוד הראש — והקדקוד CC נוחת בדיוק על BB.

AB=ACAB = AC

שתי השוקיים שוות — זו ההגדרה עצמה.

∠B=∠C\angle B = \angle C

זוויות הבסיס שוות. זו התכונה שמשתמשים בה הכי הרבה בהוכחות.

AD⊥BCAD \perp BC

הגובה לבסיס יוצא מקדקוד הראש ומאונך לבסיס.

BD=DCBD = DC

ואותו קטע גם חוצה את הבסיס — הוא גם תיכון.

התכונה הגדולה של המשולש הזה: הגובה, התיכון וחוצה זווית הראש הם אותו קטע אחד בדיוק. בכל משולש אחר אלה שלושה קווים שונים. זה מה שהופך אותו לכל כך נוח בהוכחות — קטע אחד נותן שלושה נתונים.

מה עושה התיכון לבסיס במשולש שווה שוקיים?

Voir la réponse et le corrigé

הוא גם גובה וגם חוצה זווית — שלושת הקטעים מתלכדים. רק בשווה שוקיים, ורק אל הבסיס.

למה זוויות הבסיס שוות

הקיפול מראה שזוויות הבסיס שוות. ההוכחה מסבירה למה זה נכון בכל משולש שווה שוקיים, בלי לקפל.

במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות זו לזו.

נעביר את חוצה זווית הראש ADAD

Voir la réponse et le corrigé

בנייה — מותר להעביר קטע בכל שלב

AB=ACAB = AC

Voir la réponse et le corrigé

נתון — המשולש שווה שוקיים

∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

Voir la réponse et le corrigé

ADAD הוא חוצה זווית, לפי הבנייה

AD=ADAD = AD

Voir la réponse et le corrigé

צלע משותפת לשני המשולשים

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

Voir la réponse et le corrigé

לפי משפט חפיפה צ.ז.צ

∠B=∠C\angle B = \angle C

Voir la réponse et le corrigé

צלעות וזוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

שימו לב מה קרה כאן: הוספנו קטע שלא היה בציור, ובזכותו נוצרו שני משולשים חופפים. זו התבנית החוזרת של כל ההוכחות בפרק הזה.

באיזה משפט חפיפה השתמשנו בהוכחה, ולמה דווקא בו?

Voir la réponse et le corrigé

צ.ז.צ: AB=ACAB = AC, הזווית שביניהן נחצתה לשני חצאים שווים, ו-ADAD צלע משותפת. שתי צלעות והזווית שביניהן.

סכום הזוויות — כלי עבודה

בכל משולש סכום הזוויות הוא 180°180°. במשולש שווה שוקיים זה נעשה שימושי במיוחד, כי שתיים מהזוויות שוות — ולכן די בזווית אחת כדי לדעת את כולן.

הטעות שחוזרת בכל תרגיל.

זווית הבסיס=40אז זווית הראש=40\begin{aligned}\text{זווית הבסיס} &= 40 \quad \text{אז זווית הראש} \\ &= 40\end{aligned}
שתי זוויות הבסיס שוות, לא הראש\text{שתי זוויות הבסיס שוות, לא הראש}

הזוויות השוות הן שתי זוויות הבסיס. זווית הראש היא זו שיוצאת דופן.

(180−70):2(180 - 70) : 2
180−70−70180 - 70 - 70

כשנתונה זווית בסיס ולא הראש — מחסרים אותה פעמיים, בלי לחלק.

במשולש שווה שוקיים זווית בסיס אחת 50°. מהי זווית הראש?

Voir la réponse et le corrigé

180−50−50=80°180 - 50 - 50 = 80°. זוויות הבסיס שוות — נתון אחד פותח את הכול.

האם במשולש שווה שוקיים זווית בסיס יכולה להיות 90°90°?

Voir la réponse et le corrigé

לא. שתי זוויות בסיס של 90°90° כבר נותנות 180°180°, ולזווית הראש לא נשאר כלום. זוויות הבסיס תמיד חדות.

Exercices

Exercice 1

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא 50°50°. מהי כל אחת מזוויות הבסיס (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 65

Corrigé :

180−50=130180 - 50 = 130

מה שנשאר לשתי זוויות הבסיס

130:2=65130 : 2 = 65

והן שוות

זווית הראש היא היוצאת דופן — שתי זוויות הבסיס הן השוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

במשולש שווה שוקיים זווית בסיס היא 70°70°. מהי זווית הראש (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

70+70=14070 + 70 = 140

שתי זוויות הבסיס שוות

180−140=40180 - 140 = 40

ומה שנשאר הוא זווית הראש

כאן לא מחלקים ב-2 — הנתון כבר הוא אחת מהשוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש שווה שוקיים, מה נכון לגבי הגובה מקדקוד הראש?

  1. הוא גם תיכון וגם חוצה זווית
  2. הוא תיכון אך לא חוצה זווית
  3. הוא רק גובה
  4. הוא חוצה זווית אך לא תיכון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A הוא גם תיכון וגם חוצה זווית

Corrigé :

AD⊥BCAD \perp BC

גובה

BD=DCBD = DC

וגם תיכון

∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

וגם חוצה זווית

קטע אחד עם שלושה תפקידים — זו התכונה שהופכת את המשולש הזה לנוח בהוכחות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש שווה שוקיים זווית הראש היא 90°90°. מהי כל זווית בסיס (במעלות)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 45

Corrigé :

180−90=90180 - 90 = 90

לשתי זוויות הבסיס

90:2=4590 : 2 = 45

והן שוות

זה משולש שהוא גם שווה שוקיים וגם ישר זווית — שני שמות לאותו משולש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש שווה שוקיים, איזה זוג צלעות שווה?

  1. כל שלוש הצלעות
  2. אין צלעות שוות
  3. שתי השוקיים
  4. שוק ובסיס
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שתי השוקיים

Corrigé :

AB=ACAB = AC

השוקיים

אם גם הבסיס היה שווה להן, המשולש היה שווה צלעות — מקרה פרטי נוסף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במשולש שווה שוקיים זווית הראש 36°. מהי זווית בסיס?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 72

Corrigé :

180−36=144180 - 36 = 144

מה שנשאר לשתי זוויות הבסיס יחד

144:2=72144 : 2 = 72

הן שוות — מחלקים בשתיים

במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות. מורידים את זווית הראש מ-180° ומחלקים את השארית לשתיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

זווית בסיס 65° — מהי זווית הראש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 50

Corrigé :

180−65−65=50180 - 65 - 65 = 50

שתי זוויות הבסיס שוות — מחסרים את 65 פעמיים

שתי זוויות הבסיס שוות, ולכן מורידים אותה פעמיים מ-180°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא בהכרח גם…

  1. אלכסון
  2. גובה וחוצה זווית הראש
  3. רק תיכון
  4. חוצה זווית בסיס
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B גובה וחוצה זווית הראש

Corrigé :

BD=DC⇒AD⊥BC ∠BAD=∠CAD\begin{aligned}BD &= DC \Rightarrow AD \perp BC \\ \ \angle BAD &= \angle CAD\end{aligned}

התיכון לבסיס הוא גם גובה וגם חוצה זווית הראש

זו התכונה שההוכחות אוהבות: קטע אחד, שלושה תפקידים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

היקף משולש שווה שוקיים 32, והבסיס 12. מהי השוק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

32−12=2032 - 12 = 20

מה שנשאר לשתי השוקיים יחד

20:2=1020 : 2 = 10

השוקיים שוות — מחלקים בשתיים

שתי השוקיים שוות: מורידים את הבסיס מההיקף וחוצים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

במשולש שווה צלעות — כמה מעלות כל זווית?

  1. תלוי בצלע
  2. 90
  3. 45
  4. 60
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 60

Corrigé :

180:3=60180 : 3 = 60

שלוש הזוויות שוות, וסכומן 180°

משולש שווה צלעות הוא שווה שוקיים מכל כיוון: כל זוג זוויות הוא זוג זוויות בסיס. לכן שלושתן שוות, וכל אחת 60°60°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCD
חוצה הזווית מ-AA פוגש את הבסיס ב-DD.

במשולש שווה-שוקיים ABCABC נתון AB=ACAB = AC. מעבירים את חוצה הזווית ADAD מהקדקוד AA אל הבסיס. הוכיחו: ∠B=∠C\angle B = \angle C — זוויות הבסיס שוות.

  • AB=ACAB = AC
  • ADAD חוצה את ∠A\angle A, כלומר ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD

∠B=∠C\angle B = \angle C

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — נתון — ADAD חוצה זווית
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — צ.ז.צ — שתי צלעות והזווית שביניהן
  5. ∠B=∠C\angle B = \angle C — זוויות מתאימות במשולשים חופפים
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

Associez, reliez (התאימו) chaque cas à ce qu'il indique

  • AB=ACAB = AC
  • ∠B=∠C\angle B = \angle C
  • AD⊥BCAD \perp BC
  • BD=DCBD = DC
  • הגובה לבסיס יוצא מקדקוד הראש ומאונך לבסיס.
  • ואותו קטע גם חוצה את הבסיס — הוא גם תיכון.
  • זוויות הבסיס שוות. זו התכונה שמשתמשים בה הכי הרבה בהוכחות.
  • שתי השוקיים שוות — זו ההגדרה עצמה.
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB=ACAB = AC — שתי השוקיים שוות — זו ההגדרה עצמה. · ∠B=∠C\angle B = \angle C — זוויות הבסיס שוות. זו התכונה שמשתמשים בה הכי הרבה בהוכחות. · AD⊥BCAD \perp BC — הגובה לבסיס יוצא מקדקוד הראש ומאונך לבסיס. · BD=DCBD = DC — ואותו קטע גם חוצה את הבסיס — הוא גם תיכון.

Corrigé :

AB=AC⇒∠B=∠C\begin{aligned}AB &= AC \Rightarrow \angle B \\ &= \angle C\end{aligned}

מההגדרה נובעות כל השאר

ההגדרה היא השוויון של השוקיים. שלוש התכונות האחרות נובעות ממנה — ושתיים מהן הן תפקידים של אותו קטע ADAD.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

במשולש שווה שוקיים אחת מזוויות הבסיס יכולה להיות 95°95°.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

95+95=190>18095 + 95 = 190 > 180

שתי זוויות הבסיס שוות, וכבר יחד עוברות את 180°

הטענה שגויה. זוויות הבסיס תמיד חדות — גם כשזווית הראש קהה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, וזווית בסיס היא 70°70°. דנה חישבה את זווית הראש. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

∠B=70∘\angle B = 70^\circ
∠C=∠B=70∘\begin{aligned}\angle C &= \angle B \\ &= 70^\circ\end{aligned}
∠A=180−70=110∘\begin{aligned}\angle A &= 180 - 70 \\ &= 110^\circ\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠A=180−70=110∘\angle A = 180 - 70 = 110^\circ → ∠A=180−70−70=40∘\angle A = 180 - 70 - 70 = 40^\circ

Corrigé :

∠B=∠C=70∘\begin{aligned}\angle B &= \angle C \\ &= 70^\circ\end{aligned}

שתי זוויות הבסיס שוות

∠A=180−70−70=40∘\begin{aligned}\angle A &= 180 - 70 - 70 \\ &= 40^\circ\end{aligned}

מחסרים את שתיהן

דנה חיסרה את זווית הבסיס פעם אחת. יש שתי זוויות בסיס, ולכן מחסרים אותה פעמיים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

מיינו: מה נכון בכל משולש שווה שוקיים, ומה רק לפעמים?

  • נכון תמיד
  • רק לפעמים
  • הבסיס קצר מהשוק
  • התיכון לבסיס מאונך לבסיס
  • התיכון לשוק מאונך לשוק
  • זוויות הבסיס חדות
  • זוויות הבסיס שוות
  • זווית הראש חדה
  • חוצה זווית הראש חוצה את הבסיס
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : זוויות הבסיס שוות — נכון תמיד · התיכון לבסיס מאונך לבסיס — נכון תמיד · חוצה זווית הראש חוצה את הבסיס — נכון תמיד · זוויות הבסיס חדות — נכון תמיד · זווית הראש חדה — רק לפעמים · הבסיס קצר מהשוק — רק לפעמים · התיכון לשוק מאונך לשוק — רק לפעמים

Corrigé :

∠B=∠C<90∘\angle B = \angle C < 90^\circ

זוויות הבסיס שוות, ותמיד חדות

AD⊥BC BD=DC\begin{aligned}AD \perp BC \\ \ BD &= DC\end{aligned}

הקטע לבסיס — גובה, תיכון וחוצה זווית

זווית הראש יכולה להיות קהה, למשל 120°120°, והבסיס יכול להיות ארוך מהשוק. והתכונות של הקטע מדברות על הקטע לבסיס בלבד — לא על התיכון לשוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

במשולש שווה שוקיים זווית הראש גדולה ב-30°30° מכל זווית בסיס. מהי זווית הראש, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 80

Corrigé :

x+x+(x+30)=180x + x + (x + 30) = 180

שתי זוויות בסיס xx, וזווית הראש x+30x + 30

3x=150⇒x=50\begin{aligned}3x &= 150 \Rightarrow x \\ &= 50\end{aligned}

זווית בסיס

50+30=8050 + 30 = 80

זווית הראש

זווית הראש 80°80°. מי שעוצר ב-x=50x = 50 מצא את זווית הבסיס, לא את מה שנשאל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD הוא הגובה לבסיס BCBC. נתון ∠BAD=25°\angle BAD = 25°. מהי ∠B\angle B, במעלות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 65

Corrigé :

∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ

ADAD גובה

∠B=180−90−25=65∘\begin{aligned}\angle B &= 180 - 90 - 25 \\ &= 65^\circ\end{aligned}

סכום הזוויות במשולש ABDABD

דרך אחרת: הגובה הוא גם חוצה זווית, ולכן ∠A=50°\angle A = 50° ו-∠B=180−502=65°\angle B = \frac{180 - 50}{2} = 65°.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC. מקפלים אותו לאורך הגובה ADAD. על איזו נקודה נוחת הקדקוד CC?

  1. על AA
  2. על DD
  3. על אמצע ABAB
  4. על BB
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D על BB

Corrigé :

DC=DBDC = DB

הגובה הוא גם תיכון

∠ADC=∠ADB=90∘\begin{aligned}\angle ADC &= \angle ADB \\ &= 90^\circ\end{aligned}

הקטע DCDC נח על DBDB

הקטע DCDC נח על DBDB ושווה לו באורכו, ולכן CC נוחת בדיוק על BB.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe