Qu’est-ce que la similitude

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

שני משולשים דומים הם בעלי אותה צורה בדיוק.

הגודל יכול להיות שונה: אחד הוא תמונה מוגדלת של השני, כמו צילום שהגדילו.

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

הסימן ∼\sim פירושו «דומה», כמו ש-≅\cong פירושו «חופף».

וכמו בחפיפה, סדר האותיות קובע מי מתאים למי: הראשונה לראשונה, השנייה לשנייה, השלישית לשלישית.

נתון △KLM∼△PQR\triangle KLM \sim \triangle PQR — לאיזו צלע מתאימה LMLM?

Voir la réponse et le corrigé

QRQR: LL השנייה מתאימה ל-QQ השנייה, ו-MM השלישית ל-RR השלישית.

שני דברים קורים בו-זמנית

∠A=∠D\angle A = \angle D

הזוויות המתאימות שוות — הצורה לא השתנתה

ABDE=BCEF\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}

הצלעות המתאימות ביחס קבוע — הגודל השתנה פי אותו מספר

המספר הקבוע הזה נקרא יחס הדמיון, ומסמנים אותו באות kk

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF עם k=2k = 2 ו-∠A=40∘\angle A = 40^\circ — כמה זה ∠D\angle D?

Voir la réponse et le corrigé

40∘40^\circ. הצלעות גדלות פי 2, אבל הזוויות לא משתנות.

דומים, או רק נראים דומים?

במתמטיקה «דומים» היא מילה עם הגדרה, לא רושם מהציור.

הטעות שנובעת ישירות מהשפה.

«דומים» = נראים דומים\text{«דומים» = נראים דומים}
«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות\text{«דומים» = אותן זוויות, ויחס קבוע בין הצלעות}

במתמטיקה «דומים» היא מילה עם הגדרה מדויקת, לא התרשמות מהציור. שני משולשים יכולים להיראות דומים מאוד ולא להיות דומים כלל.

צלעות של משולש אחד: 2, 3, 4. של משולש שני: 4, 6, 9. האם הם דומים?

Voir la réponse et le corrigé

לא — יחס אחד שונה מספיק. 42=63=2\frac{4}{2} = \frac{6}{3} = 2 אבל 94≠2\frac{9}{4} \ne 2

ומה הקשר לחפיפה

חפיפה היא דמיון שבו k=1k = 1: אותה צורה, וגם אותו גודל.

k=1⟷חופפיםk = 1 \quad \longleftrightarrow\quad \text{חופפים}

לכן כל שני משולשים חופפים הם גם דומים. ההפך לא נכון.

מה ההבדל בין חפיפה לדמיון?

Voir la réponse et le corrigé

חפיפה — אותו גודל בדיוק; דמיון — אותה צורה, בגודל אחר. הזוויות שוות בשניהם, הצלעות — רק פרופורציוניות בדמיון.

Exercices

Exercice 1

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF — לאיזו צלע מתאימה הצלע ABAB?

  1. EFEF
  2. DEDE
  3. BCBC
  4. DFDF
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B DEDE

Corrigé :

A↔D,B↔EA \leftrightarrow D \quad ,\quad B \leftrightarrow E

לפי המיקום בשורת הדמיון

בדיוק אותה מוסכמה כמו בחפיפה: האות הראשונה לראשונה, השנייה לשנייה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בשני משולשים דומים, מה נכון לגבי הזוויות?

  1. הזוויות קטנות ביחס הדמיון
  2. הזוויות גדלות ביחס הדמיון
  3. Impossible de savoir
  4. הזוויות המתאימות שוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הזוויות המתאימות שוות

Corrigé :

∠A=∠D\angle A = \angle D

הצורה לא משתנה — רק הגודל

זוויות אינן אורכים. הגדלת צורה מותחת את הצלעות, אבל לא פותחת ולא סוגרת את הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מה הקשר בין חפיפה לדמיון?

  1. דמיון הוא חפיפה שבה היחס הוא 1
  2. חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1
  3. אין קשר ביניהם
  4. כל שני משולשים דומים הם גם חופפים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B חפיפה היא דמיון שבו יחס הדמיון הוא 1

Corrigé :

k=1⟶חופפיםk = 1 \quad \longrightarrow\quad \text{חופפים}

אותה צורה, ובמקרה גם אותו גודל

כל זוג חופף הוא גם דומה — אבל רוב הזוגות הדומים אינם חופפים, כי היחס שלהם אינו 1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

שני משולשים נראים דומים מאוד בציור. האם זה מספיק כדי לקבוע שהם דומים?

  1. לא
  2. רק אם הם באותו גודל
  3. כן, אם הציור מדויק
  4. כן, תמיד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא

Corrigé :

ציור≠נימוק\text{ציור} \neq \text{נימוק}

אותו כלל כמו בהוכחות

בדיוק כמו בפרק ההוכחות: מה שנראה בציור אינו נימוק. צריך זוויות שוות או יחס קבוע בין הצלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

שני ריבועים — האם הם בהכרח דומים?

  1. רק אם קטנים
  2. לא
  3. כן
  4. רק אם שווים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כן

Corrigé :

90∘, 90∘, 90∘, 90∘90^\circ ,\ 90^\circ ,\ 90^\circ ,\ 90^\circ

כל הזוויות של כל ריבוע

a2a1\frac{a_2}{a_1}

וכל ארבע הצלעות גדלות באותו יחס

כל הריבועים דומים: הזוויות תמיד 90∘90^\circ והצלעות תמיד ביחס אחיד. זה נכון גם למשולשים שווי-צלעות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

שני מלבנים — בהכרח דומים?

  1. כן
  2. לא
  3. רק גדולים
  4. תמיד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B לא

Corrigé :

2:1≠5:12:1 \ne 5:1

מלבן ארוך, ומלבן שכמעט ריבוע

הזוויות שוות (כולן ישרות), אבל היחס בין האורך לרוחב שונה. זוויות שוות לבדן לא מספיקות במלבן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

משולשים דומים ביחס 3. צלע במקור 7 — מה בצילום המוגדל?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 21

Corrigé :

7×3=217 \times 3 = 21

כל צלע נכפלת ביחס הדמיון

בדמיון כל הצלעות גדלות באותו יחס — לכן מכפילים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מה נשמר בדמיון?

  1. הזוויות והיחס בין צלעות
  2. השטח
  3. ההיקף
  4. האורכים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A הזוויות והיחס בין צלעות

Corrigé :

∠ , k\angle \ , \ k

הזוויות, והיחס בין הצלעות

דמיון שומר על הצורה: הזוויות והיחסים. האורכים, ההיקף והשטח משתנים עם הגודל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

יחס דמיון 1:4. היקף הקטן 9 — מהו היקף הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 36

Corrigé :

9×4=369 \times 4 = 36

ההיקף גדל כמו הצלעות

ההיקף הוא סכום של צלעות: כל צלע פי 4, ולכן גם הסכום פי 4.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

צילום מוקטן פי 2 של תמונה — הזוויות בו…

  1. לא השתנו
  2. גדלו פי 2
  3. תלוי בצורה
  4. קטנו פי 2
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא השתנו

Corrigé :

∠\angle

דמיון משמר זוויות

הקטנה פי 2 משנה את האורכים, לא את הזוויות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

במשולש ABCABC נתון AB=4, BC=6, AC=5AB = 4 ,\ BC = 6 ,\ AC = 5 ובמשולש DEFDEF נתון DE=8, EF=12, DF=10DE = 8 ,\ EF = 12 ,\ DF = 10 — ועוד נתון ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E — הוכיחו לפי הגדרת הדמיון: △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

  • AB=4, BC=6, AC=5AB = 4 ,\ BC = 6 ,\ AC = 5
  • DE=8, EF=12, DF=10DE = 8 ,\ EF = 12 ,\ DF = 10
  • ∠A=∠D\angle A = \angle D
  • ∠B=∠E\angle B = \angle E

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠A=∠D\angle A = \angle D — נתון
  2. ∠B=∠E\angle B = \angle E — נתון
  3. ∠C=180∘−∠A−∠B\angle C = 180^\circ - \angle A - \angle B — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  4. ∠F=180∘−∠D−∠E\angle F = 180^\circ - \angle D - \angle E — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ
  5. ∠C=∠F\angle C = \angle F — הצבה של הזוויות השוות
  6. ABDE=BCEF=ACDF=12\dfrac{AB}{DE} = \dfrac{BC}{EF} = \dfrac{AC}{DF} = \dfrac{1}{2} — חישוב מהנתונים
  7. △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF — הגדרת משולשים דומים: הזוויות המתאימות שוות והצלעות המתאימות ביחס שווה

Corrigé :

∠C=180∘−∠A−∠B=180∘−∠D−∠E=∠F\begin{aligned}\angle C &= 180^\circ - \angle A - \angle B \\ &= 180^\circ - \angle D - \angle E \\ &= \angle F\end{aligned}

הזווית השלישית — מסכום הזוויות בשני המשולשים

48=612=510=12\begin{aligned}\frac{4}{8} &= \frac{6}{12} \\ &= \frac{5}{10} \\ &= \frac{1}{2}\end{aligned}

שלושת היחסים בין הצלעות המתאימות

△ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF

שלוש זוויות שוות וצלעות ביחס שווה — זו ההגדרה

ההגדרה דורשת שני דברים: כל הזוויות המתאימות שוות, וגם כל הצלעות המתאימות ביחס שווה. לכן צריך גם את הזווית השלישית — היא לא נתונה, ומוצאים אותה מסכום הזוויות בכל אחד משני המשולשים. ביחידה הבאה נלמד משפטים שחוסכים חלק מהבדיקה הזאת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

כל שני משולשים ישרי-זווית דומים זה לזה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

90∘, 30∘, 60∘≠90∘, 45∘, 45∘90^\circ ,\ 30^\circ ,\ 60^\circ \quad \ne \quad 90^\circ ,\ 45^\circ ,\ 45^\circ

רק הזווית הישרה משותפת

זווית ישרה אחת שווה, אבל שתי האחרות יכולות להיות שונות. זווית אחת לא קובעת צורה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתון △KLM∼△PQR\triangle KLM \sim \triangle PQR — התאימו כל צלע לצלע המתאימה לה.

  • KLKL
  • LMLM
  • KMKM
  • PQPQ
  • PRPR
  • QRQR
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : KLKL — PQPQ · LMLM — QRQR · KMKM — PRPR

Corrigé :

K↔P, L↔Q, M↔RK \leftrightarrow P ,\ L \leftrightarrow Q ,\ M \leftrightarrow R

לפי המקום בשורת הדמיון

קוראים את האותיות, לא את הציור: המשולש השני מסובב, אבל הסדר נשאר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

משולש הוגדל פי 3. מה נשמר, ומה משתנה?

  • נשמר
  • משתנה
  • אורכי הצלעות
  • גודל הזוויות
  • ההיקף
  • היחס בין שתי צלעות של אותו משולש
  • הצורה
  • השטח
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : גודל הזוויות — נשמר · הצורה — נשמר · היחס בין שתי צלעות של אותו משולש — נשמר · אורכי הצלעות — משתנה · ההיקף — משתנה · השטח — משתנה

Corrigé :

∠A=∠D\angle A = \angle D

הזוויות שוות

AB→3⋅ABAB \to 3 \cdot AB

כל אורך פי 3

דמיון שומר על הצורה: זוויות ויחסים. כל מה שנמדד באורך — צלע, היקף, שטח — משתנה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתון △ABC∼△DEF\triangle ABC \sim \triangle DEF ו-k=2k = 2 והזווית ∠A\angle A היא 35∘35^\circ — כמה מעלות בזווית ∠D\angle D?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 35

Corrigé :

A↔DA \leftrightarrow D

שתיהן ראשונות בשורת הדמיון

∠D=∠A=35∘\begin{aligned}\angle D &= \angle A \\ &= 35^\circ\end{aligned}

זוויות מתאימות שוות

המלכודת: לכפול את הזווית ב-2. היחס פועל על הצלעות בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe