La formule des racines

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

את x2−5x+6=0x^2 - 5x + 6 = 0 פותרים בטרינום: מכפלה 66, סכום −5-5 — המספרים −2-2 ו-−3-3.

אבל לא תמיד מוצאים מספרים כאלה. לכן יש דרך שנייה, שעובדת תמיד: נוסחת השורשים.

מתי עוברים לנוסחה

לפני כל משוואה ריבועית שואלים שלוש שאלות, ותמיד באותו סדר:

11

המקדם של x2x^2 הוא 1? מחפשים שני מספרים — טרינום.

22

יש גורם משותף לכל האיברים? מוציאים אותו, ועושים טרינום על מה שנשאר.

33

לא מוצאים מספרים, ואין גורם משותף? עוברים לנוסחת השורשים.

אפשר לפתור בטרינום את x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0?

Voir la réponse et le corrigé

לא. אין שני מספרים שלמים שמכפלתם 11 וסכומם −4-4. זה בדיוק המקרה של הנוסחה.

הנוסחה

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

בישראל כותבים את הנוסחה במכה אחת, ומציבים בה ישר את שלושת המקדמים. לכל חלק בה תפקיד:

−b-b

המספר הנגדי ל-bb. אם b=3b = 3 כותבים −3-3. אם b=−4b = -4 כותבים 44.

±\pm

פעם פלוס, פעם מינוס. מכאן שני הפתרונות, x1x_1 ו-x2x_2.

b2−4ac\sqrt{b^2 - 4ac}

השורש. מחשבים את מה שמתחת לשורש, ואז מוציאים ממנו שורש.

2a2a

המכנה. קו השבר עובר מתחת לכל המונה — גם מתחת ל-−b-b, לא רק מתחת לשורש.

בספרים מחו״ל מחשבים קודם Δ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4ac. בישראל כותבים את הנוסחה במכה אחת, עם b2−4acb^2 - 4ac בתוך השורש. אותו חישוב בדיוק — אבל «דלתא» במבחן תחפש שלב שלא לימדו כאן.

פותרים, צעד אחר צעד

הנוסחה מגיעה ריקה. ממלאים אותה בארבעה צעדים, תמיד באותו סדר.

לפני שמשתמשים בנוסחה, כדאי תמיד לבדוק אם אפשר פירוק לגורמים — בדוגמה שלמעלה, x2−5x+6=(x−2)(x−3)x^2-5x+6=(x-2)(x-3), וזה מהיר בהרבה.

כמה פתרונות יש

את התשובה נותנת הנוסחה עצמה, ברגע שמחשבים את מה שמתחת לשורש.

לפני שפותרים: מה יקרה אם מתחת לשורש ייצא מספר שלילי?

Voir la réponse et le corrigé

אין פתרון. למספר שלילי אין שורש, ולכן אי אפשר להמשיך.

מבחינה גרפית, y=ax2+bx+cy = ax^2 + bx + c היא פרבולה. הפתרונות הם הנקודות שבהן היא חותכת את ציר ה-x.

ולכן כשאין פתרון, הפרבולה לא נוגעת בציר בכלל.

שלוש הטעויות של נוסחת השורשים.

−42=−16-4^2 = -16
(−4)2=16(-4)^2 = 16

כש-bb שלילי, מעלים אותו בריבוע עם הסוגריים. ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי.

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = -b \pm \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

קו השבר עובר מתחת לכל המונה, גם מתחת ל-−b-b.

2x2+3x−2=0 ⇒ c=2\begin{aligned}2x^2 + 3x - 2 &= 0 \ \Rightarrow \ c \\ &= 2\end{aligned}
c=−2c = -2

כל מקדם לוקח איתו את הסימן שלפניו.

מתי עדיף טרינום, ומתי הנוסחה?

Voir la réponse et le corrigé

אם מוצאים מהר שני מספרים — טרינום, הוא קצר יותר. אם לא — הנוסחה. היא עובדת תמיד, גם כשהטרינום עובד.

Exercices

Exercice 1

באיזו דרך פותרים את 3x2+5x−1=03x^2 + 5x - 1 = 0?

  1. אין לה פתרון
  2. נוסחת השורשים
  3. מוציאים גורם משותף, ואז טרינום
  4. טרינום
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B נוסחת השורשים

Corrigé :

a=3  b=5  c=−1\begin{aligned}a &= 3 \ \\ \ b &= 5 \ \\ \ c &= -1\end{aligned}

המקדם של x2x^2 אינו 1

3, 5, −13,\ 5,\ -1

אין גורם משותף לשלושת המקדמים

הטרינום לא זמין, ולכן נוסחת השורשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מציבים בנוסחת השורשים את x2−7x+10=0x^2 - 7x + 10 = 0. מה כותבים במקום −b-b?

  1. −7-7
  2. −10-10
  3. 77
  4. 1010
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C 77

Corrigé :

b=−7b = -7

המקדם של xx, עם הסימן

−b=−(−7)=7\begin{aligned}-b &= -(-7) \\ &= 7\end{aligned}

המספר הנגדי

מינוס של מינוס שבע הוא שבע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2−5x+2=02x^2 - 5x + 2 = 0. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

a=2  b=−5  c=2\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= -5 \ \\ \ c &= 2\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=5±(−5)2−4⋅2⋅22⋅2x_{1,2} = \dfrac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2}

מציבים בנוסחה

x1,2=5±25−164=5±34\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} \\ &= \dfrac{5 \pm 3}{4}\end{aligned}

מחשבים את מה שמתחת לשורש

x1=84=2x2=24=12\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{8}{4} \\ &= 2 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{2}{4} \\ &= \dfrac{1}{2}\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

הפתרון הגדול הוא 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

פתרו בנוסחת השורשים: 3x2+2x−1=03x^2 + 2x - 1 = 0. מהו הפתרון השלילי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

a=3  b=2  c=−1\begin{aligned}a &= 3 \ \\ \ b &= 2 \ \\ \ c &= -1\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=−2±22−4⋅3⋅(−1)2⋅3x_{1,2} = \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-1)}}{2 \cdot 3}

מציבים בנוסחה

x1,2=−2±4+126=−2±46\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{6} \\ &= \dfrac{-2 \pm 4}{6}\end{aligned}

מחשבים את מה שמתחת לשורש

x1=26=13x2=−66=−1\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{2}{6} \\ &= \dfrac{1}{3} \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-6}{6} \\ &= -1\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

cc שלילי, ולכן −4ac-4ac מוסיף למה שמתחת לשורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

כמה פתרונות יש למשוואה x2+x+3=0x^2 + x + 3 = 0?

  1. שני פתרונות
  2. פתרון אחד
  3. אין פתרון
  4. אינסוף פתרונות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C אין פתרון

Corrigé :

x1,2=−1±12−4⋅1⋅32x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2}

מציבים בנוסחה

x1,2=−1±−112x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{-11}}{2}

מתחת לשורש מספר שלילי

למספר שלילי אין שורש, ולכן אין פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

פתרו בנוסחת השורשים: x2−4x+1=0x^2 - 4x + 1 = 0. מהו הפתרון הגדול? עגלו לשתי ספרות אחרי הנקודה.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3.73

Corrigé :

x1,2=4±(−4)2−4⋅1⋅12x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2}

מציבים בנוסחה

x1,2=4±122x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{12}}{2}

מחשבים את מה שמתחת לשורש

12≈3.46\sqrt{12} \approx 3.46

השורש, בקירוב

x1≈4+3.462=3.73x_1 \approx \dfrac{4 + 3.46}{2} = 3.73

עם הפלוס

אין כאן מספרים שלמים — בדיוק המקרה שבו הטרינום לא עוזר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2+x−6=02x^2 + x - 6 = 0. מהו הפתרון החיובי?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1.5

Corrigé :

a=2  b=1  c=−6\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= 1 \ \\ \ c &= -6\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

x1,2=−1±12−4⋅2⋅(−6)2⋅2x_{1,2} = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6)}}{2 \cdot 2}

מציבים בנוסחה

x1,2=−1±1+484=−1±74\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{4} \\ &= \dfrac{-1 \pm 7}{4}\end{aligned}

מתחת לשורש 49

x1=64=1.5x2=−84=−2\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{6}{4} \\ &= 1.5 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-8}{4} \\ &= -2\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

cc שלילי, ולכן −4ac-4ac הוא פלוס 48. מי ששוכח את הסימן מקבל −47\sqrt{-47} וחושב שאין פתרון.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

כמה פתרונות יש למשוואה x2−6x+9=0x^2 - 6x + 9 = 0?

  1. שני פתרונות
  2. פתרון אחד
  3. אין פתרון
  4. אינסוף פתרונות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B פתרון אחד

Corrigé :

(−6)2−4⋅1⋅9=36−36=0\begin{aligned}(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 &= 36 - 36 \\ &= 0\end{aligned}

מה שמתחת לשורש

x1,2=6±02=3\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{6 \pm 0}{2} \\ &= 3\end{aligned}

פלוס אפס ומינוס אפס נותנים אותו מספר

כשמתחת לשורש יוצא 0, שני הפתרונות מתלכדים לאחד: הפרבולה רק נוגעת בציר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

במשוואה 3x2−4x−4=03x^2 - 4x - 4 = 0 — כמה יוצא מתחת לשורש בנוסחה?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 64

Corrigé :

a=3  b=−4  c=−4\begin{aligned}a &= 3 \ \\ \ b &= -4 \ \\ \ c &= -4\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

(−4)2−4⋅3⋅(−4)=16+48=64\begin{aligned}(-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) &= 16 + 48 \\ &= 64\end{aligned}

ריבוע של שלילי הוא חיובי, ומינוס כפול מינוס הוא פלוס

64 הוא ריבוע שלם, ולכן הפתרונות יוצאים יפים: 22 ו-−23-\frac{2}{3}.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

x2−4x+3=0 : a=1  b=−4  c=3\begin{aligned}x^2 - 4x + 3 &= 0 \ : \ a \\ &= 1 \ \\ \ b &= -4 \ \\ \ c &= 3\end{aligned}
b2−4ac=−42−4⋅1⋅3=−28\begin{aligned}b^2 - 4ac &= -4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 \\ &= -28\end{aligned}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : b2−4ac=−42−4⋅1⋅3=−28b^2 - 4ac = -4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = -28 → b2−4ac=(−4)2−4⋅1⋅3=4b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4

Corrigé :

(−4)2=16(-4)^2 = 16

מעלים בריבוע עם הסוגריים

16−12=416 - 12 = 4

מתחת לשורש מספר חיובי — שני פתרונות: 1 ו-3

בלי סוגריים, −42-4^2 הוא −16-16, והמשוואה נראית בלי פתרון — אבל יש לה שניים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

בכמה נקודות הפרבולה y=x2+2x+5y = x^2 + 2x + 5 חותכת את ציר ה-xx?

  1. בנקודה אחת
  2. בשלוש נקודות
  3. בשתי נקודות
  4. באף נקודה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D באף נקודה

Corrigé :

22−4⋅1⋅5=4−20=−16\begin{aligned}2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 &= 4 - 20 \\ &= -16\end{aligned}

מה שמתחת לשורש

−16\sqrt{-16}

למספר שלילי אין שורש

אין פתרון למשוואה, ולכן הפרבולה לא נוגעת בציר — היא כולה מעליו.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

פתרו בנוסחת השורשים: −x2+2x+3=0-x^2 + 2x + 3 = 0. מהו הפתרון הגדול?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

a=−1  b=2  c=3\begin{aligned}a &= -1 \ \\ \ b &= 2 \ \\ \ c &= 3\end{aligned}

גם aa שלילי

x1,2=−2±22−4⋅(−1)⋅32⋅(−1)=−2±4−2\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 3}}{2 \cdot (-1)} \\ &= \dfrac{-2 \pm 4}{-2}\end{aligned}

מציבים בנוסחה — והמכנה שלילי

x1=2−2=−1x2=−6−2=3\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{2}{-2} \\ &= -1 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-6}{-2} \\ &= 3\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

כשהמכנה שלילי, הפלוס נותן דווקא את הפתרון הקטן. לא מנחשים — מחשבים את שניהם ומשווים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

פתרו בנוסחת השורשים: 2x2−3x−5=02x^2 - 3x - 5 = 0. מה יוצא מתחת לשורש?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 49

Corrigé :

a=2  b=−3  c=−5\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= -3 \ \\ \ c &= -5\end{aligned}

המקדמים, עם הסימנים

(−3)2−4⋅2⋅(−5)(-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-5)

מציבים: b2−4acb^2 - 4ac

=9+40=49= 9 + 40 = 49

מינוס כפול מינוס — פלוס

הסימן של cc שלילי, ולכן −4ac-4ac מוסיף: 40, ולא מוריד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

ומהו הפתרון השלילי של 2x2−3x−5=02x^2 - 3x - 5 = 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -1

Corrigé :

x1,2=3±494=3±74\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{3 \pm \sqrt{49}}{4} \\ &= \dfrac{3 \pm 7}{4}\end{aligned}

מינוס bb הוא 3, והמכנה 2a=42a = 4

x1=104=2.5x2=−44=−1\begin{aligned}x_1 &= \dfrac{10}{4} \\ &= 2.5 \quad \\ \quad x_2 &= \dfrac{-4}{4} \\ &= -1\end{aligned}

פעם פלוס, פעם מינוס

המכנה הוא 2a=42a = 4, ולא 2. עם 2 היו יוצאים 55 ו-−2-2 — שניהם שגויים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

פותרים x2−4x+3=0x^2 - 4x + 3 = 0. שורה אחת שגויה — מצאו אותה

a=1  b=−4  c=3\begin{aligned}a &= 1 \ \\ \ b &= -4 \ \\ \ c &= 3\end{aligned}
b2=−42=−16\begin{aligned}b^2 &= -4^2 \\ &= -16\end{aligned}
x1,2=4±16−122x_{1,2} = \dfrac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : b2=−42=−16b^2 = -4^2 = -16 → b2=(−4)2=16b^2 = (-4)^2 = 16

Corrigé :

(−4)2=16(-4)^2 = 16

ריבוע של מספר שלילי הוא חיובי

מעלים את bb בריבוע עם הסוגריים. בלי סוגריים יוצא −16-16, ומתחת לשורש היה יוצא מספר שלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

למשוואה x2+4x+4=0x^2 + 4x + 4 = 0 יש שני פתרונות.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

42−4⋅1⋅4=16−16=0\begin{aligned}4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 &= 16 - 16 \\ &= 0\end{aligned}

מתחת לשורש: אפס

x=−4±02=−2\begin{aligned}x &= \dfrac{-4 \pm 0}{2} \\ &= -2\end{aligned}

פלוס אפס ומינוס אפס — אותו מספר

כשמתחת לשורש יוצא 00, יש פתרון אחד בלבד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

התאימו כל משוואה למספר הפתרונות שלה

  • x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
  • x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0
  • x2−2x+5=0x^2 - 2x + 5 = 0
  • אין פתרון
  • פתרון אחד
  • שני פתרונות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0 — שני פתרונות · x2−2x+1=0x^2 - 2x + 1 = 0 — פתרון אחד · x2−2x+5=0x^2 - 2x + 5 = 0 — אין פתרון

Corrigé :

4+12=164 + 12 = 16

הראשונה: חיובי

4−4=04 - 4 = 0

השנייה: אפס

4−20=−164 - 20 = -16

השלישית: שלילי

רק cc משתנה בין שלוש המשוואות — והוא לבדו מחליט מה ייצא מתחת לשורש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

בנוסחת השורשים, קו השבר עובר רק מתחת לשורש.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : Faux

Corrigé :

x1,2=−b±b2−4ac2ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

קו השבר ארוך

קו השבר עובר מתחת לכל המונה — גם מתחת ל-−b-b.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe