Le sommet de la parabole

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

לכל פרבולה יש נקודה אחת שבה היא מפסיקה לרדת ומתחילה לעלות — או להפך.

הנקודה הזו נקראת קודקוד הפרבולה. היא הנקודה החשובה ביותר בגרף.

מינימום או מקסימום — לפי a

a>0a > 0

הפרבולה פתוחה כלפי מעלה — צורת חיוך. הקודקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר, כלומר מינימום.

a<0a < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה — צורת עצב. הקודקוד הוא הנקודה הגבוהה ביותר, כלומר מקסימום.

ציר הסימטריה

לכל פרבולה יש ציר סימטריה: קו אנכי שעובר דרך הקודקוד. מקפלים לאורכו — ושני החצאים נופלים זה על זה.

לכן, אם הפרבולה חותכת את ציר ה-xx בשתי נקודות, הקודקוד נמצא בדיוק באמצע ביניהן.

האמצע שבין השורשים

הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5 חותכת את ציר ה-xx ב-x=1x = 1 וב-x=5x = 5.

1+52=3\frac{1 + 5}{2} = 3

האמצע בין שני השורשים

xקודקוד=3x_{\text{קודקוד}} = 3

וזה ה-xx של הקודקוד

קיצור דרך: הממוצע של שני השורשים הוא ה-xx של הקודקוד. ואם יש שורש אחד בלבד — הוא עצמו הקודקוד.

פרבולה חותכת את ציר ה-xx ב-x=2x = 2 וב-x=8x = 8. מהו ה-xx של הקודקוד?

Voir la réponse et le corrigé

x=5x = 5. האמצע בין 2 ל-8: 2+82=5\frac{2 + 8}{2} = 5. אין צורך לדעת את המקדמים בכלל.

ובלי שורשים — הנוסחה

אבל לא לכל פרבולה יש שורשים. איפה הקודקוד אז?

הסימטריה עובדת בכל גובה, לא רק על ציר ה-xx. הזיזו את הקו וראו.

xקודקוד=−b2ax_{\text{קודקוד}} = \frac{-b}{2a}

ויש עוד דרך לראות את זה: ממוצע שני השורשים מנוסחת השורשים. החלק עם השורש מתבטל, ונשאר בדיוק −b2a\dfrac{-b}{2a}.

שימו לב למינוס שבמונה: הוא חלק מהנוסחה. אם b=−6b = -6 אז −b=6-b = 6 — והתוצאה חיובית.

ואת ה-yy של הקודקוד לא מחשבים בנוסחה. מציבים את ה-xx שמצאנו בחזרה בפונקציה.

קודקוד ראשון

מצאו את קודקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5.

a=1  b=−6\begin{aligned}a &= 1 \ \\ \ b &= -6\end{aligned}

קודם מזהים את המקדמים

x=−(−6)2⋅1=62=3\begin{aligned}x &= \frac{-(-6)}{2 \cdot 1} \\ &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

מינוס bb — כלומר מינוס של מינוס שש

y=32−6⋅3+5=9−18+5=−4\begin{aligned}y &= 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 \\ &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים בחזרה בפונקציה

(3 , −4)(3 \, , \, -4)

הקודקוד. וכיוון ש-a>0a > 0 — זו נקודת מינימום

כשהמקדם אינו 1

מצאו את קודקוד הפרבולה y=2x2+8x+3y = 2x^2 + 8x + 3.

a=2  b=8\begin{aligned}a &= 2 \ \\ \ b &= 8\end{aligned}

המקדמים

x=−82⋅2=−84=−2\begin{aligned}x &= \frac{-8}{2 \cdot 2} \\ &= \frac{-8}{4} \\ &= -2\end{aligned}

המכנה הוא 2a2a, ולא 2

y=2⋅4+8⋅(−2)+3=8−16+3=−5\begin{aligned}y &= 2 \cdot 4 + 8 \cdot (-2) + 3 \\ &= 8 - 16 + 3 \\ &= -5\end{aligned}

הצבה

(−2 , −5)(-2 \, , \, -5)

מינימום, כי a=2>0a = 2 > 0

פרבולה הפוכה

מצאו את קודקוד הפרבולה y=−x2+4x−1y = -x^2 + 4x - 1.

a=−1  b=4\begin{aligned}a &= -1 \ \\ \ b &= 4\end{aligned}

המקדמים

x=−42⋅(−1)=−4−2=2\begin{aligned}x &= \frac{-4}{2 \cdot (-1)} \\ &= \frac{-4}{-2} \\ &= 2\end{aligned}

מינוס לחלק למינוס — חיובי

y=−4+8−1=3\begin{aligned}y &= -4 + 8 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

הצבה

(2 , 3)(2 \, , \, 3)

הפעם מקסימום, כי a<0a < 0

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=3x2−12x+7y = 3x^2 - 12x + 7?

Voir la réponse et le corrigé

x=2x = 2. כאן a=3a = 3 ו-b=−12b = -12, ולכן x=126=2x = \frac{12}{6} = 2.

שלוש הטעויות של הקודקוד.

x=−b2x = \frac{-b}{2}
x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

המכנה הוא 2a2a. כשהמקדם אינו 1, שכחת ה-aa מזיזה את הקודקוד למקום אחר לגמרי.

b=−6⇒x=−62a\begin{aligned}b &= -6 \Rightarrow x \\ &= \frac{-6}{2a}\end{aligned}
b=−6⇒x=62a\begin{aligned}b &= -6 \Rightarrow x \\ &= \frac{6}{2a}\end{aligned}

בנוסחה כתוב מינוס bb. מינוס של מינוס שש הוא שש.

הקודקוד הוא (3 , 3)\text{הקודקוד הוא } (3 \, , \, 3)
הקודקוד הוא (3 , −4)\text{הקודקוד הוא } (3 \, , \, -4)

ה-xx אינו ה-yy. אחרי שמצאתם את ה-xx — מציבים אותו בפונקציה כדי לקבל את ה-yy.

הצורה הקודקודית

בהזזת ישר ראינו: ימינה — מחסרים בתוך ה-xx; למעלה — מוסיפים בחוץ.

אותו כלל בדיוק עובד גם על הפרבולה:

y=(x−h)2+ky = (x - h)^2 + k
(x−h)2(x - h)^2

הזזה ימינה ב-hh — מחסרים בתוך הסוגריים. שימו לב לסימן ההפוך.

+ k+\, k

הזזה למעלה ב-kk — מוסיפים בחוץ.

(h, k)(h,\, k)

הקודקוד — רואים אותו בנוסחה בלי לחשב כלום.

לפרבולה y=(x−3)2+2y = (x-3)^2 + 2 — מהו הקודקוד?

Voir la réponse et le corrigé

(3,2)(3, 2) — הצורה הקודקודית מסגירה אותו מיד: הזזה 3 ימינה ו-2 למעלה.

הטעות של הצורה הקודקודית.

y=(x+4)2 ⇒ h=4\begin{aligned}y &= (x + 4)^2 \ \Rightarrow \ h \\ &= 4\end{aligned}
y=(x+4)2=(x−(−4))2 ⇒ h=−4\begin{aligned}y &= (x + 4)^2 \\ &= (x - (-4))^2 \ \Rightarrow \ h \\ &= -4\end{aligned}

פלוס בתוך הסוגריים מזיז שמאלה, לא ימינה. הקודקוד של (x+4)2(x + 4)^2 הוא ב-x=−4x = -4.

מהו הקודקוד של y=(x+1)2−5y = (x + 1)^2 - 5?

Voir la réponse et le corrigé

(−1,−5)(-1, -5) — הזזה 1 שמאלה ו-5 למטה.

Exercices

Exercice 1

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

a=1  b=−6\begin{aligned}a &= 1 \ \\ \ b &= -6\end{aligned}

המקדמים

x=62=3\begin{aligned}x &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

מינוס bb לחלק ל-2a2a

ומכיוון ש-a>0a > 0, זו נקודת מינימום.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

מהו ה-yy של קודקוד הפרבולה y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

x=3x = 3

מהסעיף הקודם

y=9−18+5=−4\begin{aligned}y &= 9 - 18 + 5 \\ &= -4\end{aligned}

מציבים בפונקציה

את ה-yy תמיד מקבלים בהצבה, אף פעם לא בנוסחה נפרדת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=2x2+8x+3y = 2x^2 + 8x + 3?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -2

Corrigé :

x=−84x = \frac{-8}{4}

המכנה הוא 2a=42a = 4

=−2= -2

כשהמקדם אינו 1, ה-aa שבמכנה קובע.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו ה-xx של קודקוד הפרבולה y=3x2−12x+7y = 3x^2 - 12x + 7?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

x=126=2\begin{aligned}x &= \frac{12}{6} \\ &= 2\end{aligned}

מינוס של מינוס 12, לחלק ל-6

המקדם c=7c = 7 אינו משפיע על ה-xx של הקודקוד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

פרבולה חותכת את ציר ה-xx ב-x=2x = 2 וב-x=8x = 8. מהו ה-xx של הקודקוד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

2+82=5\frac{2 + 8}{2} = 5

האמצע בין שני השורשים

הפרבולה סימטרית, ולכן הקודקוד תמיד באמצע שבין השורשים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מהו ה-yy של קודקוד הפרבולה y=−x2+4x−1y = -x^2 + 4x - 1?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x=−4−2=2\begin{aligned}x &= \frac{-4}{-2} \\ &= 2\end{aligned}

קודם ה-xx

y=−4+8−1=3\begin{aligned}y &= -4 + 8 - 1 \\ &= 3\end{aligned}

ואז הצבה

כאן a<0a < 0, ולכן 3 הוא הערך המקסימלי של הפונקציה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

בפרבולה y=−2x2+5x+1y = -2x^2 + 5x + 1 — הקודקוד הוא מינימום או מקסימום?

  1. מקסימום, כי a<0a < 0 והפרבולה פתוחה כלפי מטה
  2. תלוי בערך של bb
  3. מינימום, כי a<0a < 0
  4. מקסימום, כי c>0c > 0
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A מקסימום, כי a<0a < 0 והפרבולה פתוחה כלפי מטה

Corrigé :

a=−2<0a = -2 < 0

הפרבולה פתוחה כלפי מטה

רק הסימן של aa קובע את כיוון הפתיחה. bb ו-cc מזיזים, ולא הופכים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

מה קורה לקודקוד כשמגדילים את cc בלבד?

  1. הוא זז ימינה
  2. הוא זז שמאלה
  3. הוא אינו משתנה כלל
  4. הוא עולה למעלה, וה-xx שלו אינו משתנה
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D הוא עולה למעלה, וה-xx שלו אינו משתנה

Corrigé :

x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

cc אינו מופיע בנוסחה

הגדלת cc מרימה את כל הפרבולה, ולכן ה-yy של הקודקוד גדל וה-xx נשמר.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

y=(x+4)2−3y = (x+4)^2 - 3: מהו שיעור ה-x של הקודקוד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : -4

Corrigé :

x=−4x = -4

ההזזה הפוכה מהסימן שבסוגריים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

y=x2−6x+5y = x^2 - 6x + 5: מהו שיעור ה-x של הקודקוד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x=62=3\begin{aligned}x &= \frac{6}{2} \\ &= 3\end{aligned}

מינוס b חלקי 2a

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

Une ligne est fausse (שגויה) — trouvez-la (מצאו)

b=−6⇒x=62a\begin{aligned}b &= -6 \Rightarrow x \\ &= \frac{6}{2a}\end{aligned}
x=−b2x = \frac{-b}{2}
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : x=−b2x = \frac{-b}{2} → x=−b2ax = \frac{-b}{2a}

Corrigé :

המכנה הוא 2a2a. כשהמקדם אינו 1, שכחת ה-aa מזיזה את הקודקוד למקום אחר לגמרי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

הפרבולה y=x2−8x+3y = x^2 - 8x + 3 עוברת בנקודות (0, 3)(0,\, 3) ו-(8, 3)(8,\, 3). מהו ה-xx של הקודקוד?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

0+82=4\dfrac{0 + 8}{2} = 4

שתי הנקודות באותו גובה — הקודקוד באמצע

−(−8)2⋅1=4\dfrac{-(-8)}{2 \cdot 1} = 4

והנוסחה נותנת אותו דבר

לא צריך שורשים: כל שתי נקודות באותו גובה יושבות סימטרית סביב הקודקוד.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe