Qu’est-ce qu’un système

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

במערכת משוואות נותנים לנו שתי משוואות עם שני נעלמים — בדרך כלל xx ו-yy. המטרה שלנו אחת: לגלות את הערך של xx ואת הערך של yy.

{2x+3y=12x+y=5\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ x + y = 5 \end{cases}

שימו לב שמשוואה אחת לבדה לא מספיקה. ל-x+y=5x + y = 5 יש אינסוף פתרונות — 11 ו-44, 22 ו-33, וכן הלאה. רק כששתי המשוואות צריכות להתקיים יחד נשאר פתרון אחד.

הפתרון הוא זוג מספרים, (x,y)(x, y). בודקים אותו כך: מציבים אותו בשתי המשוואות.

הפתרון חייב לספק את שתי המשוואות. אם הוא מתאים רק לאחת מהן — הוא אינו פתרון של המערכת.

מהו פתרון של מערכת משוואות?

Voir la réponse et le corrigé

זוג (x,y)(x, y) שמקיים את שתי המשוואות בו-זמנית. לקיים אחת זה לא מספיק.

שתי דרכים, ותמיד שתיהן עובדות

11

שיטת ההצבה — מבודדים נעלם אחד ומציבים אותו במשוואה השנייה

22

שיטת השוואת מקדמים — משווים את המקדמים של אותו נעלם ומחסרים

כל מערכת אפשר לפתור בשתי הדרכים, והתשובה תצא זהה.

ההבדל הוא רק בנוחות: יש מערכות שבהן ההצבה מהירה, ויש כאלה שבהן השוואת המקדמים קלה יותר. שני הפרקים הבאים מלמדים כל אחת מהן, ומתי לבחור בה.

אחד פתר מערכת בהצבה, והשני בהשוואת מקדמים. האם יקבלו אותה תשובה?

Voir la réponse et le corrigé

כן. לשתי השיטות תמיד יוצא אותו פתרון. ההבדל הוא רק בכמות העבודה.

בעין: נקודת החיתוך

משוואה עם xx ו-yy היא ישר במערכת צירים. כל נקודה על הישר מקיימת את המשוואה.

11

הישרים נחתכים: פתרון אחד.

00

הישרים מקבילים: אין נקודה משותפת, ולכן אין פתרון.

∞\infty

אותו ישר פעמיים: כל נקודה עליו היא פתרון, אינסוף פתרונות.

למה למערכת של שני ישרים מקבילים אין פתרון?

Voir la réponse et le corrigé

כי ישרים מקבילים לא נפגשים: אין נקודה שנמצאת על שניהם.

Exercices

Exercice 1

כמה נעלמים יש במערכת משוואות רגילה של כיתה ח?

  1. שניים
  2. שלושה
  3. אחד
  4. תלוי במשוואות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A שניים

Corrigé :

x,yx \quad ,\quad y

שני נעלמים, שתי משוואות

שני נעלמים דורשים שתי משוואות. משוואה אחת לבדה תשאיר אינסוף פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

האם הזוג x=4,y=1x = 4,\quad y = 1 הוא פתרון של המערכת הבאה?

{x+y=52x+3y=12\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x + 3y = 12 \end{cases}
  1. Impossible de savoir
  2. לא — מתקיימת רק השנייה
  3. כן, שתי המשוואות מתקיימות
  4. לא — מתקיימת רק הראשונה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D לא — מתקיימת רק הראשונה

Corrigé :

4+1=5✓4 + 1 = 5 \quad \checkmark

הראשונה מתקיימת

2×4+3×1=11≠122 \times 4 + 3 \times 1 = 11 \neq 12

אבל השנייה לא

פתרון של מערכת חייב לספק את שתי המשוואות. הפתרון האמיתי כאן הוא x=3,y=2x = 3,\quad y = 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

לאיזו מערכת שיטת ההצבה תהיה נוחה יותר?

  1. {4x+3y=185x+2y=16\begin{cases} 4x + 3y = 18 \\ 5x + 2y = 16 \end{cases}
  2. {6x+4y=209x+8y=34\begin{cases} 6x + 4y = 20 \\ 9x + 8y = 34 \end{cases}
  3. {x+2y=73x+5y=18\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x + 5y = 18 \end{cases}
  4. אין הבדל, שתיהן זהות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C {x+2y=73x+5y=18\begin{cases} x + 2y = 7 \\ 3x + 5y = 18 \end{cases}

Corrigé :

x+2y=7⟶x=7−2y\begin{aligned}x + 2y &= 7 \quad \longrightarrow\quad x \\ &= 7 - 2y\end{aligned}

מקדם 1 — בידוד בלי שברים

כשיש נעלם עם מקדם 1, ההצבה כמעט מיידית. בלי מקדם כזה היא גוררת שברים, ואז עדיף להשוות מקדמים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

האם אפשר לפתור כל מערכת בשתי השיטות?

  1. לא, כל מערכת מתאימה לשיטה אחת בלבד
  2. רק בהצבה
  3. כן — ההבדל הוא רק בכמות העבודה
  4. רק אם כל המקדמים שלמים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C כן — ההבדל הוא רק בכמות העבודה

Corrigé :

הצבה≡השוואת מקדמים\text{הצבה} \quad \equiv\quad \text{השוואת מקדמים}

אותה תשובה, דרך אחרת

שתי השיטות תמיד עובדות ותמיד נותנות אותה תשובה. בוחרים לפי הנוחות, לא לפי נכונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

האם (2,5)(2, 5) פתרון של המערכת x+y=7x + y = 7 ו-y−x=3y - x = 3?

  1. כן
  2. אף אחת
  3. רק את הראשונה
  4. רק את השנייה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A כן

Corrigé :

2+5=7  ✓2 + 5 = 7 \;\checkmark

הראשונה מתקיימת

5−2=3  ✓5 - 2 = 3 \;\checkmark

וגם השנייה

הזוג מקיים את שתי המשוואות, ולכן הוא פתרון. בודקים תמיד את שתיהן, לא רק את הראשונה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

במערכת x+y=12x + y = 12 ו-x−y=4x - y = 4 — מהו xx?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

(x+y)+(x−y)=12+4(x + y) + (x - y) = 12 + 4

מחברים את המשוואות: ה-yy מתבטל

2x=162x = 16

נשאר נעלם אחד

x=8x = 8

מחלקים ב-2

החיבור עובד כי +y+y ו-−y-y מבטלים זה את זה. נשארת משוואה עם נעלם אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

ובאותה מערכת — מהו yy?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

12−8=412 - 8 = 4

אחרי שמצאנו נעלם אחד, מציבים אותו באחת המשוואות המקוריות — הפשוטה שבהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

שתי משוואות שהן בעצם אותו ישר — כמה פתרונות?

  1. אף אחד
  2. שניים
  3. אחד
  4. אינסוף
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D אינסוף

Corrigé :

∞\infty

כל נקודה על הישר מקיימת את שתי המשוואות

שתי משוואות שמתארות אותו ישר הן בעצם משוואה אחת. משוואה אחת עם שני נעלמים: אינסוף פתרונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

שני ישרים מקבילים (ולא מתלכדים) — כמה פתרונות למערכת?

  1. אחד
  2. שניים
  3. אינסוף
  4. אף אחד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D אף אחד

Corrigé :

∅\varnothing

אין נקודת מפגש

ישרים מקבילים לא נחתכים, ולכן אין זוג שמקיים את שתי המשוואות. הטעות: לחשוב שלכל מערכת יש פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

גרפית: הישרים נחתכים ב-(3,−1)(3, -1). מהו ה-xx של הפתרון?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

(3,−1)  ⇒  x=3(3, -1) \;\Rightarrow\; x = 3

הנקודה היא (x,y)(x, y): קודם xx

נקודת החיתוך היא הפתרון. בזוג סדור xx בא ראשון, ולכן x=3x = 3 ו-y=−1y = -1.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

הזוג (5,0)(5, 0) הוא פתרון של המערכת x+y=5x + y = 5 ו-2x+3y=122x + 3y = 12.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

5+0=5  ✓5 + 0 = 5 \;\checkmark

הראשונה מתקיימת

2⋅5+3⋅0=10≠122 \cdot 5 + 3 \cdot 0 = 10 \neq 12

השנייה לא

הזוג מקיים רק משוואה אחת, ולכן הוא לא פתרון של המערכת. מי שבודק רק את הראשונה נופל כאן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

המערכת: x+y=6x + y = 6 ו-x−y=2x - y = 2. מיינו את הזוגות.

  • פתרון של המערכת
  • לא פתרון
  • (2,4)(2, 4)
  • (3,3)(3, 3)
  • (4,2)(4, 2)
  • (5,3)(5, 3)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : (4,2)(4, 2) — פתרון של המערכת · (3,3)(3, 3) — לא פתרון · (5,3)(5, 3) — לא פתרון · (2,4)(2, 4) — לא פתרון

Corrigé :

4+2=6    4−2=2\begin{aligned}4 + 2 &= 6 \; \\ \; 4 - 2 &= 2\end{aligned}

רק (4,2)(4, 2) מקיים את שתיהן

(3,3)(3, 3) ו-(2,4)(2, 4) מקיימים רק את הראשונה, (5,3)(5, 3) רק את השנייה. פתרון צריך את שתיהן.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

פתרו את המערכת x+y=7x + y = 7 ו-x−y=1x - y = 1.

x=x = ____ , y=y = ____

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=x = 4 , y=y = 3

Corrigé :

2x=8  ⇒  x=4\begin{aligned}2x &= 8 \;\Rightarrow\; x \\ &= 4\end{aligned}

מחברים: ה-yy מתבטל

4+y=7  ⇒  y=3\begin{aligned}4 + y &= 7 \;\Rightarrow\; y \\ &= 3\end{aligned}

מציבים חזרה

בדיקה: 4+3=74 + 3 = 7 וגם 4−3=14 - 3 = 1. אל תשכחו את הנעלם השני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

התאימו כל ציור של שני ישרים למספר הפתרונות של המערכת.

  • שני ישרים נחתכים
  • שני ישרים מקבילים
  • אותו ישר פעמיים
  • אין פתרון
  • אינסוף פתרונות
  • פתרון אחד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : שני ישרים נחתכים — פתרון אחד · שני ישרים מקבילים — אין פתרון · אותו ישר פעמיים — אינסוף פתרונות

Corrigé :

1  ,  0  ,  ∞1 \;,\; 0 \;,\; \infty

נחתכים, מקבילים, מתלכדים

כל נקודה משותפת לשני הישרים היא פתרון. מספר הפתרונות הוא מספר נקודות המפגש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

הנקודה (2,5)(2, 5) נמצאת על הישר x+y=7x + y = 7, אבל לא על הישר x−y=1x - y = 1. מה נכון?

  1. למערכת אין פתרון
  2. למערכת אינסוף פתרונות
  3. (2,5)(2, 5) מקיים רק משוואה אחת, ולכן אינו פתרון
  4. (2,5)(2, 5) הוא הפתרון של המערכת
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C (2,5)(2, 5) מקיים רק משוואה אחת, ולכן אינו פתרון

Corrigé :

2−5=−3≠12 - 5 = -3 \neq 1

השנייה לא מתקיימת

נקודה על ישר אחד בלבד אינה פתרון. הפתרון הוא נקודת החיתוך, (4,3)(4, 3).

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe