Distance, diagonale, hauteur, triplets

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

פיתגורס מסתתר בכל מקום שיש בו זווית ישרה: בדף משבצות, באלכסון של מלבן, בגובה של משולש.

בכל בעיה עושים אותו דבר: מוצאים את המשולש ישר הזווית, ורק אז מחשבים.

המרחק בין שתי נקודות

על דף משבצות, הדרך הקצרה בין שתי נקודות היא קו ישר. סופרים משבצות לרוחב ולגובה: אלה הניצבים.

נקודה אחת זזה 6 משבצות לרוחב ו-8 משבצות לגובה מהנקודה השנייה. מה המרחק ביניהן?

Voir la réponse et le corrigé

10 משבצות: 62+82=36+64=1006^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100, ושורש. זו השלשה 3,4,53, 4, 5 כפול 2.

אלכסון של מלבן

אלכסון חוצה את המלבן לשני משולשים ישרי זווית. האורך והרוחב הם הניצבים, והאלכסון הוא היתר.

גודל של מסך נמדד תמיד באלכסון. מסך של 50 אינץ׳ הוא רק 40 אינץ׳ לרוחב.

הגובה במשולש שווה שוקיים

במשולש שווה שוקיים, הגובה לבסיס חוצה את הבסיס. נוצרים שני משולשים ישרי זווית.

ABCH
בכל חצי: השוק היא היתר, חצי הבסיס והגובה הם הניצבים.

השוקיים הן 13 ס״מ, והבסיס 10 ס״מ. מהו הגובה לבסיס?

קודם חוצים את הבסיס, ואז מחסרים.

BH=10:2=5\begin{aligned}BH &= 10 : 2 \\ &= 5\end{aligned}

הגובה חוצה את הבסיס

h2=132−52=169−25=144\begin{aligned}h^2 &= 13^2 - 5^2 \\ &= 169 - 25 \\ &= 144\end{aligned}

במשולש AHCAHC: השוק היא היתר

h=144=12 ס״מ\begin{aligned}h &= \sqrt{144} \\ &= 12 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

הטעות של חצי הבסיס.

h2=132−102h^2 = 13^2 - 10^2
h2=132−52h^2 = 13^2 - 5^2

במשולש ישר הזווית יושב רק חצי מהבסיס. הבסיס כולו לא נוגע בזווית הישרה.

גם במעוין יש ארבעה משולשים ישרי זווית: האלכסונים מאונכים, וחוצים זה את זה.

ABCDO
האלכסונים 16 ס״מ ו-12 ס״מ. במשולש BOCBOC: ניצבים 8 ו-6, ולכן הצלע 10 ס״מ.

אלכסוני מעוין הם 10 ס״מ ו-24 ס״מ. מה אורך הצלע?

Voir la réponse et le corrigé

13 ס״מ: חצאי האלכסונים הם 5 ו-12, ו-25+144=16925 + 144 = 169. בלי לחצות, יוצא שגוי.

שלשות פיתגוריות

שלשה פיתגורית היא שלושה מספרים שלמים שמקיימים a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2.

3, 4, 53,\ 4,\ 5

הכי מוכרת

5, 12, 135,\ 12,\ 13
8, 15, 178,\ 15,\ 17
7, 24, 257,\ 24,\ 25

כל כפולה של שלשה היא שלשה: 30,40,5030, 40, 50 היא 3,4,53, 4, 5 כפול 10. מי שמזהה, חוסך את החישוב.

שורש שאינו שלם: בין אילו מספרים?

40\sqrt{40} אינו מספר שלם. אבל 36<40<4936 < 40 < 49, ולכן 6<40<76 < \sqrt{40} < 7.

75\sqrt{75} נמצא בין שני מספרים שלמים עוקבים. מה הם?

Voir la réponse et le corrigé

בין 8 ל-9: 64<75<8164 < 75 < 81. וקרוב יותר ל-9, כי 75 קרוב יותר ל-81.

Exercices

Exercice 1

בשרטוט שתי נקודות על דף משבצות. כל משבצת היא 1 ס״מ. כמה סנטימטרים יש בין AA ל-BB בקו ישר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

רוחב=3גובה=4\begin{aligned}\text{רוחב} &= 3 \\ \quad \text{גובה} &= 4\end{aligned}

סופרים משבצות לאורך הניצבים

AB=32+42=25=5 ס״מ\begin{aligned}AB &= \sqrt{3^2 + 4^2} \\ &= \sqrt{25} \\ &= 5 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ושורש

לא סופרים משבצות לאורך הקו הנטוי: הוא חוצה אותן באלכסון. סופרים רק לרוחב ולגובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כל משבצת בשרטוט היא 1 ס״מ. כמה סנטימטרים יש בין AA ל-BB בקו ישר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

רוחב=12גובה=5\begin{aligned}\text{רוחב} &= 12 \\ \quad \text{גובה} &= 5\end{aligned}

סופרים

AB=144+25=169=13 ס״מ\begin{aligned}AB &= \sqrt{144 + 25} \\ &= \sqrt{169} \\ &= 13 \text{ ס״מ}\end{aligned}

השלשה 5,12,135, 12, 13

מציירים בראש את שני הניצבים, גם כשהשרטוט לא מראה אותם.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כל משבצת בשרטוט היא 1 ס״מ. מה המרחק בין AA ל-BB בקו ישר?

  1. 5≈2.24\sqrt{5} \approx 2.24 ס״מ
  2. 5 ס״מ
  3. 13≈3.61\sqrt{13} \approx 3.61 ס״מ
  4. 13 ס״מ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 13≈3.61\sqrt{13} \approx 3.61 ס״מ

Corrigé :

רוחב=2גובה=3\begin{aligned}\text{רוחב} &= 2 \\ \quad \text{גובה} &= 3\end{aligned}

סופרים

AB=4+9=13≈3.61\begin{aligned}AB &= \sqrt{4 + 9} \\ &= \sqrt{13} \approx 3.61\end{aligned}

שורש

5 ס״מ הוא הדרך לאורך הקווים (2+32 + 3), לא הקו הישר. 13 הוא AB2AB^2 בלי שורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

חצר מלבנית שאורכה 21 מטר ורוחבה 20 מטר. מה אורך האלכסון של החצר, במטרים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 29

Corrigé :

d2=212+202=441+400=841\begin{aligned}d^2 &= 21^2 + 20^2 \\ &= 441 + 400 \\ &= 841\end{aligned}

האורך והרוחב הם הניצבים

d=841=29 מטר\begin{aligned}d &= \sqrt{841} \\ &= 29 \text{ מטר}\end{aligned}

האלכסון הוא היתר

כל מלבן מסתיר שני משולשים ישרי זווית. האלכסון ארוך מכל צלע, וקצר מסכום שתיהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

רוחב של מסך הוא 48 אינץ׳ וגובהו 36 אינץ׳. באיזה «גודל» מוכרים אותו, כלומר מה אורך האלכסון, באינצ׳ים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 60

Corrigé :

d2=482+362=2304+1296=3600\begin{aligned}d^2 &= 48^2 + 36^2 \\ &= 2304 + 1296 \\ &= 3600\end{aligned}

רוחב וגובה הם הניצבים

d=3600=60 אינץ׳\begin{aligned}d &= \sqrt{3600} \\ &= 60 \text{ אינץ׳}\end{aligned}

זה «הגודל» של המסך

36,48,6036, 48, 60 היא 3,4,53, 4, 5 כפול 12.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCH
AB=AC=10AB = AC = 10 ס״מ, BC=12BC = 12 ס״מ, AHAH הגובה

משולש שווה שוקיים: השוקיים 10 ס״מ והבסיס 12 ס״מ. מה אורך הגובה לבסיס, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

HC=12:2=6\begin{aligned}HC &= 12 : 2 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה חוצה את הבסיס

h2=102−62=64\begin{aligned}h^2 &= 10^2 - 6^2 \\ &= 64\end{aligned}

השוק היא היתר

h=8 ס״מh = 8 \text{ ס״מ}

שורש

מי שחיסר 102−12210^2 - 12^2 קיבל מספר שלילי: הבסיס כולו לא נמצא במשולש ישר הזווית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCH
AB=AC=17AB = AC = 17 ס״מ, AH=15AH = 15 ס״מ, BC=?BC = ?

משולש שווה שוקיים: השוקיים 17 ס״מ והגובה לבסיס 15 ס״מ. מה אורך הבסיס כולו, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16

Corrigé :

HC2=172−152=289−225=64\begin{aligned}HC^2 &= 17^2 - 15^2 \\ &= 289 - 225 \\ &= 64\end{aligned}

מחסרים

HC=8HC = 8

זה רק חצי הבסיס

BC=2×8=16 ס״מ\begin{aligned}BC &= 2 \times 8 \\ &= 16 \text{ ס״מ}\end{aligned}

כופלים ב-2

הטעות הנפוצה: לעצור ב-8. פיתגורס נותן את חצי הבסיס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCDO
אלכסונים: AC=24AC = 24 ס״מ, BD=18BD = 18 ס״מ

אלכסוני מעוין הם 18 ס״מ ו-24 ס״מ. מה אורך צלע המעוין, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15

Corrigé :

OB=9OC=12\begin{aligned}OB &= 9 \\ \quad OC &= 12\end{aligned}

האלכסונים חוצים זה את זה

BC2=92+122=225\begin{aligned}BC^2 &= 9^2 + 12^2 \\ &= 225\end{aligned}

זווית ישרה ב-OO

BC=15 ס״מBC = 15 \text{ ס״מ}

שורש

בלי לחצות את האלכסונים יוצא 182+242=30\sqrt{18^2 + 24^2} = 30: כפול מהתשובה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

ABCDO
צלע 1313 ס״מ, BD=10BD = 10 ס״מ, AC=?AC = ?

צלע מעוין היא 13 ס״מ, ואחד האלכסונים הוא 10 ס״מ. מה אורך האלכסון השני, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 24

Corrigé :

OB=5OB = 5

חצי האלכסון הידוע

OC2=132−52=144→OC=12\begin{aligned}OC^2 &= 13^2 - 5^2 \\ &= 144 \rightarrow OC \\ &= 12\end{aligned}

הצלע היא היתר

AC=2×12=24 ס״מ\begin{aligned}AC &= 2 \times 12 \\ &= 24 \text{ ס״מ}\end{aligned}

ומכפילים

חוצים בהתחלה, ומכפילים בסוף. שתי הפעולות שוכחים בקלות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

סולם באורך 13 מטר נשען על קיר, וראשו נוגע בקיר בגובה 12 מטר. כמה מטרים רגל הסולם רחוקה מהקיר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

d2=132−122=169−144=25\begin{aligned}d^2 &= 13^2 - 12^2 \\ &= 169 - 144 \\ &= 25\end{aligned}

הסולם הוא היתר: מחסרים

d=5 מטרd = 5 \text{ מטר}

שורש

הפעם הניצב החסר הוא על הרצפה, לא על הקיר. החישוב זהה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

פארק מלבני, 80 מטר על 60 מטר. נועה הולכת מפינה לפינה הנגדית: פעם לאורך שתי הצלעות, ופעם בשביל באלכסון. בכמה מטרים השביל באלכסון קצר יותר?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 40

Corrigé :

80+60=14080 + 60 = 140

לאורך הצלעות

802+602=10000=100\begin{aligned}\sqrt{80^2 + 60^2} &= \sqrt{10000} \\ &= 100\end{aligned}

באלכסון

140−100=40 מטר140 - 100 = 40 \text{ מטר}

ההפרש

שאלה בשני שלבים: פיתגורס נותן את האלכסון, ורק אחר כך משווים לדרך הארוכה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

מיינו: אילו שלשות הן שלשות פיתגוריות?

  • שלשה פיתגורית
  • לא שלשה
  • 10,24,2610, 24, 26
  • 12,16,2012, 16, 20
  • 20,21,2920, 21, 29
  • 4,6,84, 6, 8
  • 5,10,155, 10, 15
  • 7,8,97, 8, 9
  • 9,12,159, 12, 15
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 9,12,159, 12, 15 — שלשה פיתגורית · 12,16,2012, 16, 20 — שלשה פיתגורית · 10,24,2610, 24, 26 — שלשה פיתגורית · 4,6,84, 6, 8 — לא שלשה · 5,10,155, 10, 15 — לא שלשה · 20,21,2920, 21, 29 — שלשה פיתגורית · 7,8,97, 8, 9 — לא שלשה

Corrigé :

92+122=225=152\begin{aligned}9^2 + 12^2 &= 225 \\ &= 15^2\end{aligned}

3,4,53,4,5 כפול 3

42+62=52≠644^2 + 6^2 = 52 \ne 64

2,3,42,3,4 כפול 2: לא שלשה

202+212=841=292\begin{aligned}20^2 + 21^2 &= 841 \\ &= 29^2\end{aligned}

שלשה בפני עצמה

כפולה של שלשה היא שלשה. אבל כפולה של שלושה מספרים שאינם שלשה (2,3,42, 3, 4) לא הופכת לשלשה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

התאימו כל שלשה לשלשה הבסיסית שהיא כפולה שלה

  • 15,20,2515, 20, 25
  • 10,24,2610, 24, 26
  • 16,30,3416, 30, 34
  • 14,48,5014, 48, 50
  • כפולה של 3,4,53, 4, 5
  • כפולה של 5,12,135, 12, 13
  • כפולה של 7,24,257, 24, 25
  • כפולה של 8,15,178, 15, 17
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 15,20,2515, 20, 25 — כפולה של 3,4,53, 4, 5 · 10,24,2610, 24, 26 — כפולה של 5,12,135, 12, 13 · 16,30,3416, 30, 34 — כפולה של 8,15,178, 15, 17 · 14,48,5014, 48, 50 — כפולה של 7,24,257, 24, 25

Corrigé :

152025=5×(3,4,5)\begin{aligned}15 \\ 20 \\ 25 &= 5 \times (3, 4, 5)\end{aligned}

מחלקים במחלק המשותף

163034=2×(8,15,17)\begin{aligned}16 \\ 30 \\ 34 &= 2 \times (8, 15, 17)\end{aligned}

מחלקים את שלושת המספרים באותו מספר, עד שמזהים שלשה מוכרת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

השלימו בכל שורה את שני המספרים השלמים העוקבים

____ <7<< \sqrt{7} < ____, וגם ____ <38<< \sqrt{38} < ____, וגם ____ <11<< \sqrt{11} < ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2 <7<< \sqrt{7} < 3, וגם 6 <38<< \sqrt{38} < 7, וגם 3 <11<< \sqrt{11} < 4

Corrigé :

4<7<94 < 7 < 9

ולכן 2<7<32 < \sqrt{7} < 3

36<38<4936 < 38 < 49

ולכן 6<38<76 < \sqrt{38} < 7

9<11<169 < 11 < 16

ולכן 3<11<43 < \sqrt{11} < 4

מחפשים את שני הריבועים השלמים שסביב המספר שתחת השורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

Rangez (סדרו) du plus petit au plus grand

  • 196\sqrt{196}
  • 400\sqrt{400}
  • 1515
  • 1717
  • 1919
  • 88
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 88 · 196\sqrt{196} · 1515 · 1717 · 1919 · 400\sqrt{400}

Corrigé :

196=14400=20\begin{aligned}\sqrt{196} &= 14 \\ \quad \sqrt{400} &= 20\end{aligned}

קודם מוציאים את השורשים

שורש של ריבוע שלם הוא מספר שלם רגיל: 196=14\sqrt{196} = 14, ולכן הוא בין 8 ל-15.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

ABCD
ריבוע ששטחו 144 סמ״ר; האלכסון AC=?AC = ?

שטח של ריבוע הוא 144 סמ״ר. מה אורך האלכסון שלו, בס״מ? (עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 16.97

Corrigé :

a=144=12 ס״מ\begin{aligned}a &= \sqrt{144} \\ &= 12 \text{ ס״מ}\end{aligned}

קודם הצלע, מתוך השטח

AC2=122+122=288\begin{aligned}AC^2 &= 12^2 + 12^2 \\ &= 288\end{aligned}

האלכסון הוא היתר

AC=288≈16.97 ס״מAC = \sqrt{288} \approx 16.97 \text{ ס״מ}

שורש

שני שורשים שונים בשאלה אחת: הראשון נותן את הצלע מהשטח, השני את האלכסון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

ABCDE
AB=9AB = 9 ס״מ, DC=14DC = 14 ס״מ, AD=12AD = 12 ס״מ, AB∥DCAB \parallel DC

טרפז ישר זווית ABCDABCD: AB=9AB = 9 ס״מ, DC=14DC = 14 ס״מ, והגובה AD=12AD = 12 ס״מ. מורידים גובה BEBE. מה אורך השוק BCBC, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 13

Corrigé :

BE=AD=12\begin{aligned}BE &= AD \\ &= 12\end{aligned}

הגובה BEBE שווה ל-ADAD

EC=14−9=5\begin{aligned}EC &= 14 - 9 \\ &= 5\end{aligned}

מה שנשאר מהבסיס הארוך

BC2=122+52=169→BC=13 ס״מ\begin{aligned}BC^2 &= 12^2 + 5^2 \\ &= 169 \rightarrow BC \\ &= 13 \text{ ס״מ}\end{aligned}

במשולש BECBEC

הגובה BEBE חותך מהטרפז משולש ישר זווית. בלעדיו אין משולש לעבוד בו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

ABCDE
AB=9AB = 9 ס״מ, DC=14DC = 14 ס״מ, AD=12AD = 12 ס״מ, AB∥DCAB \parallel DC

באותו טרפז (AB=9AB = 9, DC=14DC = 14, AD=12AD = 12, BC=13BC = 13, הכול בס״מ): מה ההיקף של הטרפז, בס״מ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 48

Corrigé :

P=9+13+14+12=48 ס״מ\begin{aligned}P &= 9 + 13 + 14 + 12 \\ &= 48 \text{ ס״מ}\end{aligned}

מחברים את ארבע הצלעות

פיתגורס השלים את הצלע החסרה. ההיקף עצמו מחבר צלעות, לא ריבועים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

בכל מלבן, האלכסון ארוך מהצלע הארוכה של המלבן.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

d2=a2+b2>b2d^2 = a^2 + b^2 > b^2

האלכסון הוא היתר

נכון: האלכסון הוא היתר של משולש ישר זווית, ויתר ארוך מכל ניצב.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe