Comment prouver qu’un triangle est isocèle

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו ידענו שהמשולש שווה שוקיים והסקנו ממנו מסקנות. עכשיו הכיוון הפוך: יש לנו משולש, ואנחנו צריכים להוכיח שהוא שווה שוקיים.

המשפט ההפוך

הדרך השנייה היא המשפט ההפוך לתכונה שלמדנו. כאן קובעים את הזוויות — ובודקים מה קורה לצלעות.

AB=AC⇒∠B=∠C\begin{aligned}AB &= AC \Rightarrow \angle B \\ &= \angle C\end{aligned}

התכונה: מהצלעות השוות אל הזוויות.

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

המשפט ההפוך: מהזוויות השוות אל הצלעות שמולן.

זה לא מובן מאליו! ברוב המשפטים בגאומטריה הכיוון ההפוך אינו נכון אוטומטית — צריך להוכיח אותו בנפרד. כאן שני הכיוונים אכן הוכחו, ולכן שניהם מותרים כנימוק.

במשולש ABCABC נתון ∠A=∠B\angle A = \angle B. אילו צלעות שוות?

Voir la réponse et le corrigé

הצלעות מול הזוויות השוות: BCBC מול ∠A\angle A, ו-ACAC מול ∠B\angle B. לכן BC=ACBC = AC, וקדקוד הראש הוא CC.

הוכחה לדוגמה

במשולש ABCABC נתון ש-∠B=∠C\angle B = \angle C. הוכיחו שהגובה מ-AA חוצה את BCBC.

∠B=∠C\angle B = \angle C

Voir la réponse et le corrigé

נתון

△ABC\triangle ABC שווה שוקיים, AB=ACAB = AC

Voir la réponse et le corrigé

משולש שבו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים

נעביר גובה ADAD אל BCBC

Voir la réponse et le corrigé

בנייה

∠ADB=∠ADC=90°\angle ADB = \angle ADC = 90°

Voir la réponse et le corrigé

ADAD גובה, לפי הבנייה

AD=ADAD = AD

Voir la réponse et le corrigé

צלע משותפת

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

Voir la réponse et le corrigé

משפט חפיפה צ.צ.ז — הזווית הישרה מול הצלע הגדולה, ABAB

BD=DCBD = DC

Voir la réponse et le corrigé

צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות

שימו לב לשלב השני: משם והלאה מותר לנו להשתמש בכל התכונות של שווה שוקיים, כי כבר הוכחנו שהוא כזה. זה הרגע שבו ההוכחה נפתחת.

הטעות הלוגית של הפרק.

נראה שווה שוקיים בציור\text{נראה שווה שוקיים בציור}
נובע מנתון או ממשפט\text{נובע מנתון או ממשפט}

ציור אינו נימוק. שני קטעים שנראים שווים על הדף יכולים להיות שונים ב-2 מילימטרים — והוכחה חייבת להיות נכונה לכל ציור אפשרי.

במשולש שתי זוויות שוות. מה אפשר להסיק על הצלעות?

Voir la réponse et le corrigé

הצלעות שמול הזוויות השוות שוות — המשולש שווה שוקיים. זה המשפט ההפוך, וגם הוא כלי הוכחה.

שלושה קטעים, שלוש חפיפות

כמעט כל הוכחה בפרק מעבירה קטע אחד מ-AA אל הבסיס. איזה קטע — זה מה שקובע את משפט החפיפה.

מעבירים במשולש שווה שוקיים את התיכון לבסיס. לפי איזה משפט שני המשולשים חופפים?

Voir la réponse et le corrigé

צ.צ.צ: AB=ACAB = AC (נתון), BD=DCBD = DC (תיכון), ו-ADAD משותפת. מהחפיפה: התיכון הוא גם גובה וגם חוצה זווית.

Exercices

Exercice 1

במשולש הוכח ש-∠B=∠C\angle B = \angle C. מה אפשר להסיק?

  1. המשולש שווה צלעות
  2. המשולש ישר זווית
  3. אי אפשר להסיק דבר
  4. המשולש שווה שוקיים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D המשולש שווה שוקיים

Corrigé :

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

משפט: שתי זוויות שוות — משולש שווה שוקיים

זה המשפט ההפוך, והוא נימוק חוקי בהוכחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

איזה נימוק אינו מספיק כדי להוכיח שמשולש שווה שוקיים?

  1. שתי צלעות שוות
  2. חפיפה שמובילה לשוויון צלעות
  3. הצלעות נראות שוות בציור
  4. שתי זוויות שוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C הצלעות נראות שוות בציור

Corrigé :

ציור אינו נימוק\text{ציור אינו נימוק}

מדידה אינה הוכחה

הוכחה חייבת להיות נכונה לכל ציור אפשרי, לא רק לזה שעל הדף.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשולש שווה שוקיים העבירו את הגובה לבסיס. אילו שני משולשים נוצרו?

  1. משולש ומרובע
  2. שני משולשים שווי שוקיים
  3. שני משולשים דומים אך לא חופפים
  4. שני משולשים חופפים ישרי זווית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D שני משולשים חופפים ישרי זווית

Corrigé :

∠ADB=∠ADC=90∘\begin{aligned}\angle ADB &= \angle ADC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

כי ADAD גובה

AB=AC AD=AD\begin{aligned}AB &= AC \\ \ AD &= AD\end{aligned}

נתון, וצלע משותפת

△ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD

לפי צ.צ.ז — הזווית הישרה מול ABAB, הצלע הגדולה

זו התבנית של כמעט כל הוכחה בפרק: מעבירים את הגובה, ומקבלים חפיפה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

במשולש שווה שוקיים הבסיס אורכו 14, והגובה אליו חוצה אותו. מהו אורך כל חלק?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 7

Corrigé :

14:2=714 : 2 = 7

הגובה לבסיס הוא גם תיכון

רק במשולש שווה שוקיים הגובה חוצה את הבסיס. במשולש רגיל זה לא נכון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

במשולש נתון ששתי זוויות שוות. מה המשפט שמסיק שהוא שווה שוקיים?

  1. זוויות בסיס שוות
  2. מול זוויות שוות
  3. פיתגורס
  4. סכום זוויות 180
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מול זוויות שוות

Corrigé :

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

המשפט ההפוך

שתי זוויות שוות — ולכן הצלעות שמולן שוות. זה המשפט ההפוך לתכונת זוויות הבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

להוכחת חפיפה עם צלע משותפת — איזה נימוק כותבים עליה?

  1. «צלע משותפת»
  2. «הגדרת תיכון»
  3. «נתון»
  4. לא צריך נימוק
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A «צלע משותפת»

Corrigé :

משותפת\text{משותפת}

שווה לעצמה

הקטע ADAD שייך לשני המשולשים, ולכן הוא שווה לעצמו. הנימוק הוא «צלע משותפת» — לא «נתון»: אף אחד לא נתן אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

במשולש שווה שוקיים חוצה זווית הראש חותך את הבסיס באורך 6 מכל צד. מהו הבסיס?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

6+6=126 + 6 = 12

החוצה הוא גם תיכון

חוצה זווית הראש הוא גם תיכון, ולכן DD אמצע הבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מה מוכיחים כדי להראות ששני קטעים שווים?

  1. שהם מקבילים
  2. שהם נראים שווים
  3. שהם צלעות מתאימות במשולשים חופפים
  4. ששניהם אלכסונים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שהם צלעות מתאימות במשולשים חופפים

Corrigé :

≅\cong

חפיפה — ואז צל״ח

צל״ח: צלעות מתאימות במשולשים חופפים — שוות. הכלי המרכזי של השנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCDE
המשולשים ABEABE ו-ACDACD חולקים את הזווית AA.

נתון AB = AC והזווית A משותפת לשני משולשים קטנים בתוך הגדול. איזה תנאי חפיפה מזמין?

  1. צ.צ.צ
  2. ז.צ.ז
  3. אין חפיפה
  4. צ.ז.צ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D צ.ז.צ

Corrigé :

צלע-זווית-צלע\text{צלע-זווית-צלע}

הזווית בין שתי הצלעות

AB=ACAB = AC, AE=ADAE = AD, והזווית AA ביניהן בשני המשולשים: צלע, זווית, צלע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

בהוכחה בת 5 שורות — כמה נימוקים צריך?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

55

נימוק לכל שורה

שורה בלי נימוק — ניחוש, לא הוכחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

ABCD
המשולש שווה שוקיים, ו-ADAD יורד מהקודקוד אל אמצע הבסיס.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD הוא התיכון לבסיס BCBC. הוכיחו: AD⊥BCAD \perp BC.

  • AB=ACAB = AC
  • ADAD תיכון לבסיס BCBC

∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. BD=DCBD = DC — ADAD תיכון — הגדרת תיכון
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠ADB=∠ADC\angle ADB = \angle ADC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים (זמ״ח)
  6. ∠ADB+∠ADC=180∘\angle ADB + \angle ADC = 180^\circ — זוויות צמודות
  7. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — שתי זוויות שוות שסכומן 180
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

ABCD
ADAD מחלק את זווית הראש לשתי זוויות שוות.

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD חוצה את זווית AA. הוכיחו: BD=DCBD = DC.

  • AB=ACAB = AC
  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC

BD=DCBD = DC

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ACAB = AC — נתון
  2. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — ADAD חוצה זווית — הגדרת חוצה זווית
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — משפט חפיפה צ.ז.צ
  5. BD=DCBD = DC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים (צל״ח)
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

ABCD
זוויות הבסיס שוות, ו-ADAD חוצה את זווית הראש.

במשולש ABCABC נתון ∠B=∠C\angle B = \angle C, ו-ADAD חוצה את הזווית AA. הוכיחו: BD=DCBD = DC.

  • ∠B=∠C\angle B = \angle C
  • ADAD חוצה את ∠BAC\angle BAC

BD=DCBD = DC

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠B=∠C\angle B = \angle C — נתון
  2. AB=ACAB = AC — מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  3. ∠BAD=∠CAD\angle BAD = \angle CAD — נתון — ADAD חוצה זווית
  4. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — צ.ז.צ — שתי צלעות והזווית שביניהן
  6. BD=DCBD = DC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

ABCD
ADAD גם תיכון וגם גובה.

במשולש ABCABC הנקודה DD היא אמצע BCBC, ו-AD⊥BCAD \perp BC. הוכיחו: AB=ACAB = AC — המשולש שווה שוקיים.

  • DD אמצע BCBC
  • AD⊥BCAD \perp BC

AB=ACAB = AC

Voir la réponse et le corrigé
  1. BD=DCBD = DC — נתון — DD אמצע BCBC
  2. ∠ADB=∠ADC\angle ADB = \angle ADC — נתון — AD⊥BCAD \perp BC, ושתיהן 90°90°
  3. AD=ADAD = AD — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABD≅△ACD\triangle ABD \cong \triangle ACD — צ.ז.צ — שתי צלעות והזווית שביניהן
  5. AB=ACAB = AC — צלעות מתאימות במשולשים חופפים
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

ABCD

במשולש ABCABC התיכון ADAD לצלע BCBC מאונך לה. לכן AB=ACAB = AC.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

BD=DC ∠ADB=∠ADC AD=AD\begin{aligned}BD &= DC \\ \ \angle ADB &= \angle ADC \\ \ AD &= AD\end{aligned}

שני זוגות צלעות והזווית שביניהן

△ABD≅△ACD⇒AB=AC\triangle ABD \cong \triangle ACD \Rightarrow AB = AC

צ.ז.צ, ואז צלעות מתאימות

הטענה נכונה. תיכון שהוא גם גובה מוכיח שהמשולש שווה שוקיים — זו דרך שלישית להגיע לשוויון הצלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

ABCD

במשולש ABCABC נתון ∠B=∠C\angle B = \angle C, ו-ADAD תיכון לצלע BCBC. סדרו את שורות ההוכחה ש-AD⊥BCAD \perp BC.

  • ∠B=∠C\angle B = \angle C — נתון
  • AB=ACAB = AC — מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות
  • AD⊥BCAD \perp BC — במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה
  • המשולש שווה שוקיים, ו-ADAD תיכון לבסיס
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ∠B=∠C\angle B = \angle C — נתון · AB=ACAB = AC — מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות · המשולש שווה שוקיים, ו-ADAD תיכון לבסיס · AD⊥BCAD \perp BC — במשולש שווה שוקיים התיכון לבסיס הוא גם גובה

Corrigé :

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

קודם המשפט ההפוך

AB=AC⇒AD⊥BCAB = AC \Rightarrow AD \perp BC

ורק אחר כך תכונות שווה השוקיים

אי אפשר להשתמש בתכונות של שווה שוקיים לפני שהוכחנו שהמשולש כזה. לכן המשפט ההפוך בא ראשון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

במשולש ABCABC נתון AB=ACAB = AC, ו-ADAD חוצה את זווית הראש. יואב הוכיח ש-BD=DCBD = DC. שורה אחת שגויה — מצאו אותה.

AB=AC(נתון)AB = AC \quad (\text{נתון})
∠BAD=∠CAD(חוצה זווית)\angle BAD = \angle CAD \quad (\text{חוצה זווית})
AD=AD(צלע משותפת)AD = AD \quad (\text{צלע משותפת})
△ABD≅△ACD(צ.צ.צ)\triangle ABD \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.צ.צ})
BD=DC(צלעות מתאימות)BD = DC \quad (\text{צלעות מתאימות})
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : △ABD≅△ACD(צ.צ.צ)\triangle ABD \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.צ.צ}) → △ABD≅△ACD(צ.ז.צ)\triangle ABD \cong \triangle ACD \quad (\text{צ.ז.צ})

Corrigé :

AB=AC ∠BAD=∠CAD AD=AD\begin{aligned}AB &= AC \\ \ \angle BAD &= \angle CAD \\ \ AD &= AD\end{aligned}

שתי צלעות והזווית שביניהן

יואב ידע רק שתי צלעות שוות, ABAB ו-ADAD, וזווית אחת. צ.צ.צ דורש שלוש צלעות — וזה בדיוק מה שצריך להוכיח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

במשולש ABCABC נתון ∠B=∠C=65°\angle B = \angle C = 65°, ו-AB=9AB = 9 ס״מ. מהו אורך ACAC, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9

Corrigé :

∠B=∠C⇒AB=AC\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AB \\ &= AC\end{aligned}

מול זוויות שוות מונחות צלעות שוות

AC=9AC = 9

אין כאן מה לחשב: המשפט ההפוך נותן את השוויון ישירות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

במשולש ABCABC נתון ∠A=40°\angle A = 40° ו-∠B=70°\angle B = 70°. אילו צלעות שוות?

  1. AC=BCAC = BC
  2. AB=BCAB = BC
  3. אין צלעות שוות
  4. AB=ACAB = AC
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D AB=ACAB = AC

Corrigé :

∠C=180−40−70=70∘\begin{aligned}\angle C &= 180 - 40 - 70 \\ &= 70^\circ\end{aligned}

Somme (סכום) des angles (זוויות) dans un triangle (משולש)

∠B=∠C⇒AC=AB\begin{aligned}\angle B &= \angle C \Rightarrow AC \\ &= AB\end{aligned}

ACAC מול ∠B\angle B, ו-ABAB מול ∠C\angle C

הצלעות השוות הן אלה שמול הזוויות השוות — לא אלה שיוצאות מהן.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe