Prouver que c’est un cerf-volant

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

יש שתי דרכים להוכיח שמרובע הוא דלתון. מספיקה אחת.

הן דומות מאוד לדרכים של המעוין. לכן קוראים אותן לאט.

האלכסונים מאונכים, ושניהם נחצים. איזו צורה זו?

Voir la réponse et le corrigé

מעוין. וגם מעוין הוא דלתון: יש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.

סמוכות מול נגדיות

דלתון ומקבילית נבדלים במילה אחת: סמוכות או נגדיות.

ההוכחה שמאחורי התכונות

במרובע ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הוכיחו שהאלכסון ACAC חוצה את ∠A\angle A.

AB=ADAB = AD

CB=CDCB = CD

∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC

נתון

נתון

AC=CAAC = CA

צלע משותפת לשני המשולשים

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה צ.צ.צ

זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

זו ההוכחה שמאחורי כל תכונות הדלתון: האלכסון הראשי חותך אותו לשני משולשים חופפים, ומשם נובע הכול.

איך מוכיחים שמרובע הוא דלתון?

Voir la réponse et le corrigé

מראים שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה. חפיפת המשולשים משני צדי האלכסון הראשי עושה את העבודה.

Exercices

Exercice 1

נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. מה הוכחנו?

  1. לא ניתן להסיק
  2. שהמרובע דלתון
  3. שהמרובע מעוין
  4. שהמרובע מקבילית
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שהמרובע דלתון

Corrigé :

AB=ADCB=CD⇒דלתון\begin{aligned}AB &= AD \\ \quad CB &= CD \Rightarrow \text{דלתון}\end{aligned}

הדרך הראשונה

שתי הצלעות בכל זוג נפגשות בקודקוד — לכן סמוכות. שני זוגות סמוכים שווים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

נתון AB=DCAB = DC ו-BC=ADBC = AD. מה הוכחנו?

  1. שהמרובע מעוין
  2. שהמרובע מקבילית
  3. שהמרובע ריבוע
  4. שהמרובע דלתון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B שהמרובע מקבילית

Corrigé :

AB=DCBC=AD⇒מקבילית\begin{aligned}AB &= DC \\ \quad BC &= AD \Rightarrow \text{מקבילית}\end{aligned}

צלעות נגדיות

מילה אחת מפרידה בין שתי השאלות: סמוכות או נגדיות. אלה זוגות נגדיים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

נתון שאלכסון אחד מאונך לשני וחוצה אותו. מה הוכחנו?

  1. שהמרובע מעוין
  2. לא ניתן להסיק
  3. שהמרובע ריבוע
  4. שהמרובע דלתון
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D שהמרובע דלתון

Corrigé :

AC⊥BDBO=OD⇒דלתון\begin{aligned}AC \perp BD \\ \quad BO &= OD \Rightarrow \text{דלתון}\end{aligned}

הדרך השנייה

למעוין היה צריך ששני האלכסונים ייחצו, לא רק אחד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מה ההבדל בין דרך האלכסונים של הדלתון לזו של המעוין?

  1. בדלתון האלכסונים אינם מאונכים
  2. אין הבדל
  3. בדלתון נחצה אלכסון אחד, במעוין שניהם
  4. במעוין האלכסונים שווים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C בדלתון נחצה אלכסון אחד, במעוין שניהם

Corrigé :

דלתון:BO=OD\text{דלתון}: BO = OD

רק המשני

מעוין:BO=ODAO=OC\begin{aligned}\text{מעוין}: BO &= OD \\ \quad AO &= OC\end{aligned}

שניהם

שתי הדרכים נשמעות כמעט זהות — לכן קוראים אותן לאט.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

ABCD
האלכסון ACAC מחלק את הדלתון לשני משולשים.

בדלתון ABCDABCD נתון AB=ADAB = AD ו-CB=CDCB = CD. הוכיחו כי ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC.

  • AB=ADAB = AD
  • CB=CDCB = CD

∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

Voir la réponse et le corrigé
  1. AB=ADAB = AD — נתון
  2. CB=CDCB = CD — נתון
  3. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  4. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה צ.צ.צ
  5. ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC — זוויות מתאימות במשולשים חופפים שוות

Corrigé :

AB=AD  CB=CD  AC=AC\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD \ \\ \ AC &= AC\end{aligned}

שלוש צלעות

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

צ.צ.צ

∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

זוויות מתאימות

רק זוג אחד של זוויות נגדיות שווה בדלתון — זה שבין שתי הצלעות הלא־שוות. הזוויות ∠A\angle A ו-∠C\angle C בדרך כלל שונות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

ABCD
שתי זוויות שוות בכל אחד מהמשולשים ABCABC ו-ADCADC — והזוג השלישי מגיע מסכום הזוויות.

במרובע ABCDABCD האלכסון ACAC חוצה את הזווית ∠BAD\angle BAD, ונתון ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC. הוכיחו כי ABCDABCD הוא דלתון.

  • ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC
  • ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC

מרובע ABCDABCD הוא דלתון

Voir la réponse et le corrigé
  1. ∠BAC=∠DAC\angle BAC = \angle DAC — נתון: ACAC חוצה את ∠BAD\angle BAD
  2. ∠ABC=∠ADC\angle ABC = \angle ADC — נתון
  3. ∠BCA=∠DCA\angle BCA = \angle DCA — סכום הזוויות במשולש שווה 180∘180^\circ, ולכן גם הזוג השלישי שווה
  4. AC=ACAC = AC — צלע משותפת לשני המשולשים
  5. △ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC — משפט חפיפה ז.צ.ז
  6. AB=ADAB = AD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  7. CB=CDCB = CD — צלעות מתאימות במשולשים חופפים שוות
  8. מרובע ABCDABCD הוא דלתון — שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — זו ההגדרה

Corrigé :

∠BCA=180∘−∠BAC−∠ABC=180∘−∠DAC−∠ADC=∠DCA\begin{aligned}\angle BCA &= 180^\circ - \angle BAC - \angle ABC \\ &= 180^\circ - \angle DAC - \angle ADC \\ &= \angle DCA\end{aligned}

שני זוגות זוויות שווים, ולכן גם השלישי

△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC

משפט חפיפה ז.צ.ז — הצלע ACAC בין שתי הזוויות

AB=AD  CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \ \\ \ CB &= CD\end{aligned}

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

הזווית הנתונה ∠ABC\angle ABC אינה צמודה לצלע המשותפת ACAC, ולכן אי אפשר להפעיל ז.צ.ז מיד. סכום הזוויות במשולש הופך אותה לזווית שליד CC — ואז הצלע ACAC כלואה בין שתי זוויות שוות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

האלכסון הראשי בדלתון הוא ציר סימטריה. מה נובע?

  1. שני חצאי הדלתון חופפים
  2. אין מסקנה
  3. הדלתון מלבן
  4. האלכסונים שווים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A שני חצאי הדלתון חופפים

Corrigé :

≅\cong

קיפול מושלם

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

איזה משפט חפיפה מוכיח את תכונות הדלתון מהאלכסון הראשי?

  1. ז.ז.ז
  2. אין צורך
  3. צ.צ.ז
  4. צ.צ.צ
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D צ.צ.צ

Corrigé :

שתי שוות + משותפת\text{שתי שוות + משותפת}

שתי צלעות שוות ועוד הצלע המשותפת (האלכסון הראשי) — שלוש צלעות, כלומר צ.צ.צ.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

בדלתון — מי מאונך למי?

  1. האלכסונים זה לזה
  2. המשני לצלע
  3. הראשי לצלע
  4. הצלעות השוות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A האלכסונים זה לזה

Corrigé :

⊥\perp

בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה, והראשי חוצה את המשני.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

המשני חוצה את הראשי — נכון?

  1. לא
  2. כן תמיד
  3. אף אחד
  4. שניהם חוצים
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A לא

Corrigé :

רק בכיוון אחד\text{רק בכיוון אחד}

בריבוע ומעוין — שניהם

הראשי חוצה את המשני, לא להפך

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO. איזה נתון מספיק כדי להוכיח שהוא דלתון?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD
  • AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD
  • AC⊥BDAC \perp BD בלבד
  • AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD
  • AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD
  • BO=ODBO = OD בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD — מספיק · AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD — לא מספיק · AC⊥BDAC \perp BD בלבד — לא מספיק · BO=ODBO = OD בלבד — לא מספיק · AO=OCAO = OC וגם BO=ODBO = OD — לא מספיק

Corrigé :

AB=AD CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD\end{aligned}

דרך ראשונה: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות

AC⊥BD BO=OD\begin{aligned}AC \perp BD \\ \ BO &= OD\end{aligned}

דרך שנייה: אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו

שתי הדרכים: שני זוגות של צלעות סמוכות שוות, או אלכסון שמאונך לשני וחוצה אותו. צלעות נגדיות שוות ואלכסונים שחוצים זה את זה נותנים מקבילית. אלכסונים מאונכים לבד, או אלכסון נחצה לבד, אינם מספיקים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים בנקודה OO, ונתון AC⊥BDAC \perp BD ו-BO=ODBO = OD. כך הוכיחו שהוא דלתון. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

AC⊥BD BO=OD (נתון)\begin{aligned}AC \perp BD \\ \ BO &= OD \ (\text{נתון})\end{aligned}
△AOB≅△AOD (צ.ז.צ)\triangle AOB \cong \triangle AOD \ (\text{צ.ז.צ})
AB=AD (צלעות מתאימות במשולשים חופפים)AB = AD \ (\text{צלעות מתאימות במשולשים חופפים})
ABCD דלתון (יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות)ABCD \ \text{דלתון} \ (\text{יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות})
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : ABCD דלתון (יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות)ABCD \ \text{דלתון} \ (\text{יש בו זוג של צלעות סמוכות שוות}) → ABCD דלתון (אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו)ABCD \ \text{דלתון} \ (\text{אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו})

Corrigé :

AB=AD CB=CD\begin{aligned}AB &= AD \\ \ CB &= CD\end{aligned}

שני זוגות של צלעות סמוכות שוות — רק אז דלתון

זוג אחד של צלעות סמוכות שוות אינו מספיק: גם מרובע שבו רק AB=ADAB = AD עונה על זה, והקודקוד CC יכול להיות כמעט בכל מקום. אפשר להוכיח באותו אופן גם CB=CDCB = CD, ואז יש שני זוגות. או פשוט לצטט את הדרך השנייה: אלכסון מאונך לשני וחוצה אותו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO. איזה נתון מספיק כדי לקבוע שהוא דלתון?

  • מספיק
  • לא מספיק
  • AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD
  • AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD
  • AC⊥BDAC \perp BD בלבד
  • AC⊥BDAC \perp BD וגם AO=OCAO = OC
  • AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD
  • BO=ODBO = OD בלבד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : AB=ADAB = AD וגם CB=CDCB = CD — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD וגם BO=ODBO = OD — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD וגם AO=OCAO = OC — מספיק · AC⊥BDAC \perp BD בלבד — לא מספיק · AB=CDAB = CD וגם BC=ADBC = AD — לא מספיק · BO=ODBO = OD בלבד — לא מספיק

Corrigé :

AC⊥BD AO=OC\begin{aligned}AC \perp BD \\ \ AO &= OC\end{aligned}

גם זה דלתון: הפעם BDBD הוא האלכסון הראשי

צריך שתי עובדות: אנך וגם חציה. זוגות נגדיים שווים נותנים מקבילית.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

ABCDO
האלכסונים מאונכים, ו-OO באמצע ACAC.

במרובע ABCDABCD האלכסונים נחתכים ב-OO, ונתון AC⊥BDAC \perp BD וגם AO=OCAO = OC. לכן ABCDABCD הוא דלתון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

BA=BCDA=DC\begin{aligned}BA &= BC \\ \quad DA &= DC\end{aligned}

BDBD מאונך ל-ACAC וחוצה אותו

נכון. האלכסון שחוצה ומאונך הוא BDBD, והוא הראשי. אין חשיבות לשם של האלכסון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

במרובע ABCDABCD נתון AB=BCAB = BC וגם CD=DACD = DA. לכן ABCDABCD הוא דלתון.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Vrai

Corrigé :

BA=BCDC=DA\begin{aligned}BA &= BC \\ \quad DC &= DA\end{aligned}

זוג נפגש ב-BB, זוג נפגש ב-DD

נכון: שני זוגות של צלעות סמוכות. האלכסון הראשי כאן הוא BDBD.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

בהוכחה ש-△ABC≅△ADC\triangle ABC \cong \triangle ADC בדלתון, ליד AC=ACAC = AC כותבים את הנימוק «נתון».

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

AC=ACAC = AC

צלע משותפת לשני המשולשים

לא נתון. ACAC שייכת לשני המשולשים, והנימוק הוא צלע משותפת.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe