Parabole et droite

Sur elev, cette leçon vient avec une vidéo, des exercices corrigés sur le moment et le suivi de ses progrès.

Pratiquer sur elev
Voir la vidéo de la leçon

Traduction automatique, non relue, de la leçon en hébreu que votre enfant suit en classe.

נתחיל ישר מדוגמה, ולא מאותיות. נתונות שתי הפונקציות:

y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3
y=5x+1y = 5x + 1

קודם כול — מי מהן הפרבולה

לפני כל חישוב, מזהים מי היא מי. מחפשים את החזקה: איפה יש x2x^2?

y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3

יש כאן x2x^2 — זו הפרבולה.

y=5x+1y = 5x + 1

אין כאן חזקה — זה הישר.

ומה לגבי y=7x−4y = 7x - 4 ו-y=−x2+6y = -x^2 + 6? מי הפרבולה?

Voir la réponse et le corrigé

y=−x2+6y = -x^2 + 6 היא הפרבולה, כי יש בה xx בחזקת 2. גם מינוס לפני ה-x2x^2 אינו משנה — היא עדיין פרבולה, רק פתוחה כלפי מטה.

עכשיו משווים ביניהן

נקודת חיתוך נמצאת על שני הגרפים יחד. לכן ה-yy שלה זהה בשניהם.

ופותרים עד הסוף

מצאו את נקודות החיתוך של y=x2+2x+3y = x^2 + 2x + 3 ושל y=5x+1y = 5x + 1.

x2+2x+3=5x+1x^2 + 2x + 3 = 5x + 1

משווים בין שתי הפונקציות

x2+2x+3−5x−1=0x^2 + 2x + 3 - 5x - 1 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

x2−3x+2=0x^2 - 3x + 2 = 0

ומכנסים איברים דומים

(x−1)(x−2)=0(x - 1)(x - 2) = 0

טרינום: מכפלה 2, סכום 3−

x=1  x=2\begin{aligned}x &= 1 \ \\ \ x &= 2\end{aligned}

שני ערכי xx

y=5⋅1+1=6\begin{aligned}y &= 5 \cdot 1 + 1 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים בישר — קל יותר

y=5⋅2+1=11\begin{aligned}y &= 5 \cdot 2 + 1 \\ &= 11\end{aligned}

והשני

(1, 6) , (2, 11)(1,\, 6) \ , \ (2,\, 11)

שתי נקודות החיתוך

בדיקה: מציבים x=1x = 1 גם בפרבולה: 1+2+3=61 + 2 + 3 = 6. אותו yy בדיוק — הנקודה על שני הגרפים.

ורק עכשיו — הכתיב הכללי

עכשיו אותו דבר, עם אותיות. זו אותה שיטה בדיוק:

ax2+bx+c=mx+nax^2 + bx + c = mx + n

מעבירים הכול לאגף אחד ומקבלים משוואה ריבועית רגילה, שכבר יודעים לפתור — בנוסחת השורשים או בטרינום.

דוגמה שנייה, עם מספרים שליליים

מצאו את נקודות החיתוך של y=x2−3y = x^2 - 3 ושל y=2xy = 2x.

x2−3=2xx^2 - 3 = 2x

משווים בין שתי הפונקציות

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0

מעבירים הכול לאגף אחד

(x−3)(x+1)=0(x - 3)(x + 1) = 0

טרינום: מכפלה 3−, סכום 2−

x=3  x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -1\end{aligned}

שני ערכי xx

y=2⋅3=6\begin{aligned}y &= 2 \cdot 3 \\ &= 6\end{aligned}

מציבים בישר — קל יותר

y=2⋅(−1)=−2\begin{aligned}y &= 2 \cdot (-1) \\ &= -2\end{aligned}

והשני

(3, 6) , (−1, −2)(3,\, 6) \ , \ (-1,\, -2)

שתי נקודות החיתוך

להצבה בסוף בוחרים את הישר: חשבון קצר יותר, ופחות מקום לטעות.

כמה נקודות חיתוך יש

פותרים את המשוואה בנוסחת השורשים. כל פתרון הוא נקודת חיתוך.

ולכן מספר הפתרונות הוא מספר נקודות החיתוך:

x1,2=−b±92ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{9}}{2a}

מתחת לשורש מספר חיובי — שני פתרונות: הישר חותך את הפרבולה בשתי נקודות.

x1,2=−b±02ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a}

מתחת לשורש אפס — פתרון אחד: לישר ולפרבולה יש נקודה משותפת אחת בלבד.

x1,2=−b±−42ax_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{-4}}{2a}

מתחת לשורש מספר שלילי — אין פתרון: הישר עובר מעל הפרבולה או מתחתיה.

כל הנקודות החשובות על גרף אחד

בשאלת בגרות יש כמה נקודות על אותו ציור, וקל להתבלבל ביניהן. הנה כולן, על פרבולה אחת וישר אחד.

לנקודה אחת יכולים להיות כמה תפקידים: (−1, 0)(-1,\, 0) היא שורש, חיתוך הישר עם ציר ה-xx, וגם נקודת חיתוך בין השניים. שאלה מבקשת «נקודת חיתוך»? קראו בין מי למי.

שטח המשולש שנוצר

שאלה קלאסית: הישר והפרבולה נחתכים בשתי נקודות. איתן ועם נקודה שלישית — לרוב הראשית או הקודקוד — נוצר משולש.

בוחרים כבסיס קטע שמונח על ציר, או מקביל לו: אורכו הוא הפרש קואורדינטות. הגובה — המרחק מהקודקוד השלישי אל אותו קו.

שטח מנקודות

משולש שקודקודיו (0, 0)(0,\, 0), (4, 0)(4,\, 0) ו-(4, 6)(4,\, 6). מהו שטחו?

a=4−0=4\begin{aligned}a &= 4 - 0 \\ &= 4\end{aligned}

הבסיס — מונח על ציר ה-xx

h=6−0=6\begin{aligned}h &= 6 - 0 \\ &= 6\end{aligned}

הגובה — הפרש ה-yy

S=4⋅62=12\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 6}{2} \\ &= 12\end{aligned}

ונוסחת המשולש הרגילה

הטעות של נקודות חיתוך.

x=3  x=−1 — זו התשובה\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -1 \ \text{— זו התשובה}\end{aligned}
(3, 6) , (−1, −2)(3,\, 6) \ , \ (-1,\, -2)

נקודת חיתוך היא זוג. חייבים להציב ולמצוא גם את ה-yy.

x2−3=2x ⇒ x2=2x+3 ⇒ x=2+3\begin{aligned}x^2 - 3 &= 2x \ \Rightarrow \ x^2 \\ &= 2x + 3 \ \Rightarrow \ x \\ &= 2 + 3\end{aligned}
x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0

אי אפשר «לצמצם» xx ממשוואה ריבועית. מעבירים הכול לאגף אחד ופותרים כמשוואה ריבועית.

מה קובע המקדם של x2x^2 לגבי הפרבולה?

Voir la réponse et le corrigé

חיובי — «מחייכת» (מינימום); שלילי — «עצובה» (מקסימום). והגודל קובע כמה היא צרה.

Exercices

Exercice 1

מהן נקודות החיתוך של y=x2−3y = x^2 - 3 ושל y=2xy = 2x?

  1. (3, 6)(3,\, 6) ו-(−1, −2)(-1,\, -2)
  2. (6, 3)(6,\, 3) ו-(−2, −1)(-2,\, -1)
  3. אין נקודות חיתוך
  4. (3, 0)(3,\, 0) ו-(−1, 0)(-1,\, 0)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A (3, 6)(3,\, 6) ו-(−1, −2)(-1,\, -2)

Corrigé :

x2−3=2xx^2 - 3 = 2x

משווים

x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0

לאגף אחד

x=3  x=−1\begin{aligned}x &= 3 \ \\ \ x &= -1\end{aligned}

טרינום

y=6  y=−2\begin{aligned}y &= 6 \ \\ \ y &= -2\end{aligned}

מציבים בישר

נקודת חיתוך היא זוג — חייבים גם את ה-yy.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 2

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2y = x^2 ולישר y=−4y = -4?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

x2=−4x^2 = -4

משווים

x2≥0 תמידx^2 \geq 0 \ \text{תמיד}

ריבוע לעולם אינו שלילי

הישר עובר מתחת לפרבולה כולה — אין מפגש.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 3

כמה נקודות חיתוך יש ל-y=x2y = x^2 ולישר y=0y = 0?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

x2=0x^2 = 0

משווים

x=0x = 0

פתרון יחיד

לישר ולפרבולה יש נקודה משותפת אחת בלבד — הקודקוד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 4

מהו שטח המשולש שקודקודיו (0, 0)(0,\, 0), (4, 0)(4,\, 0) ו-(4, 6)(4,\, 6)?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 12

Corrigé :

a=4a = 4

הבסיס על ציר ה-xx

h=6h = 6

הגובה — הפרש ה-yy

S=4⋅62=12\begin{aligned}S &= \frac{4 \cdot 6}{2} \\ &= 12\end{aligned}

נוסחת המשולש

בוחרים בסיס שמונח על ציר — אז אורכו הוא פשוט הפרש קואורדינטות.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 5

למשוואת החיתוך של ישר ופרבולה יש פתרון אחד. כמה נקודות חיתוך יש להם?

  1. אין נקודות חיתוך
  2. שתי נקודות
  3. נקודה אחת
  4. אינסוף נקודות
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C נקודה אחת

Corrigé :

x1,2=−b±02a=−b2a\begin{aligned}x_{1,2} &= \dfrac{-b \pm \sqrt{0}}{2a} \\ &= \dfrac{-b}{2a}\end{aligned}

מתחת לשורש אפס: פלוס ומינוס נותנים אותו מספר

כל פתרון של משוואת החיתוך הוא נקודת חיתוך. פתרון אחד — נקודה אחת.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 6

מצאו את ערך ה-xx החיובי בנקודת החיתוך של y=x2y = x^2 ושל y=5xy = 5x.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 5

Corrigé :

x2=5xx^2 = 5x

משווים

x2−5x=0x^2 - 5x = 0

לאגף אחד

x(x−5)=0x(x - 5) = 0

גורם משותף

x=0  x=5\begin{aligned}x &= 0 \ \\ \ x &= 5\end{aligned}

שני פתרונות

לא לחלק ב-xx — זה היה מוחק את הפתרון x=0x = 0.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 7

y=−2x2+3y = -2x^2 + 3 — לפרבולה יש…

  1. מינימום
  2. מקסימום
  3. שניהם
  4. אף אחד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מקסימום

Corrigé :

−2<0-2 < 0

עצובה — פסגה

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 8

y=x2−9y = x^2 - 9: היכן חותכת את ציר ה-x? כתבו את החיובי.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 3

Corrigé :

x2=9  x=±3\begin{aligned}x^2 &= 9 \ \\ \ x &= \pm 3\end{aligned}

על ציר ה-xx מתקיים y=0y = 0. שורש של מספר נותן שני פתרונות — חיובי ושלילי.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 9

y=x2+4y = x^2 + 4: כמה נקודות חיתוך עם ציר ה-x?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 0

Corrigé :

x2=−4x^2 = -4

אין פתרון — הפרבולה מרחפת מעל

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 10

ציר הסימטריה של y=(x−5)2y = (x-5)^2 הוא…

  1. x=0x = 0
  2. y=0y = 0
  3. x=5x = 5
  4. y=5y = 5
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : C x=5x = 5

Corrigé :

x=5x = 5

אנכי דרך הקודקוד

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 11

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. א. מהו ציר הסימטריה של הפרבולה? (כתבו את ערך ה-xx)

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 4

Corrigé :

y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4

הצורה הקודקודית

x=4x = 4

ציר הסימטריה עובר בקודקוד

בצורה הקודקודית ציר הסימטריה נקרא ישירות מהסוגריים.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 12

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ב. מצאו את aa.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

a(6−4)2−4=0a(6-4)^2 - 4 = 0

מציבים את נקודת האפס

4a=44a = 4
a=1a = 1
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 13

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ג. האם הקודקוד הוא נקודת מינימום או מקסימום, ומהי?

  1. מקסימום, בנקודה (6,0)(6,0)
  2. מינימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)
  3. מקסימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)
  4. מינימום, בנקודה (4,4)(4,4)
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B מינימום, בנקודה (4,−4)(4,-4)

Corrigé :

a=1>0a = 1 > 0

הפרבולה «מחייכת»

(4,−4)(4,-4)

הקודקוד מהצורה הקודקודית

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 14

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ד. מצאו את נקודת האפס השנייה (כתבו את ה-xx).

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 2

Corrigé :

(x−4)2−4=0(x-4)^2 - 4 = 0
(x−4)2=4(x-4)^2 = 4
x=4±2x = 4 \pm 2

הסימטריה נותנת אותה מיד: 6 רחוק 2 מציר 4, אז השני הוא 2.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 15

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ה. האם הישר y=−4y = -4 חותך את הגרף? בכמה נקודות?

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 1

Corrigé :

(x−4)2−4=−4(x-4)^2 - 4 = -4
(x−4)2=0(x-4)^2 = 0
x=4x = 4

פתרון יחיד

נקודה אחת בלבד: הישר נוגע בפרבולה בדיוק בקודקוד.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 16

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ז. מהם תחומי העלייה והירידה?

  1. יורדת תמיד
  2. יורדת ב-x<4x<4, עולה ב-x>4x>4
  3. עולה ב-x<4x<4, יורדת ב-x>4x>4
  4. עולה תמיד
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : B יורדת ב-x<4x<4, עולה ב-x>4x>4

Corrigé :

פרבולה מחייכת\text{פרבולה מחייכת}

הקודקוד ב-4 הוא נקודת ההיפוך

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 17

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ח. מהם תחומי החיוביות והשליליות?

  1. חיובית ב-x<2x<2 או x>6x>6, שלילית ב-2<x<62<x<6
  2. שלילית תמיד
  3. חיובית תמיד
  4. חיובית בין 2 ל-6
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : A חיובית ב-x<2x<2 או x>6x>6, שלילית ב-2<x<62<x<6

Corrigé :

אפסים ב-2 ו-6\text{אפסים ב-2 ו-6}

מחייכת: שלילית בין השורשים

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 18

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. ט. חשבו את שטח המשולש שקודקודיו הם שתי נקודות האפס והקודקוד.

Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 8

Corrigé :

בסיס=6−2=4\begin{aligned}\text{בסיס} &= 6 - 2 \\ &= 4\end{aligned}

בין שתי נקודות האפס

גובה=4\text{גובה} = 4

מהציר עד הקודקוד

4⋅42=8\frac{4 \cdot 4}{2} = 8
Vérifier la réponse sur elev

Exercice 19

נתונה הפרבולה y=a(x−4)2−4y = a(x-4)^2 - 4. הנקודה (6,0)(6,0) היא אחת מנקודות האפס של הפרבולה. י. בשרטוט, גרף נוסף מתקבל מהזזת הגרף כך שקודקודו (4,4)(4,4) והוא «עצוב». איזו משוואה מתאימה לו?

  1. y=(x+4)2+1y = (x+4)^2 + 1
  2. y=−(x−4)2+5y = -(x-4)^2 + 5
  3. y=x2+1y = x^2 + 1
  4. y=−(x−4)2+4y = -(x-4)^2 + 4
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : D y=−(x−4)2+4y = -(x-4)^2 + 4

Corrigé :

קודקוד(4,4)\text{קודקוד} (4,4)

נותן (x−4)2(x-4)^2 ועוד 4

a<0a < 0

«עצובה» — מינוס לפני הסוגריים

הצורה הקודקודית נקראת ישירות מהקודקוד ומכיוון הפתיחה.

Vérifier la réponse sur elev

Exercice 20

בנוסחת השורשים של משוואת החיתוך, מתחת לשורש יצא… התאימו לתשובה.

  • 25\sqrt{25}
  • 0\sqrt{0}
  • −9\sqrt{-9}
  • אין פתרון — אין נקודות חיתוך.
  • פתרון אחד — נקודת חיתוך אחת.
  • שני פתרונות — שתי נקודות חיתוך.
Voir la réponse et le corrigé

Réponse : 25\sqrt{25} — שני פתרונות — שתי נקודות חיתוך. · 0\sqrt{0} — פתרון אחד — נקודת חיתוך אחת. · −9\sqrt{-9} — אין פתרון — אין נקודות חיתוך.

Corrigé :

מספר חיובי נותן שני פתרונות, אפס נותן אחד, ולמספר שלילי אין שורש.

Vérifier la réponse sur elev

La suite se pratique sur elev

Vidéos, exercices corrigés sur le moment et un parcours qui suit le rythme de votre enfant, pour tous les chapitres de sa classe.

Pratiquer sur elevDécouvrir elev pour cette classe