Pythagore dans l’espace

Sur elev, cette leçon vient avec des exercices corrigés sur le moment, un indice quand votre enfant bloque et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

עד עכשיו כל המשולשים שכבו על הדף. אבל בתיבה (קופסה, חדר, ארון) יש זוויות ישרות בכל פינה.

ולכן גם בתוך תיבה מסתתרים משולשים ישרי זווית, ופיתגורס עובד גם במרחב.

שני סוגי אלכסונים

אלכסון פאה מחבר שני קודקודים של אותה פאה. הוא שוכב על הקיר, על הרצפה או על התקרה.

אלכסון התיבה מחבר שני קודקודים שאינם על אותה פאה. הוא עובר דרך פנים התיבה, מפינה לפינה הנגדית.

כמה אלכסוני תיבה יש בתיבה אחת?

Voir la réponse et le corrigé

4. מכל אחד מ-8 הקודקודים יוצא אלכסון אחד, וכל אלכסון נספר פעמיים: 8:2=48 : 2 = 4.

אלכסון התיבה בשני משולשים

אין משולש אחד שמכיל את אלכסון התיבה ושתי צלעות ידועות. לכן עוברים דרך משולש עזר על הרצפה.

תיבה: אורך 4 ס״מ, רוחב 3 ס״מ, גובה 12 ס״מ. מה אורך אלכסון התיבה?

שני משולשים, זה אחר זה.

d12=42+32=25→d1=5\begin{aligned}d_1^2 &= 4^2 + 3^2 \\ &= 25 \rightarrow d_1 \\ &= 5\end{aligned}

על הרצפה: אלכסון הרצפה

d2=d12+122=25+144=169\begin{aligned}d^2 &= d_1^2 + 12^2 \\ &= 25 + 144 \\ &= 169\end{aligned}

במשולש העומד: אלכסון הרצפה והגובה הם הניצבים

d=169=13 ס״מ\begin{aligned}d &= \sqrt{169} \\ &= 13 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2

שלוש המידות, כל אחת בריבוע, ביחד

לא חייבים להוציא שורש באמצע: d12=25d_1^2 = 25 נכנס ישר לחישוב השני.

שתי הטעויות של התיבה.

d2=a2+b2d^2 = a^2 + b^2
d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2

עצרו באמצע: זה רק אלכסון הרצפה, התחנה הראשונה.

d=a+b+cd = a + b + c
d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}

כמו במישור: מחברים ריבועים, ובסוף שורש.

קובייה שצלעה 1 ס״מ. מה אורך אלכסון הקובייה?

Voir la réponse et le corrigé

d2=1+1+1=3d^2 = 1 + 1 + 1 = 3, ולכן d=3≈1.73d = \sqrt{3} \approx 1.73 ס״מ.

בעיות מהחיים: קופסאות וחדרים

מקל בקופסה, חוט בחדר: הקטע הארוך ביותר בתיבה הוא תמיד אלכסון התיבה, מפינה לפינה הנגדית.

חרוט ופירמידה: הגובה הנסתר

בחרוט ישר, הגובה יורד מהקודקוד אל מרכז הבסיס, מאונך לבסיס.

חרוט: רדיוס הבסיס 6 ס״מ, הגובה 8 ס״מ. מה המרחק מהקודקוד אל שפת הבסיס?

הגובה והרדיוס הם הניצבים.

s2=82+62=64+36=100\begin{aligned}s^2 &= 8^2 + 6^2 \\ &= 64 + 36 \\ &= 100\end{aligned}

מחברים

s=10 ס״מs = 10 \text{ ס״מ}

ושורש

פירמידה שבסיסה ריבוע של 10 ס״מ, וגובהה 12 ס״מ. מה הגובה של פאה צדדית (מהקודקוד אל אמצע צלע הבסיס)?

Voir la réponse et le corrigé

13 ס״מ: הניצבים הם הגובה, 12, וחצי צלע הבסיס, 5. 144+25=169144 + 25 = 169.

Exercices

Exercice 1

רצפה של חדר היא מלבן של 4 מטר על 3 מטר. מה אורך האלכסון של הרצפה, במטרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

AC2=42+32=25\begin{aligned}AC^2 &= 4^2 + 3^2 \\ &= 25\end{aligned}

הרצפה היא מלבן: אורך ורוחב הם הניצבים

AC=5 מטרAC = 5 \text{ מטר}

שורש

אלכסון הרצפה הוא אלכסון פאה: הוא לא צריך את הגובה בכלל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

תיבה: אורך 6 ס״מ, רוחב 8 ס״מ, גובה 24 ס״מ. מה אורך אלכסון התיבה, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 26

Corrigé :

d12=62+82=100→d1=10\begin{aligned}d_1^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 100 \rightarrow d_1 \\ &= 10\end{aligned}

קודם אלכסון הרצפה

d2=102+242=676\begin{aligned}d^2 &= 10^2 + 24^2 \\ &= 676\end{aligned}

ואז המשולש העומד

d=26 ס״מd = 26 \text{ ס״מ}

שורש

שתי שלשות ברצף: 6,8,106, 8, 10 ואז 10,24,2610, 24, 26.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

קובייה שצלעה 2 ס״מ. מה אורך אלכסון הקובייה, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.46

Corrigé :

d2=22+22+22=12\begin{aligned}d^2 &= 2^2 + 2^2 + 2^2 \\ &= 12\end{aligned}

שלוש המידות שוות

d=12≈3.46 ס״מd = \sqrt{12} \approx 3.46 \text{ ס״מ}

שורש

אלכסון הקובייה ארוך מהצלע, אבל קצר משלוש צלעות יחד (6 ס״מ).

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

תיבה: אורך 5 ס״מ, רוחב 3 ס״מ, גובה 12 ס״מ. מה אורך האלכסון של הפאה הקדמית (אורך וגובה), בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

AB′2=52+122=169\begin{aligned}AB'^2 &= 5^2 + 12^2 \\ &= 169\end{aligned}

הפאה הקדמית היא מלבן של 5 על 12

AB′=13 ס״מAB' = 13 \text{ ס״מ}

שורש

הרוחב, 3 ס״מ, לא משתתף: האלכסון שוכב כולו על הפאה הקדמית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

בתיבה שבשרטוט, איזה קטע הוא אלכסון התיבה?

  1. A′C′A'C'
  2. AC′AC'
  3. ACAC
  4. AB′AB'
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B AC′AC'

Corrigé :

A למטה מקדימה,C′ למעלה מאחורA \text{ למטה מקדימה}, \quad C' \text{ למעלה מאחור}

אין פאה שמכילה את שניהם

ACAC ו-A′C′A'C' הם אלכסוני הרצפה והתקרה, AB′AB' אלכסון של הפאה הקדמית. רק AC′AC' עובר דרך פנים התיבה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מיינו את הקטעים של התיבה שבשרטוט

  • אלכסון פאה
  • אלכסון התיבה
  • A′C′A'C'
  • AB′AB'
  • AC′AC'
  • ACAC
  • BD′BD'
  • DB′DB'
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ACAC — אלכסון פאה · AC′AC' — אלכסון התיבה · BD′BD' — אלכסון התיבה · A′C′A'C' — אלכסון פאה · AB′AB' — אלכסון פאה · DB′DB' — אלכסון התיבה

Corrigé :

AC′,  BD′,  DB′AC',\; BD',\; DB'

מחברים קודקודים שאין להם פאה משותפת

בדיקה מהירה: אלכסון התיבה משנה גם צד, גם עומק וגם גובה. אלכסון פאה משנה רק שניים מהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

נפח של תיבה הוא 576 סמ״ק. האורך 6 ס״מ והרוחב 8 ס״מ. מה הגובה, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

V=6×8×c=48c\begin{aligned}V &= 6 \times 8 \times c \\ &= 48c\end{aligned}

נפח: אורך כפול רוחב כפול גובה

c=576:48=12 ס״מ\begin{aligned}c &= 576 : 48 \\ &= 12 \text{ ס״מ}\end{aligned}

מחלקים

שלב ראשון של שאלה ארוכה: בלי הגובה אי אפשר להגיע לאלכסון התיבה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

באותה תיבה (6 ס״מ, 8 ס״מ, 12 ס״מ): מה אורך אלכסון הרצפה, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

AC2=62+82=100\begin{aligned}AC^2 &= 6^2 + 8^2 \\ &= 100\end{aligned}

הרצפה: 6 על 8

AC=10 ס״מAC = 10 \text{ ס״מ}

שורש

שוב השלשה 6,8,106, 8, 10.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ובאותה תיבה (6 ס״מ, 8 ס״מ, 12 ס״מ): מה אורך אלכסון התיבה, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15.62

Corrigé :

d2=102+122=100+144=244\begin{aligned}d^2 &= 10^2 + 12^2 \\ &= 100 + 144 \\ &= 244\end{aligned}

אלכסון הרצפה והגובה הם הניצבים

d=244≈15.62 ס״מd = \sqrt{244} \approx 15.62 \text{ ס״מ}

שורש

בדיקת היגיון: אלכסון התיבה ארוך מכל מידה ומאלכסון הרצפה, וקצר מ-6+8+126 + 8 + 12.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

קופסה באורך 120 ס״מ, ברוחב 30 ס״מ ובגובה 40 ס״מ. מה אורך המקל הארוך ביותר שנכנס לקופסה, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 130

Corrigé :

d12=1202+302=14400+900=15300\begin{aligned}d_1^2 &= 120^2 + 30^2 \\ &= 14400 + 900 \\ &= 15300\end{aligned}

אלכסון הרצפה

d2=15300+402=16900\begin{aligned}d^2 &= 15300 + 40^2 \\ &= 16900\end{aligned}

ועוד הגובה בריבוע

d=16900=130 ס״מ\begin{aligned}d &= \sqrt{16900} \\ &= 130 \text{ ס״מ}\end{aligned}

שורש

המקל הארוך ביותר שוכב לאורך אלכסון התיבה, מפינה לפינה הנגדית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

מקל באורך 125 ס״מ אי אפשר להכניס לקופסה של 120 ס״מ על 30 ס״מ על 40 ס״מ, כי הוא ארוך מהקופסה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

125<130125 < 130

אלכסון התיבה ארוך מהמקל

לא נכון: לאורך הקופסה המקל לא נכנס, אבל באלכסון התיבה יש 130 ס״מ, והוא נכנס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

חדר באורך 4 מטר, ברוחב 3 מטר ובגובה 2.4 מטר. עכביש הולך בקו ישר (באוויר, על חוט) מפינה ברצפה אל הפינה הנגדית בתקרה. כמה מטרים הוא עובר? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5.55

Corrigé :

d12=42+32=25\begin{aligned}d_1^2 &= 4^2 + 3^2 \\ &= 25\end{aligned}

אלכסון הרצפה: 5 מטר

d2=25+2.42=25+5.76=30.76\begin{aligned}d^2 &= 25 + 2.4^2 \\ &= 25 + 5.76 \\ &= 30.76\end{aligned}

ועוד הגובה בריבוע

d=30.76≈5.55 מטרd = \sqrt{30.76} \approx 5.55 \text{ מטר}

שורש

גם עם מספרים עשרוניים: מרבעים, מחברים, ובסוף שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

סדרו את השלבים לחישוב אלכסון התיבה

  • מזהים את המשולש ישר הזווית שעל הרצפה
  • מזהים משולש שני: אלכסון הרצפה והגובה
  • מחברים את הגובה בריבוע ומוציאים שורש
  • מחשבים את ריבוע אלכסון הרצפה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : מזהים את המשולש ישר הזווית שעל הרצפה · מחשבים את ריבוע אלכסון הרצפה · מזהים משולש שני: אלכסון הרצפה והגובה · מחברים את הגובה בריבוע ומוציאים שורש

Corrigé :

d12=a2+b2d_1^2 = a^2 + b^2

משולש ראשון

d2=d12+c2d^2 = d_1^2 + c^2

משולש שני

תמיד שני משולשים, זה אחר זה. אלכסון הרצפה הוא הגשר ביניהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

Complétez (השלימו)

תיבה של 2 ס״מ, 3 ס״מ ו-6 ס״מ: d12=4+9=d_1^2 = 4 + 9 = ____, אחר כך d2=13+36=d^2 = 13 + 36 = ____, ולכן אלכסון התיבה הוא ____ ס״מ.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : תיבה של 2 ס״מ, 3 ס״מ ו-6 ס״מ: d12=4+9=d_1^2 = 4 + 9 = 13, אחר כך d2=13+36=d^2 = 13 + 36 = 49, ולכן אלכסון התיבה הוא 7 ס״מ.

Corrigé :

d12=13d_1^2 = 13

לא מוציאים שורש באמצע

d2=13+36=49→d=7\begin{aligned}d^2 &= 13 + 36 \\ &= 49 \rightarrow d \\ &= 7\end{aligned}

רק בסוף

d1=13d_1 = \sqrt{13} אינו שלם, אבל לא צריך אותו: ממשיכים עם d12=13d_1^2 = 13.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

חרוט: רדיוס הבסיס 5 ס״מ והגובה 12 ס״מ. מה המרחק מהקודקוד אל שפת הבסיס (הקו היוצר), בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

s2=122+52=169\begin{aligned}s^2 &= 12^2 + 5^2 \\ &= 169\end{aligned}

הגובה מאונך לבסיס

s=13 ס״מs = 13 \text{ ס״מ}

שורש

בחתך של החרוט מסתתר משולש ישר זווית: גובה, רדיוס, וקו יוצר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

חרוט: הקו היוצר 10 ס״מ ורדיוס הבסיס 6 ס״מ. מה גובה החרוט, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

h2=102−62=64\begin{aligned}h^2 &= 10^2 - 6^2 \\ &= 64\end{aligned}

הקו היוצר הוא היתר: מחסרים

h=8 ס״מh = 8 \text{ ס״מ}

שורש

גם במרחב: מחפשים ניצב, מחסרים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ABCDSOM
AB=10AB = 10 ס״מ, SO=12SO = 12 ס״מ, SM=?SM = ?

פירמידה שבסיסה ריבוע ABCDABCD שצלעו 10 ס״מ, וגובהה SO=12SO = 12 ס״מ. MM אמצע הצלע ABAB. מה אורך SMSM, גובה הפאה, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

OM=10:2=5\begin{aligned}OM &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}

מהמרכז אל אמצע הצלע: חצי צלע

SM2=122+52=169\begin{aligned}SM^2 &= 12^2 + 5^2 \\ &= 169\end{aligned}

במשולש SOMSOM, הזווית ב-OO ישרה

SM=13 ס״מSM = 13 \text{ ס״מ}

שורש

המשולש SOMSOM עומד בתוך הפירמידה. כמו בגובה של משולש שווה שוקיים: חצי צלע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

Associez, reliez (התאימו) chaque notion à son explication

  • אלכסון פאה
  • אלכסון התיבה
  • משולש העזר
  • המשולש העומד
  • אלכסון הרצפה והגובה הם ניצבים
  • מחבר שני קודקודים של אותה פאה
  • עובר דרך פנים התיבה, לפינה הנגדית
  • שוכב על הרצפה: האורך והרוחב הם ניצבים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : אלכסון פאה — מחבר שני קודקודים של אותה פאה · אלכסון התיבה — עובר דרך פנים התיבה, לפינה הנגדית · משולש העזר — שוכב על הרצפה: האורך והרוחב הם ניצבים · המשולש העומד — אלכסון הרצפה והגובה הם ניצבים

Corrigé :

d2=a2+b2+c2d^2 = a^2 + b^2 + c^2

שני המשולשים יחד

שני משולשים ישרי זווית, ואלכסון הרצפה הוא הצלע המשותפת שלהם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

קובייה שצלעה 5 ס״מ. מה אורך אלכסון הקובייה?

  1. 50≈7.07\sqrt{50} \approx 7.07 ס״מ
  2. 75 ס״מ
  3. 15 ס״מ
  4. 75≈8.66\sqrt{75} \approx 8.66 ס״מ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D 75≈8.66\sqrt{75} \approx 8.66 ס״מ

Corrigé :

d2=25+25+25=75\begin{aligned}d^2 &= 25 + 25 + 25 \\ &= 75\end{aligned}

שלוש המידות

d=75≈8.66 ס״מd = \sqrt{75} \approx 8.66 \text{ ס״מ}

שורש

50\sqrt{50} הוא אלכסון של פאה, התחנה הראשונה. 15 הוא סכום הצלעות, ו-75 שכח את השורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

בכל תיבה, אלכסון התיבה ארוך מהאלכסון של כל אחת מהפאות שלה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

d2=d12+c2>d12d^2 = d_1^2 + c^2 > d_1^2

אלכסון התיבה הוא יתר

נכון: אלכסון הפאה הוא ניצב במשולש העומד, ואלכסון התיבה הוא היתר שלו.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe