Les cas de similitude

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

דמיון אינו חפיפה: אותה צורה, בגודל אחר.

כדי להוכיח ששני משולשים דומים, לא בודקים את כל הזוויות ואת כל הצלעות. מספיק אחד משלושה משפטים.

אותם ראשי תיבות, משמעות אחרת. בחפיפה — צלעות שוות. בדמיון — יחסים שווים.

ז.ז — זווית, זווית

אם שתי זוויות במשולש אחד שוות לשתי זוויות במשולש השני — המשולשים דומים.

למה שתיים מספיקות? סכום הזוויות במשולש הוא 180∘180^\circ ולכן השלישית נקבעת: היא מה שנשאר.

ז.ז לא קיים בחפיפה: שם צריך תמיד צלע אחת לפחות, כדי לקבוע את הגודל. בדמיון הגודל חופשי, ולכן שתי זוויות מספיקות.

במשולש אחד זוויות של 40∘40^\circ ו-75∘75^\circ — ובמשולש שני 75∘75^\circ ו-65∘65^\circ — האם הם דומים?

Voir la réponse et le corrigé

כן. אותן שלוש זוויות — ז.ז. בראשון השלישית היא 180∘−40∘−75∘=65∘180^\circ - 40^\circ - 75^\circ = 65^\circ

צ.צ.צ — שלוש צלעות

אם שלוש הצלעות של משולש אחד נמצאות ביחס שווה לשלוש הצלעות של השני — המשולשים דומים.

ABDE=BCEF=ACDF\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \\ &= \frac{AC}{DF}\end{aligned}

שימו לב היטב — כאן נמצא הבלבול הגדול של הפרק.

צ.צ.צ בדמיון=שלוש צלעות שוות\text{צ.צ.צ בדמיון} = \text{שלוש צלעות שוות}
צ.צ.צ בדמיון=שלושה יחסים שווים\text{צ.צ.צ בדמיון} = \text{שלושה יחסים שווים}

ראשי התיבות זהים לאלה של החפיפה, אבל המשמעות שונה לגמרי. בחפיפה הצלעות עצמן שוות; בדמיון רק היחסים ביניהן שווים. אותו סימן, שני דברים.

צלעות 3, 4, 6 מול 6, 8, 12. האם המשולשים דומים, ולפי איזה משפט?

Voir la réponse et le corrigé

כן, לפי צ.צ.צ — שלושה יחסים שווים: 63=84=126=2\frac{6}{3} = \frac{8}{4} = \frac{12}{6} = 2

צ.ז.צ — צלע, זווית, צלע

שתי צלעות במשולש אחד נמצאות ביחס שווה לשתי צלעות במשולש השני.

והזווית הכלואה ביניהן שווה. אז המשולשים דומים.

כלואה — כמו בחפיפה: הזווית שבין שתי הצלעות, ולא זווית אחרת.

שני הפרקים זה מול זה

חפיפה\text{חפיפה}

צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל

דמיון\text{דמיון}

צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר

k=1k = 1

המקרה שבו השניים נפגשים

בטור הנימוק כותבים את שם המשפט המלא: «צ.ז.צ» של חפיפה ו«צ.ז.צ» של דמיון מוכיחים דברים שונים.

עכשיו אתם: לפי הנתונים בלבד, איזה משפט מוכיח שהמשולשים דומים?

בהוכחת דמיון כתבתם «צ.צ.צ». מה בדיוק צריך להראות?

Voir la réponse et le corrigé

שלושה יחסים שווים בין הצלעות המתאימות — לא שלוש צלעות שוות.

Exercices

Exercice 1

לפי משפט ז.ז — כמה זוויות שוות צריך כדי להוכיח שמשולשים דומים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

∠A=∠D∠B=∠E\begin{aligned}\angle A &= \angle D \quad \\ \quad \angle B &= \angle E\end{aligned}

שתי זוויות מספיקות

180°−∠A−∠B180° - \angle A - \angle B

והשלישית נובעת מעצמה

סכום הזוויות במשולש הוא 180°. אם שתיים שוות, לשלישית אין ברירה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

בדמיון משולשים, מה פירוש צ.צ.צ?

  1. שלוש הצלעות שוות זו לזו
  2. שלוש הזוויות שוות
  3. שלוש הצלעות נמצאות ביחס שווה
  4. צלע אחת שווה ושתיים ביחס
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C שלוש הצלעות נמצאות ביחס שווה

Corrigé :

ABDE=BCEF=ACDF\begin{aligned}\frac{AB}{DE} &= \frac{BC}{EF} \\ &= \frac{AC}{DF}\end{aligned}

שלושה יחסים שווים ביניהם

בחפיפה אותם ראשי תיבות מציינים צלעות שוות. בדמיון — יחסים שווים. זה ההבדל שהכי קל לפספס.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

במשפט צ.ז.צ של הדמיון, איפה צריכה להיות הזווית?

  1. כלואה בין שתי הצלעות
  2. מול הצלע הקצרה
  3. מול הצלע הארוכה
  4. בכל מקום במשולש
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כלואה בין שתי הצלעות

Corrigé :

צלע→זווית→צלע\text{צלע} \rightarrow \text{זווית} \rightarrow \text{צלע}

סדר האותיות בשם המשפט הוא סדר הצורה

בדיוק כמו בחפיפה: הזווית חייבת להיות זו שבין שתי הצלעות. עם זווית אחרת המשפט לא חל.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

בשני משולשים ∠A=∠D\angle A = \angle D ו-∠B=∠E\angle B = \angle E — האם המשולשים דומים?

  1. רק אם גם הצלעות שוות
  2. לא, צריך גם צלעות
  3. Impossible de savoir
  4. כן, לפי ז.ז
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D כן, לפי ז.ז

Corrigé :

∠C=180°−∠A−∠B\angle C = 180° - \angle A - \angle B

הזווית השלישית נובעת

שתי זוויות מספיקות, ואין צורך לדעת שום דבר על הצלעות. זה מה שהופך את ז.ז למשפט הכי נוח.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

תלמיד רשם בהוכחת דמיון: «הצלעות שוות, לכן צ.צ.צ». איפה טעה?

  1. לא היתה טעות
  2. הוא היה צריך לרשום ז.ז
  3. בדמיון הצלעות אינן שוות אלא ביחס שווה
  4. צ.צ.צ אינו משפט דמיון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C בדמיון הצלעות אינן שוות אלא ביחס שווה

Corrigé :

חפיפה: AB=DE\text{חפיפה: } AB = DE

שם הצלעות באמת שוות

דמיון: ABDE=k\text{דמיון: } \frac{AB}{DE} = k

וכאן רק היחס קבוע

הוא ערבב בין שני הפרקים. ראשי התיבות זהים, ולכן צריך לשים לב מה מוכיחים לפני שכותבים את הנימוק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

איזה משפט דמיון הכי נוח להשתמש בו כשנתונות זוויות בלבד?

  1. אף אחד
  2. צ.ז.צ
  3. צ.צ.צ
  4. A-A
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D A-A

Corrigé :

ז.ז\text{ז.ז}

שתי זוויות ותו לא

שני המשפטים האחרים דורשים מידע על צלעות. כשיש רק זוויות — ז.ז הוא היחיד שאפשר, והוא גם מספיק.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ABCDE
הישר DEDE מקביל לבסיס BCBC

במשולש ABCABC הנקודה DD נמצאת על ABAB והנקודה EE על ACAC ונתון DE∥BCDE \parallel BC — הוכיחו כי △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

  • DD על ABAB ו-EE על ACAC
  • DE∥BCDE \parallel BC

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

Voir la réponse et le corrigé
  1. DE∥BCDE \parallel BC — נתון
  2. ∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC — זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
  3. ∠A=∠A\angle A = \angle A — angle (זווית) commun aux deux triangles
  4. △ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

∠ADE=∠ABC\angle ADE = \angle ABC

מתאימות בין מקבילים

∠A=∠A\angle A = \angle A

angle (זווית) commun

△ADE∼△ABC\triangle ADE \sim \triangle ABC

A-A

שתי זוויות שוות מספיקות לדמיון — זה ההבדל הגדול מחפיפה, שם צריך תמיד שלושה רכיבים, ובהם לפחות צלע אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

ABCD
הגובה מהזווית הישרה מחלק את המשולש לשני משולשים — ושניהם דומים למקורי.

במשולש ABCABC הזווית ∠BAC\angle BAC ישרה ו-ADAD הוא גובה ליתר BCBC — הוכיחו כי △ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA

  • ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ
  • ADAD גובה ליתר BCBC

△ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠BAC=90∘\angle BAC = 90^\circ — נתון
  2. ADAD גובה ליתר BCBC — נתון
  3. ∠ADB=90∘\angle ADB = 90^\circ — גובה מאונך לצלע שאליה הוא מגיע
  4. ∠ADB=∠BAC\angle ADB = \angle BAC — שתי הזוויות ישרות ולכן שוות
  5. ∠B=∠B\angle B = \angle B — angle (זווית) commun aux deux triangles
  6. △ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA — Théorème de similitude A-A

Corrigé :

∠ADB=∠BAC=90∘\begin{aligned}\angle ADB &= \angle BAC \\ &= 90^\circ\end{aligned}

שתי זוויות ישרות

∠B=∠B\angle B = \angle B

angle (זווית) commun

△ABD∼△CBA\triangle ABD \sim \triangle CBA

A-A

סדר האותיות אינו מקרי: A↔C, B↔B, D↔AA \leftrightarrow C ,\ B \leftrightarrow B ,\ D \leftrightarrow A — תמיד כותבים את הקודקודים לפי סדר הזוויות השוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשולש אחד זוויות של 50∘50^\circ ו-60∘60^\circ — ובמשולש שני 50∘50^\circ ו-70∘70^\circ — האם המשולשים דומים?

  1. כן
  2. רק אם שווי צלעות
  3. חסר נתון
  4. לא
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כן

Corrigé :

180∘−50∘−60∘=70∘180^\circ - 50^\circ - 60^\circ = 70^\circ

הזווית השלישית בראשון

50∘, 60∘, 70∘50^\circ ,\ 60^\circ ,\ 70^\circ

אותן שלוש זוויות בשניהם

המלכודת: לראות 60∘60^\circ מול 70∘70^\circ ולענות «לא». משלימים קודם את הזווית השלישית — ואז זה ז.ז.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

צלעות משולש אחד: 4, 6 ו-8. צלעות משולש שני: 6, 9 ו-xx — מהו xx אם המשולשים דומים?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

64=96=1.5\begin{aligned}\frac{6}{4} &= \frac{9}{6} \\ &= 1.5\end{aligned}

יחס הדמיון, משני זוגות

x=8×1.5=12\begin{aligned}x &= 8 \times 1.5 \\ &= 12\end{aligned}

הצלע הארוכה פי 1.51.5

מוצאים קודם את יחס הדמיון משני זוגות ידועים, ורק אז מפעילים אותו על הצלע החסרה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Associez, reliez (התאימו) chaque cas à ce qu'il indique

  • isomeˊtrie\text{isométrie}
  • similitude\text{similitude}
  • k=1k = 1
  • המקרה שבו השניים נפגשים
  • צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר
  • צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : isomeˊtrie\text{isométrie} — צלעות שוות — אותה צורה, אותו גודל · similitude\text{similitude} — צלעות ביחס שווה — אותה צורה, גודל אחר · k=1k = 1 — המקרה שבו השניים נפגשים

Corrigé :

k=1k = 1

שם דמיון וחפיפה נפגשים

חפיפה — צלעות שוות. דמיון — צלעות ביחס שווה. וחפיפה היא דמיון שבו k=1k = 1

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

אם זווית אחת במשולש שווה לזווית אחת במשולש אחר, המשולשים דומים.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

∠A=∠D\angle A = \angle D

זה רק רכיב אחד

ז.ז\text{ז.ז}

המשפט דורש שתי זוויות

זווית אחת לא קובעת צורה: אפשר לבנות עליה משולשים בצורות שונות לגמרי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

מיינו לפי הנתונים: האם המשולשים דומים בוודאות?

  • דומים בוודאות
  • לא בהכרח
  • ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠A=∠D\angle A = \angle D
  • ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠B=∠E\angle B = \angle E
  • זוויות 40∘,60∘40^\circ, 60^\circ מול 60∘,80∘60^\circ, 80^\circ
  • זוויות 50∘,70∘50^\circ, 70^\circ מול 50∘,50∘50^\circ, 50^\circ
  • צלעות 2,3,42, 3, 4 מול 6,9,126, 9, 12
  • צלעות 3,4,53, 4, 5 מול 5,6,75, 6, 7
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : זוויות 40∘,60∘40^\circ, 60^\circ מול 60∘,80∘60^\circ, 80^\circ — דומים בוודאות · צלעות 2,3,42, 3, 4 מול 6,9,126, 9, 12 — דומים בוודאות · ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠A=∠D\angle A = \angle D — דומים בוודאות · זוויות 50∘,70∘50^\circ, 70^\circ מול 50∘,50∘50^\circ, 50^\circ — לא בהכרח · צלעות 3,4,53, 4, 5 מול 5,6,75, 6, 7 — לא בהכרח · ABDE=ACDF=2\frac{AB}{DE} = \frac{AC}{DF} = 2 וגם ∠B=∠E\angle B = \angle E — לא בהכרח

Corrigé :

180∘−40∘−60∘=80∘180^\circ - 40^\circ - 60^\circ = 80^\circ

בזוג הראשון שלוש הזוויות שוות

∠A כלואה בין AB ו-AC\angle A \text{ כלואה בין } AB \text{ ו-} AC

בצ.ז.צ הזווית חייבת להיות כלואה

שני המקרים הקשים: זוג הזוויות הראשון (צריך להשלים את השלישית), והזווית שאינה כלואה בשורה האחרונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

בשני משולשים ∠A=∠D=40∘\angle A = \angle D = 40^\circ ונתון AB=3, AC=5, DE=6AB = 3 ,\ AC = 5 ,\ DE = 6 — מה צריך להיות האורך של DFDF כדי שהמשולשים יהיו דומים לפי צ.ז.צ?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 10

Corrigé :

DEAB=63=2\begin{aligned}\frac{DE}{AB} &= \frac{6}{3} \\ &= 2\end{aligned}

יחס הזוג הראשון

DF=5×2=10\begin{aligned}DF &= 5 \times 2 \\ &= 10\end{aligned}

הזוג השני חייב לתת אותו יחס

הזווית בת 40∘40^\circ כלואה בין שתי הצלעות בשני המשולשים — ולכן צ.ז.צ. בלי היחס השווה, אין דמיון.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe